1、5-5-1.带余除法（一）.题库教师版page 1 of 6 5-5-1.5-5-1.带余除法（一）带余除法（一） 教学目标教学目标 1.能够根据除法性质调整余数进行解题 2.能够利用余数性质进行相应估算 3.学会多位数的除法计算 4.根据简单操作进行找规律计算 知识点拨知识点拨 带余除法的定义及性质 1、定义：、定义：一般地，如果 a 是整数，b 是整数（b0）,若有 ab=qr，也就是 abqr, 0rb；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里： (1)当0r 时：我们称 a 可以被 b 整除，q 称为 a 除以 b 的商或完全商 (2)当0r 时：我们称 a 不可以被 b 整除，q
2、 称为 a 除以 b 的商或不完全商 一个完美的带余除法讲解模型:如图 这是一堆书，共有 a 本，这个 a 就可以理解为被除数，现在要求按照 b 本一捆打包，那么 b 就是除数的 角色，经过打包后共打包了 c 捆，那么这个 c 就是商，最后还剩余 d 本，这个 d 就是余数。 这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中 4 个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。 2、余数的性质余数的性质 被除数除数商余数；除数（被除数余数）商；商（被除数余数）除数； 余数小于除数 3、解题关键解题关键 理解余数性质时，要与整除性联系起来，从被除数中减掉余数，那么所得到的差就能够被除数整除了在 一些题目中因
3、为余数的存在，不便于我们计算，去掉余数，回到我们比较熟悉的整除性问题，那么问题就会 变得简单了 例题精讲例题精讲 除法公式的应用 【例【例 1】 某数被某数被 13 除，商是除，商是 9，余数是，余数是 8，则某数等于，则某数等于。 【考点】除法公式的应用【难度】1 星【题型】填空 【关键词】希望杯，四年级，复赛，第 2 题，5 分 【解析】125 【答案】125 【例【例 2】 一个三位数除以一个三位数除以 36，得余数，得余数 8，这样的三位数中，最大的是，这样的三位数中，最大的是_。 5-5-1.带余除法（一）.题库教师版page 2 of 6 【考点】除法公式的应用【难度】1 星【题型
4、】填空 【关键词】希望杯，四年级，复赛，第 3 题 【解析】因为最大的三位数为999，999362727，所以满足题意的三位数最大为：36278980 【答案】980 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】计算口计算口，结果是：商为，结果是：商为 10，余数为，余数为。如果。如果的值是的值是 6，那么，那么的最小值是的最小值是_。 【考点】除法公式的应用【难度】1 星【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，复赛，第 4 题，6 分 【解析】根据带余除法的性质，余数必须小于除数，则有 的最小值为 7。 【答案】7 【例【例 3】 除法算式除法算式 = 208中，被除数最小等于中，被除数最小等于。 【考
5、点】除法公式的应用【难度】1 星【题型】填空 【关键词】希望杯，4 年级，初赛，4 题 【解析】本题的商和余数已经知道了，若想被除数最小，则需要除数最小即可，除数最小是819 ，所以本 题答案为：20（8+1）+8=188. 【答案】188 【例【例 4】 71427 和和 19 的积被的积被 7 除，余数是几除，余数是几? 【考点】除法公式的应用【难度】1 星【题型】填空 【关键词】华杯赛，初赛，第 14 题 【解析】71427 被 7 除，余数是 6，19 被 7 除，余数是 5，所以 7142719 被 7 除，余数就是 65 被 7 除所得 的余数 2。 【答案】2 【例【例 5】10
