1、5-1-2-4.最值的数字谜（一）.题库教师版page 1 of 7 5-1-2-4.5-1-2-4.最值中的数字谜最值中的数字谜 （一一） 教学目标教学目标 1.掌握最值中的数字谜的技巧 2.能够综合运用数论相关知识解决数字谜问题 知识点拨知识点拨 数字谜中的最值问题常用分析方法 1.数字谜一般分为横式数字谜和竖式数字谜 横式数字谜经常和数论里面的知识结合考察， 有些时候也可以 转化为竖式数字谜； 2.竖式数字谜通常有如下突破口：末位和首位、进位和借位、个位数字、位数的差别等 3.数字谜的常用分析方法有：个位数字分析法、高位数字分析法、数字大小估算分析法、进位错位分析法、 分解质因数法、奇偶
2、分析法等 4.除了数字谜问题常用的分析方法外，还会经常采用比较法，通过比较算式计算过程的各步骤，得到所求的 最值的可能值，再验证能否取到这个最值 5.数字谜问题往往综合了数字的整除特征、质数与合数、分解质因数、个位数字、余数、分数与小数互化、 方程、估算、找规律等题型。 例题精讲例题精讲 【例【例【例【例 1 1】 有四个不同的数字有四个不同的数字，用它们组成最大的四位数和最小的四位数用它们组成最大的四位数和最小的四位数，这两个四位数之和是这两个四位数之和是 11469，那么那么 其中最小的四位数是多少？其中最小的四位数是多少？ 【考点】加减法的进位与借位【难度】3 星【题型】填空 【解析】【
3、解析】设 这 四 个 数 字 是abcd， 如 果0d ， 用 它 们 组 成 的 最 大 数 与 最 小 数 的 和 式 是 11469 abcd dcba，由个位知9ad，由于百位最多向千位进 1，所以此时千位的和最多为 10， 与题意不符所以0d ，最大数与最小数的和式为 0 0 11469 abc cba，由此可得9a ，百位没有 向千位进位，所以11ac，2c ；64bc所以最小的四位数cdba是 2049 【答案】2049 【例【例【例【例 2 2】 将一个四位数的数字顺序颠倒过来，得到一个新的四位数，如果新数比原数大将一个四位数的数字顺序颠倒过来，得到一个新的四位数，如果新数比原
4、数大 7902，那么所有符，那么所有符 合这样条件的四位数中原数最大的是合这样条件的四位数中原数最大的是 5-1-2-4.最值的数字谜（一）.题库教师版page 2 of 7 7902 DCBA ABCD 【考点】加减法的进位与借位【难度】4 星【题型】填空 【解析】【解析】用A、B、C、D分别表示原数的千位、百位、十位、个位数字，按题意列减法算式如上式从首 位来看A只能是 1 或 2，D是 8 或 9；从末位来看，102AD，得8DA，所以只能是1A ， 9D 被减数的十位数B，要被个位借去 1，就有1BC B最大能取 9，此时C为 8，因此， 符合条件的原数中，最大的是 1989 【答案】
5、1989 【例【例【例【例 3 3】 在下面的算式中，在下面的算式中，A、B、C、D、E、F、G分别代表分别代表 19 中的数字，不同的字母代表不同中的数字，不同的字母代表不同 的数字，恰使得加法算式成立则三位数的数字，恰使得加法算式成立则三位数EFG的最大可能值是的最大可能值是 2006 ABCD EFG 【考点】加减法的进位与借位【难度】4 星【题型】填空 【解析】【解析】可以看出，1A ，6DG或 16若6DG，则D、G分别为 2 和 4，此时10CF，只能 是C、F分别为 3 或 7，此时9BE，B、E只能分别取1,8、2,7、3,6、4,5，但此时 1、 2、 3、 4 均已取过，
