1、2021 年高考数学考前押题最后一卷新高考版年高考数学考前押题最后一卷新高考版 答案以及解析答案以及解析 一、单项选择题一、单项选择题 1.答案：A 解析：因为 * 21641,2,3,4 x MxxxNN， 2 28024Nx xxxx，所以1,2,3MN，故选 A. 2.答案：A 解析：因为iizz，所以 i1i 1i2 z ，所以 1i i 2 z ，故 2 |i| 2 z ，故选 A. 3.答案：B 解析：由题意得函数( )f x的定义域是(,0)(0,)，且 2 sin() ln() () xx fx x 2 sinln ( ) xx f x x ,所以( ) f x是偶函数，所以函
2、数( ) f x的图像关于 y 轴 对称，故排除 C,D.当 2 x 时, 2 sinln 2ln 22 2 0 2 22 f ，故排除 A.选 B. 4.答案：C 解析：由题意知 22 1: 4240Cxyxy， 22 2: 3310Cxyxy ，将两圆的方程相减，得 30 xy，所以两圆的公共弦所在直线的方程为30 xy.又因为圆 1 C的圆心为( 2,1)，半径 3r ，所以圆 1 C的圆心到直线30 xy的距离 1213 2 2 2 d .所以这两圆的公共弦的弦 长为 22 22rd.故选 C. 5.答案：C 解析： 4 4 8 2 121(1) 2 xxx x xxx .又 8 (1
3、)x 的展开式的通项 8 2 18 C( 1) rr r r Tx ， 所以 2 1 2 8 2 C ( 1) rr r r T x x .当 x 的指数是整数时，该项为有理项，所以当0r ,2,4,6,8 时，该项为有理 项，即有理项的项数为 5.故选 C. 6.答案：D 解析：先安排值班领导：选 1 位值班领导值三天班，则安排 3 位领导值班共有 13 33 C A18（种）方 案.再安排值班员工：若 4 名员工中有 1 名员工值四天班，其他员工各值一天班，则有 1 4 C4 （种）选法；若 1 名员工值两天班，另一名员工值三天班，剩余 2 名员工各值一天班，则有 11 43 C C12（
4、种）选法；若 3 名员工各值两天班，1 名员工值一天班，则有 1 4 C4（种）选法，故 安排 4 名员工值班共有 4 4 (4124)A480（种）方案.因此，该单位在春节七天的假期间值班表安排方案共有 184808640（种）.故选 D. 7.答案：C 解析：当1m时，| ( )| ln2f mm ，令( )ln2(1) 2 m g mmm，则 112 ( ) 22 m g m mm . 若2m，则( ) 0g m ，所以函数 ( )g m在2,)上单调递减.易知(1)0g ， (2)0g ，又 (8)ln842ln820g ， 9131 (9)ln922ln322ln 22e2 g，由于
5、 2 2 3 (1.2)1.5e e ，所以 31 2ln0 e2 ，即(9)0g，所以 m 可以取 1，2，3，4，5，6，7，8. 当0m时，|( )|e33e . mm f m 令( )3e(0) 2 m m h mm，则 1 ( )e 2 m h m . 若1m，则( )0h m ，所以函数 ( )h m在(, 1 上单调递增.易知 (0)0, ( 1)0hh ，又 566 5 511 ( 5)3e0, ( 6)3e3e0 22e hh ，故 m 可以取0, 1, 2, 3, 4, 5 . 综上所述，所有满足条件的 m的和为67821. 8.答案：B 解析：因为ab与ab的夹角为90，
6、所以 22 () () |0ababab，即| |ab.因为ab 与ab的模长之比为3:1，所以 22 ()3()abab，即 222 | 42 aba a b.所以 2 2 | ()| 2 a abaaa b， 222 |()|2| ababaa bba,所以 ()1 cos, |2 aba ab a ab a .因为两向量夹角的范围为0 ,180 ，所以 ab与a的夹角为60.故 选 B. 二、多项选择题二、多项选择题 9.答案：BC 解析：由相互独立事件的概率计算公式可知 A 错误，B 正确；事件A包含“视频甲未入选，图片 乙入选”“视频甲入选，图片乙未入选”“视频甲、图片乙都未入选”三