6、13除以一个两位数，余数是除以一个两位数，余数是12求出符合条件的所有的两位数求出符合条件的所有的两位数 【考点】除法公式的应用【难度】1 星【题型】解答 【解析】【解析】1013 121001，10017 11 13，那么符合条件的所有的两位数有11,13,77,91，因为“余数小于除 数”,所以舍去11，答案只有13,77,91。 【答案】13,77,91共三个 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】一个两位数除一个两位数除 310，余数是，余数是 37，求这样的两位数。，求这样的两位数。 【考点】除法公式的应用【难度】1 星【题型】解答 【解析】【解析】本题为余数问题的基础题型，需要学生明白一
7、个重要知识点，就是把余数问题-即“不整除问题”转 化为整除问题。方法为用被除数减去余数，即得到一个除数的倍数；或者是用被除数加上一个“除数 与余数的差”，也可以得到一个除数的倍数。 本题中 310-37=273，说明 273 是所求余数的倍数，而 273=3713，所求的两位数约数还要满足比 37 大，符合条件的有 39，91. 【答案】39 或者 97 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】在下面的空格中填上适当的数。在下面的空格中填上适当的数。 【考点】除法公式的应用【难度】2 星【题型】填空 【关键词】走美杯，3 年级，决赛，第 10 题，12 分 5-5-1.带余除法（一）.题库教师版pag
8、e 3 of 6 【解析】本题的被除数、商和余数已经给出，根据除法的计算公式：被除数除数=商余数，逆推计算 得到：除数(2004713)742=27。 【答案】27 【例【例 6】 一个两位奇数除一个两位奇数除 1477，余数是，余数是 49，那么，这个两位奇数是多少？，那么，这个两位奇数是多少？ 【考点】除法公式的应用【难度】1 星【题型】解答 【解析】这个两位奇数能被 1477-49=1428 整除，且必须大于 49,1428=223717,所以这样的两位奇数只有 51。 【答案】51 【例【例 7】 大于大于 35 的所有数中，有多少个数除以的所有数中，有多少个数除以 7 的余数和商相等
9、？的余数和商相等？ 【考点】除法公式的应用【难度】2 星【题型】解答 【解析】除以 7 的余数只能是 06，所以商只能是 06，满足大于 7 的数只有商和余数都为 5、6，所以只 能是 40、48。 【答案】40、48 【例【例 8】 已知已知 2008 被一些自然数去除，所得的余数都是被一些自然数去除，所得的余数都是 10，那么这样的自然数共有多少个？，那么这样的自然数共有多少个？ 【考点】除法公式的应用【难度】2 星【题型】解答 【解析】本题为一道余数与约数个数计算公式的小综合性题目。由题意所求的自然数一定是 2008-10 即 1998 的约数，同时还要满足大于 10 这个条件。这样题目
10、就转化为 1998 有多少个大于 10 的约数， 3 19982337，共有（1+1）（3+1）（1+1）=16 个约数，其中 1，2，3，6，9 是比 10 小的约 数，所以符合题目条件的自然数共有 11 个。 【答案】11 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】写出全部除写出全部除 109 后余数为后余数为 4 的两位数的两位数 【考点】除法公式的应用【难度】2 星【题型】解答 【关键词】美国长岛，小学数学竞赛，第五届 【解析】10941053 57 因此，这样的两位数是：15；35；21 【答案】两位数是：15；35；21 【例【例 9】 甲、乙两数的和是甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数
11、商，甲数除以乙数商11余余32，求甲、乙两数，求甲、乙两数 【考点】除法公式的应用【难度】2 星【题型】解答 【关键词】清华附中，小升初分班考试 【解析】【解析】(法 1)因为 甲乙1132，所以 甲乙乙1132乙乙12321088； 则乙(108832)1288 ，甲1088乙1000 (法 2)将余数先去掉变成整除性问题，利用倍数关系来做：从1088中减掉32以后，1056就应当是乙 数的(11 1)倍，所以得到乙数10561288，甲数1088881000 【答案】乙数10561288，甲数1088881000 【例【例 1010】用某自然数用某自然数a去除去除1992，得到商是，得到商
