1、（新高考）2021 届高三第二次模拟考试卷 数数 学（学（四四） 注意事项：注意事项： 1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形 码粘贴在答题卡上的指定位置。 2选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第第卷卷 一一、单项单项选择题选择题：本题共本题共 8 8 小题小题，每小题每小题 5 5 分分，共共 4040
2、分分在在每小题给出每小题给出的的四个选项中四个选项中，只只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1已知集合( , )8, ,Ax y xyx y N，( , )1Bx y yx，则AB中元素的个数为 （） A2B3C4D5 2 3 1 i（） A22i B22i C22iD22i 3 已知直线m，n， 平面，n，m，mn， 那么“m ”是“ ”的 （） A充分不必要条件B必要不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件 4设约束条件 1 5 1 2 2 yx yx yx ，则 1y x 的最大值为（） A 1 2 B1C2D4 5从 6 人中选出 4 人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫
3、斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览， 每人只游览一个城市，且这 6 人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有（） A300 种B240 种C144 种D96 种 6已知函数 f x的定义域为R，且 6f xfx，当0 x 时， 2 23f xxx ， 若350fm，则实数m的取值范围为（） A,2B2,C,3D3, 7 在ABC中， 点M是AB的中点， 2 3 ANAC ， 线段CM与BN交于点O， 动点P在BOC 内部活动（不含边界） ，且APABAN ，其中、R，则的取值范围是（） A 3 4 11 , 8 B 3 3 , 4 2 C 11 1, 8 D 3 1, 2 8我国
4、古代数学名著孙子算经载有一道数学问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数 之剩二，七七数之剩二，问物几何?”根据这一数学思想，所有被 3 除余 2 的正整数从小到大组成数 列 n a，所有被 5 除余 2 的正整数从小到大组成数列 n b，把数 n a与 n b的公共项从小到大得 到数列 n c，则下列说法正确的是（） A 122 abcB 824 bacC 228 bcD 629 a bc 二二、多项多项选择题选择题：本题本题共共 4 4 小题小题，每每小题小题 5 5 分分，共共 2020 分分在在每小题每小题给出给出的选项中的选项中，有有多项多项 符合题目要求符合题目要求全部全部选对
5、的得选对的得 5 5 分分，部分部分选对的得选对的得 2 2 分分，有有选错的得选错的得 0 0 分分 9以下四个命题表述正确的是（） A直线343 30m xymm R恒过定点3, 3 B圆 22 4xy上有且仅有 3 个点到直线:20l xy的距离都等于 1 C曲线 22 1: 20Cxyx与曲线 22 2: 480Cxyxym恰有三条公切线，则4m D已知圆 22 :4C xy，点P为直线1 42 xy 上一动点，过点P向圆C引两条切线PA、PB， A、B为切点，则直线AB经过定点 1,2 10在ABC中，下列说法正确的是（） A若AB，则sinsinAB B存在ABC满足coscos0
6、AB C若sincosAB，则ABC为钝角三角形 D若 2 C ，则 22 sinsinsinCAB 11在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标 志为“连续 10 天，每天新增疑似病例不超过 7 人”过去 10 日，A、B、C、D 四地新增疑似病例数 据信息如下，一定符合没有发生大规模群体感染标志的是（） AA 地：中位数为 2，极差为 5BB 地：总体平均数为 2，众数为 2 CC 地：总体平均数为 1，总体方差大于 0DD 地：总体平均数为 2，总体方差为 3 12 已知函数 2 2 2 ,0 ( ) log,0 xx x f x xx ， 若
