1、 高三数学试题（文科）答案 第 1 页（共 3 页） 合肥市2021 年高三第三次教学质量检测 数学试题（文科）参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 0 0 x， ， 0 21 x 14. 1 2 15. 2 8yx 16. 15 0 2 ， 三、解答题： 三、解答题： 17.(本小题满分12分) 解：(1)因为sincosabCC，由正弦定理得sinsinsincosABCC， 即sinsin
2、sincosBCBCC，cossinsinsinBCBC. 在ABC中，sin0C ，cossinBB，即tan1B . 0B， ， 4 B . 5分 (2)由余弦定理 222 cos 2 acb B ac 得 22 21 22 ac ac ， 22 2121acacac ，即 122 222 ac ， ABC的面积 11 22221 sin 22224 SacB ，等号当且仅当a c 时取等号， ABC面积的最大值为 2+1. 4 12分 18.(本小题满分12分) 解：(1)0.03a，0.1 3.50.25 8.50.35 13.50.15 18.50.15 23.513.5x. 可以估
3、算，这100位学生学习的平均时长为13.5小时. 5分 (2)落在6 11，内数据个数为5 0.05 10025，落在21, 26内数据个数为5 0.03 10015. 按照分层抽样方法抽取8人，则在6 11，内抽取5人，记为 12345 aaaaa， ， ， ，；在21, 26内抽取3人，记为 123 bbb， ，. 从这8位学生中每次抽取2人，可能的情况有： 12 aa， 13 aa， 14 aa， 15 aa， 11 ab， 12 ab， 13 ab，； 23 aa， 24 aa， 25 aa， 21 ab， 22 ab， 23 ab，； 34 aa， 35 aa， 31 ab， 32
4、ab， 33 ab，； 45 aa， 41 ab， 42 ab， 43 ab，； 51 ab， 52 ab， 53 ab，； 12 bb， 13 bb，； 23 bb，共有28种结果，且各结果等可能. 其中，2位学生来自不同组别的取法有15种. 抽取的2位学生来自不同组别的概率为 15 28 p .12分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B A C D A A B D A C D B 高三数学试题（文科）答案 第 2 页（共 3 页） 19.(本小题满分12分) (1)证明：DEBC，BC平面ABE，DE平面ABE. 又AE 平面ABE，DEAE. 在Rt A
5、DE中，由60DAE ， 6DE得，2 3AE. 在ABE中， 222 2cosAEABBEAB BEABE，解得4BE . 222 BEABAE，即ABAE. 而BCAE，ABBC，平面ABC，ABBCB， AE平面ABC. 又AE 平面ADE，平面ABC平面ADE.6分 (2)连接BD交CE于点G，连接FG. /AB平面CEF，平面ABD平面CEFFG， ABFG， AFBG FDGD . 在直角梯形BCDE中，BCGDEG, 1 3 BGBC GDDE ， 1 3 . 12分 20.(本小题满分12分) 解：(1)函数 f x的定义域为0 ， 1 ln x fxx x . 又 12f，
6、10f，该切线方程为21yx，即( )21g xx. 设 1 ln22F xxxx，则 1 ln1Fxx x . 令 h xFx，则 22 111x h x xxx . 当1x时， 0hx， F x在1 ，上单调递增. 又 10h， 0h xFx，即 F x在1 ，上单调递增，当1x时， 10F xF， 当1x时， ( )f xg x. 6分 (2)由(1)知，当1x时，1 ln21xxx. 令 2 21xn(2n，nN)，则 222 1 ln223nnn， 2 2 2 ln2 2211 111131 n nnnnnn ， 2 2 2 ln2 11111111111 1 32435462113
7、 n k k nnnnk ， 化简得 2 2 ln2 ln2ln711132 1 162123 n nnnn .12分 21.(本小题满分12分) 解：(1)当直线l与x轴垂直时，其方程为1x ，代入 22 1 42 xy 得到 2 3 2 y ，6MN . 由点Q到MN的距离为3知， 33 6 22 SMN. 5分 (2)记Q(4，1).由(1)知，当直线l与x轴垂直时， 13 33 11 2 22 333 kk ，而 2 1 3 k ，满足 132 2kkk， 123 kkk， ，成等差数列. 高三数学试题（文科）答案 第 3 页（共 3 页） 当直线l与x轴不垂直时，设l：1yk x，与
8、 22 1 42 xy 联立得 2222 214240kxk xk. 令 11 M xy， ， 22 N xy， ，则 2 12 2 2 12 2 4 21 24 21 k xx k k x x k ，且0 . 1221 12 13 1212 141411 4444 yxyxyy kk xxxx ，将 11 22 1 1 yk x yk x 代入并整理得 222 1212 13 222 1212 2 (24)4518121 25188 41624 1616 21 kkkkkk kx xkxxk kk x xxxkkk 2 2 1282 31812 k k . 而 2 1 3 k ，满足 132
9、 2kkk， 123 kkk， ，成等差数列. 综上， 123 kkk， ，成等差数列. 12分 22.(本小题满分10分) (1)直线l的参数方程为 1cos 2sin xt yt (t为参数).由 2 cos4sin得， 22 cos4 sin， 曲线C的直角坐标方程为 2 4 .xy 5分 (2)将直线l的参数方程 1cos 2sin xt yt 代入 2 4xy，并整理得 22 cos2cos4sin70tt. 设点,P Q对应的参数分别为 12 ,t t， 由线段PQ的中点为M得 12 0tt，即 2 2cos4sin 0 cos ， 直线l的斜率 1 tan. 2 k 直线l的方程
10、为 1 21 2 yx，即 230 xy . 10分 23.(本小题满分10分) 解：(1)当2a 时， 221f xxx. 当2x 时， 2224f xxx ，解得 4 3 x ，结合2x 得，解集为； 当21x 时， 2224f xxx，解得0 x ，结合21x 得，01x； 当1x 时， 2224f xxx，解得 4 3 x，结合1x得， 4 1 3 x. 原不等式的解集为 4 0 3 ，. 5分 (2)当12x时， 2 21xaxx 可化为 2 22xaxx， 2 22xaxx或 2 22xaxx ， 即存在1 2x ，使得 2 32axx，或 2 2axx . 1 4 a ，或2a ， 实数a的取值范围为 1 , 2, 4 . 10分
