1、理科数学试题 第 1页（共 16页）理科数学试题 第 2页（共 16页） 内装订线 外装订线 学校：_姓名：_班级：_考号：_ 绝密绝密启用前启用前 2021 年高考数学模拟考场仿真演练卷（全国卷）01 理科数学 （考试时间：120 分钟试卷满分：150 分） 注意事项： 1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考 证号填写在答题卡上。 2回答第卷时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3回答第卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4考试结束后，将
2、本试卷和答题卡一并交回。 第卷 一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的） 1已知集合82 4 1 | x xA，1log 2 1 | 2 xxB，则Bx是Ax的（） 。 A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件 2已知平面向量)4(，ma，)31(mb，若存在实数0，使得ba，则实数m的值为（） 。 A、4B、 5 12 C、1D、1 3新冠肺炎肆虐全，疫情波及200多个国家和地区；一些国家宣布进入“紧急状态”，全球股市剧烈震荡 新冠肺炎疫情严重挑战公共卫生安全，全面冲击世界经济运行，深刻
3、影响社会生活运转。这场全球公共卫生 危机，需要国际社会的通力合作，在一次国际医学学术会议上，来自四个国家的五位代表被安排在一张圆桌 就座，为了使他们能够自由交谈，事先了解到的情况如下：甲是中国人，还会说英语；乙是法国人，还会说 日语；丙是英国人，还会说法语；丁是日本人，还会说汉语；戊是法国人，还会说德语；则这五位代表的座 位顺序应为（） 。 A、甲乙丙丁戊B、甲丁丙乙戊C、甲丙丁戊乙D、甲丙戊乙丁 4已知函数xxxfln)(，)2(fa 、)(lnefb 、)3(log2fc ，则a、b、c的大小关系为（） 。 A、bcaB、acbC、bacD、abc 5 已知实数x、y满足约束条件 1 0
4、0 yx ymx yx ， 其中1m， 若目标函数 mx y y 的最大值为2， 则m（） 。 A、2B、2或 2 3 C、2或 2 1 D、 2 3 6某城镇重点打造运动体闲小镇品牌，修建了休闲运动广场，广场内设置了一些石凳供大家体息，这些石 凳可看作是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如图，若被截正方体的棱长是50 cm，则每个石凳的表 面积为（） 。 A、 2 )33(2500cmB、 2 17500cm C、 2 37500cmD、 2 )33(5000cm 7已知函数xxxfsin)( 3 ，若0， 44 ，且)2() 2 ( ff，则 ) 2 cos(（） 。 A、 3 2 B、
5、 3 3 C、 2 2 D、 2 3 8已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体 外接球的体积为（） 。 A、 2 B、 2 2 C、 2 3 D、 9秦九韶算法是中国南宋时期的数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，如下的程序框图所示用秦九韶 算法求5次多项式 01 2 2 3 3 4 4 5 5 )(axaxaxaxaxaxf， 当 0 xx (Rx 0 )时的值的过程， 若输入2 0 a， 5 1 a，6 2 a，4 3 a，7 4 a，2 5 a，3 0 x，则输出的v的值为（） 。 A、985B、986 C、987D、988 第 8
6、题图第 10 题图第 11 题图 10 如图所示， 已知 1 F和 2 F分别是双曲线C：1 2 2 2 2 b y a x (0a，0b)的左、 右焦点， 圆 222 4)(cycx 与双曲线位于x轴上方的图像从左到右依次交于A、B两点，如果 120 21 FAF，则 12F BF的余弦值为 （） 。 A、 2 3 1B、 2 13 C、 2 1 D、 2 3 11如图所示，正方体 1111 DCBAABCD D 的棱长为1，线段 11D B上有两个动点E、F，且 2 1 EF，则下 列结论中错误的是（） 。 A、BEAC B、/EF平面ABCD C、AEF的面积与BEF的面积相等D、三棱锥