7、1234 xxxx， 且 1234 f xf xf xf x， 则下列结论正确的是（） A 12 1xx B 34 1x x C 4 12xD 1234 01x x x x 第第卷卷 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分分 13已知双曲线 22 :1 43 xy C的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，点4,3M，则 12 FMF的角平分线 所在直线的斜率为_ 14 对于三次函数 32 0f xaxbxcxd a， 给出定义： 设 fx是函数 yf x的导数， fx是 fx的导数， 若方程 0fx有实数解 0 x， 则称点 00 ,xf x为函
8、数 yf x的“拐 点”某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐 点”就是对称中心若 32 115 3 3212 fxxxx，则函数 f x的对称中心为_， 12342018 20192019201920192019 fffff _ 15函数( )cos23sin2f xxx，xR，有下列命题： ( )yf x的表达式可改写为2cos 2 3 yx ； 直线 12 x 是函数( )f x图象的一条对称轴； 函数( )f x的图象可以由函数2sin2yx的图象向右平移 6 个单位长度得到； 满足( )3f x 的x的取值范围是 3 , 124 xkx
9、kk Z 其中正确的命题序号是_ （注：把你认为正确的命题序号都填上） 16在棱长为4 2的正四面体ABCD中，点,E F分别为直线,AB CD上的动点，点P为EF中 点，Q为正四面体中心（满足QAQBQCQD） ，若2PQ ，则EF长度为_ 四、解答题：本四、解答题：本大题共大题共 6 6 个个大题，共大题，共 7070 分分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17（10 分）ABC的内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c 已知 222 sinsinsinsinsinBACAC （1）求B； （2）若3b ，当ABC的周长最大时，求它的面
10、积 18 （12 分）如图，三棱柱 111 ABCABC中，AB 侧面 11 BBC C，已知 1 3 BCC，1BC ， 1 2ABC C，点 E 是棱 1 CC的中点 （1）求证：BC平面 1 ABC； （2）求二面角 11 AB EA的余弦值 19 （12 分）魔方，又叫鲁比克方块，最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺鲁比克教授于 1974 年发明的魔方与华容道、独立钻石棋一起被国外智力专家并称为智力游戏界的三大不可思议，而 魔方受欢迎的程度更是智力游戏界的奇迹通常意义下的魔方，即指三阶魔方，为3 3 3 的正方体 结构，由26个色块组成常规竞速玩法是将魔方打乱，然后在最短的时间内复原截
11、至 2020 年， 三阶魔方还原官方世界纪录是由中国的杜宇生在2018年11月24日于芜湖赛打破的纪录， 单次3.475 秒 （1） 某魔方爱好者进行一段时间的魔方还原训练， 每天魔方还原的平均速度y(秒)与训练天数x(天) 有关，经统计得到如下数据： x（天） 1234567 y（秒） 99994532302421 现用 b ya x 作为回归方程类型，请利用表中数据，求出该回归方程，并预测该魔方爱好者经过长 期训练后最终每天魔方还原的平均速度y约为多少秒(精确到1) ? 参考数据（其中 1 i i z x ） 7 1 ii i z y z 7 22 1 7 i i zz 184.50.37
12、0.55 参考公式： 对于一组数据 11 ,u v， 22 ,u v，, nn u v，其回归直线 vau的斜率和截距的最小二乘估 计公式分别为： 1 22 1 n ii i n i i u vnuv unu ， a vu （2）现有一个复原好的三阶魔方，白面朝上，只可以扭动最外侧的六个表面某人按规定将魔方随 机扭动两次，每次均顺时针转动90，记顶面白色色块的个数为X，求X的分布列及数学期望 E X 20 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的上、下顶点分别为 ,A B，P为直线2y 上的动 点，当点P位于点1,2时，ABP的面积1 ABP S ，椭圆C上任意一点
