1、2021 年高考年高考 五 月 信 息 专 递 数数 学学 咸阳市高中学科研究中心数学专家组 2021 年 5 月 13 日 1 信息传递信息传递 依据教育部考试中心发布的信息， 2021 年全国数学卷结构和考试内容， 可沿用 2019 版 考 试大纲。我们确信，今年的试题在做好过渡的前提下，将承载着数学核心素养的考题展示和 新高考评价体系的信息渗透，既有联系数学学科本质, 又会立足基础进一步创新设计试题，考 题既会有利于中学数学教学，又有利于大学不同层次人才的选拔。 往年全国真题背景 1根植教材内容。教材是高考试题的生长点。例如：复数；集合；向量；线性规划；分 段函数；排列组合（理）；二项式
2、定理（理）；数列；三角；统计概率；立几；解几；函数性 质。2020 年 II 卷第 1 题、第 2 题、第 5 题、第 8 题、第 13 题、第 14 题显然是教材题目的“迁 移”。 2彰显数学文化。数学文化是高考试题的载体。例如：2020 年 I 卷第 3 题涉及金字塔的 立几计算、 2020 年 II 卷第 4 题涉及北京天坛的数列运算； 2020 年 III 卷第 4 题涉及 Logistic 模型的应用; 2020 年 II 卷理科第 12 题涉及周期数列相关通讯技术；2020 年 II 卷第 18 题涉 及沙漠治理与野生动物的数量。 意让考生感悟数学之美， 关注人文艺术、 科技创新、
3、 社会生活、 数学游戏。 3变式往年真题。历年高考优秀试题是改编新考题有效素材。例如：2020 年 I 卷理科第 5 题和和 2015 年 I 卷理科第 15 题第一问基本一致。 2020 年 I 卷理科第 12 题和和 2012 年浙江 卷第 9 题类似。2020 年 I 卷文科第 16 题和完全雷同于 2013 年 I 卷理科第 16 题。2020 年 II 卷理科第 21 题是 2018 年 I 卷理科第 16 题的变式与深化。 4改造经典竞赛。竞赛题是改编新考题有效素材。例如：2020 年 II 卷理科第 11 题、文 科第 12 题是 2012 年希望杯赛题改编。2020 年 II
4、卷理科第 21 题是 1973 年国外竞赛，也见国 内某竞赛教程题的改造。 2 5依托高数背景。例如：依据最经典的不等式：1,ln1 x exxx或设计的高考真题, 随处可见 2013 年全国 II 卷理科第 21 题，2017、2018 年全国 II 卷理科第 21 题，2020 年全国 I 卷理科第 21 题，2020 年全国新课程山东卷第 22 题。 2021 年高考数学命题猜想 猜想 1：今年全国卷中各知识板块的难度与题序会有回归，命题者很可能会根据课改等 情况做一些适当调整和创新。 主干知识依然支撑着整个试卷， 常规题型仍会是数学试卷的主流， 考查的仍将是现行高中数学教材中最基本的数
5、学知识和最重要数学思想方法。 猜想 2：关注社会与生活中的“精准扶贫”、“建党百年”、“乡村振兴”；关注科技与 创新中的“通讯技术”、“密码设计”；关注人文艺术中的数学；关注数学名题中育人功能。 猜想 3：在选择题和填空题的命制中，集合、复数、三角求值、统计概率、充要条件、古 典概率（排列组合）体积表面积（三视图）、程序框图（不等式）、平面向量、数列计算、直 线与圆（双曲线）、线性规划（回归方程）、函数性质、导数应用、二项式定理、立几中的线 面关系、命题等依然是高频考点，既会以单一知识点的考查为主，又有多于两个知识点的综合 考查。多选多填题是命题设计的新动向。 猜想 4： 在解答题的命制中，
6、三角函数图像与性质的考查， 三角与实际应用性问题的联系； 等差和等比数列的通项和前 n 项和； 立体几何增加平几知识考查力度，强化空间直观想像； 解析几何题联系曲线定义，综合平几的基础知识。求曲线方程，研究曲线特性；统计概率考查 社会热点； 函数不等式导数综合题的难度较大， 解题思维灵活， 极值点和零点是考试热门话题。 猜想 5：应用性、探究性、开放性试题将会是命题设计的新“亮点”。“任意、存在、唯 一”仍然是命题设计的关键词。代数运算、几何直观、逻辑推理将会在试题考查中得到充分体 现。 3 20202121 年高考数学年高考数学命题风向标命题风向标 真题：回归本质是常态 ,平稳过度是关键 题