7、BEFA的体积为定值 12已知函数 x eaxf)(Ra)的图像经过) 12( ，P，若函数txxfxg|ln2)(|)(有四个零点，则实数t的 理科数学试题 第 3页（共 16页）理科数学试题 第 4页（共 16页） 内装订线 此卷只装订不密封 外装订线 取值范围为（） 。 A、)2ln21(，B、2ln21(，C、)02ln21 ，D、)02ln21 (， 第卷 二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13在 64 )1 ()1 (ayx的展开式中，若含 32 yx 项的系数是15，则实数a的值为。 14已知6|5|5|iziz，则复数z在复平面内所对应点)(yxP，
8、的轨迹方程为。 15设函数 11 112 )( x x xf x ， ， ，则满足)2() 1(tftf的t的取值范围是。 16 在ABC中， 角A、B、C的对边为a、b、c， 若2a， 60A， 则cb 2 13 的取值范围是。 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （本小题满分 12 分） 已知数列 n a满足：02 11 nnn aaa( Nn，2n)且2 1 a、4 3 a，数列 n b的前n项和为 12 nn bS( Nn)。 （1）求数列 n a、 n b的通项公式； （2）符号x表示不超过实数x的最大整数，记)1(log2 n
9、n ac， n T为数列 n c的前n项和，求 n T2。 18 （本小题满分 12 分） 如图所示，AB是半圆O的直径，C是半圆O上除A、B外的一个动点，DC垂直于半圆O所在的平面， EBDC /，1 EBDC，4AB。 （1）证明：平面ADE平面ACD； （2）当C点为半圆的中点时，求二面角BAED的余弦值。 19 （本小题满分 12 分） 已知函数 x exf 2 )( ，12)( 2 xaxxg。 （1）求曲线)(xfy 在()0(0f，)处的切线方程； （2）当0 x时，若2a，求证：0)()(xgxf。 20 （本小题满分 12 分） 已知椭圆E：1 2 2 2 2 b y a x
10、 (0 ba)的离心率 2 2 e， 其左、 右顶点分别是点A、B， 且点A关于直线xy 对称的点在直线23 xy上。 （1）求椭圆E的方程； （2） 若点M在椭圆E上， 点N在圆 222 :byxO上， 且M、N都在第一象限，yMN 轴， 若直线MA、 MB与y轴的交点分别为C、D，判断CNDsin是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，说明 理由。 21 （本小题满分 12 分） 2019年由“杂交水稻之父”袁隆平团队研发的第三代杂交水稻10月21日至22日首次公开测产，经测产专家 组评定，最终亩产为3 .1046千克。第三代杂交水稻的综合优势，可以推动我国的水稻生产向更加优质、高产
11、、 绿色和可持续方向发展。某企业引进一条先进的年产量为100万件的食品生产线，计划以第三代杂交水稻为 原料进行深加工。已知该生产线生产的产品的质量以某项指标值k(10070，k)为衡量标准，其产品等级划 分如下表。为了解该产品的生产效益，该企业先进行试生产，并从中随机抽取了1000件产品，测量了每件产 品的质量指标值，得到如下的产品质量指标值的频率分布直方图。 质量指标值k10090 k9085 k8580 k8075 k7570 k 产品等级废品合格良好优秀良好 （1） 若从质量指标值不小于85的产品中， 采用分层抽样的方法抽取7件产品， 然后从这7件产品中任取3件， 求产品的质量指标值)9
12、590，k的件数X的分布列及数学期望； （2）将频率视为概率，从该产品中有放回地随机抽取3件，记“抽出的产品中至少有1件是合格及以上等级” 为事件A，求事件A发生的概率； （3）若每件产品的质量指标值k与利润y(单位：元)的关系如下表所示：(41 t) 质量指标值k10090 k9085 k8580 k8075 k7570 k 利润y t e tt 3t 5t 3 试确定t的值，使得该生产线的年盈利取得最大值，并求出最大值。(参考数值：7 . 02ln、1 . 13ln、 6 . 15ln)。 请考生在第 22、23 两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目
13、计分 22 （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 请考生在第 22、23 两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目 计分 22 （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位， 已知直线l的参数方程为 ty tx 2 1 3 2 3 5 (t为参数)，圆C的坐标方程为) 3 cos(4 。 （1）求直线l和圆C的直角坐标方程； （2）若)(yxP，在圆C上，求yx3的取值范围。 23 （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函