13、到椭圆的左焦点 1 F的最 短距离为 21 （1）求椭圆C的方程； （2）连接,PA PB，直线,PA PB分别交椭圆于,M N（异于点,A B）两点，证明：直线MN过定 点 21 （12 分）已知正三角形ABC，某同学从A点开始，用擦骰子的方法移动棋子，规定：每掷一 次骰子，把一枚棋子从三角形的一个顶点移动到另一个顶点；棋子移动的方向由掷骰子决定，若 掷出骰子的点数大于 3， 则按逆时针方向移动： 若掷出骰子的点数不大于 3， 则按顺时针方向移动 设 掷骰子n次时，棋子移动到A，B，C处的概率分别为： n PA， n P B， n P C，例如：掷骰 子一次时，棋子移动到A，B，C处的概率分
14、别为 1 0P A ， 1 1 2 P B ， 1 1 2 P C （1）掷骰子三次时，求棋子分别移动到A，B，C处的概率 3 P A， 3 P B， 3 P C； （2）记 nn P Aa， nn P Bb， nn P Cc，其中1 nnn abc， nn bc，求 8 a 22 （12 分）已知函数 2 1 1ln 2 f xxaxax （1）当0a 时，求函数 f x的单调区间； （2）设函数 22 ln1 2 x g xeaxaxf x ，若 g x在1,2内有且仅有一个零点， 求实数a的取值范围 （新高考）2021 届高三第二次模拟考试卷 数数 学（学（四四）答答 案案 第第卷卷 一
15、一、单项单项选择题选择题：本题共本题共 8 8 小题小题，每小题每小题 5 5 分分，共共 4040 分分在在每小题给出每小题给出的的四个选项中四个选项中，只只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 【答案】B 【解析】依题意 1,7 , 2,6 , 3,5 , 4,4 , 5,3 , 6,2 , 7,1A， 其中满足1yx的有1,7，2,6，3,5， 所以 1,7 , 2,6 , 3,5AB ，有3个元素，故选 B 2 【答案】B 【解析】 32 1 i1 i1 i2i 1 i22i ，故选 B 3 【答案】C 【解析】若m ，过直线m作平面，交平面于直线 m ， m，m m ，
16、 又m ，m ， 又m ， ； 若 ，过直线m作平面，交平面于直线 m ， m，m m ， mn，mn ， 又 ，n= =， m ，m， 故“m ”是“ ”的充要条件，故选 C 4 【答案】D 【解析】画出约束条件 1 5 1 2 2 yx yx yx 所表示的平面区域，如图所示， 设目标函数 11 0 yy z xx ，则 1 0 y x 表示平面区域内一动点到定点(0, 1)M连线的斜率， 结合图象可得，取点A时，能使得z取得最大值， 又由 1 1 2 2 yx yx ，解得 2 5 ( , ) 3 3 A， 所以 1y x 的最大值为 5 1 3 4 2 0 3 ，故选 D 5 【答案】
17、B 【解析】分两步：首先从 4 人中选 1 人去巴黎游览，共有 1 4 C4种， 其次从剩余 5 人中选 3 人到其它三个城市游览，共有 3 5 A60种， 共有 13 45 C A240种，故选 B 6 【答案】B 【解析】令0 x ，则0 x ， 2 23fxxx ， 因为 6f xfx，所以 2 236fxxx， 2 23xxxf， 即当0 x 时， 2 23xxxf， 取0 x ，则 006ff， 03f， 当0 x 时， 2 2 2312fxxxx，此时 0f x 无解； 当0 x 时， 03f，此时 0f x 无解； 当0 x 时， 2 2 2314f xxxx ， 若 0f x
18、，则 2 140 x，解得1x， 故350fm，即351m -，解得2m， 实数m的取值范围为2,，故选 B 7 【答案】D 【解析】如下图所示，连接BP并延长交AC于点G， 设NG mAN ，PG nBG ，则 1 0 2 m，01n， 1AGmAN ， 11APAGGPmANnGBmANn ABAG 111mANnABnAGmANnABn mAN 1mmnn ANnAB ， 又APABAN ，n， 1mmnn ， 111mmnmn ， 1 0 2 m，011n ，则 1 01 2 mn， 即 3 111 2 mn ，即 3 1 2 ， 因此，的取值范围是 3 1, 2 ，故选 D 8 【答
19、案】C 【解析】根据题意数列 n a是首项为 2，公差为 3 的等差数列，23(1)31 n ann； 数列 n b是首项为 2，公差为 5 的等差数列，25(1)53 n bnn； 数列 n a与 n b的公共项从小到大得到数列 n c， 故数列 n c是首项为 2， 公差为 15 的等差数列， 215(1)1513 n cnn 对于 A， 12 22 539ab ， 2 15 2 1317c ， 122 abc，错误； 对于 B， 82 5 833 2 132ba ， 4 15 4 1347c ， 824 bac，错误； 对于 C， 22 5 223107b ， 8 15 8 13107c