7、种情况，所以 ( )()()()P AP BCP BCP BC，故 C正确；由题可知， 111 ()1 a P BC abab ， 111 ()1 b P BC abab ，因为 a, * bN,1ab，所以 11ab abab ,即()()P BCP BC,故 D错误. 故选 BC. 10.答案：ABC 解析：由题可知，20132020 年我国农村每年减贫人数均大于 0，因此贫困人口逐年减少，故选项 A正确； 20132019 年我国农村每年减贫人数的平均值为 16501232144212401289138611099348 77 （万人)，又 9348 1300 7 ，故选项 B 正确；
8、2017年末我国农村贫困人口为551110913863046(万人)，故选项 C 正确； 由于 20132019 年我国农村贫困人口每一年都大量减少，故选项 D 错误. 故选 ABC. 11.答案：ABC 解析：如图（1），连接 1 AD，在 1 RtABD中， 1 2AD ，1AB ， 1 3BD ，当 1 APBD时， 有 min 2 16 | 33 AP ,故 A 正确.如图（2）,取 1 BD的中点 P,CD 的中点 H,连接 1 D H,BH. 1 D HBH, 1 PHBD，故 B 正确.如图（3），连接 BD，过点 P 作PQBD，垂足为 Q，则PQ 平面 ABCD.设(0,1)
9、PQt ，则2QBt.连接 AQ，在ABQ中，由余弦定理可知 2222 2cos45221AQBQABBQ ABtt .在RtAPQ中， 2 22 2 11 tan 12 221 1 2 11 t PAQ tt tt t .01t, 1 1 t , 2 1 111 t , tan(0,1)PAQ，则 0, 4 PAQ ，因此不存在点 P 使得 AP 与平面 ABCD 所成的角为 3 ，故 C 错误.设过点 1 A，P, 1 B的平面为，根据面面平行与线面平行的性质定理可得平面截正方 体 1111 ABCDABC D所得截面形状是平行四边形，如图（4）（5）（6），故 D 正确.选 ABD. 1
10、2.答案：BC 解析：由于 22ONOFOM ，故点 M 为 2 NF的中点，所以 1/ NFOM，所以 122 NF FMOF ，所 以 22 2MOFMF O ，所以 1222 2NOFMOFMF OMF OMNO ，故 2 MNOMF O ，所以OM 2 NF，所以 12 NFNF，所以 212 60MOFNFF ，故 tan603 b a ，所以双曲线 C 的离心率 2 12 cb aa ，故选项 A 错误. 因为 12 24FFca ，所以 12 |2 ,|2 3|NFa NFa，所以 12 NFF 的面积为 2 1 22 32 3 2 aaa，故 12 MF F 的面积为 2 3a
11、，故选项 B正确. 由于 1 1 |33 tan 22 MNa NFM NFa ，所以 121 3 3 3 2 tantan 60 53 13 2 MFFNFM ，故 选项 C正确. 由于 2 222 11 |(2|)( 3 )7MFNFMNaaa，故选项 D错误. 综上所述，选 BC. 三、填空题三、填空题 13.答案：3 解析：设 a 与 b 的夹角为，b 在 a 上的投影为 2 |cos|3 | | 10 x a ba b bb aba ，解得 3x . 14.答案：2; 4 3 x 解析：由(1)(3)f xf x，得(4)( )f xf x，所以( )f x是以 4 为周期的周期函数
12、.所以 ( 2021)(2021)(45051)(1)3 12ffff .设 2,0 x ，则0,2x .因为( )f x是 R 上的 偶函数，所以当 2,0)x 时，( )()31 x f xfx .当2,4x时，4 2,0 x ，所以 (4)4 ( )(4)3131 xx f xf x . 15.答案：e0 xy 解析：由题意，得(1)0f， 2 cos( )esin( )ecos( )sin( ) ( ) ee x xx x xxxx fx ，所以 (1) e f ，所以曲线( )yf x在点(1,0)处的切线方程为(1 e )yx ，即e0 xy. 16.答案：11 解析：把平面 11
13、 AAC C沿 1 AA展开到与平面 11 ABB A共面的 11 AAC C 的位置，延长 1 B B到 1 B，使得 11 BBB B ，连接 1 B F ，如图 1 所示，则 11 B FB F .要使 11 C EEFFB的长度最小，则需 1 C， E,F, 1 B四点共线，此时 111111 C EEFFBC EEFFBC B .因为 11 4C B ， 11 4B B， 111 90B BC ，所以 1111 45BBC B ，所以 1 2BFBB， 111 1AEAC，故1AEAF， 1 45AFEBFB ，所以 1 90B FE ，2EF ， 1 2 2B F ， 1 10EB
