1、 2019 年陕西中考数学年陕西中考数学 一、一、选择题（共选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1. 计算： 0 3- A.1 B.0 C. 3 D. 3 1 【解析】本题考查 0 指数幂，)0( 1 0 aa，此题答案为 1，故选 A 2. 如图，是由两个正方体组成的几何体，则该几何体的俯视图为 【解析】本题考查三视图，俯视图为从上往下看，所以小正方形应在大正方形的右上角，故 选 D 3. 如图，OC 是AOB 的角平分线，l/OB,若1=52 ，则2 的度数为 A.52 B.54 C.64 D.69 【解析】 l/OB， 1+AOB=180， AO
2、B=128， OC 平分AOB， BOC=64， 又 l/OB，且2 与BOC 为同位角，2=64，故选 C 4. 若正比例函数xy2的图象经过点 O（a-1,4）,则 a 的值为 A. -1 B.0 C.1 D.2 【解析】函数xy2过 O（a-1,4） ，4) 1(2a，1a，故选 A 5. 下列计算正确的是 A. 222 632aaa B. 24 2 2 63baba C. 22 2 baba D. 222 2aaa 【解析】A 选项正确结果应为 422 632aa ，B 选项正确结果应为 24 9ba，C 选项为完全 平方差公式，正确结果应为 22 2baba，故选 D 6. 如图，在
3、 ABC 中，B=30 ，C=45 ，AD 平分BAC 交 BC 于点 D，DEAB，垂 足为 E。若 DE=1，则 BC 的长为 A.2+2 B.32 C.2+3 D.3 【解析】 过点 D 作 DFAC 于 F 如图所示，AD 为BAC 的平分线，且 DEAB 于 E，DFAC 于 F， DE=DF=1，在 RtBED 中，B=30，BD=2DE=2，在 RtCDF 中，C=45，CDF 为等腰直角三角形，CD=2DF=2，BC=BD+CD=22，故选 A 7. 在平面直角坐标系中，将函数xy3的图象向上平移 6 个单位长度，则平移后的图象与 x 轴的交点坐标为 A. (2,0) B.(-
4、2,0) C.(6,0) D.(-6,0) 【解析】根据函数图象平移规律，可知xy3向上平移 6 个单位后得函数解析式应为 63 xy，此时与x轴相交，则0y，063x，即2x，点坐标为（-2,0） ， 故选 B 8. 如图， 在矩形 ABCD 中， AB=3， BC=6， 若点 E， F分别在 AB,CD 上， 且 BE=2AE， DF=2FC， G，H 分别是 AC 的三等分点，则四边形 EHFG 的面积为 A.1 B. 2 3 C.2 D.4 【解析】BE2AE，DF2FC，G、H 分别是 AC 的三等分点 E 是 AB 的三等分点，F 是 CD 的三等分点 EGBC 且 EG1 3BC
5、2 同理可得 HFAD 且 HF1 3AD2 四边形 EHFG 为平行四边形 EG 和 HF 间距离为 1 S四边形EHFG21=2，故选 C 9. 如图，AB 是O 的直径，EF，EB 是O 的弦，且 EF=EB，EF 与 AB 交于点 C，连接 OF，若AOF=40 ，则F 的度数是 A.20 B.35 C.40 D.55 【解析】连接 FB，得到 FOB140； FEB70 EFEB EFBEBF FOBO， OFBOBF， EFOEBO，F35，故选 B 10. 在同一平面直角坐标系中，若抛物线4212 2 mxmxy与nxnmxy3 2 关于 y 轴对称，则符合条件的 m，n 的值为