14、数| 1| 1|)(axaxxf，Ra。 （1）当1a时，求不等式0)(xf的解集； （2）若存在21 ，x，使得2| )(|xf成立，求实数a的取值范围。 理科数学试题 第 5页（共 16页）理科数学试题 第 6页（共 16页） 内装订线 外装订线 学校：_姓名：_班级：_考号：_ 2021 年高考数学模拟考场仿真演练卷（全国卷）01 理科数学全解全析 123456789101112 ADDCAABCBACD 1已知集合82 4 1 | x xA，1log 2 1 | 2 xxB，则Bx是Ax的（） 。 A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 【答案】
15、A 【解析】32|222| 32 xxxA x ，22|2loglog2log| 222 xxxxB， B A，B是A的充分不必要条件，故选 A。 2已知平面向量)4(，ma，) 31(mb，若存在实数0，使得ba，则实数m的值为（） 。 A、4 B、 5 12 C、1 D、1 【答案】D 【解析】ba，)31()4(mm，则 )3(4m m ，解得4或1， 又0，1，1m，故选 D。 3新冠肺炎肆虐全，疫情波及200多个国家和地区；一些国家宣布进入“紧急状态”，全球股市剧烈震荡 新冠肺炎疫情严重挑战公共卫生安全，全面冲击世界经济运行，深刻影响社会生活运转。这场全球公共卫生 危机，需要国际社会
16、的通力合作，在一次国际医学学术会议上，来自四个国家的五位代表被安排在一张圆桌 就座，为了使他们能够自由交谈，事先了解到的情况如下：甲是中国人，还会说英语；乙是法国人，还会说 日语；丙是英国人，还会说法语；丁是日本人，还会说汉语；戊是法国人，还会说德语；则这五位代表的座 位顺序应为（） 。 A、甲乙丙丁戊 B、甲丁丙乙戊 C、甲丙丁戊乙 D、甲丙戊乙丁 【答案】D 【解析】戊是法国人，还会说德语，只能用法语交流， 则两侧只能是乙和丙，乙旁边是丁，丙旁边是甲，故选 D。 4已知函数xxxfln)(，)2(fa 、)(lnefb 、) 3(log2fc ，则a、b、c的大小关系为（） 。 A、bca
17、 B、acb C、bac D、abc 【答案】C 【解析】由01ln)(xxf得 e x 1 ，则)(xf在), 1 ( e 上单调递增， e e 1 2 1 ln12 2 3 8log3log 22 ， )(ln)2()3(log2efff，即bac，故选 C。 5 已知实数x、y满足约束条件 1 0 0 yx ymx yx ， 其中1m， 若目标函数 mx y y 的最大值为2， 则m（） 。 A、2 B、2或 2 3 C、2或 2 1 D、 2 3 【答案】A 【解析】表示区域为如图阴影部分，) 11 1 ( m m m A，、) 2 1 2 1 ( ，B， 目标函数 mx y z 的几
18、何意义是可行域内的点)(yx，与)0( ，mP所连直线的斜率最大， 故有2 1 1 1 m m m m kPA，即0232 2 mm，解得2m或 2 1 (舍)，故选 A。 6某城镇重点打造运动体闲小镇品牌，修建了休闲运动广场，广场内设置了一些石凳供大家体息，这些石 凳可看作是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如图，若被截正方体的棱长是50 cm，则每个石凳的表 面积为（） 。 A、 2 )33(2500cm B、 2 17500cm 理科数学试题 第 7页（共 16页）理科数学试题 第 8页（共 16页） 内装订线 此卷只装订不密封 外装订线 C、 2 37500cm D、 2 )33(5
19、000cm 【答案】A 【解析】由题意知每个石凳有6个正方形表面，每个正方形的面积为 2 )225( 2 cm， 有8个正三角形表面，每个正三角形的面积为 2 )225( 4 3 2 cm， 每个石凳的表面积)33(2500)225( 4 3 8)225(6 22 S 2 cm，故选 A。 7已知函数xxxfsin)( 3 ，若0， 44 ，且)2() 2 ( ff，则 ) 2 cos(（） 。 A、 3 2 B、 3 3 C、 2 2 D、 2 3 【答案】B 【解析】 3 x单调递增， 22 ) 2 ( ， 22 ，则)(xf在 22 ，上递增， 则 2 2 ， 2 2 4 cos) 2