7、源：植根于课标和核心素养、生长于教材、仿真于往年全国真题模版。 难度：在稳定与变革的前提下，较去年难度可能有所调整。 关注：高数背景、新高考评价体系、数学文化、数学应用的深度考查。 创新：把知识考查降低到极小，把思维考查发挥到极大。 题型：能力立意是常态题型：能力立意是常态 选择题：基础，控制计算量，关注开放性试题； 填空题：基本，稳定中渐变，可能有 1 道情景型题； 解答题：常规，突显数学本质，一般有 2 道选拔型题。 20202121 年高考数学年高考数学备考备考解题策略解题策略 应试：科学做题是常态：稳、准、快。 提醒：查漏补缺是常态：读、改、悟。 选择题：对照选支，不择手段；该算不算，
8、巧判过关。 填空题：从定义、概念出发，浅层次挖掘，寻找联系。 解答题：模式识别、差异分析、寻找转化，规范书写。 解题就是找关系：数量关系、图形关系、随机关系。 解题五字操作法：建（坐标系）， 设（点坐标、方程、角度、参数）， 列（关系式、方程、函数、不等式、数列）, 解（方程、不等式、函数最值）， 验（反思、检验）。 4 模题模题传递传递 理性思维（数学抽象理性思维（数学抽象 逻辑推理）逻辑推理） 题目题目 11 某班数学课代表给全班同学们出了一道证明题甲和丁均说自己不会证明；乙说： 丙会证明；丙说：丁会证明已知四名同学中只有一人会证明此题，且只有一人说了真话据 此可以判定证明此题的人是（）
9、A甲B乙C丙D丁 题目题目 22 在平面直角坐标系中，点 00 ,xy 到直线 0AxByC 的距离 00 22 AxByC d AB ，类比可 得在空间直角坐标系中，点 2,3,4到平面2240 xyz 的距离为（） A4B5C 16 3 D 20 3 题目题目 33 已知函数 2 ( )|()f xxaaR，则( )yf x的大致图象不可能为() AB CD 题目题目 44设x表示不小于实数x的最小整数， 执行如图所示的程 序框图，则输出的结果是（） A14B15 C16D17 题目题目 55设函数( )(1) x f xxea x， 其中1a ， 若存在唯一整数 0 x， 使得 0 ()
10、f xa，则a的取值范围是() A 2 1 e ，1)B 2 1 e ， 1) e 5 C 2 1 e， 1) e D 2 1 e，1) 题目题目 66（理科）若aA且1aA ，1aA ，则称a为集合A的孤立元素.那么，集合 1,2,3,4,5,6,7,8,9M 的无孤立元素的 4 元子集有_个. 题目题目 77 已知函数( )f x对xR均有( )2 ()6f xfxmx，若( )f x lnx 恒成立，则实数m的取 值范围是 题目题目 88 已知函数 1 ( )ln,f xmxn x 其中,.m nR （1）若(1)0,f试判断函数( )f x的单调性； （2）若,0,a b 求证： 11
11、 ln1. 2222 ba ab 题目题目 99（理科）（理科）已知函数 2 ( )6exf xxxa，e 是自然对数的底数. （1）若曲线( )yf x在(0,(0)f处的切线与直线50 xy平行，求( )f x的单调区间； （2）当11a 时，若 12 ( )(1) 2 fxfx fmm ，且 12 xx，证明： 12 2 xx m . 数学应用（数学建模数学应用（数学建模 数学运算数学运算 数据分析）数据分析） 题目题目 11接种疫苗是预防和控制传染病最经济、有效的公共卫生干预措施根据实验数据， 人在接种某种病毒疫苗后，有80%不会感染这种病毒，若有 4 人接种了这种疫苗，则最多 1 人
12、 被感染的概率为() A 512 625 B 256 625 C 113 625 D 1 625 题目题目 22 某产品的宣传费用x(单位：万元)与销售额y(单位：万元)的统计数据如表所示： x45678 y608090100120 根据上表可得回归方程14x a ，则宣传费用为 9 万元时，销售额最接近 A123 万元B128 万元C133 万元D138 万元 题目题目 33香农定理是所有通信制式最基本的原理，它可以用香农公式CBlog2(1S N)来表示， 6 其中C是信道支持的最大速度或者叫信道容量，B是信道的带宽(Hz)，S是平均信号功率(W)， N是平均噪声功率(W)已知平均信号功率
13、为 1000W，平均噪声功率为 10W，在不改变平均信号 功率和信道带宽的前提下，要使信道容量增大到原来的 2 倍，则平均噪声功率约降为() A0.1WB1.0WC3.2WD5.0W 题目题目 44 我们打印用的A4 纸的长与宽的比约为 2， 之所以是这个比值， 是因为把纸张对折，得到的新纸的长与宽之比仍约为 2，纸张的形状不 变已知圆柱的母线长小于底面圆的直径长（如图所示），它的轴截面 ABCD为一张A4纸， 若点E为上底面圆上弧AB的中点， 则异面直线DE与AB所成的角约为 （） A 6 B 4 C 3 D 2 3 题目题目 55（理科理科）某城镇为改善当地生态环境，2016 年初投入资金