6、不能再取， 所以DG不能为 6，16DG 这时D、G分别为 9 和 7； 且9CF， 9BE，所以它们可以取3,6、4,5两组要使EFG最大，百位、十位、个位都要尽可能大， 因此EFG的最大可能值为 659事实上13476592006，所以EFG最大为 659 【答案】659 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】如图，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，那么四位数如图，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，那么四位数“奥林匹克奥林匹克”最大是最大是 奥林匹克 +奥数网 2008 【考点】加减法的进位与借位【难度】4 星【题型】填空 【关键词】学而思杯，6 年级，1 试
7、，第 2 题 【解析】显然“2奥”，所以“1奥或2”，如果“2奥”，则四位数与三位数的和超过2200，显然不符合条 件， 所以“1奥”， 所以“9林”， 如果“9林”那么“200819001008匹克数网”， “0匹=数”， 不符合条件，所以“林”最大只能是8，所以“20081800100108匹克数网”，为了保证不同的 汉字代表不同的数字，“匹克”最大是76，所以“奥林匹克”最大是1876。 【答案】1876 【例【例【例【例 4 4】 下面是一个下面是一个n进制中的加法算式，其中不同的字母表示不同的数，求进制中的加法算式，其中不同的字母表示不同的数，求n和和ABCDE的值的值 ABCD C
8、BEB CEABE 【考点】加减法的进位与借位【难度】5 星【题型】填空 【解析】【解析】由于算式中出现 5 个不同的数字，所以n至少为 5在n进制中，就像在 10 进制中一样，两个四位 数相加得到一个五位数，那么这个五位数的首位只能为 1(因为这两个四位数都小于 10000，它们的 和小于 20000，故首位为 1)，即1C 由于A最大为1n，则11 1 11ACnn ， 1 1ACnn ，即两个四位数的首位向上位进1后最多还剩下1，即E最大为1，又因为不同的 字母表示不同的数，E不能C与相同， 所以E只能为0 则DBn， 末位向上进 1 位；12CE ， 5-1-2-4.最值的数字谜（一）
9、.题库教师版page 3 of 7 即2B ；4BB，不向上进位，所以4A ；ACEn，得5n ，则3DnB所以n为 5，ABCDE为 42130 【答案】n为 5，ABCDE为 42130 【例【例【例【例 5 5】 右式中的右式中的a，b，c，d分别代表分别代表 09 中的一个数码中的一个数码，并且满足并且满足2abcd，被加数最大是多被加数最大是多 少？少？ 5 ab cd 【考点】加减法的进位与借位【难度】4 星【题型】填空 【解析】【解析】若5b ， 则由竖式知ac，bd， 不满足2abcd； 若5b ， 则由竖式知1ac，5bd， 代入2abcd，得4cd由此推知cd最大为 40，
10、ab最大为40535 【答案】35 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】下式中的下式中的a，b，c，d分别代表分别代表 09 中的一个数码，并且满足中的一个数码，并且满足 2 abcd，被减数最小是多，被减数最小是多 少？少？ 3 ab cd 【考点】加减法的进位与借位【难度】4 星【题型】填空 【解析】【解析】若3b ，则由竖式知ac，bd，不满足2 abcd；若2b ，则由竖式知1ac， 103bd，即7bd，代入2 abcd，得6ab由2b 知4a ，所以ab最小为 42 【答案】42 【例【例【例【例 6 6】 从从 19 这这 9 个数字中选出个数字中选出 8 个不同的数字填入右面的方格
11、中，使得竖式成立其中的四位数最大个不同的数字填入右面的方格中，使得竖式成立其中的四位数最大 可能是可能是 【考点】加减法的进位与借位【难度】3 星【题型】填空 【关键词】迎春杯，三年级，初赛，第 9 题 【解析】【解析】由题目可知，四位数的千位数字肯定是 1，此时还剩下 29 这 8 个数字，再看三个数的个位数字之 和的尾数为 0，可找出三个数的个位数字有以下几种情况， （2，3，5） 、 （3，8，9） 、 （4，7，9） 、 （5， 6，9） 、 （5，7，8）.经试验，只有两种情况下竖式成立.而题目要求四位数最大，所以答案为 1759. 【答案】1759 5-1-2-4.最值的数字谜（一