6、 A. m= 7 5 ,n= 7 18 - B.m=5，n= -6 C.m= -1，n=6 D.m=1，n= -2 【解析】关于 y 轴对称，a，c 不变，b 变为相反数， 42 312 mn nmm 解之得 2 1 n m ， 故选 D 二、二、填空题（共填空题（共 4 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 12 分）分） 11. 已知实数 2 1 ，0.16，3，25， 3 4，其中为无理数的是 【解析】无理数为无限不循环的小数，常见的有开方开不尽的数，本题为 3 43，含有 或者关于的代数式，本题为，故本题答案为 3 4, 3， 12. 若正六边形的边长为 3，则其较长的一条对角线
7、长为 【解析】如图所示为正六边形最长的三条对角线，由正六边形性质可知，AOB，COD 为 两个边长相等的等边三角形，AD=2AB=6，故答案为 6 13. 如图，D 是矩形 AOBC 的对称中心，A(0,4)，B（6，0） ，若一个反比例函数的图象经过 点 D，交 AC 于点 M，则点 M 的坐标为 【解析】如图所示，连接 AB，作 DEOB 于 E，DEy 轴，D 是矩形 AOBC 的中心， D 是 AB 的中点， DE 是AOB 的中位线， OA=4， OB=6， DE= 2 1 OA=2， OE= 2 1 OB=3 ，D（3,2） ，设反比例函数的解析式为 x k y ，623k，反比例
8、函数的解析式为 x y 6 ，AMx 轴，M 的纵坐标和 A 的纵坐标相等为 4，代入反比例函数得 A 的横坐 标为 2 3 ，故 M 的坐标为)4 , 2 3 ( 14. 如图，在正方形 ABCD 中，AB=8，AC 与 BD 交于点 O，N 是 AO 的中点，点 M 在 BC 边上，且 BM=6. P 为对角线 BD 上一点，则 PMPN 的最大值为 【解析】 如图所示， 作以 BD 为对称轴作 N 的对称点 N ， 连接N P ， 根据对称性质可知，NPPN， PM-PNNMNPPM，当NMP,三点共线时，取“=” ，正方形边长为 8， AC=2AB=28，O 为 AC 中点，AO=OC
9、=24，N 为 OA 中点，ON=22， 22NCNO， 26NA， BM=6， CM=AB-BM=8-6=2， 3 1 NA NC BM CM PMABCD，NCM90，CM N =45，CM N 为等腰直角三角形， CM=M N =2，故答案为 2 三、解答题（共 78 分） 15. （5 分）计算： 2 3 2 1 -3-127-2- 【解析】原式2(3) 314 1 3 16. （5 分）化简： aa a a a a a 2 2 4 8 2 2 22 【解析】原式 (a2)2 (a2)(a2) a(a2) a2 a 17. （5 分） 如图， 在 ABC 中， AB=AC， AD 是
10、BC 边上的高。 请用尺规作图法， 求作 ABC 的外接圆。 （保留作图痕迹，不写做法） 【解析】如图所示 18. （5 分）如图，点 A，E，F 在直线 l 上，AE=BF，AC/BF，且 AC=BD，求证：CF=DE 【解析】证明：AEBF， AFBE ACBD， CAFDBE 又 ACBD， ACFBDE CFDE 19. （7 分）本学期初，某校为迎接中华人民共和国建国七十周年，开展了以“不忘初心，缅 怀革命先烈，奋斗新时代”为主题的读书活动。校德育处对本校七年级学生四月份“阅读该主 题相关书籍的读书量”（下面简称：“读书量”）进行了随机抽样调查，并对所有随机抽取学 生的“读书量”（单
11、位：本）进行了统计，如下图所示： 所抽取该校七年级学生四月份“读书量”的统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）补全上面两幅统计图，填出本次所抽取学生四月份“读书量”的众数为 （2）求本次所抽取学生四月份“读书量”的平均数； （3）已知该校七年级有 1200 名学生，请你估计该校七年级学生中，四月份“读书量”为 5 本 的学生人数。 【解析】 （1）如图所示，众数为 3（本） （2）平均数=3 61221183 5641232121813 （3）四月份“读书量”为 5 本的学生人数=120 60 6 1200（人） 20. （7 分）小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度。一天