20、cos( ，故选 B。 8已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体 外接球的体积为（） 。 A、 2 B、 2 2 C、 2 3 D、 【答案】C 【解析】原三视图可还原成三棱锥ABCP， 可把三棱锥ABCP还原成正方体如图，棱长为1， 则三棱锥ABCP的外接球的半径为此正方体的半径 2 3 2 3 a R， 则 2 3 8 33 3 4 3 4 3 RV，故选 C。 9秦九韶算法是中国南宋时期的数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，如下的程序框图所示用秦九韶 算法求5次多项式 01 2 2 3 3 4 4 5 5 )(axaxaxaxaxa
21、xf， 当 0 xx (Rx 0 )时的值的过程， 若输入2 0 a， 5 1 a，6 2 a，4 3 a，7 4 a，2 5 a，3 0 x，则输出的v的值为（） 。 A、985 B、986 C、987 D、988 【答案】B 【解析】执行程序框图， 输入2 0 a，5 1 a，6 2 a，4 3 a，7 4 a，2 5 a，3 0 x， 经过第1次循环得13v，2n， 经过第2次循环得35v，3n， 经过第3次循环得111v，4n， 经过第4次循环得328v，5n， 经过第5次循环得986v，6n， 退出循环，故输出的v的值为986，故选 B。 10 如图所示， 已知 1 F和 2 F分别
22、是双曲线C：1 2 2 2 2 b y a x (0a，0b)的左、 右焦点， 圆 222 4)(cycx 与双曲线位于x轴上方的图像从左到右依次交于A、B两点，如果 120 21 FAF，则 12F BF的余弦值为 （） 。 A、 2 3 1 B、 2 13 C、 2 1 D、 2 3 【答案】A 【解析】连接 2 AF、 1 BF，取 2 AF的中点C， 2 BF的中点D，连接CF1、DF1， 由已知及双曲线的定义得cFFBFAF2| 2111 ，caAF22| 2 ，acBF22| 2 ， 120 21 FAF， 21F CFRt中， c ca FF CF FCF 2| | 60sins
23、in 21 2 21 ， 理科数学试题 第 9页（共 16页）理科数学试题 第 10页（共 16页） 内装订线 外装订线 学校：_姓名：_班级：_考号：_ 又ca 0，13 c a ， 2 3 1 2 1 2| | cos 21 2 12 c a c ac FF DF FBF，故选 A。 11如图所示，正方体 1111 DCBAABCDD 的棱长为1，线段 11D B上有两个动点E、F，且 2 1 EF，则下 列结论中错误的是（） 。 A、BEAC B、/EF平面ABCD C、AEF的面积与BEF的面积相等 D、三棱锥BEFA的体积为定值 【答案】C 【解析】在正方体 1111 DCBAABC
24、DD 中，E、F是线段 11D B上的两个动点， BDAC 且 1 BBAC ，AC平面 11DD BB， BE平面 11DD BB，BEAC ，A 对， 平面/ 1111 DCBA平面ABCD且EF平面 1111 DCBA，/EF平面ABCD，B 对， B到 11D B的距离为1 1 BB，A到 11D B的距离大于上下底面中心的连线，即大于1， AEF的面积大于BEF的面积，C 错， A到平面 11D DBB的距离即是A到BD的距离为 2 2 2 11 22 是定值， 底面 4 1 1 2 1 2 1 BEF S是定值，三棱锥BEFA的体积也为定值，D 对， 故选 C。 12已知函数 x
25、eaxf)(Ra)的图像经过) 12( ，P，若函数txxfxg|ln2)(|)(有四个零点，则实数t的 取值范围为（） 。 A、)2ln21(， B、2ln21(， C、)02ln21 ， D、)02ln21 (， 【答案】D 【解析】由已知可得1)2( 2 eaf，解得 2 1 e a ，故 x e e xf 2 1 )(，txe e xg x |ln2 1 |)( 2 ， 易知函数)(xg的零点个数即函数|ln2 1 | 2 xe e y x 的图像与直线ty的交点个数， 设xe e xh x ln2 1 )( 2 ，定义域为)0(，则 x e e xh x 21 )( 2 ， 设 x
26、e e xm x 21 )( 2 ， 22 21 )( x e e xm x ，则0)( x m恒成立，)(xm在)0(，内单调递增， 又0)2(m，则当20 x时0)(xm，即0)( x h，当2x时0)(xm，即0)( x h， )(xh在2x处取得极小值也是最大值，则02ln21)2(h， 又当 0 x时0)(xh，当x时0)(xh， |ln2 1 | 2 xe e y x 的图像如图所示， 由图像可知，12ln20 t，即02ln21t时， 函数|ln2 1 | 2 xe e y x 的图像与直线ty有四个交点， 即函数txxfxg|ln2)(|)(有四个零点，故选 D。 13在 64