12、）.题库教师版page 4 of 7 【例【例【例【例 7 7】 如图如图，在加法算式中在加法算式中，八个字母八个字母“QHFZLBDX”分别代表分别代表 0 到到 9 中的某个数字中的某个数字，不同的字母代表不不同的字母代表不 同的数字，使得算式成立，那么四位数同的数字，使得算式成立，那么四位数“QHFZ”的最大值是多少？的最大值是多少？ 2009 1 QHFZ QHLB QHDX 【考点】加减法的进位与借位【难度】5 星【题型】填空 【关键词】清华附中，入学测试题 【解析】【解析】原式为20091QHFZQHLBQHDX，即120097991QHFZQHDXQHLBDXLB为了 使QHFZ
13、最大， 则前两位QH先尽量大， 由于DXLB小于100， 所以QH最大可能为80 若80QH ， 则继续化简为9FZDXLB 现在要使FZ尽量大 由于 8 和 0 已经出现， 所以此时9DXLB 最大为9712976，此时出现重复数字，可见FZ小于 76而9612975符合题意，所以此 时FZ最大为 75，QHFZ的最大值为 8075 【答案】8075 【例【例【例【例 8 8】 把把0，1，2，8，9这十个数字填到下列加法算式中四个加数的方格内这十个数字填到下列加法算式中四个加数的方格内，要求每个数字各用一要求每个数字各用一 次，那么加数中的三位数的最小值是多少？次，那么加数中的三位数的最小
14、值是多少？ 2007 【考点】加减法的进位与借位【难度】5 星【题型】填空 【关键词】湖北省“创新杯” 【解析】【解析】从式中可以看出， 千位上的方框中的数为1， 那么百位上两方框中的数再加上低位进位的和为10 由 于三位数的百位上不能为1和0，所以要使三位数最小，它的百位应该为2，十位应该为0那么十 位向百位的进位为1，所以四位数的百位为7，且十位上三个方框中的数之和再加上个位的进位的和 为10又剩下的数字3，4，5，6，8，9中除345618只向十位进1外，其余任选四数字 的和都大于20，由于3456的尾数不为7，所以个位上四个数字不能是3，4，5，6，所以个 位向十位进位为2， 也就是十
15、位上的三个方框中的数的和为8(其中有一个为0)， 而剩下的3，4，5， 6，8，9中只有358，所以个位上的四个方框中的数为4，6，8，9，那么加数中的三位数最 小为204 【答案】204 【例【例【例【例 9 9】 如图如图，相同的汉字代表相同的数字相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字不同的汉字代表不同的数字“美妙数学花园美妙数学花园”代表的代表的6位数最位数最 小为小为 2007 美妙 数学 花园 好好好好 5-1-2-4.最值的数字谜（一）.题库教师版page 5 of 7 【考点】加减法的进位与借位【难度】5 星【题型】填空 【关键词】走美杯，3 年级，决赛，第 9 题，
16、12 分 【解析】【解析】 “好”为2，要使算式满足则必有(美数花20） 。要使“美妙数学花园”代表的6位数最小， 则美数花389， 妙学园15456 即 “美妙数学花园” 代表的6位数最小为348596 【答案】348596 【例【例【例【例 1010】面算式由面算式由 19 中的中的 8 个组成，相同的汉字表示相同的数，不同的汉字表示不同的数个组成，相同的汉字表示相同的数，不同的汉字表示不同的数.那么那么“数学解数学解 题题”与与“能力能力”的差的最小值是的差的最小值是_. 【考点】加减法的进位与借位【难度】3 星【题型】填空 【关键词】迎春杯，中年级，复试，11 题 【解析】【解析】为了
