江苏省七市（南通、扬州、泰州、淮安、徐州、宿迁、连云港）2021届高三第三次调研考试数学试题（word含解析）.zip

数学试卷第 1 页（共 4 页） 高三数学第三次调研参考答案 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。 1 C2 B3 C4 D5 B6 C7 A8B 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部 选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。 9 BC10AC11ABD12BCD 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13 8 13 1423.615716 （第一空 2 分，第二空 3 分）二十，120 340 15 17 （1）设数列 n a的公差为d (0)d，则 74 735Sa，即 4 5a ， 1 分 所以 14 353aadd， 74 353aadd 因为 1 a， 4 1a ， 7 a成等比数列，所以 2 417 (1)aa a， 即 2 4(53 )(53 )dd，解得1d （舍去）或1d ， 3 分 所以1 n an 5 分 （2）因为 1nnn bba ， 所以 21234212nnn Tbbbbbb 1234212nn bbbbbb 1321n aaa 8 分 2 (22 ) 2 nn nn 10 分 18 （1）满足题意的 2 个条件的序号为 1 分 由条件知， 3sin 20 12 ，所以 2 () 12 kkZ， 即 () 6 kkZ因为 0 2 ，所以 6 3 分 由条件知， 5 3sin 23 12 ，所以 5 22 () 122 kk Z， 即 2 () 3 kkZ因为 0 2 ，所以 3 5 分 由条件知， 1 sin 2 ，即 7 2 2 () 66 kkkZ或 因为 0 2 ，所以 6 综上，满足题意的 2 个条件的序号为 7 分 （2）由（1）知， ( )3sin 2 6 f xx ， 所以 2 ( )3sin 26cos 6 g xxx 1cos2 3 sin2 coscos2 sin6 662 x xx 数学试卷第 2 页（共 4 页） 3 33 sin2cos23 22 xx 3sin 23 6 x 10 分 因为 1sin 21 6 x，所以0( )6g x， 所以函数 ( )g x的值域为06， 12 分 19 （1）由题知，的可能取值为 0，1，2，3，43 10H， ， 04 37 4 10 1 0 6 C C P C ， 13 37 4 10 1 1 2 C C P C ， 22 37 4 10 3 2 10 C C P C ， 31 37 4 10 1 3 30 C C P C 4 分 所以的概率分布为： 0123 P 1 6 1 2 3 10 1 30 所以的数学期望 1131 01231.2 621030 E 6 分 另法：因为43 10H， ，数学期望 43 ( )1.2 10 nM E N （2）记“至少有一个零件直径大于 124 mm”为事件 A， 因为1204XN，所以1202， 8 分 所以 10.95451(|2 ) 1240.022 75 22 PX P X ， 所以12410.022750.977 25P X ，10 分 所以 10 10.977 2510.794 40.205 6P A 答：至少有一件零件直径大于 124 mm 的概率为 0.205 612 分 20 （1）因为平面BCD 平面ABD，平面BCD平面ABDBD， BCBD，BC 平面BCD，所以BC 平面ABD 又AD平面ABD，所以BCAD 2 分 因为A是以BD为直径的半圆O上一点，所以ABAD 4 分 又ABBCB，AB，BC 平面ABC， 所以AD 平面ABC 6 分 （2）在平面ABD上，过点O作OyBD， 在平面BCD上，过点O作OzBC， 由（1）知，BC 平面ABD，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz 因为22BDBC， 2ADAB，则 31 (0) 22 A，(1 0 0)B ，(1 0 1)C，( 1 0 0)D ， 所以( 2 01)CD ， 33 (0) 22 DA ， A B D O z y x C 数学试卷第 3 页（共 4 页） 设平面ACD的一个法向量为()x y z， ，m，则 20 33 0 22 CDxz DAxy ， ， m m 取1x ，则3y ，2z ，所以(132)，m 9 分 因为y轴平面BCD，所以平面BCD的一个法向量(0 1 0)，n 10 分 设二面角ACDB的平面角为，为锐角， 则 222 1 (3) 6 coscos 4 1(3)( 2) ， m n m n m n ， 所以二面角ACDB的余弦值为 6 4 12 分 21 （1）依据圆与抛物线的对称性，四边形ABCD是以y轴为对称轴的等腰梯形， 不妨设ABCD，AD，在第一象限， 11 ()A xy， 22 ()D xy， 则 11 ()Bxy， 22 ()Cxy，联立 22 2 5 ()4 2 (0) xy xmym ， ， 消去x得： 29 (5)0 4 ymy( ) 方程( ) 有互异二正根，所以 2 12 12 (5)90 