12、下午，他和学 习小组的同学带着测量工具来到这棵古树前， 由于有围栏保护， 他们无法到达古树的底部 B， 如图所示。于是他们先在古树周围的空地上选择一点 D，并在点 D 处安装了测量器 DC，测 得古树的顶端 A 的仰角为 45 ；再在 BD 的延长线上确定一点 G，使 DG=5 米，并在 G 处的 地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿着 BG 方向移动，当移动带点 F 时，他刚好在小平 面镜内看到这棵古树的顶端 A 的像，此时，测得 FG=2 米，小明眼睛与地面的距离 EF=1.6 米，测倾器的高度 CD=0.5 米。已知点 F、G、D、B 在同一水平直线上，且 EF、CD、AB 均垂直于 F
13、B，求这棵古树的高度 AB。 （小平面镜的大小忽略不计） 【解析】 ：如图，过点 C 作 CHAB 于点 H， 则 CHBD，BHCD0.5 在 RtACH 中，ACH45， AHCHBD ABAHBHBD0.5 EFFB，ABFB，EFGABG90. 由题意，易知EGFAGB， EFGABC EF AB FG BG 即 1.6 BD0.5 2 5BD 解之，得 BD17.5 AB=17.50.518(m) 这棵古树的高 AB 为 18m 21. （7 分）根据记录，从地面向上 11km 以内，每升高 1km，气温降低 6；又知在距离地 面 11km 以上高空，气温几乎不变。若地面气温为 m（
14、） ，设距地面的高度为 x（km）处 的气温为 y（） （1）写出距地面的高度在 11km 以内的 y 与 x 之间的函数表达式； （2）上周日，小敏在乘飞机从上海飞回西安图中，某一时刻，她从机舱内屏幕显示的相关 数据得知，飞机外气温为26时，飞机距离地面的高度为 7km,求当时这架飞机下方地面 的气温；小敏想，假如飞机当时在距离地面 12km 的高空，飞机外的气温是多少度呢？请求 出假如当时飞机距离地面 12km 时，飞机外的气温。 【解析】(1)ym6x (2)将 x7，y26 代入 ym6x，得26m42，m16 当时地面气温为 16 x1211， y1661150() 假如当时飞机距地
15、面 12km 时，飞机外的气温为50 22. （7 分）现有 A、B 两个不透明袋子，分别装有 3 个除颜色外完全相同的小球。其中，A 袋装有 2 个白球，1 个红球；B 袋装有 2 个红球，1 个白球。 （1）将 A 袋摇匀，然后从 A 袋中随机取出一个小球，求摸出小球是白色的概率； （2）小华和小林商定了一个游戏规则：从摇匀后的 A，B 两袋中随机摸出一个小球，摸出 的这两个小球，若颜色相同，则小林获胜；若颜色不同，则小华获胜。请用列表法或画出树 状图的方法说明这个游戏规则对双方是否公平。 【解析】 ：(1)共有 3 种等可能结果，而摸出白球的结果有 2 种 P(摸出白球)2 3 (2)根
16、据题意，列表如下： A B 红 1 红 2 白 白 1 (白 1，红 1) (白 1，红 2) (白 1，白) 白 2 (白 2，红 1) (白 2，红 2) (白 2，白) 红 (红，红 1) (红，红 2) (红，白) 由上表可知，共有 9 种等可能结果，其中颜色相同的结果有 4 种，颜色不同的结果有 5 种 P(颜色相同)4 9，P(颜色不同) 5 9 4 9 5 9 这个游戏规则对双方不公平 23. （8 分）如图，AC 是O 的一条弦，AP 是O 的切线。作 BM=AB 并与 AP 交于点 M， 延长 MB 交 AC 于点 E，交O 于点 D，连接 AD。 （1）求证：AB=BE （