27、 )1 ()1 (ayx的展开式中，若含 32 yx 项的系数是15，则实数a的值为。 【答案】 2 1 【解析】含 32 yx 的项为 333 6 22 4 yaCxC，则其系数15120 333 6 2 4 aaCC，则 2 1 a。 14已知6|5|5|iziz，则复数z在复平面内所对应点)(yxP，的轨迹方程为。 【答案】1 49 22 xy 【解析】设z对应的点)(yxP，则6)5()5(|5|5| 2222 yxyxiziz， 设点)50( ，A、)50(，B，则|6|ABPBPA， 点P在以A、B为焦点的椭圆上，轨迹方程为1 49 22 xy 。 15设函数 11 112 )(
28、x x xf x ， ， ，则满足)2() 1(tftf的t的取值范围是。 【答案】)21(， 【解析】当1x时，函数12)( x xf是增函数，则1) 1 ()( fxf， 作出)(xf的大致图像如图所示， 结合图像可知，要使)2() 1(tftf， 则需 tt t t 21 12 11 或 112 12 11 1t t t ，解得 2 1 1t或2 2 1 t， 即21t，故t的取值范围是)21(，。 16 在ABC中， 角A、B、C的对边为a、b、c， 若2a， 60A， 则cb 2 13 的取值范围是。 理科数学试题 第 11页（共 16页）理科数学试题 第 12页（共 16页） 内装
29、订线 此卷只装订不密封 外装订线 【答案】2213(， 【解析】2a， 60A，由正弦定理得： 3 4 60sin 2 sinsinsin C c B b A a ， sin 2 13 )120sin( 3 4 )sin 2 13 (sin 3 4 2 13 CCCBcb )sin 2 3 cos 2 3 ( 3 4 )sin 2 13 sin 2 1 cos 2 3 ( 3 4 CCCCC )45sin(22)sin(cos2 CCC， 1200C， 1654545 C， 4 26 165sin ， 1)45sin( 4 26 C，22 2 13 13 cb。 17 （12 分）已知数列 n
30、 a满足：02 11 nnn aaa( Nn，2n)且2 1 a、4 3 a，数列 n b的前n项 和为12 nn bS( Nn)。 （1）求数列 n a、 n b的通项公式； （2）符号x表示不超过实数x的最大整数，记)1(log2 nn ac， n T为数列 n c的前n项和，求 n T2。 【解析】 （1）数列 n a满足02 11 nnn aaa( Nn，2n)， 数列 n a是等差数列，设其公差为d， 2 1 a、4 3 a，1 13 13 aa d，1 nan，2 分 数列 n b的前n项和为12 nn bS( Nn)， 当1n时，12 111 bbS，解得1 1 b， 当2n时，
31、) 12() 12( 11 nnnnn bbbbb，化简得： 1 2 nn bb， 数列 n b是首项为1、公比为2的等比数列， 1 2 n n b；4 分 （2）由（1）知log2ncn，当 1 22 kk n时，kn log2，Zk，5 分 2log)12(log)22(log4log3log2log 1log 2222222 2 nnn n T nnn ) 1() 1(2110 nnn nn 12321 2) 1(2)2(232221，8 分 n T22nnn nn 22) 1(2)2(232221 1432 ，9 分 上式减下式得： nnnnT nnn n 2)2(22) 1(2222
32、2 14321 2 ，11 分 22)2( 2 nnT n n 。12 分 18 （12 分）如图所示，AB是半圆O的直径，C是半圆O上除A、B外的一个动点，DC垂直于半圆O所 在的平面，EBDC /，1 EBDC，4AB。 （1）证明：平面ADE平面ACD； （2）当C点为半圆的中点时，求二面角BAED的余弦值。 【解析】（1） AB是半圆O的直径， BCAC ， DC平面ABC，BC平面ABC， BCDC ， 又CACDC，BC平面ACD，2 分 EBDC /，EBDC ， 四边形DCBE是平行四边形， CBDE /， DE平面ACD， 又DE平面ADE，平面ADE平面ACD；4 分 （2