20、 ， 228 bc，正确； 对于 D， 6 2 3 6 15 23119a b ， 9 15 9 13122c ， 629 a bc，错误， 故选 C 二二、多项多项选择题选择题：本题本题共共 4 4 小题小题，每每小题小题 5 5 分分，共共 2020 分分在在每小题每小题给出给出的选项中的选项中，有有多项多项 符合题目要求符合题目要求全部全部选对的得选对的得 5 5 分分，部分部分选对的得选对的得 2 2 分分，有有选错的得选错的得 0 0 分分 9 【答案】BCD 【解析】对于选项 A：由343 30m xymm R 可得33430m xxy ， 由 30 3430 x xy ，可得 3
21、 3 x y ，所以直线恒过定点3,3，故选项 A 不正确； 对于选项 B：圆心0,0到直线:20l xy的距离等于1，圆的半径2r = =， 平行于:20l xy且距离为 1 的两直线分别过圆心以及和圆相切， 故圆上有且仅有 3 个点到直线的距离等于1，故选项 B 正确； 对于选项 C：由 22 1 20C : xyx，可得 2 2 11xy，圆心 1 1,0C， 1 1r ， 由 22 2 480C : xyxym，可得 22 24200 xym， 圆心 2 2,4C， 2 20rm， 由题意可得两圆相外切，所以 1212 CCrr， 即 2 2 1 24120m ，解得4m，故选项 C
22、正确； 对于选项 D：设点P坐标为,m n，所以1 42 mn ，即24mn， 因为PA、PB分别为过点P所作的圆的两条切线，所以CAPA，CBPB， 所以点,A B在以OP为直径的圆上，以OP为直径的圆的方程为 2 22 22 222 mnmn xy ， 整理可得 22 0 xymxny，与已知圆 22 :4C xy相减可得 4mxny+=， 消去m，可得424n xny，即2440n yxx， 由 20 440 yx x ，可得 1 2 x y ， 所以直线AB经过定点1,2，故选项 D 正确， 故选 BCD 10 【答案】ACD 【解析】对于 A 选项，若AB，则ab，则2 sin2 s
23、inRARB，即sinsinAB， 故 A 选项正确； 对于 B 选项，由AB，则AB，且,0,AB， cosyx 在0,上递减， 于是coscosAB ，即coscos0AB，故 B 选项错误； 对于 C 选项，由sincosAB，得coscos 2 AB ， cosyx 在0,上递减， 此时：若 0 2 A，则 2 AB，则 2 AB，于是 2 C ； 若 2 A ，则 coscos 2 AB ，则 2 AB， 于是 2 AB，故 C 选项正确； 对于 D 选项，由 2 C ，则 2 AB，则 0 22 AB，sinyx在0, 2 递增， 于是 sinsin 2 AB ，即0sincosA
24、B，同理0sincosBA， 此时，sinsin()sincoscossinsinsinsinsinCABABABAABB 22 sinsinAB， 所以 D 选项正确， 故选 ACD 11 【答案】AD 【解析】对 A，因为 A 地中位数为 2，极差为 5，故最大值不会大于257故 A 正确； 对 B，若 B 地过去 10 日分别为0,0,0,2,2,2,2,2,2,8，则满足总体平均数为 2，众数为 2， 但不满足每天新增疑似病例不超过 7 人，故 B 错误； 对 C，若 C 地过去 10 日分别为0,0,0,0,0,0,0,0,1,9，则满足总体平均数为 1，总体方差大于 0， 但不满足
25、每天新增疑似病例不超过 7 人，故 C 错误； 对 D，利用反证法，若至少有一天疑似病例超过 7 人，则方差大于 21 823.63 10 ， 与题设矛盾，故连续 10 天，每天新增疑似病例不超过 7 人，故 D 正确， 故选 AD 12 【答案】BCD 【解析】由( )f x函数解析式可得图象如下： 由图知： 12 2xx ， 1 21x ，而当1y 时，有 2 |log| 1x ，即 1 2 x 或 2， 34 1 12 2 xx ， 而 34 ()()f xf x，知 2324 |log| |log|xx： 2324 loglog0 xx， 34 1x x ， 2 1234121 (1)