14、 120 万元，以后每年投入资 金比上一年增加 10 万元，从 2020 年初开始每年投入资金比上一年增加 10%，到 2025 年底该城镇生态环境建设共投资大约为() A.1600 万元B.1660 万元C.1700 万元D.1810 万元 题目题目 66如图，有一种变压器，铁芯的截面是正十字形（阴影部分，其中 矩形 ABCD 绕其对称中心按顺时针方向旋转 90 0后与矩形 EFGH 重合），已知 AB=2，正十字形有 一个外接圆，从外接圆内部随机取一点，此点取自正十字形的概率为 2( 51) ，则 tanACD= （） A .5 1B . 2 3 2C . 5+1 2 D. 3+1 2 题
15、目题目 77 2020 年是全面实现小康社会目标的一年，也是全面打赢脱贫攻坚战的一年，某研究 性学习小组调查了某脱贫县的甲、乙两个家庭，对他们过去 6 年(2014年到 2019 年） 的家庭收入情况分别进行统计， 得到这两 个家庭的年人均纯收入（单位：百元/人）茎叶图对甲、乙两 个家庭的年人均纯收入（以下分别简称“甲”“乙”)情况的判断，不正确的是() A过去的 6 年，“甲”的极差小于“乙”的极差 B过去的 6 年，“甲”的平均值小于“乙”的平均值 C过去的 6 年，“甲”的中位数小于“乙”的中位数 7 D过去的 6 年，“甲”的平均增长率小于“乙”的平均增长率 题目题目 88 已知圆内接
16、四边形ABCD的边长22BCAB，7CDDA，则AC ，四边形 ABCD的面积为 题目题目 99在ABC中，30A ， 2 23AB ACBC ，则ABC的最大角的余弦值为_. 题目题目 1010 （理科理科）为了更好地刺激经济复苏，增加就业岗位，多地政府出台支持“地摊经济” 的举措某市城管委对所在城市约 6000 个流动商贩进行调查统计，发现所售商品多为小吃、 衣帽、玩具、饰品、果蔬等，各类商贩所占比例如图 （1）该市城管委为了更好地服务百姓，打算从流动商贩中随机抽取 100 家进行政策问 询如果按照分层抽样的方式抽取，请问果蔬类、小吃类商贩各抽取多少家？ （2） 为了更好的了解商贩的收入情
17、况，工作人员对某果蔬商贩最近 50 天的日收入进行了 统计（单位：元），所得频率分布直方图如图所示： （） 请根据频率分布直方图估计该果蔬商贩的日平均收入（同一组中的数据用该组区间 的中间值代替）； （）若从该果蔬商贩这 50 天中日收入不低于 250 元的天数中随机抽取 2 天，求这 2 天 的日收入至少有一天不低于 300 元的概率 题目题目 1111 （文科文科）人类已经进入大数据时代目前，数据量级已经从(11024)TB TBGB级 别跃升到(11024)PB PBTB，(11024)EB EBPB乃至(11024)ZB ZBEB级别国际数据公司()IDC研 究结果表明， 2008 年
18、全球产生的数据量为0.49ZB， 2009 年数据量为0.8ZB， 2010 年增长到1.2ZB， 2011 年数据量更是高达1.82ZB如表是国际数据公司()IDC研究的全球近 6 年每年产生的数据 量（单位：)ZB及相关统计量的值： 8 年份201420152016201720182019 序号x123456 年数据量y 6.68.616.121.633.041.0 xyz 6 2 1 () i i xx 6 2 1 () i i zz 6 1 ()() ii i xxyy 6 1 ()() ii i xxzz 3.521.152.8517.513.82125.356.73 表中 ii z
19、lny， 6 1 1 6 i i zz （1）根据上表数据信息判断，方程 2 1 ( c x yc ee是自然对数的底数）更适宜作为该公司统 计的年数据量y关于年份序号x的回归方程类型，试求此回归方程( ,0.01)c （2）有人预计 2021 年全世界产生的数据规模将超过 2011 年的 50 倍根据（1）中的回 归方程，说明这种判断是否准确，并说明理由 参考数据： 4.56 95.58e， 4.58 97.51e，回归方程 yabx中，斜率最小二乘法公式为 11 222 11 ()() () nn iiii ii nn ii ii xxyyx ynxy b xxxnx ， a ybx 数学