14、 ，所以 1 EFB的外 接圆是以 1 EB的中点 O 为圆心， 1 10 22 EB 为半径的圆，故三棱锥 11 BC EF外接球的球心O一 定在过点 O且与平面 1 EFB垂直的直线上，如图 2 所示，点O到点 E,C 的距离相等，则 1 2 OOAC ，所以 22 21 10111 22444 EBAC O E ,所以三棱锥 11 BC EF外接球的表面积为 11 411 4 . 四、解答题四、解答题 17.答案：（1）因为点 E 为 AB 的中点，DEAB，所以ADBD. 在BCDV中，由余弦定理得 222 2cosBDBCCDBC CDC， 所以 22 4(3)2(3)BDBDBD，
15、解得 7 4 BD .3分 又ABCV的面积为 1133 3 sin23 2222 BC ACC ， 所以ABDV的面积为 3 37 3 28 AD AC .5分 （2）由（1）知ADBD，所以AABD ， 所以sinsinDEBDABDBDA.7分 在BCDV中，由正弦定理得 sinsin BDBC CBDC ， 所以 sinsinsin2 DEBC CAA ，即 22 2cos3 2 A ， 解得 6 cos 4 A.9分 又因为 (0,)A ，所以 10 sin 4 A.10分 18.答案：（1）由题得，当2n时， 22 1 11 2 42 nnnn SSaa ， 当3n时， 2 121
16、 1 2 nnn SSa ，2分 -，得 22 1111 111 222 nnnnnnnn aaaaaaaa ， 所以 1 2(3) nn aan .4 分 当2n 时，由 2 1 1 2 nnn SSa ，得 2 212 1 2 SSa， 整理得 2 22 280aa，解得 2 4a 或 2 2a （舍去）. 又 21 2aa，符合式. 所以数列 n a 是首项为 2，公差为 2 的等差数列，所以2 n an.6分 （2）由（1）得 (22 ) (1) 2 n nn Sn n . 所以 12111 ( 1)( 1)( 1) (1)1 nnnn n n an b Sn nnn .8分 所以 1
17、23nn TbbbbL 1111111 1( 1) 223341 n nn L 1 1( 1) 1 n n .12分 19.答案：（1）由(0.050.350.250.05) 11aa ，解得0.15a . 设x为汽车 5 年内所行驶里程的平均值，则 3.50.054.50.155.50.356.50.257.50.158.50.055.95x （万千米）.5分 （2）由（1）可知，一辆汽车 1 年内所行驶里程的平均值为 5.95 1.19 5 （万千米）. 因为一辆汽车每年行驶 1 万千米的排碳量需要近 200 棵树用 1 年时间来吸收， 所以每一辆汽车平均需要1.19200238（棵）树才
18、能够达到“碳中和”.7分 （3）补全的22列联表如下： 考虑大气污染没考虑大气污染合计 新能源汽车车主104050 燃油汽车车主25225250 合计35265300 所以 2 2 300 (1022525 40) 4.04 35 265 250 50 K .10分 因为4.046.635， 所以没有99%的把握认为购买新能源汽车与考虑大气污染有关.12分 20.答案：（1）四棱柱 1111 ABCDABC D是直四棱柱， 1 AA平面 ABCD.2分 BD 平面 ABCD, 1 AABD. 在四边形 ABCD 中，ABAD,BCCD,ACBD.4分 又 1 ACAAA,BD平面 11 AAC
19、 C.5 分 （2）如图，连接 11 B D，记0ACBD， 11111 ACB DO，连接 1 OO， 则 1 OO 平面 ABCD，且 11 2OOAA. 以 O 为坐标原点，分别以 OA,OB, 1 OO所在直线为 x 轴、y 轴、z轴建立空间直角坐标系，6 分 则( 3,0,0)A， 1( 3,0,2) A，(0,1,0)B， 1(0, 1,2) D. (3,1,0)AB ， 1 (0, 2,2)BD ， 1 (3,1, 2)AB . 设平面 1 ABD的法向量为 111 ,x y zm，则 1 0, 0, AB BD m m 即 11 11 30, 220. xy yz 取 1 1x