17、2）若O 的半径 R=5，AB=6，求 AD 的长。 【解析】(1)证明：AP 是O 的切线， EAM90， BAEMAB90，AEBAMB90. 又ABBM， MABAMB， BAEAEB， ABBE (2)解：连接 BC AC 是O 的直径， ABC90 在 RtABC 中，AC10，AB6， BC8 由(1)知，BAEAEB， ABCEAM CAME，AC EM BC AM 即10 12 8 AM AM48 5 又DC， DAMD ADAM48 5 24. （10 分）在平面直角坐标系中，已知抛物线 L：cxacaxy 2 经过点 A（-3，0） 和点 B（0，-6） ，L 关于原点 O
18、 堆成的抛物线为 L （1）求抛物线 L 的表达式 （2）点 P 在抛物线 L 上，且位于第一象限，过点 P 作 PDy 轴，垂足为 D。若 POD 与 AOB 相似，求复合条件的点 P 的坐标 【解析】(1)由题意，得 9a3(ca)c0 c6 ，解之，得 a1 c6， L：y=x25x6 (2)点 A、B 在 L上的对应点分别为 A(3，0)、B(0，6) 设抛物线 L的表达式 yx2bx6 将 A(3，0)代入 yx2bx6，得 b5. 抛物线 L的表达式为 yx25x6 A(3，0)，B(0，6)， AO3，OB6. 设 P(m，m25m6)(m0). PDy 轴， 点 D 的坐标为(
19、0，m25m6) PDm，ODm25m6 RtPOD 与 RtAOB 相似， PD AO OD BO或 PD BO OD AO 当PD AO OD BO时，即 m 3 m25m6 6 ，解之，得 m11，m26 P1(1，2)，P2(6，12) 当PD BO OD AO时，即 m 6 m25m6 3 ，解之，得 m33 2，m44 P3(3 2， 3 4)，P4(4，2) P1、P2、P3、P4均在第一象限 符合条件的点 P 的坐标为(1，2)或(6，12)或(3 2， 3 4)或(4，2) 25. （12 分） 问题提出： （1）如图 1，已知 ABC，试确定一点 D，使得以 A，B，C，D
20、 为顶点的四边形为平行四 边形，请画出这个平行四边形； 问题探究： （2）如图2， 在矩形ABCD中， AB=4， BC=10， 若要在该矩形中作出一个面积最大的 BPC， 且使BPC90 ，求满足条件的点 P 到点 A 的距离； 问题解决： （3）如图 3，有一座草根塔 A，按规定，要以塔 A 为对称中心，建一个面积尽可能大的形 状为平行四边形的草根景区 BCDE。根据实际情况，要求顶点 B 是定点，点 B 到塔 A 的距 离为 50 米，CBE=120 ，那么，是否可以建一个满足要求的面积最大的平行四边形景区 BCDE？若可以，求出满足要求的平行四边形 BCDE 的最大面积；若不可以，请说
21、明理由。 （塔 A 的占地面积忽略不计） 【解析】 （1）如图记为点 D 所在的位置 （2）如图，AB=4，BC=10，取 BC 的中点 O，则 OBAB. 以点 O 为圆心，OB 长为半径作O，O 一定于 AD 相交于 21,P P两点， 连接CPOPBP 111 ,，BPC=90，点 P 不能再矩形外； BPC 的顶点 P 在 1 P或 2 P位置时，BPC 的面积最大 作EP 1 BC，垂足为 E，则 OE=3，235 1 OEOBBEAP 由对称性得8 2 AP （3）可以，如图所示，连接 BD， A 为BCDE 的对称中心，BA=50，CBE=120，BD=100，BED=60 作BDE 的外接圆O，则点 E 在优弧BD上，取BED的中点 E ，连接DEBE , 则DEBE，且DE B =60，DE B 为正三角形. 连接O E 并延长，经过点 A 至 C ，使CAAE，连接DCCB , A E BD，四边形DCBE为菱形，且120 E BC 作 EFBD，垂足为 F，连接 EO，则AEOAOEOAEOEF DEBBDE SAEBDEFBDS 2 1 2 1 22 =2100sin605000 3(m ) BCDEBDEBC DE SSS 菱形 所以符合要求的BCDE 的最大面积为 2 m35000