50 9 4 m yym y y ， ， ， 解得02m 1 分 由 15 4 OA OD ，得 1212 15 4 x xy y， 即 1212 15 4 m y yy y， 3 分 由 12 9 4 y y ，得1m 5 分 （2）依据对称性，点G在y轴上，可设(0)Ga， 由 AGAC kk得， 112 112 yayy xxx ，所以 12 112 112 () yyyayy mymyym ， 则 12 3 2 ay y，即 3 (0) 2 G， 8 分 方法一： 12211122 ()()()()() GABGCDABCD SSSSxxyyx ayxya 梯 122121122121 ()()()x yx ya xxmy yyya myy 21121212 () ()323(2)myyy yamyyy ymm10 分 (2) 33 2 mm 当且仅当2mm，即1m 时，S最大值为 312 分 方法二： 1212 33 ()() 222 ABDABG S SSx ymyy 数学试卷第 4 页（共 4 页） 1221211212 333 ()()2 222 my yyymyymyyy y10 分 2333 (53)(1)1 222 mmm ，所以3S 当且仅当1m 时，S最大值为 312 分 22 （1）( )2 sin cos3sin23fxaxxax， 由 3 ( )30 32 fa，知2a ， 2 分 所以( )2sin23fxx令( )0fx， 0 2 x，得 63 x； 令( )0fx， 0 2 x，得 0 6 x或 32 x， 所以( )f x在 63 ，上单调递增，在 0 6 ，和 32 ，上单调递减 4 分 （2）(i)当02a时， 2 ( )2sin3f xxx，设 2 ( )2sin3h xxx 当 0 2 x时，由（1）知 33 ( )( )0 323 h xh 极大 ， 又(0)0h，所以( )0h x ，从而( )0f x 当 2 x时， 3 ( )( )20 2 f xh x 由知，当0 x 时，( )0f x 1 (i )； 6 分 当0 x 时，( )30f xx 2 (i )由 12 (i )(i )得，0 x 时，( )0 xf x 8 分 (ii)当20a时， 方法一： 2 ( )2sin3f xxx，设 2 ( )2sin3g xxx ， 3 ( )2(sin2) 2 g xx 当 0 2 x时，由( )0g x得， 1 6 x ， 2 3 x ， 同理有 33 ( )()0 323 f xg 极小 ， 又 ()()0 23 gg，(0)0g，所以( )0g x ，从而( )0f x 10 分 当 2 x时， 3 ( )20 2 f x 由得，当0 x 时，( )0f x 1 (j )；当0 x 时，显然( )0f x 2 (j ) 由 12 (j )(j )得，0 x 时，( )0 xf x 由(i)(ii)结论获证12 分 方法二：则02a ，则 2 ( )sin3g xaxx ，满足0 x 时，( )0 xg x 又( )yxf x与( )yxg x的图象关于y轴对称，所以0 x 时，( )0 xf x 由(i)(ii)结论获证12 分 高三第三次调研测试高三第三次调研测试 数学数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷 上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。是符合题目要求的。 1.设集合 A=x|log2(x-1)1,B=x|21-x,则 ANB= 1 2 A.(- ,2 B.1,2 C.(1,2 D.(1,3 2. 已知复数 z=+3i,则z|= 2 1 i A.5 B. C. D. 3+ 5172 3.设 a=,b=log43,c=则 1 4 3 1 4 4 A.cba B. acb C.cab D.abc 4.已知点 A(1,1),B(7,5),将向量绕点 A 逆时针旋转得到,则点 C 的坐标为 AB 2 AC A.(5,-5) B.(3,-7) C.(-5,5) D.(-3,7) 5.“角谷猜想”最早流传于美国，不久传到欧洲，后来日本数学家角谷把它带到亚洲。该猜想是 指对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘 3 再加 1;如果它是偶数，则对它除以 2.如此循 环，经过有限步演算，最终都能得到 1.若正整数 n 经过 5 步演算得到 1,则 n 的取值不可能是 A.32 B.16 C.5 D.4 6. 已知双曲线 E: 1(a0,b0)的左、右焦点分别为 F1,F2,点 A 在双曲线 E 的左支上， 22 22 xy ab 且F1AF2=120,AF2=2AF1,则双曲线 E 的离心率为 A. B. C. D.7 357 7.在数 1 和 3 之间插入 n 个实数，使得这 n+2 个数构成等差数列，将这 n+2 个数的和记为 bn, 则数列的前 78 项的和为 1 3 log n n b b A.3 B. log378 C.5 D. log38 8. 已知函数 f(x)=21nx-x2ex+1,若存在 x.0,使 f(x0)ax0,则 a 的最大值为 A.0 B.-1 C. 1-e D.1-e2 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分。