20、探索（数学抽象数学探索（数学抽象 逻辑推理逻辑推理 直观想象直观想象 数学运算数学运算 数据分析）数据分析） 题目题目 11 写出一个值域为1,3的周期函数,这样的函数可以是( )f x _. 9 题题目目22 已知双曲线C 与双曲线 22 1 94 xy 有共同的渐进线,则双曲线C 的离心率是_. 题目题目 33写出一个关于a与b的等式，使 22 19 ab 是一个变量，且它的最小值为 16，则该等式 为 题目题目 44 已知数列 n a满足 1 1, 1 2 n n n an a an 是奇数 是偶数 * ,nN若 2a103，则a1的取值范围 是（） A1a110B1a117C2a13D
21、2a16 题目题目 55如图，已知 1 F， 2 F分别为双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左、右焦点，过 1 F的直线 与双曲线C的左支交于A、B两点，连接 2 AF， 2 BF，在 2 ABF中， 2 ABBF， 2 31 cos 32 ABF，则双曲线的离心率为() A2B2C3D 3 2 2 题目题目 66 （理科）（理科）如图，在三棱柱 111 ABCA B C 中，四边形 11 AA C C是边长为4的正方形， 3AB 再从条件、条件、条件中选择两个能解决下面问题 的条件作为已知，并作答 （1）求证：AB 平面 11 AA C C； （2）求直线BC与平面
22、11 A BC所成角的正弦值 条件：5BC ； 条件： 1 ABAA； 条件：平面ABC 平面 11 AA C C 题目题目 77（文科）（文科） 如图， 1111 ABCDABC D是棱长为 1 的正方体 （1）求证：平面 1 ABD 平面 11 A ACC； （2） 点P是棱 1 AA上一动点， 过点P作平面平行底面ABCD，AP 为多长时，正方体 1111 ABCDABC D在平面下方的部分被平面 1 ABD 10 截得的两部分的体积比是1:3 题目题目 88 已知 1 F， 2 F分别为椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左、右焦点，M为C上的动点，其 中M到 1 F的
23、最短距离为 1，且当 12 MFF的面积最大时， 12 MFF恰好为等边三角形. （1）求椭圆C的标准方程； （2）斜率为k的动直线l过点 2 F，且与椭圆C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴 于点P，那么， 2 | PF AB 是否为定值？若是，请证明你的结论；若不是，请说明理由. 题目题目 99已知双曲线 C： 22 22 10,0 yx ab ab 的离心率为2,且经过 A(0，2). （1）求双曲线 C 的方程； （2）若过点 B(2，0)的直线交双曲线 C 于x轴下方不同的两点 P、Q，设 P、Q 中点为 M， 求三角形 BOM 面积的取值范围. 题目题目 1010已知圆 2
24、2 17xy与抛物线 2 :2(0)C ypx p在x轴下方的交点为A，与抛物线C的准 线在x轴上方的交点B，且点,A B关于直线yx对称. （1）求抛物线C的方程； （2）若,M N是抛物线C上与点A不重合的两个动点，且AMAN，求点A到直线MN的距 离最大时，直线MN的方程. 数学文化（数学抽象数学文化（数学抽象 逻辑推理逻辑推理 数学建模数学建模) ) 题目题目 11 黄金分割点是指将一条线段分为两部分， 使得较长部分 与整体线段的长的比值为 51 2 的点.利用线段上的两个黄金分割 点可以作出正五角星，如图所示，已知C，D为AB的两个黄金分割 点，研究发现如下规律： 51 2 ACBD
25、CD ABABBC .若CDE是顶角 为36的等腰三角形，则cos 216() A. 51 4 B. 51 4 C. 51 2 D. 51 2 题目题目 22 我国古代数学著作九章算术中记载问题：“今有垣厚八尺，两鼠对穿，大鼠 11 日一尺，小鼠日半尺，大鼠日增倍，小鼠日自半，问几何日相逢?”，意思是“今有土墙厚 8 尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞 长度比前一天多一倍，小鼠之后每天打洞长度是前一天的一半，问两鼠几天打通相逢?”两鼠 相逢需要的最少天数为（） A3B4C5D6 题目题目 33 欧拉恒等式：10 i e 被数学家们惊叹为“上帝创造