33、）当C点为半圆的中点时，22 BCAC，以C为原点， 以CA，CB，CD所在直线为坐标轴建立空间坐标系如图所示， 则) 100(，D、) 1220(，E、)0022(，A、)0220(，B， )02222(，AB，) 100(，BE，)0220(，DE，) 1022(，DA，6 分 设平面DAE的法向量为)( 111 zyxm， 则 0 0 DEm DAm ，即 022 022 1 11 y zx ，令1 1 x得)22 , 0 , 1 (m，8 分 设平面ABE的法向量为)( 222 zyxn， 则 0 0 BEn ABn ，即 0 02222 2 22 z yx ，令1 2 x得，)011
34、 ( ，n，10 分 设二面角BAED的平面角为，经观察为钝角， 6 2 | 23 1 | | |,cos|cos nm nm nm 。12 分 19 （12 分）已知函数 x exf 2 )( ，12)( 2 xaxxg。 （1）求曲线)(xfy 在()0(0f，)处的切线方程； （2）当0 x时，若2a，求证：0)()(xgxf。 【解析】 （1） x exf 2 )( ，)(xf的定义域为R， x exf 2 2)( ，1 分 2)0( f ，又1)0(f，切线方程为)0(21xy，即012 yx；3 分 （2）证明：要证0)()(xgxf， 只证012 22 x exax，即证01)
35、12( 22 x exax，4 分 理科数学试题 第 13页（共 16页）理科数学试题 第 14页（共 16页） 内装订线 外装订线 学校：_姓名：_班级：_考号：_ 令1) 12()( 22 x exaxxF， 0 x，2a，0 2 x e， 22 2xax，即12212 22 xxxax，6 分 1) 122(1) 12( 2222 xx exxexax， 即1) 122()( 22 x exxxF，7 分 令1) 122()( 22 x exxxG， 则04) 122(2)24()( 22222 xxx exexxexxG，9 分 )(xG在0(，上单调递减，又0)0(G，0 x时0)(
36、xG，11 分 0)(xF，即0)()(xgxf。12 分 20 （12 分）已知椭圆E：1 2 2 2 2 b y a x (0ba)的离心率 2 2 e，其左、右顶点分别是点A、B，且点A 关于直线xy 对称的点在直线23 xy上。 （1）求椭圆E的方程； （2） 若点M在椭圆E上， 点N在圆 222 :byxO上， 且M、N都在第一象限，yMN 轴， 若直线MA、 MB与y轴的交点分别为C、D，判断CNDsin是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，说明 理由。 【解析】 （1）点)0(，aA 关于直线xy 对称的点)0(a，在直线23 xy上， 220aa，1 分 2 2 a c
37、 ，2c，又 222 cba，解得2 222 cab，3 分 椭圆E的方程为1 24 22 yx ；4 分 （2）设)( 00 yxM，AM：)2( xky(0k)，令0 x，解得ky2，)20(kC， 联立 42 )2( 22 yx xky ，化简得：048) 12( 222 kxk(0k)， 12 48 2 2 2 0 k k x，得 12 42 2 2 0 k k x， 12 4 2 0 k k y，) 12 4 12 42 ( 22 2 k k k k M，6 分 直线BM的斜率为 k k k k k 2 1 2 12 42 12 4 2 2 2 ， BM的方程：)2( 2 1 x k
38、 y，令0 x，解得 k y 1 ，) 1 0( k D，9 分 设)( 01 yxN，则)2( 01 ykxNC，) 1 ( 01 y k xND， 0 2 2 0 2 1 12 2y k k yxNDNC ， 2 2 0 2 1 yx， 12 4 2 0 k k y，0NDNC， NDNC ，即90CND，1sinCND为定值。12 分 21 （12 分）2019年由“杂交水稻之父”袁隆平团队研发的第三代杂交水稻10月21日至22日首次公开测产， 经测产专家组评定，最终亩产为3 .1046千克。第三代杂交水稻的综合优势，可以推动我国的水稻生产向更加 优质、高产、绿色和可持续方向发展。某企业
39、引进一条先进的年产量为100万件的食品生产线，计划以第三 代杂交水稻为原料进行深加工。已知该生产线生产的产品的质量以某项指标值k(10070，k)为衡量标准， 其产品等级划分如下表。为了解该产品的生产效益，该企业先进行试生产，并从中随机抽取了1000件产品， 测量了每件产品的质量指标值，得到如下的产品质量指标值的频率分布直方图。 质量指标值k10090 k9085 k8580 k8075 k7570 k 产品等级废品合格良好优秀良好 （1） 若从质量指标值不小于85的产品中， 采用分层抽样的方法抽取7件产品， 然后从这7件产品中任取3件， 求产品的质量指标值)9590，k的件数X的分布列及数学