26、1(0,1)x x x xx xx ， 故选 BCD 第第卷卷 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分分 13 【答案】1 【解析】由题意知，C的半焦距 7c ， 1 7,0F ， 2 7,0F， 故 2 2 1 47322 7MF ， 2 2 2 4732 72MF 设 12 FMF的角平分线与x轴交于,0N x， 由角平分线定理可知 11 22 NFMF NFMF ，故 722 7 72 72 x x ，解得1x ， 即1,0N， 故 12 FMF的角平分线所在直线的斜率 30 1 4 1 MN k ，故答案为 1 14 【答案】 1 ,1
27、2 ，2018 【解析】因为 32 115 3 3212 fxxxx，所以 2 3fxxx， 21fxx， 由 0fx，即210 x ，解得 1 2 x ， 32 1111115 31 23222212 f ， 由题中给出的结论，所以函数 f x的对称中心为 1 ,1 2 所以 11 2 22 fxfx，即 12f xx 故 12018 2 20192019 ff ， 22017 2 20192019 ff ， 32016 2 20192019 ff ， ， 20181 2 20192019 ff ， 所以 123420181 20192019201920 2 2018 192019 8 2
28、201fffff ， 故答案为 1 ,1 2 ，2018 15 【答案】 【解析】 ( )cos23sin22cos(2) 3 f xxxx，故正确； 当 12 x 时， ()2cos0 122 yf，故错误； 因为函数2sin2yx的图象向右平移 6 个单位长度得到 )2sin2(2sin(2) 63 yxx， 而 2sin(2)2cos(2) 33 xx，故错误； 由( )3f x 可得 2cos(2)3 3 x，解得 3 cos(2) 32 x ， 所以 11 2 22 , 636 kxkkZ，解得 3 , 124 kxkkZ， 故正确， 故答案为 16 【答案】2 6 【解析】将正四面
29、体放在棱长为 4 的正方体中，则ABCD，Q为正方体的中心， 设,M N分别是,AB CD的中点，则Q是MN的中点，MNAB，MNCD， 连接EN，设EN的中点为S，连接,QS SP PQ， 因为QS是NME的中位线，所以/QS ME， 1 2 QSME， 同理/SP NF， 1 2 SPNF， 因为ABCD，所以MENF，所以QSSP，即90QSP， 则 22222 1 2 4 QSSPMENFPQ，所以 22 8MENF ， 因为MNME，所以 2222 16NEMNMEME ， 因为NFME，NFMN，MNMEM， 所以NF 平面MNE，所以NFNE， 在NEFRt中， 2222 162
30、 6EFNFNENFME ， 故答案为2 6 四、解答题：本四、解答题：本大题共大题共 6 6 个个大题，共大题，共 7070 分分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 【答案】 （1） 2 3 B ； （2） 9 3 4 ABC S 【解析】 （1）由正弦定理得 222 bacac ， 222 1 cos 22 acb B ac ， 0,B， 2 3 B （2）由余弦定理得 22 222 2cos29bacacBacacacacac， 2 2 9 2 ac acac （当且仅当ac时取等号） ，6ac ， 当3ac时，ABC取得最大值，此时 1
31、939 3 sin 2224 ABC SacB 18 【答案】 （1）证明见解析； （2） 2 5 5 【解析】 （1）证明： 1 3 BCC，1BC ， 1 2CC ， 由余弦定理可知 22 111 23BCBCCCCBCC， 222 11 BCBCCC， 1 BCBC， AB Q侧面 11 BBC C，且BC 面 11 BBC C，ABBC， 又 1 ABBCBQI， 1 ,AB BC 平面 1 ABC，BC平面 1 ABC （2）由（1）知，以 B 为坐标原点，BC 为 x 轴， 1 BC为 y 轴，BA 为 z 轴，建立如图所示的空间直 角坐标系， 则0,0,2A，1,0,0C， 1
32、0, 3,0C， 13 ,0 22 E ， 1 1, 3,0B ， 1 1, 3,2A ， 13 ,2 22 EA ， 1 33 ,0 22 EB ， 设平面 1 AEB的法向量为, ,x y zn，由 1 0 0 EA EB n n ，得1, 3,1n； 同理，设平面 11 A EB的法向量为 111 ,x y zm， 1 3 ,2 22 3 EA ， 由 1 1 0 0 EA EB m m ，得1, 3,0m， 故 1 32 5 cos, 55 2 m n m n mn ， 由题意二面角 11 AB EA是锐二面角，故二面角 11 AB EA的余弦值为 2 5 5 19 【答案】 （1）
