1、4-1-5.奇妙的一笔画 题库page1of8 4-1-5.4-1-5.奇妙的一笔画奇妙的一笔画 知识点拨知识点拨 所谓图的一笔画，指的就是：从图的一点出发，笔不离纸，遍历每条边恰好一次，即每条边都只画一次， 不准重复从图中容易看出：能一笔画出的图首先必须是连通图但是否所有的连通图都可以一笔画出呢？ 下面，我们就来探求解决这个问题的方法 什么样的图形能一笔画成呢？这就是一笔画问题，它是一种有名的数学游戏 我们把一个图形中与偶数条线相连接的点叫做偶点相应的把与奇数条线相连接的点叫做奇点 一笔画问题：一笔画问题： (1)能一笔画出的图形必须是连通的图形； (2)凡是只由偶点组成的连通图形一定可以一
2、笔画出画时可以由任一偶点作为起点最后仍回到这点； (3)凡是只有两个奇点的连通图形一定可以一笔画出画时必须以一个奇点作为起点，以另一个奇点为终点； (4)奇点个数超过两个的图形，一定不能一笔画 多笔画问题：多笔画问题： 我们把不能一笔画成的图，归纳为多笔画多笔画图形的笔画数恰等于奇点个数的一半事实上，对于 任意的连通图来说，如果有 2n 个奇点(n 为自然数)，那么这个图一定可以用 n 笔画成 例题精讲例题精讲 模块一、判断奇偶点 【例【例 1】 我们把一个图形上与偶数条线相连的点叫做偶点，与奇数条线相连的点叫做奇点下图中，我们把一个图形上与偶数条线相连的点叫做偶点，与奇数条线相连的点叫做奇点
3、下图中，哪些哪些 点点是偶点是偶点？哪些点？哪些点是奇点是奇点？ 【考点】一笔画问题【难度】2 星【题型】解答 【解析】奇点： DHJO偶点：ABCEFGI 【答案】奇点： DHJO偶点：ABCEFGI 【例【例 2】 同学们野营时建了同学们野营时建了 9 个营地，连接营地之间的道路如图所示，贝贝要给每个营地插上一面旗帜，个营地，连接营地之间的道路如图所示，贝贝要给每个营地插上一面旗帜， 要求相邻营地的旗帜色彩不同，则贝贝最少需要要求相邻营地的旗帜色彩不同，则贝贝最少需要种颜色的旗子，如果贝贝从某营地出种颜色的旗子，如果贝贝从某营地出 发，不走重复路线就发，不走重复路线就（填（填“能能”或或“
4、不能不能”）完成任务）完成任务. 【考点】一笔画问题【难度】2 星【题型】填空 【关键词】华杯赛，六年级，初赛，第 10 题 【解析】最少需要 3 种颜色的旗子。因为中间的三点连成一个三角形，要使这三点所代表营地两粮相邻，要 使相邻营地没有相同颜色的旗子，必须各插一种与其它两点不同颜色的旗子。不走重复路线不能完 成插旗的任务，因为本题共有 6 各奇点。 4-1-5.奇妙的一笔画 题库page2of8 【答案】3种颜色，不能 【例【例 3】 判断下列图判断下列图 a、图、图 b、图、图 c 能否一笔画能否一笔画 ? 图a ? N ? M ? L ? K ? F ? D ? E ? C ? B ?