20、 ，则 1 3y ， 1 3z ， (1, 3, 3)m是平面 1 ABD的一个法向量.8 分 同理，(1,3,3) n是平面 11 A BD的一个法向量.9 分 1335 cos, |777 m n m n m n . 由图知，二面角 11 ABDA为锐角，所求二面角的余弦值为 5 7 .12 分 21.答案：（1）函数 22 ( )lnf xxa xax的定义域为(0,). 22 2 121(21)(1) ( )2 a xaxaxax fxa xa xxx .1分 当0a 时( )lnf xx，此时函数( )f x为增函数，无最值.2分 当0a 时，令( )0fx ，得 1 2 x a 或
21、 1 x a . 若0a ，则 1 0 2a , 1 0 a .由( )0fx ，得 1 0 2 x a ；由( )0fx ，得 1 2 x a . 所以函数( )yf x在区间 1 0, 2a 上单调递增，在区间 1 , 2a 上单调递减. 所以函数( )f x在定义域内有最大值 2 2 111113 lnln 222224 faa aaaaa ，无 最小值.3 分 若0a ，则 1 0 2a ， 1 0 a .由( )0fx ，得 1 0 x a ;由( )0fx ，得 1 x a . 所以函数( )yf x在区间 1 0, a 上单调递增,在区间 1 , a 上单调递减.4 分 所以函数
22、( )f x在定义域内的最大值为 2 2 1111 lnlnfaaa aaaa ， 无最小值.5分 （2）由（1）知，当0a 时，函数( )f x在定义域内的最大值为 1 lnfa a . 因为( )yf x有两个不同的零点 1 x， 2 x，所以ln0a，解得01a.6 分 不妨设 12 1 0 xx a ，由题意知 2222 11112222 ln0,ln0f xxa xaxf xxa xax， 所以 222 212121 lnlnxxaxxaxax， 即 21 21 21 lnln 1 xx a a xx xx ，即 2 1 211 2 1 ln 1 1 x x a a xxx x x
23、.8分 设 2(1) ( )ln(1) 1 t h ttt t ，则 2 22 14(1) ( )(1) (1)(1) t h tt ttt t , 所以当1t 时，( )0h t ，此时( )h t单调递增， 故( )(1)0h th，即 2(1) ln0 1 t t t ，所以 ln2 11 t tt .10分 令 2 1 x t x ，则上式可化为 2 1 22 11 ln 2 11 x x xx xx ，所以 211 2 1 2 1 1 a a xxx x x ， 所以 21 21 2 1a a xx xx ，即 2 2 2121 20axxa xx， 所以 2121 210a xxa
24、 xx . 又因为 21 10a xx 恒成立，所以 12 2a xx.12分 22.答案：（1）由题意知(0, )Mb，( ,0)N a，由 1 1 2 ab ，得2ab .1分 设直线yx与椭圆 C 交于点 00 ,P x x， 00 ,Qxx，则 22 0 |8PQx.2分 把 00 ,P x x代入椭圆方程，得 22 2 0 22 a b x ab ， 故 2 22 2 22 84 10 | 5 a b PQ ab ，即 22 22 4 5 a b ab . 由，解得 2 2 4 1 a b 或 2 2 1 4 a b （舍去），所以椭圆 C 的标准方程为 2 2 1 4 x y.4分
25、 （2）假设存在这样的圆 O，设OA OB . 当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为ykxm. 由 2 2 1 4 ykxm x y ,得 222 148440kxkmxm. 设 11 ,A x y， 22 ,B x y，则 12 2 8 14 km xx k ， 2 12 2 44 14 m x x k .6 分 故 2 2222 12121212 22 448 11 1414 mkm OA OBx xy ykx xkm xxmkkmm kk 22 2 544 14 mk k . 由 2 | 1 m r k ，得 2 2 2 1 m r k . 由,得 22 2 541 14 rk k ，当 与 k 无关时，0， 2 4 5 r ， 即圆 O的半径为 2 5 5 .9 分 当直线 AB 的斜率不存在时，若直线 AB 的方程为 2 5 5 x , 将其代入椭圆 C的方程，得 2 5 2 5 , 55 A , 2 52 5 , 55 B , 此时0OA OB . 若直线 AB 的方程为 2 5 5 x ，同理可得0OA OB . 综上，存在满足题意的圆 O，其方程为 22 4 5 xy.12 分
