1、 2019 年福建省中考数学试卷年福建省中考数学试卷 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 4 分，共分，共 40 分）分） 1 （4 分）计算 22+（1）0的结果是（ ） A5 B4 C3 D2 2 （4 分）北京故宫的占地面积约为 720000m2，将 720000 用科学记数法表示为（ ） A72104 B7.2105 C7.2106 D0.72106 3 （4 分）下列图形中，一定既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A等边三角形 B直角三角形 C平行四边形 D正方形 4 （4 分）如图是由一个长方体和一个球组成的几何体，它的主视图是（ ） A B C D 5 （4 分）已知正多
2、边形的一个外角为 36，则该正多边形的边数为（ ） A12 B10 C8 D6 6 （4 分）如图是某班甲、乙、丙三位同学最近 5 次数学成绩及其所在班级相应平均分的折 线统计图，则下列判断错误的是（ ） A甲的数学成绩高于班级平均分，且成绩比较稳定 B乙的数学成绩在班级平均分附近波动，且比丙好 C丙的数学成绩低于班级平均分，但成绩逐次提高 D就甲、乙、丙三个人而言，乙的数学成绩最不稳 7 （4 分）下列运算正确的是（ ） Aaa3a3 B （2a）36a3 Ca6a3a2 D （a2）3（a3）20 8 （4 分） 增删算法统宗记载： “有个学生资性好，一部孟子三日了，每日增添一倍多， 问若
3、每日读多少？”其大意是：有个学生天资聪慧，三天读完一部孟子 ，每天阅读的 字数是前一天的两倍，问他每天各读多少个字？已知孟子一书共有 34685 个字，设 他第一天读 x 个字，则下面所列方程正确的是（ ） Ax+2x+4x34685 Bx+2x+3x34685 Cx+2x+2x34685 Dx+x+x34685 9 （4 分）如图，PA、PB 是O 切线，A、B 为切点，点 C 在O 上，且ACB55，则 APB 等于（ ） A55 B70 C110 D125 10 （4 分）若二次函数 y|a|x2+bx+c 的图象经过 A（m，n） 、B（0，y1） 、C（3m，n） 、 D（，y2）
4、、E（2，y3） ，则 y1、y2、y3的大小关系是（ ） Ay1y2y3 By1y3y2 Cy3y2y1 Dy2y3y1 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 11 （4 分）因式分解：x29 12 （4 分）如图，数轴上 A、B 两点所表示的数分别是4 和 2，点 C 是线段 AB 的中点， 则点 C 所表示的数是 13 （4 分）某校征集校运会会徽，遴选出甲、乙、丙三种图案为了解何种图案更受欢迎， 随机调查了该校 100 名学生，其中 60 名同学喜欢甲图案，若该校共有 2000 人，根据所 学的统计知识可以估计该校喜欢甲图案的学生有 人 14 （4 分
5、）在平面直角坐标系 xOy 中，OABC 的三个顶点 O（0，0） 、A（3，0） 、B（4， 2） ，则其第四个顶点是 15 （4 分）如图，边长为 2 的正方形 ABCD 中心与半径为 2 的O 的圆心重合，E、F 分别 是 AD、BA 的延长与O 的交点，则图中阴影部分的面积是 （结果保留 ） 16 （4 分）如图，菱形 ABCD 顶点 A 在函数 y（x0）的图象上，函数 y（k3， x0）的图象关于直线 AC 对称，且经过点 B、D 两点，若 AB2，BAD30，则 k 三、解答题（共三、解答题（共 86 分）分） 17 （8 分）解方程组 18 （8 分）如图，点 E、F 分别是矩
6、形 ABCD 的边 AB、CD 上的一点，且 DFBE求证： AFCE 19 （8 分）先化简，再求值： （x1）（x） ，其中 x+1 20 （8 分）已知ABC 和点 A，如图 （1）以点 A为一个顶点作ABC，使ABCABC，且ABC的面积等于ABC 面积的 4 倍； （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）设 D、E、F 分别是ABC 三边 AB、BC、AC 的中点，D、E、F分别是你所作的 ABC三边 AB、BC、CA的中点，求证：DEFDEF 21 （8 分）在 RtABC 中，ABC90，ACB30，将ABC 绕点 A 顺时针旋转一 定的角度 得到DEC，点 A、B 的
7、对应点分别是 D、E （1）当点 E 恰好在 AC 上时，如图 1，求ADE 的大小； （2）若 60时，点 F 是边 AC 中点，如图 2，求证：四边形 BEDF 是平行四边形 22 （10 分）某工厂为贯彻落实“绿水青山就是金山银山“的发展理念，投资组建了日废水 处理量为 m 吨的废水处理车间，对该厂工业废水进行无害化处理但随着工厂生产规模 的扩大，该车间经常无法完成当天工业废水的处理任务，需要将超出日废水处理量的废 水交给第三方企业处理已知该车间处理废水，每天需固定成本 30 元，并且每处理一吨 废水还需其他费用 8 元；将废水交给第三方企业处理，每吨需支付 12 元根据记录，5 月 2