33、100 13y x ，每天魔方还原的平均速度y约为13秒； （2）分布列见解析， 50 9 【解析】 （1）由题意，根据表格中的数据，可得 99994532302421 50 7 y ， 可得 7 1 7 2 2 1 7 184.57 0.37 5055 100 0.550.55 7 ii i i i z yz y b zz ， 所以50 100 0.3713aybz， 因此y关于x的回归方程为 100 13y x ， 所以最终每天魔方还原的平均速度y约为13秒 （2）由题意，可得随机变量X的取值为3,4,6,9， 可得 1 4 1 (3) 6 69 A P X ， 1 4 2 A2 (4)
34、6 69 P X ， 1111 4224 1AA A 205 (6) 63 A 669 P X ， 11 22 AA1 (9) 6 69 P X ， 所以X的分布列为： X3469 P 1 9 2 9 5 9 1 9 所以 125150 ()3469 99999 E X 20 【答案】 （1） 2 2 1 2 x y； （2）证明见解析 【解析】 （1）因为椭圆的上、下顶点分别为,A B，点1,2P， ABP的面积 1 ABP S ， 所以 1 21 2 ABP Sb ，基底1b ， 又因为椭圆C上任意一点到椭圆的左焦点 1 F的最短距离为 21 ， 设, M x y是椭圆上任意一点，(,0)
35、Fc， 则 2 22222 2 ()2 c MFxcyxcxa a ，对称轴 2 a xa c ， 所以在区间, xa a 上递增， 则xa 时， min MFac，即 21ac ， 又 222 abc ，解得 2a ， 所以椭圆方程为 2 2 1 2 x y （2）设( ,2)P t，由题意得，直线 PA，PB 的斜率存在， 设 1 :1 PA lyx t ， 3 :1 PB lyx t ， 由 2 2 1 1 1 2 yx t x y ，得 2 22 42 , 22 tt M tt ； 由 2 2 3 1 1 2 yx t x y ，得 2 22 1218 , 1818 tt N tt ，
36、 所以 22 2 22 22 22 182 24 182 : 124 22 182 MN tt tt tt lyx tt tt tt ，化简得 2 61 82 t yx t ， 所以直线MN过定点 1 0, 2 21 【答案】 （1） 3 1 4 PA ， 3 3 8 P B ， 3 3 8 P C ； （2） 8 43 128 a 【解析】 （1）ABCA；ACBA， 所以 3 1111111 2222224 PA ； ABAB；ACAB；ABCB， 所以 3 1111111113 + 2222222228 P B ； ABAC；ACAC；ACBC， 所以 3 1111111113 + 22
37、22222228 P C （2） nn bc，即 11nn bc ，2n ， 又 11 1 2 nnn bac ， 2n 时， 1111 11 22 nnnnn bacab ， 又 111 1 nnn abc ，可得 1 21 nn bb ， 由 11 111111 322323 nnn bbb ， 可得数列 1 3 n b 是首项为 1 6 ，公比为 1 2 的等比数列， 1 111 362 n n b ，即 1 111 362 n n b ， 又 11 11111 12121 36232 nn nn ab ， 故 8 43 128 a 22 【答案】 （1）见解析； （2） 2 5 ,2
38、2 e e 【解析】 （1）函数 f x的定义域为0,， 所以 2 11 1 aaxxax fa x a x x x x x （）当01a时，由 0fx ，得1ax，则 f x的减区间为,1a； 由 0fx ，得xa或1x ，则 f x的增区间为0,a和1, （）当1a 时， 0fx ，则 f x的增区间为0, （）当1a 时，由 0fx ，得1xa，则 f x的减区间为1,a； 由 0fx ，得1x 或xa，则 f x的增区间为0,1和, a （2） 2 22 ln1 21 xx g xeaxaxf xexax ， g x在1,2内有且仅有一个零点， 即关于x方程 2 1 x xe a x 在 1,2上有且仅有一个实数根 令 2 1 x xe h x x ， 1,2x，则 2 11 x xxe h x x ， 令 1 x p xxe ，1,2x，则 10 x p xe ， 故 p x在1,2上单调递减，所以 120p xpe ， 即当1,2x时， 0h x ，所以 h x在1,2上单调递减 又 12he， 2 5 2 2 e h ，则 2 5 2 2 e h xe ， 所以a的取值范围是 2 5 ,2 2 e e