5、 A ? 图b ? O ? D ? C ? B ? A ? 图c ? G ? F ? E ? D ? C ? B ? A 【考点】一笔画问题【难度】2 星【题型】解答 【解析】图 a 能，因为有 2 个奇点， 图 a 能 b 不能，因为图形不是连通的， 图 c 能，因为因为图中全是奇点 【答案】a能，a能，c能 【例【例 4】 下面图形能不能一笔画成？若果能，应该怎样画？ 【考点】一笔画问题【难度】2 星【题型】解答 【解析】图 1 能 因为图中全是偶点； 图 2 能 因为图中全是偶点； 图 3 不能因为有 4 个奇点。 【答案】图1能 因为图中全是偶点； 图 2 能 因为图中全是偶点； 图
6、3 不能因为有 4 个奇点。 【例【例 5】 下面的图形，哪些能一笔画出？哪些不能一笔画出？下面的图形，哪些能一笔画出？哪些不能一笔画出？ 【考点】一笔画问题【难度】2 星【题型】解答 【解析】第 1 个能，2、3 不能 【答案】第 1 个能，2、3 不能 【例【例 6】 右图是某展览厅的平面图，它由五个展室组成，任两展室之间都有门相通，整个展览厅还有一个进 口和一个出口，问游人能否一次不重复地穿过所有的门，并且从入口进，从出口出？ 【考点】一笔画问题【难度】2 星【题型】解答 【解析】将图形中的 6 个区域看成 6 个点，每个门看成连结他们的线段，显然 6 个点都是偶点，所以有人能 一次不重
7、复的走过所有的门 【答案】能 4-1-5.奇妙的一笔画 题库page3of8 【巩固】右图是某展览馆的平面图，一个参观者能否不重复地穿过每一扇门？如果不能，请说明理由如果【巩固】右图是某展览馆的平面图，一个参观者能否不重复地穿过每一扇门？如果不能，请说明理由如果 能，应从哪开始走？能，应从哪开始走？ ? E ? C ? D ? B ? A 【考点】一笔画问题【难度】2 星【题型】解答 【解析】不能 【答案】不能 【例【例 7】 下图中的线段表示小路， 请你仔细观察， 认真思考， 能够不重复的爬遍小路的是甲蚂蚁还是乙蚂蚁？ 该怎样爬？ 【考点】一笔画问题【难度】2 星【题型】解答 【解析】要想不
8、重复爬出，需要图形能一笔画出，由于图中有两个奇点，所以应该从奇点出发才能一笔画出 图形，所以甲蚂蚁能够 【答案】甲蚂蚁 【例【例 8】 能否用剪刀从左下图中一次连续剪下三个正方形和两个三角形？能否用剪刀从左下图中一次连续剪下三个正方形和两个三角形？ 【考点】一笔画问题【难度】2 星【题型】解答 【解析】可以 【答案】可以 【例【例 9】 下图是儿童乐园的道路平面图，要使游客走遍每条路并且不重复，那么出、入口应设在哪里？下图是儿童乐园的道路平面图，要使游客走遍每条路并且不重复，那么出、入口应设在哪里？ 【考点】一笔画问题【难度】3 星【题型】解答 【解析】要想不重复，需要路线能一笔画出，由于图中
9、有两个奇点，所以入口和出口应该分别放在两个奇点 出，即 F 和 I 点 【答案】出口和入口应该分别放在F和I点 【例【例 10】邮递员叔叔向邮递员叔叔向 11 个地点送信一次信，不走重复路，怎样走最合适？个地点送信一次信，不走重复路，怎样走最合适？ 【考点】一笔画问题【难度】3 星【题型】解答 【解析】不走重复路，一笔能画出路线图，图中有 2 个奇点，应该从奇点处出发，下面有一种参考路线： 4-1-5.奇妙的一笔画 题库page4of8 4-1-2-5-8-9-6-10-11-7-4-3 【答案】4-1-2-5-8-9-6-10-11-7-4-3 【例【例 11】观察下面的图，看各至少用几笔画
10、成？观察下面的图，看各至少用几笔画成？ 【考点】一笔画问题【难度】3 星【题型】解答 【解析】图(1)有 8 个奇点，所以要 4 笔画出， 图(2)有 12 个奇点，所以要一笔画出， 图(3)能一笔画出 【答案】图(1)有8个奇点，所以要4笔画出， 图(2)有 12 个奇点，所以要一笔画出， 图(3)能一笔画出 【例【例 12】在33的方阵中每个小正方形的边长都是100 米小明沿线段从A点到B 点，不许走重复路，他最 多能走多少米？ 【考点】一笔画问题【难度】3 星【题型】解答 【解析】这道题大多数同学都采用试画的方法，实际上可以用一笔画原理求解首先，图中有8 个奇点，在8 个奇点之间至少要去