8、1 日，该厂产生工业废水 35 吨，共花费废水处理费 370 元 （1）求该车间的日废水处理量 m； （2）为实现可持续发展，走绿色发展之路，工厂合理控制了生产规模，使得每天废水处 理的平均费用不超过 10 元/吨，试计算该厂一天产生的工业废水量的范围 23 （10 分）某种机器使用期为三年，买方在购进机器时，可以给各台机器分别一次性额外 购买若干次维修服务，每次维修服务费为 2000 元每台机器在使用期间，如果维修次数 未超过购机时购买的维修服务次数， 每次实际维修时还需向维修人员支付工时费 500 元； 如果维修次数超过购机时购买的维修服务次数，超出部分每次维修时需支付维修服务费 5000
9、 元，但无需支付工时费某公司计划购买 1 台该种机器，为决策在购买机器时应同 时一次性额外购买几次维修服务，搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内的维修 次数，整理得下表； 维修次数 8 9 10 11 12 频率（台数） 10 20 30 30 10 （1）以这 100 台机器为样本，估计“1 台机器在三年使用期内维修次数不大于 10”的概 率； （2）试以这 100 机器维修费用的平均数作为决策依据，说明购买 1 台该机器的同时应一 次性额外购 10 次还是 11 次维修服务？ 24 （12 分）如图，四边形 ABCD 内接于O，ABAC，ACBD，垂足为 E，点 F 在 BD 的
10、延长线上，且 DFDC，连接 AF、CF （1）求证：BAC2CAD； （2）若 AF10，BC4，求 tanBAD 的值 25 （14 分）已知抛物 yax2+bx+c（b0）与 x 轴只有一个公共点 （1）若抛物线与 x 轴的公共点坐标为（2，0） ，求 a、c 满足的关系式； （2）设 A 为抛物线上的一定点，直线 l：ykx+1k 与抛物线交于点 B、C，直线 BD 垂 直于直线 y1，垂足为点 D当 k0 时，直线 l 与抛物线的一个交点在 y 轴上，且 ABC 为等腰直角三角形 求点 A 的坐标和抛物线的解析式； 证明：对于每个给定的实数 k，都有 A、D、C 三点共线 2019
11、年福建省中考数学试卷年福建省中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 4 分，共分，共 40 分）分） 1 【分析】分别计算平方、零指数幂，然后再进行实数的运算即可 【解答】解：原式4+15 故选：A 2 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为 a10n，其中 1|a|10，n 为整数， 据此判断即可 【解答】解：将 720000 用科学记数法表示为 7.2105 故选：B 3 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解 【解答】解：A、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误； B、直角三角形不是轴
12、对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误； C、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误； D、正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确 故选：D 4 【分析】从正面看几何体，确定出主视图即可 【解答】解：几何体的主视图为： 故选：C 5 【分析】利用多边形的外角和是 360，正多边形的每个外角都是 36，即可求出答案 【解答】解：3603610，所以这个正多边形是正十边形 故选：B 6 【分析】折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用 线段依次连接起来以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化 方差是反映一组数据的波动大小的一个量方差越
13、大，则平均值的离散程度越大，稳定 性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好 【解答】解：A甲的数学成绩高于班级平均分，且成绩比较稳定，正确； B乙的数学成绩在班级平均分附近波动，且比丙好，正确； C丙的数学成绩低于班级平均分，但成绩逐次提高，正确 D就甲、乙、丙三个人而言，丙的数学成绩最不稳，故 D 错误 故选：D 7 【分析】各项计算得到结果，即可作出判断 【解答】解：A、原式a4，不符合题意； B、原式8a3，不符合题意； C、原式a3，不符合题意； D、原式0，符合题意， 故选：D 8 【分析】设他第一天读 x 个字，根据题意列出方程解答即可 【解答】解：设他第一天读 x