17、让“数学解题”与“能力”的差最小，应该让“数学解题”尽量小，也就是让“能力”和“展示”尽量大， 其中较大的应是“能力”，那么“数学解题”最小应该是一千八百多，“能”应该是 9，“展”应该是 7，于 是“解题”+“力”+“示”=2010-1800-90-70=50，所以“解”应该是 4，那么“题”+“力”+“示”=10，那么只能 是 2+3+5，为了“数学解题”与“能力”的差最小，让“题”=2，“力”=5，于是“数学解题”-“能 力”=1842-95=1757. 【答案】1757 【例【例【例【例 1111】右边的加法算式中，每个右边的加法算式中，每个“”内有一个数字，所有内有一个数字，所有“”
18、内的数字之和最大可达到内的数字之和最大可达到。 【考点】加减法的进位与借位【难度】5 星【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，初赛，第 5 题，5 分 【解析】末尾和最大 24，十位和最大 18，百位和最大 18，24+18+18=60 【答案】60 【例【例【例【例 1212】将数字将数字 1 至至 9 分别填入右边竖式的方格内使算式成立分别填入右边竖式的方格内使算式成立(每个数字恰好使用一次每个数字恰好使用一次)，那么加数中的四位那么加数中的四位 数最小是多少？数最小是多少？ 1 2008 【考点】加减法的进位与借位【难度】6 星【题型】填空 【关键词】 “迎春杯” ，高年级组，复赛 【
19、解析】【解析】9 个方框中的数之和为 45三个加数的个位数字之和可能是 8，18；十位数字之和可能是 9，10，19， 20；百位数字之和可能是 8，9，10，其中只有1819845所以三个加数的个位数字之和为 18， 十位数字之和为 19，百位数字之和为 8要使加数中的四位数最小，尝试在它的百位填 1，十位填 2， 此时另两个加数的百位只能填 3，4；则四位数的加数个位可填 5，另两个加数的十位可填 8，9，个 位可填 6，7，符合条件，所以加数中的四位数最小是 1125 【答案】最小是 1125 【例【例【例【例 1313】在右边的加法算式中在右边的加法算式中， 若每个字母均表示若每个字母
20、均表示 0 到到 9 中的一个数字中的一个数字， 任意两个字母表示的数字都不相同任意两个字母表示的数字都不相同， 5-1-2-4.最值的数字谜（一）.题库教师版page 6 of 7 也不与算式中已有的数字相同，则也不与算式中已有的数字相同，则A与与B乘积的最大值是多少？乘积的最大值是多少？ 9 10 E CF DG AB 【考点】加减法的进位与借位【难度】6 星【题型】填空 【解析】【解析】本题把数字谜与奇偶性、最值问题巧妙地结合在一起，可以从奇偶性方面来分析.考虑加法算式的个 位，若个位不进位，则四个数字EFGB之和为2B，是偶数；若个位进位，则四个数字 EFGB之 和 为102B或202
21、B， 还 是 偶 数 所 以EFGB为 偶 数 ， 又 23835ABCDEFG，所以ACD为奇数如果加法算式中个位不进位， 那么10CDA，这样102ACDA为偶数，与上面的分析矛盾，所以加法算式中个位向 十 位 进 奇 数 位 ， 只 能 是1位 ， 故10EFGB，110CDA ， 得 19EFGCDAB，而23835ABCDEFG，所以8AB，A、 B可能为 2、6 或 3、5，乘积为 12 或 15，故A与B乘积的最大值是 15 另解：因为910ECFDGAB，等号两边除以 9 的余数相等，所以等号两边的各个数字的和除以 9 的余数相等，而所有数字的和是 9 的倍数，所以两边都是 9
22、 的倍数，即10AB是 9 的倍数，由于 7815AB，所以8AB，再根据“和一定，差小积大”，所以A、B的取值为 3、5 时，A与 B乘积的最大值是 15 【答案】15 【例【例【例【例 1414】右式中不同的汉字代表右式中不同的汉字代表 l 一一 9 中不同的数字中不同的数字，当算式成立时当算式成立时，“中国中国”这两个汉字所代表的两位数最这两个汉字所代表的两位数最 大是多少大是多少? 【考点】加减法的进位与借位【难度】3 星【题型】填空 【关键词】华杯赛，初赛，第 3 题 【解析】 “新”必为 9，千位才能得 2，所以“中”应为 8.“国”、“京”、“运”之和应为 8 或 18，但当和为