11、掉4 条线段， 才能使这8 个奇点变成偶点； 其次， 从A点出发到B 点， A， B 两 点必须是奇点，现在A， B 都是偶点，必须在与A，B 连接的线段中各去掉1 条线段，使A，B 成为 奇点所以至少要去掉6 条线段，也就是最多能走1800 米，走法如图 【答案】 【例【例 13】有有16个点排成的个点排成的44方阵。如图，请不间断地一笔画出方阵。如图，请不间断地一笔画出6条直线经过每个点，且最后回到起点条直线经过每个点，且最后回到起点 【考点】一笔画问题【难度】3 星【题型】解答 【解析】答案不唯一 只使用横平竖直的线怎么都不够，因此尝试使用斜线进行构造。 4-1-5.奇妙的一笔画 题库p
12、age5of8 【答案】答案不唯一 【例【例 14】一条小虫沿长 6 分米，宽 4 分米，高 5 分米的长方体的棱爬行如果它只能进不能退，并且同一条 棱不能爬两次，那么它最多能爬多少分米？ 【考点】一笔画问题【难度】3 星【题型】解答 【解析】8 个定点都是奇点，所以至少需要 4 笔 多画长和高能保证总路程最长，为 ABGHADCFED 总长为 6454 4148 分米 【答案】48分米 【巩固【巩固】一只木箱的长一只木箱的长、宽宽、高分别为高分别为 5，4，3 厘米厘米( (见右图见右图) )，有一只甲虫从有一只甲虫从 A 点出发点出发，沿棱爬行沿棱爬行，每条棱每条棱 不允许重复，则甲虫回到
13、不允许重复，则甲虫回到 A 点时，最多能爬行多少厘米？点时，最多能爬行多少厘米？ 【考点】一笔画问题【难度】3 星【题型】解答 【解析】最多 34 厘米 【答案】多34厘米 模块二、调整奇偶点变一笔画 【例【例 15】判断下列图形能否一笔画若能，请给出一种画法；若不能，请加一条线或去一条线，将其改成可 一笔画的图形 ? I ? H ? G ? F ? E ? D ? C ? B ? A ? 图a ? H ? G ? I ? K ? L ? J ? F ? E ? D ? C ? B ? A ? 图b ? D ? C ? H ? G ? E ? F ? B ? A ? 图c 【考点】一笔画问题【
14、难度】3 星【题型】解答 【解析】图(1)不能一笔画出，因为图中有 4 个奇点，连结 BD，或者去掉 BF 都可以使图形能一笔画出 图(2)不能一笔画出，因为图中有 4 个奇点，去掉 KL，或者 BK 都可以使图形能一笔画出 图(3)不能一笔画出，因为图中有 4 个奇点，去掉 AB 可以使图形能一笔画出 4-1-5.奇妙的一笔画 题库page6of8 一个 K(K1)笔画最少要添加几条连线才能变成一笔画呢？我们知道 K 笔画有 2K 个奇点，如果在 任意两个奇点之间添加一条连线，那么这两个奇点同时变成了偶点如左下图中的 B，C 两个奇点 在右下图中都变成了偶点 所以只要在 K 笔画的 2K 个
15、奇点间添加(K-1)笔就可以使奇点数目减少为 2 个，从而变成一笔画 【答案】 【例【例 16】如图是某餐厅的平面图，共有五个小厅，相邻两厅之间有门相通，并且设有入口请问你能否从如图是某餐厅的平面图，共有五个小厅，相邻两厅之间有门相通，并且设有入口请问你能否从 入口进入一次不重复地穿过所有的门如果可以，请指明穿行路线，入口进入一次不重复地穿过所有的门如果可以，请指明穿行路线， 如果不能，应关闭哪个门就如果不能，应关闭哪个门就 可以办到？可以办到？ 【考点】一笔画问题【难度】4 星【题型】解答 【解析】可以将图中的五个小厅以及厅外的部分都抽象成点，为方便解题，给它们分别编号这时，连通厅 与厅之间
16、的门就相当于各点之间的连线于是题目中餐厅平面图就抽象成为一个连通的图形，如下： 求穿形路线的问题就转化成一笔画的问题在抽象出的图形中，我们可以找到四个奇点，即、 和厅外，所以图形不能一笔画出也就是说，从入口进入不可能一次不重复的穿过所有的门但根 据一笔画问题的知识，只要关闭门，把、变为偶点，就可以办到，关闭B门，可行路线如上图。 【答案】关闭B门。 【例【例 17】下图中不能一笔画成，请你在下图中添加最少的线段，将其改成一笔画的图形，并画出路线图 【考点】一笔画问题【难度】2 星【题型】解答 【解析】不能一笔画出，因为图中有 E H G F 四个奇点，连结 EH 就可以使图形一笔画出 【答案】