14、 个字，根据题意可得：x+2x+4x34685， 故选：A 9 【分析】根据圆周角定理构造它所对的弧所对的圆心角，即连接 OA，OB，求得AOB 110，再根据切线的性质以及四边形的内角和定理即可求解 【解答】解：连接 OA，OB， PA，PB 是O 的切线， PAOA，PBOB， ACB55， AOB110， APB360909011070 故选：B 10 【分析】由点 A（m，n） 、C（3m，n）的对称性，可求函数的对称轴为 x，再由 B （0，y1） 、D（，y2） 、E（2，y3）与对称轴的距离，即可判断 y1y3y2； 【解答】解：经过 A（m，n） 、C（3m，n） ， 二次函数
15、的对称轴 x， B（0，y1） 、D（，y2） 、E（2，y3）与对称轴的距离 B 最远，D 最近， |a|0， y1y3y2； 故选：D 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 11 【分析】原式利用平方差公式分解即可 【解答】解：原式（x+3） （x3） ， 故答案为： （x+3） （x3） 12 【分析】根据 A、B 两点所表示的数分别为4 和 2，利用中点公式求出线段 AB 的中点 所表示的数即可 【解答】解：数轴上 A，B 两点所表示的数分别是4 和 2， 线段 AB 的中点所表示的数（4+2）1 即点 C 所表示的数是1 故答案为：1 13 【分析】
16、用总人数乘以样本中喜欢甲图案的频率即可求得总体中喜欢甲图案的人数 【解答】解：由题意得：20001200 人， 故答案为：1200 14 【分析】由题意得出 OA3，由平行四边形的性质得出 BCOA，BCOA3，即可得 出结果 【解答】解：O（0，0） 、A（3，0） ， OA3， 四边形 OABC 是平行四边形， BCOA，BCOA3， B（4，2） ， 点 C 的坐标为（43，2） ， 即 C（1，2） ； 故答案为： （1，2） 15 【分析】延长 DC，CB 交O 于 M，N，根据圆和正方形的面积公式即可得到结论 【解答】解：延长 DC，CB 交O 于 M，N， 则图中阴影部分的面积（
17、S圆OS正方形ABCD）（44）1， 故答案为：1 16 【分析】连接 OC，AC 过 A 作 AEx 轴于点 E，延长 DA 与 x 轴交于点 F，过点 D 作 DGx 轴于点 G，得 O、A、C 在第一象限的角平分线上，求得 A 点坐标，进而求得 D 点坐标，便可求得结果 【解答】解：连接 OC，AC 过 A 作 AEx 轴于点 E，延长 DA 与 x 轴交于点 F，过点 D 作 DGx 轴于点 G， 函数 y（k3，x0）的图象关于直线 AC 对称， O、A、C 三点在同直线上，且COE45， OEAE， 不妨设 OEAEa，则 A（a，a） ， 点 A 在在反比例函数 y（x0）的图象
18、上， a23， a， AEOE， BAD30， OAFCADBAD15， OAEAOE45， EAF30， AF，EFAEtan301， ABAD2，AEDG， EFEG1，DG2AE2， OGOE+EG+1， D（+1，2） ， 故答案为：6+2 三、解答题（共三、解答题（共 86 分）分） 17 【分析】方程组利用加减消元法求出解即可 【解答】解：， +得：3x9，即 x3， 把 x3 代入得：y2， 则方程组的解为 18 【分析】由 SAS 证明ADFBCE，即可得出 AFCE 【解答】证明：四边形 ABCD 是矩形， DB90，ADBC， 在ADF 和BCE 中， ADFBCE（SAS
19、） ， AFCE 19 【分析】先化简分式，然后将 x 的值代入计算即可 【解答】解：原式（x1） （x1） ， 当 x+1， 原式 1+ 20 【分析】 （1）分别作 AC2AC、AB2AB、BC2BC 得ABC即可所求 （2）根据中位线定理易得DEFABC，DEFABC，故DEFDEF 【解答】解： （1）作线段 AC2AC、AB2AB、BC2BC，得ABC即可所求 证明：AC2AC、AB2AB、BC2BC， ABCABC， （2）证明： D、E、F 分别是ABC 三边 AB、BC、AC 的中点， DE， DEFABC 同理：DEFABC， 由（1）可知：ABCABC， DEFDEF 21
20、 【分析】 （1）如图 1，利用旋转的性质得 CACD，ECDBCA30，DEC ABC90，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出CAD，从而利用互余 和计算出ADE 的度数； （2）如图 2，利用直角三角形斜边上的中线性质得到 BFAC，利用含 30 度的直角三 角形三边的关系得到 ABAC，则 BFAB，再根据旋转的性质得到BCEACD 60，CBCE，DEAB，从而得到 DEBF，ACD 和BCE 为等边三角形，接着证 明CFDABC 得到 DFBC，然后根据平行四边形的判定方法得到结论 【解答】 （1）解：如图 1，ABC 绕点 A 顺时针旋转 得到DEC，点 E 恰好在 AC