26、的等式”该等式将数学中几 个重要的数：自然对数的底数e、圆周率、虚数单位i、自然数 1 和 0 完美地结合在一起， 它是在欧拉公式：cossin () i eiR 中，令得到的根据欧拉公式， 2i e在复平面内对 应的点在() A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限 题目题目 44 五声音阶是中国古乐的基本音阶，故有成语“五音不全”，中国古乐中的五声音阶 依次为：宫、商、角、徵、羽.如果从这五个音阶中任取两个音阶，排成一个两个音阶的音序， 则这个音序中宫和羽至少有一个的概率为() A. 1 2 B. 7 10 C. 9 20 D. 11 20 题目题目 55 史记卷六十五孙子吴起列传第五中有
27、这样一道题：齐王与田忌赛马，田忌 的上等马劣于齐王的上等马，优于齐王的中等马，田忌的中等马劣于齐王的中等马，优于齐王 的下等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现两人进行赛马比赛，比赛规则为：每匹马只能 用一次，每场比赛双方各出一匹马，共比赛三场每场比赛中胜者得 1 分，否则得 0 分若每 场比赛之前彼此都不知道对方所用之马，则比赛结束时，田忌得 2 分的概率() A 1 3 B 2 3 C 1 6 D 1 2 题目题目 66 分形几何学是数学家伯努瓦曼德尔布罗在 20 世纪 70 年代创立的一门新的数学学 科，分形几何学不仅让人们感悟到数学与艺术审美的统一，而且还有其深刻的科学方法论意 义按照
28、如图甲所示的分形规律可得如图乙所示的一个树形图： 12 记图乙中第n个白圈的个数为an，黑圈的个数为bn，则下列结论中不正确的是（） Aa414B40 是数列bn中的项 C对任意的nN N *，均有 an1anbnnD?9 10N N 13 参考答案参考答案 理性思维（数学抽象理性思维（数学抽象 逻辑推理）逻辑推理） 题目题目 11 A. 由题意，若甲说的是真话，则甲不会证明，乙会证明，丙不会证明，丁不会证明，此时与 丁说的话矛盾；若乙说的是真话，则丙会证明，甲和丁均会证明，此时与题意矛盾；若丙 说的是真话，则丁会证明，甲和丁均会证明，此时与题意矛盾；若丁说的是真话，则丁不会 证明，甲会证明，
29、丙不会证明，满足题意；故答案选 A. 注：注：或从甲和丁有一人说了真话考虑也可以推断出甲会证明. 题目题目 22 A. 类比可得:在空间直角坐标系中，点 000 ,xy z到平面0AxByCzD的距离为 000 222 AxByCzD d ABC ， 有 222 1 22 32 4412 4. 3 122 d 题目题目 33 C.C. 当0a 时，( ) |f xx，则A符合，C不符合； 当0a 时， 222 ( ) |fxxay， 若x2a，即 x ? 或 x ? 时，则 22 yxa，即 22 xya，则其图象为双曲线在x轴上 方的部分， 若 2 xa，即axa 时，则 22 yxa ，即
30、 22 xya，则其图象为圆在x轴上方的部分， 故B符合； 当0a 时， 222 ( )fxxay，即 22 yxa ，其图象表示为双曲线的上支，故D符合 题目题目 44A.A. 模拟程序框图的运行过程，如下: i1，S0+log210， i2，S0+log221， 14 i3，S1+log233， i4，S3+log245， i5，S5+log258， i6，S8+log2611， i7，S11+log2714， i8，终止循环，输出S14故选A 题目题目 55 C.C. 函数( )(1) x f xxea x，其中1a ，设( ) x g xxe，yax， 存在唯一的整数 0 x，使得 0
31、 ()f xa， 存在唯一的整数 0 x，使得 0 ()g x在直线yax的下方， ( )(1) x g xxe， 当1x 时，( )0g x，当1x 时，( )0g x， ( )g x在(, 1) 上单调递减，在( 1,) 上单调递增， 当1x 时， 1 ( )( 1) min g xg e 当0 x 时，(0)0g，当2x 时， 2 2 ( 2)g e ， 直线yax恒过(0,0)，斜率为a， 故 1 ( 1)ag e ，且 g（2）-2a， 解得 1 ?2a 1 ? ， a的取值范围是 2 1 e， 1) e 故选C 题目题目 66 21.21. （）4 个元素均相邻，由枚举法可得，有