分。 9.在 ABC 中，M 是 BC 的中点若=a, =b,则|= AB AC AM A. B. 1 | 2 ab 1 | 2 ab C. D. 222 1 2()() 2 abab 22 1 2 ab 10.在的展开式中，下列说法正确的是 6 2 1 2x x A.各项系数和为 1 B.第 2 项的二项式系数为 15 C.含 x 的项的系数为160 D.不存在常数项 11.2021 年 3 月 30 日，小米正式开始启用具备“超椭圆”数学之美的新 logo.设计师的灵感来源 于曲线 C;|x|n+|y| n1.则下列说法正确的是 A.曲线 C 关于原点成中心对称 B.当 n=-2 时，曲线 C 上的点到原点的距离的最小值为 2 C.当 n0 时，曲线 C 所围成图形的面积的最小值为 D.当 n0 时，曲线 C 所围成图形的面积小于 4 12.已知菱形 ABCD 的边长为 2, ABC=,将 DAC 沿着对角线 AC 折起至 DAC, 3 连结 BD.设二面角 D-AC-B 的大小为 ,则下列说法正确的是 A.若四面体 DABC 为正四面体，则 =3 B.四面体 DABC 的体积最大值为 1 C.四面体 DABC 的表面积最大值为 2(+2) 3 D.当 =时，四面体 DABC 的外接球的半径为 2 3 21 3 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13.在 ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a=4,b=6,cosB=,则 sin A= . 5 13 14.为了解某小区居民的家庭年收入 x(万元）与年支出 y(万元）的关系，随机调查了该小区的 10 户家庭，根据调查数据的散点图可以看出 y 与 x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程 为,已知=20, =16, =0.76.若该小区某家庭的年收入为 30 万元，则据此估计，该家 x y 庭的年支出为 万元 15.已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(1+x)=f(1-x),当 x0,1时，f(x)=x2,则直线 y=x 与函数 1 5 y=f(x)的图象的交点的个数为 . 16.若矩形 ABCD 满足，则称这样的矩形为黄金矩形，现有如图 1 所示的黄金矩形 5-1 = 2 AD AB 卡片 ABCD,已知 AD=2x,AB=2y,E 是 CD 的中点，EFCD,FGEF,且 EF=FG=x,沿 EF,FG 剪开， 用 3 张这样剪开的卡片，两两垂直地交叉拼接，得到如图 2 所示的几何模型，若连结这个几何 模型的各个顶点，便得到一个正 面体；若 y=2,则该正多面体的表面积为 . （本题第一空 2 分，第二空 3 分） 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17(10 分) 设各项均为正数的等差数列an的前 n 项和为 Sn，S735，且 a1，a41，a7成等比数列 (1)求数列an的通项公式； (2)数列bn满足 bnbn1an，求数列bn的前 2n 项的和 T2n 18(12 分) 已知函数同时满足下列 3 个条件中的 2 个3 个条件依次 ( )3sin(2)(0) 2 f xx 是：f(x)的图象关于点对称；当 x=时，f(x)取得最大值；0 是函数 (f(,12)，0) 5 12 的一个零点 3 ( ) 2 yf x (1)试写出满足题意的 2 个条件的序号，并说明理由； (2)求函数的值域 2 ( )( )6cosg xf xx 19(12 分) 面对新一轮科技和产业革命带来的创新机遇，某企业对现有机床进行更新换代，购进一批新机 床设机床生产的零件的直径为 X(单位：mm) (1)现有旧机床生产的零件 10 个，其中直径大于 124mm 的有 3 个若从中随机抽取 4 个，记 表示取出的零件中直径大于 124mm 的零件的个数，求 的概率分布及数学期望 E()； (2)若新机床生产的零件直径 XN(120，4)，从生产的零件中随机取出 10 个，求至少有一个零 件直径大于 124mm 的概率 参考数据：若 XN(，2)，则 P(|X|)0.6827，P(|X|2)0.9545，P(|X|3) 0.9974，0.97725100.7944，0.9545100.6277 20(12 分) 如图，A 是以 BD 为直径的半圆 O 上一点，平面 BCD平面 ABD，BCBD (1)求证：AD平面 ABC； (2)若 BD2BC2，2，求二面角 ACDB 的余弦值 ADAB 21(12 分) 已知圆 M：x2+(y -)2=4 与抛物线 E：x2=my(m0)相交于点 A，B，C，D，且在四边形 ABCD 5 2 中，AB/CD (1)若，求实数 m 的值； OAOD15 4 (2)设 AC 与 BD 相交于点 G，GAD 与GBC 组成蝶形的面积为 S，求点 G 的坐标及 S 的最 大值 22(12 分) 已知函数 2 ( )sin3 .f xaxx (1)若是 f(x)的一个极值点，试讨论 f(x)在区间上的单调性； 3 x (0，f(,2) (2)设2a2，证明：当 x0 时，xf(x)0