21、上， CACD，ECDBCA30，DECABC90， CACD， CADCDA（18030）75， ADE907525； （2）证明：如图 2， 点 F 是边 AC 中点， BFAC， ACB30， ABAC， BFAB， ABC 绕点 A 顺时针旋转 60 得到DEC， BCEACD60，CBCE，DEAB， DEBF，ACD 和BCE 为等边三角形， BECB， 点 F 为ACD 的边 AC 的中点， DFAC， 易证得CFDABC， DFBC， DFBE， 而 BFDE， 四边形 BEDF 是平行四边形 22 【分析】 （1）求出该车间处理 35 吨废水所需费用，将其与 350 比较后可
22、得出 m35，根 据废水处理费用该车间处理 m 吨废水的费用+第三方处理超出部分废水的费用，即可 得出关于 m 的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设一天产生工业废水 x 吨，分 0x20 及 x20 两种情况考虑，利用每天废水处 理的平均费用不超过 10 元/吨，可得出关于 x 的一元一次不等式，解之即可得出结论 【解答】解： （1）358+30310（元） ，310350， m35 依题意，得：30+8m+12（35m）370， 解得：m20 答：该车间的日废水处理量为 20 吨 （2）设一天产生工业废水 x 吨， 当 0x20 时，8x+3010x， 解得：15x20； 当 x20
23、 时，12（x20）+820+3010x， 解得：20x25 综上所述，该厂一天产生的工业废水量的范围为 15x20 23 【分析】 （1）利用概率公式计算即可 （2）分别求出购买 10 次，11 次的费用即可判断 【解答】解： （1） “1 台机器在三年使用期内维修次数不大于 10”的概率0.6 （2）购买 10 次时， 某台机器使用期内维修次数 8 9 10 11 12 该台机器维修费用 24000 24500 25000 30000 35000 此时这 100 台机器维修费用的平均数 y1（2400010+2450020+2500030+3000030+3500010）27300 购买
24、11 次时， 某台机器使用期内维修次数 8 9 10 11 12 该台机器维修费用 26000 26500 27000 27500 32500 此时这 100 台机器维修费用的平均数 y2（2600010+2650020+2700030+2750030+3250010）27500， 2730027500， 所以，选择购买 10 次维修服务 24 【分析】 （1）根据等腰三角形的性质得出ABCACB，根据圆心角、弧、弦的关系 得到，即可得到ABCADB，根据三角形内角和定理得到ABC （180 BAC）90BAC，ADB90CAD，从而得到BACCAD，即 可证得结论； （2）易证得 BCCF4
25、，即可证得 AC 垂直平分 BF，证得 ABAF10，根据勾股 定理求得 AE、CE、BE，根据相交弦定理求得 DE，即可求得 BD，然后根据三角形面积 公式求得 DH，进而求得 AH，解直角三角函数求得 tanBAD 的值 【解答】解： （1）ABAC， ，ABCACB， ABCADB，ABC（180BAC）90BAC， BDAC， ADB90CAD， BACCAD， BAC2CAD； （2）解：DFDC， DFCDCF， BDC2DFC， BFCBDCBACFBC， CBCF， 又 BDAC， AC 是线段 BF 的中垂线，ABAF10，AC10 又 BC4， 设 AEx，CE10x， 由
26、 AB2AE2BC2CE2，得 100x280（10x）2， 解得 x6， AE6，BE8，CE4， DE3， BDBE+DE3+811， 作 DHAB，垂足为 H， ABDHBDAE， DH， BH， AHABBH10， tanBAD 25 【分析】 （1）抛物线与 x 轴的公共点坐标即为函数顶点坐标，即可求解； （2）ykx+1kk（x1）+1 过定点（1，1） ，且当 k0 时，直线 l 变为 y1 平行 x 轴，与轴的交点为（0，1） ，即可求解；计算直线 AD 表达式中的 k 值、直线 AC 表 达式中的 k 值，两个 k 值相等即可求解 【解答】解： （1）抛物线与 x 轴的公共点坐标即为函数顶点坐标，故：ya（x2）2 ax24ax+4a， 则 c4a； （2）ykx+1kk（x1）+1 过定点（1，1） ， 且当 k0 时，直线 l 变为 y1 平行 x 轴，与轴的交点为（0，1） ， 又ABC 为等腰直角三角形， 点 A 为抛物线的顶点； c1，顶点 A（1，0） ， 抛物线的解析式：yx22x+1， ， x2（2+k）x+k0， x（2+k） ， xDxB（2+k） ，yD1； 则 D， yC（2+k2+k， C，A（1，0） ， 直线 AD 表达式中的 k 值为：kAD， 直线 AC 表达式中的 k 值为：kAC， kADkAC，点 A、C、D 三点共线