32、6 个符合题意的集合. （）4 个元素中 2 个元素相邻，另 2 个元素也相邻，但 4 个元素不相邻，由枚举法可得， 有 15 个符合题意的集合. 综上，集合M共有无孤立元素的 4 元子集 21 个. 题目题目 77(， e. . 15 函数( )f x对xR均有( )2 ()6f xfxmx， 将x换为x，得()2 ( )6fxf xmx ， 由，解得( )2f xmx ( )f x lnx 恒成立，m 2+lnx x 恒成立， 只需 m ( 2+lnx x )min， 令 2 ( ) lnx g x x ，则 2 1 ( ) lnx g x x ， 令( )0g x，则 1 x e ， (
33、 )g x在 1 (0, ) e 上单调递减，在 1 (e，)上单调递增， 1 ( )( ) min g xge e ，me， m的取值范围为(， e 题目题目 88 （1）因为(1)0,f所以1.n 则 1 ( )ln10 .f xmxx x 求导，得 / 22 11 ( ). mmx fx xxx 当0m 时， / 2 1 ( )0, mx fx x 函数( )f x在(0,)上是递减函数； 当0m 时，若 /( ) 0,fx 函数( )f x在 1 (0,) m 上是递减函数；若 /( ) 0,fx 函数( )f x在 1 (,) m 上是递增函数. (2) 特别取1,m 得 1 ( )
34、ln1,f xx x 由（1）知( )(1)0,f xf 即 1 ln1.x x 则有 11 ln1, 1 22 22 b b a a 于是，要证 11 ln1, 2222 ba ab 16 只要证 11 11, 1 22 22 a b b a 等价于 11 1. 2222 ab ba 事实上，应用基本不等式，得 11111111 21. 22222424 ab abab baabab 获证. 题目题目 99（1） 2 ( )6exf xxxa， 2 ( )46 exfxxxa， 则(0)65,1faa ， 2 ( )45 e(1)(5)e xx fxxxxx. 令( )0fx，得1x 或5x
35、 ； 令( )0fx，得15x ， ( )f x的单调递增区间为(, 1),(5,)，单调递减区间为( 1,5). （2） 22 ( )611 e ,( )45 e xx f xxxfxxx. 令 2 ( )45 exg xxx，则 2 ( )(1) e0 x g xx且不恒为 0， ( )g x在 R R 上为增函数，即( )fx在 R R 上为增函数. 12 ( )(1) 2 fxfx fmm ， 12 ( )( )fxf mf mfx， 1 ( )fxfm与 2 ( )f mfx同号. 不妨设 12 xmx，设( )(2)( )2( )(1)h xfmxfxfmmx， 则 222 ( )
36、e(21)e (1) m xx h xmxx . 222 ee ,(21)(1)(22)(22 )0 m xx mxxmmx ， ( )0,( )h xh x在( ,)m上为增函数，( )( )0h xh m， 17 222 22( )0h xfmxfxfm， 221 22( )fmxfmfxfx. 又( )fx在 R R 上为增函数， 21 2mxx，即 12 2 xx m . 数学应用（数学建模数学应用（数学建模 数学运算数学运算 数据分析）数据分析） 题目题目 11 A. 由 题 意 可得随机变量服从二项分布(4,0.2)BN，则最多 1 人被感染的概 率 为 130 44 (10.8)
37、(0.8)0.8CC 4 512 625 ，故选A 题目题目 22 C. 由题意，x45678 5 6，y608090100120 5 90，则由回归直线过中 心点(x，y)，可得 a y14x901466，即回归方程为14x6，所以当x9 时， 1496132(万元)，与 133 万元最接近，故选 C. 题目题目 33A. 由题意可得S1000W，N10W，则在信道容量未增大时，信道容量为C1Blog2(1S N) Blog2101，信道容量增大到原来的 2 倍时，C2Blog2(11000 N )2C1，则 log2101 2log 2(1 1000 N )，即 11000 N 101 2