23、 18 时， （“国”、“京”、“运”分别为 7，6，5），“中”、“北”、“奥”之和最大为 15（“中”、“北”、“奥”分别为 8，4，3），不能进位 2，所以“国”、“京”、“运”之和只能是 8，此时，“北”、“奥”只能分别为 7 和 5， 则“国”、“京”、“运”分别为 4、3、1，为使“中国”代表的两位数最大，“国”取 4.即“中国”这两个汉字 所代表的两位数最大是 84. 【答案】84 【例【例【例【例 1515】华杯赛网址是华杯赛网址是.wwwhuabeisaicn，将其中的字母组成如下算式：，将其中的字母组成如下算式：2008wwwhuabeisaicn， 如果每个字母分别代表如
24、果每个字母分别代表 09 这十个数字中的一个这十个数字中的一个， 相同的字母代表相同的数字相同的字母代表相同的数字， 不同不同的字母代表不的字母代表不 同的数字，并且同的数字，并且8w 、6h 、9a 、7c ，则三位数，则三位数bei的最小值是的最小值是 【考点】【难度】星【题型】填空 【关键词】华杯赛，初赛 【解析】【解析】根据题意可知，8886 9972008ubeis in，有00351ubeis in，此时u，b，e，i，s， n只能取 0，1，2，3，4，5 b的最小值为 1，e的最小值为 0，i最小取 2，若2i ，此时s最大只能取 2，矛盾；所以i至少为 3， 若3i ，此时2
25、s ，4u ，5n ，符合条件，所以三位数bei的最小值是 103 另解：此题也可采用弃九法等式2008wwwhuabeisaicn两边除以 9 的余数相同，左边除 以 9 的余数与3222019245whuabeiscnwaiwai 除以 9 的余数相同，即与2wai除以 9 的余数相同；右边除以 9 的余数为 1，所以2wai除以 9 的余 数为 1而8w ，9a ，所以225waii ，除以 9 的余数为 1，可见i除以 9 的余数为 3，那 5-1-2-4.最值的数字谜（一）.题库教师版page 7 of 7 么i只能为 3 由于b的最小值为 1，e的最小值为 0， 所以三位数bei的
26、最小可能值是 103； 又当2s ，4u ，5n 时，103bei ，所以三位数bei的最小值就是 103 【答案】103 【例【例【例【例 1616】在下面的表在下面的表 1 中中， 一条直线穿过其中若干个方格一条直线穿过其中若干个方格， 穿过的方格中各数之和为穿过的方格中各数之和为1513105649。 请你在表请你在表 2 中画一条直线，穿过其中若干个方格。穿过的方格中各数之和最大是中画一条直线，穿过其中若干个方格。穿过的方格中各数之和最大是。 ? 6 ? 5 ? 12 ? 3 ? 9 ? 10 ? 13 ? 2 ? 18 ? 11 ? 7 ? 15 ? 8 ? 4 ? 17 ? 14
27、? 6 ? 5 ? 12 ? 3 ? 9 ? 10 ? 13 ? 2 ? 18 ? 11 ? 7 ? 15 ? 8 ? 4 ? 17 ? 14 表 1表 2 【考点】加减法的进位与借位【难度】3 星【题型】填空 【关键词】迎春杯，中年级，复赛，第 9 题 【解析】【解析】首先应考虑尽可能穿过较多的方格，也就是说可以穿过一条对角线和它旁边的三格： 主对角线 14+7+10+6 和一侧的 17+11+9，总和为 74； 副对角线 8+11+13+3 和一侧的 18+10+12，总和为 75。 再看看能否做优化：观察到前一种方法中可以舍弃 10 和 6 而取 18，总和增加 2，这样总和为 76。 而后一种方法无法再做优化，所以最大值为 76。 【答案】76