40、期望； （2）将频率视为概率，从该产品中有放回地随机抽取3件，记“抽出的产品中至少有1件是合格及以上等级” 为事件A，求事件A发生的概率； （3）若每件产品的质量指标值k与利润y(单位：元)的关系如下表所示：(41t) 质量指标值k10090 k9085 k8580 k8075 k7570 k 利润y t e tt 3t 5t 3 试确定t的值，使得该生产线的年盈利取得最大值，并求出最大值。(参考数值：7 . 02ln、1 . 13ln 、 6 . 15ln )。 【解析】 （1）由频率分布直方图可知，质量指标值不小于85的产品中， )9085，k的频率为4 . 0508. 0， )9590，
41、k的频率为2 . 0504. 0， 10095，k的频率为1 . 0502. 0， 故利用分层抽样的方法抽取的7件产品中，2 分 )9085，k的有4件，)9590，k的有2件，10095，k的有1件， 从这7件产品中任取3件，质量指标值)9590，k的件数X的所有可能取值为0、1、2， 则 7 2 )0( 3 7 3 5 0 2 C CC XP， 7 4 ) 1( 3 7 2 5 1 2 C CC XP， 7 1 )2( 3 7 1 5 2 2 C CC XP，4 分 X的分布列为： 理科数学试题 第 15页（共 16页）理科数学试题 第 16页（共 16页） 内装订线 此卷只装订不密封 外
42、装订线 X012 P 7 2 7 4 7 1 7 6 7 1 2 7 4 1 7 2 0)(XE；5 分 （2）设“从该产品中抽取一件为合格及以上等级”的概率为p， 则根据频率分布直方图可得7 . 05)02. 004. 0(1p， 则973. 0027. 013 . 01)1 (1)( 333 3 pCAP，7 分 （3）由题意可得该产品的质量指标值k与对应概率如下表所示(41t)： 质量指标值k10090 k9085 k8580 k8075 k7570 k 利润y t e tt 3t 5t 3 P3 . 04 . 015. 01 . 005. 0 故每件产品的利润为： tettttey t
43、t 5 . 13 . 005. 031 . 0515. 034 . 03 . 0)(，9 分 则)5(3 . 05 . 13 . 0 tt eey，令0 y ，则5lnt， 故当)5ln1 ( ，t时0 y ，当)45(ln ，t时0 y ，当5lnt时，y取得最大值， 9 . 06 . 05 . 1)5ln1(5 . 15ln5 . 13 . 0 5ln max ey(元)， 当6 . 15ln t时，每件产品的利润取得最大值，为9 . 0元，11 分 由已知，该生产线的年产量为100万件， 该生产线的年盈利的最大值为901009 . 0(万元)。12 分 22 （10 分）以直角坐标系的原
44、点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，并在两种坐标系中取相 同的长度单位，已知直线l的参数方程为 ty tx 2 1 3 2 3 5 (t为参数)，圆C的坐标方程为) 3 cos(4 。 （1）求直线l和圆C的直角坐标方程； （2）若)(yxP，在圆C上，求yx3的取值范围。 【解析】 （1）由 ty tx 2 1 3 2 3 5 得直线l必过点)35(，倾斜角为 6 5 ， 则直线l的平面直角坐标方程为)5( 3 3 3xy，即023yx，2 分 sin32cos2) 3 cos(4，sin32cos2 2 ， 圆C的平面直角坐标方程为0322 22 yxyx，即4)3() 1( 2
45、2 yx；4 分 （2）圆C的参数方程为 sin23 cos21 y x (为参数)，6 分 则4) 6 sin(44cos2sin323 yx，8 分 又1) 6 sin(1 ，yx3的取值范围为80 ，。10 分 23 （10 分）已知函数| 1| 1|)(axaxxf，Ra。 （1）当1a时，求不等式0)(xf的解集； （2）若存在21 ，x，使得2| )(|xf成立，求实数a的取值范围。 【解析】 （1）当1a时，由0| 1| 1|)(xxxf得| 1| 1|xx，1 分 01212 22 xxxxx，3 分 不等式0)(xf的解集为0|xx；4 分 （2）存在21 ，x，使得2| )(|xf成立，即2| 1| 1|axax成立，5 分 而2| ) 1()1 ( | 1|1 | 1| 1|axaxaxaxaxax，7 分 当且仅当0) 1()1 (axax时等号成立，1 22 xa，即 2 2 1 x a ，8 分 当2x时 4 1 ) 1 ( min 2 x ， 4 1 2 a，解得 2 1 a或 2 1 a，9 分 实数a的取值范围是) 2 1 2 1 (，。10 分