38、，解得 N0.1 W，故答案选 A. 题目题目 44 C. AB/CD，EDC（或补角）为异面直线DE与AB所成的角， 设CD的中点为O，过E作EF底面O，连接OE，OF， E是 AB的中点，F是CD的中点，CDOF， 又EF平面O，EFCD，EFOFF CD平面OEF，ODOE 设AD1，则CD 2 ，故OF 2 2 ，EF1， 18 于是OE 22 26 1() 22 ， tanEDO 6 2 3 2 2 OE OD ，EDO 3 故选 C 题目题目 55 D. 题目题目 66 C. 题目题目 77 B. 对于A，甲的极差为42366，乙的极差为41347， 所以“甲”的极差小于“乙”的极
39、差，A正确； 对于B，甲的平均数是 1230 (363737384042) 66 ， 乙的平均数为 1228 (343638394041) 66 ， 所以“甲”的平均值大于“乙”的平均值，B错误； 对于C，甲的中位数是 1 (3738)37.5 2 ， 乙的中位数是 1 (3839)38.5 2 ， 所以，“甲”的中位数小于“乙”的中位数，C正确； 对于D，过去 6 年甲的平均增长率为：6 42 1 36 ； 乙的平均增长率为：6 41 1 34 ，且 4241 3634 ， 所以“甲”的平均增长率小于“乙”的平均增长率，D正确故选B 题目题目 887， 9 3 4 由于180BD，则cosc
40、osBD ， 由题设及余弦定理得， 在ABC中， 222 2cos54cosACABBCAB BCBB， 在ACD中， 222 2cos1414cosACADDCAD DCDB， 由得 1 cos 2 B ，故120B ，60D ， 则7AC 19 由于180BD， 3 sinsin 2 BD， 由以上的结果及题设，可知四边形ABCD的面积 11139 3 sinsin(1 277) 22224 ABCACD SSSAB BCBAD CDD 题目题目 99 1 2 设角, ,A B C的对边分别为, ,a b c. 因为 2 23AB ACBC ，所以 2222 3cbaa，即 222 4bc
41、a. 因为 222 3abcbc，所以3bc，ac. 所以 222 1 cos 22 acb B ac . 题目题目 1010 （1）由扇形统计图可知，果蔬类商贩所占比例为15%，故果蔬类商贩抽取 15%10015家， 小吃类商贩所占比例为125%15%10%5%5%40%，故小吃类商贩抽取40% 10040家； （2）( ) i估计该果蔬商贩的日平均收入为： (0.002750.0056 1250.0064 1750.0042250.00122750.0008 325)50173元； ( )ii日收入不低于 250 元的天数为(0.00120.0008)50505天， 日收入不低于 300
42、元的天数为0.000850502天， 所以，这 2 天的日收入至少有一天不低于 300 元的概率为 112 232 2 5 7 10 C CC C 题目题目 1111 （1）因为 2 1 c x yce，可得 21 lnyc xlnc，即 21 zc xlnc， 所以 6 1 2 6 2 1 ()() 6.73 0.38 17.5 () ii i i i xxzx c xx ， 又因为 21 zc xlnc，所以 1 0.383.82.85lnc，所以 1 1.52lnc ， 所以0.381.52lnyx，即 0.381.52x ye 为所求的回归方程； （2）根据（1）的回归方程为 0.38
43、1.52x ye ， 20 当8x 时， 0.38 8 1.52 95.58ye ，又 95.58 52.52 1.82 ， 据此可以判断 2021 年全世界产生的数据规模将超过 2011 年的 50 倍， 因此，这种判断是准确的 数学探索（数学抽象数学探索（数学抽象 逻辑推理逻辑推理 直观想象直观想象 数学运算数学运算 数据分析）数据分析） 题目题目 112sinxxR(答案不唯一) 题目题目 22 13 3 或 13 . 2 题目题目 33 22 1ab. 该等式为 22 1ab，下面证明该等式符合条件 2222 22 22222222 191999 ()()1910216 abab ab
44、 ababbaba ， 当且仅当 22 3ba时取等号， 所以 22 19 ab 是一个变量，且它的最小值为 16 题目题目 44 B. 题目题目 55D. 设 2 |AFm，由双曲线的定义可得 1 |2AFma， 由 2 | |ABBF，可得 21 2| 2maBFBFa，即有4ma， 因为 2 ABF为等腰三角形， 所以 2 2121212 31 coscos(2)cos212cos 32 ABFF AFF AFF AF ， 解得 12 1 cos 8 F AF， 在 12 F AF中， 222222 1212 12 12 |(2 )(4 )(2 )1 cos 2| |2248 AFAFF