17、连结EH就可以使图形一笔画出 4-1-5.奇妙的一笔画 题库page7of8 【例【例 18】如图所示如图所示，某小区花园的道路为一个长某小区花园的道路为一个长 480 米米，宽宽 200 米的长方形米的长方形；一个边长为一个边长为 260 米的菱形和十米的菱形和十 字交叉的两条道路组成一天，王大爷字交叉的两条道路组成一天，王大爷 A 处进入花园，走处进入花园，走遍花园的所有遍花园的所有道路并从道路并从 A 处离开如果处离开如果 他每分钟走他每分钟走 60 米，那么他从进入花园到走出花园最少要用米，那么他从进入花园到走出花园最少要用分分 【考点】一笔画问题【难度】4 星【题型】填空 【解析】【
18、解析】根据一笔画的概念， 因为道路图有四个奇点， 所以王大爷是没法不重复地走完小区所有的道路回到A 的，但可以对道路图作一些处理，相当于王大爷通过走重复的道路，完成一笔画，如下图： 道路的总路程为4803200326063600 米，王大爷走完这些路要60分钟 【答案】60分钟 【例【例 19】某城市的交通系统由若干个路口（右图中线段的交点）和街道（右图中的线段）组成，每条街道某城市的交通系统由若干个路口（右图中线段的交点）和街道（右图中的线段）组成，每条街道 都连接着两个路口所有街道都是双向通行的，且每条街道都有一个长度值（标在图中相应的线都连接着两个路口所有街道都是双向通行的，且每条街道都
19、有一个长度值（标在图中相应的线 段处段处） 一名邮递员传送报纸和信件，要从邮局出发经过他所管辖的每一条街道最后返回邮局（每一名邮递员传送报纸和信件，要从邮局出发经过他所管辖的每一条街道最后返回邮局（每 条街道可以经过不止一次条街道可以经过不止一次） 他合理安排路线，可以使得自己走过最短的总长度他合理安排路线，可以使得自己走过最短的总长度是是 【考点】一笔画问题【难度】4 星【题型】填空 【解析】【解析】根据一笔画的有关概念， 道路图中有6个奇点， 邮递员不可能不重复地走遍所有街道并返回邮局 但 可以对道路图作一些处理，相当于邮递员通过走重复的道路，完成一笔画，如下图： 总路程为3 102 84
20、6 【答案】46 【例【例 20】18 世纪的哥尼斯堡城是一座美丽的城市，在这座城市中有一条布勒格尔河横贯城区，这条河有两世纪的哥尼斯堡城是一座美丽的城市，在这座城市中有一条布勒格尔河横贯城区，这条河有两 条支流在城市中心汇合条支流在城市中心汇合，汇合处有一座小岛汇合处有一座小岛A和一座半岛和一座半岛D，人们在这里建了一座公园人们在这里建了一座公园，公园中有公园中有 七座桥把河两岸和两个小岛连接起来七座桥把河两岸和两个小岛连接起来( (如图如图a) )如果游人要一次走过这七座桥如果游人要一次走过这七座桥，而且对每座桥只许而且对每座桥只许 走一次，问如何走才能成功？走一次，问如何走才能成功？ 【
21、考点】一笔画问题【难度】4 星【题型】解答 【解析】欧拉解决这个问题的方法非常巧妙他认为：人们关心的只是一次不重复地走遍这七座桥，而并不 关心桥的长短和岛的大小，因此，岛和岸都可以看作一个点，而桥则可以看成是连接这些点的一条 线这样，一个实际问题就转化为一个几何图形(如下图)能否一笔画出的问题了而图 B 中有 4 个 奇点显然不能一笔画出 4-1-5.奇妙的一笔画 题库page8of8 【答案】不能 【巩固】【巩固】如下图所示，两条河流的交汇处有两个岛，有七座桥连接这两个岛及河岸问：一个散步者能否一如下图所示，两条河流的交汇处有两个岛，有七座桥连接这两个岛及河岸问：一个散步者能否一 次不重复地
22、走遍这七座桥？次不重复地走遍这七座桥？ 【考点】一笔画问题【难度】4 星【题型】解答 【解析】能 【答案】能 【例【例 21】一个邮递员投递信件要走的街道如右图所示一个邮递员投递信件要走的街道如右图所示，图中的数字表示各条街道的千米数图中的数字表示各条街道的千米数，他从邮局出发他从邮局出发， 要走遍各街道，最后回到邮局怎样走才能使所走的行程最短？全程多少千米？要走遍各街道，最后回到邮局怎样走才能使所走的行程最短？全程多少千米？ 【考点】一笔画问题【难度】5 星【题型】解答 【解析】图中共有8 个奇点，必须在8 个奇点间添加4 条线，才能消除所有奇点，成为能从邮局出发最后返 回邮局的一笔画在距离最近的两个奇点间添加一条连线，如左下图中虚线所示，共添加4 条连线， 这4 条连线表示要重复走的路，显然，这样重复走的路程最短，全程30千米走法参考右下图(走法 不唯一) 【答案】30千米