45、Faac F AF AFAFaa ， 化为 3 2 2 ca，即有 3 2 2 c e a 故选D 题目题目 66 选择： （1）因为4AC ，3AB ，5BC ， 所以ABAC 21 又因为 1 ABAA， 1 ACAAA， 所以AB 平面 11 .AAC C （2）由（）知ABAC， 1 ABAA 因为四边形 11 AAC C是正方形，所以 1 ACAA 如图，以A为原点建立空间直角坐标系Axyz， 则(0,0,0)A，(3,0,0)B，(0,0,4)C， 1(0,4,0) A， 1(0,4,4) C， 1 (3, 4,0)A B ， 11 (0,0,4)AC ，( 3,0,4)BC 设平
46、面 11 A BC的一个法向量为( , , )x y zn， 则 1 11 0, 0, AB AC n n 即 340, 40. xy z 令3y ，则4x ，0z ，所以(4,3,0)n 设直线BC与平面 11 A BC所成角为， 则 |12 sin|cos,| 25| BC BC BC n n n 所以直线BC与平面 11 A BC所成角的正弦值为 12 25 选择： （1）因为4AC ，3AB ，5BC , 所以ABAC 又因为平面ABC 平面 11 AAC C，平面ABC 平面 11 AAC CAC， 所以AB 平面 11 AAC C （2）同上 题目题目 77 （1） 1 AA 平面
47、ABCD，则 1 AABD， 又底面ABCD是正方形，对角线ACBD， 又 1 AAACA ，BD平面 11 A ACC， 而BD 平面 1 ABD，平面 1 ABD 平面 11 A ACC； 22 （2）设平面与 1 A B， 1 AD， 1 B B， 1 D D， 1 C C分别交于E，F，M，N，Q， 设 1 APx，则1APx ，PEPFx， 由题意，正方体 1111 ABCDABC D在平面下方的部分被平面 1 ABD截得的两部分的体积比是1:3， :1:4 PEFABDPMQNABCD VV ，得 3 11 1 66 14 x x ， 解得 1 13 2 x 或 2 13 2 x
48、（舍) 1333 11 22 APx 题目题目 88 （1）由题意，当点M在椭圆的左顶点时，M到 1 F的距离最短，则1ac， 当点M在椭圆的上顶点（或下顶点）时， 12 MFF 的面积最大，此时 12 MFF 为等边三角形， 则2ac， 联立 222 1 2 ac ac abc ，解得2,1,3acb， 故椭圆C的方程为 22 1 43 xy . （2） 2 | PF AB 为定值. 证明：证明：由题意可知，动直线l的斜率存在，设其方程为 (1)yk x ， 联立 22 1 43 (1) xy yk x ，得 2222 348430kxk xk . 设 11 ,A x y ， 22 ,B x
49、y ，则 2 12 2 8 34 k xx k ， 2 12 2 43 34 k x x k ， 设AB的中点为 00 ,Q xy ，则 2 12 0 2 4 234 xxk x k ， 00 2 3 1 34 k yk x k . 当0k 时，线段AB的垂直平分线的方程为 2 22 314 3434 kk yx kkk ， 23 令 0y ，得 2 2 34 k x k ，即 2 2 ,0 34 k P k ， 所以 2 2 2 22 3 1 1 3434 k k PF kk . 2 2 1212 14ABkxxx x 2 2 2 2 22 163 8 1 3434 k k k kk 2 2
50、 121 34 k k . 所以 2 2 2 2 2 3 1 1 34 |412 1 34 k PF k ABk k . 当0k 时，l的方程为 0y ， 此时， 24ABa ， 2 1PFc ， 2 1 |4 PF AB . 综上， 2 | PF AB 为定值. 题目题目 99（1）由题题意，得 2, c a 2 4 1, a 222, cab 解得2.ab 所以，双曲线 C 的方程为 22 4.yx （2）设直线 PQ 的方程为2(0)xmy m与双曲线 C 方程联立： 22 2 4 xmy yx ，消元得 22 (1)480mymy 设 P、Q 两点的纵坐标为 12 ,y y，则： 2