12、是 46，余数是，余数是r，求，求a和和r 【考点】除法公式的应用【难度】2 星【题型】解答 【关键词】第五届，小数报，决赛 【解析】【解析】因为1992是a的46倍还多r,得到19924643.14，得1992464314，所以43a ，14r 【答案】43a ，14r 【例【例 1111】当当 1991 和和 1769 除以某个自然数除以某个自然数 n，余数分别为，余数分别为 2 和和 1那么，那么，n 最小是多少？最小是多少？ 【考点】除法公式的应用【难度】2 星【题型】解答 【解析】【解析】如果用1990和1769去除这个自然数n时， 余数是1 而1990176922113 17， 我
13、们不妨取13n ， 再验证一下：1991 131532，1769131361，所以 n 最小为 13 【答案】13 5-5-1.带余除法（一）.题库教师版page 4 of 6 【例【例 1212】有三个自然数有三个自然数a，b，c，已知已知b除以除以a，得商得商 3 余余 3；c除以除以a，得商得商 9 余余 11。则则c除以除以b，得到得到 的余数是的余数是。 【考点】除法公式的应用【难度】2 星【题型】填空 【关键词】希望杯，5 年级，初赛，第 4 题，6 分 【解析】33ba 911ca (99)232cab 所以应该余 2。 【答案】2 【例【例 13】有两个自然数相除有两个自然数相
14、除，商是商是17，余数是余数是13，已知被除数已知被除数、除数除数、商与余数之和为商与余数之和为2113，则被除数是则被除数是 多少？多少？ 【考点】除法公式的应用【难度】3 星【题型】解答 【关键词】小学数学奥林匹克 【解析】【解析】被除数除数商余数被除数除数+17+13=2113，所以被除数除数=2083，由于被除数是除 数的 17 倍还多 13， 则由“和倍问题”可得： 除数= （2083-13） （17+1） =115， 所以被除数=2083-115=1968 【答案】1968 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】两数相除，商两数相除，商 4 余余 8，被除数、除数、商数、余数四数之和等于
15、，被除数、除数、商数、余数四数之和等于 415，则被除数是，则被除数是_ 【考点】除法公式的应用【难度】3 星【题型】填空 【关键词】小学数学奥林匹克 【解析】【解析】因为被除数减去 8 后是除数的 4 倍，所以根据和倍问题可知，除数为4154884179（）（）， 所以，被除数为7948324。 【答案】324 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】用一个自然数去除另一个自然数用一个自然数去除另一个自然数，商为商为 40，余数是余数是 16.被除数被除数、除数除数、商商、余数的和是余数的和是 933，求这求这 2 个自然数各是多少？个自然数各是多少？ 【考点】除法公式的应用【难度】3 星【题型】解
16、答 【解析】【解析】本题为带余除法定义式的基本题型。根据题意设两个自然数分别为 x,y，可以得到 4016 4016933 xy xy ,解方程组得 856 21 x y ，即这两个自然数分别是 856，21. 【答案】两个自然数分别是 856，21 【例【例 14】有一个三位数有一个三位数，其中个位上的数是百位上的数的其中个位上的数是百位上的数的 3 倍倍。且这个三位数除以且这个三位数除以 5 余余 4，除以除以 11 余余 3。这这 个三位数是个三位数是_ 【考点】除法公式的应用【难度】3 星【题型】填空 【解析】【解析】首先个位数不是 4 就是 9，又因为它是百位的 3 倍所以一定是 9
17、，那么百位就是 3,又因为它被 11 除 余 3，因此十位是 9，答案是 399 【答案】399 【例【例 15】一个自然数，除以一个自然数，除以 11 时所得到的商和余数是相等的，除以时所得到的商和余数是相等的，除以 9 时所得到的商是余数的时所得到的商是余数的 3 倍，这个自倍，这个自 然数是然数是_. 【考点】除法公式的应用【难度】3 星【题型】填空 【关键词】2004 年，福州市，迎春杯 【解析】【解析】设这个自然数除以 11 余a (011)a，除以 9 余b (09)b，则有1193aabb，即37ab， 只有7a ，3b ，所以这个自然数为12784。 【答案】84 【例【例 1
18、6】盒子里放有编号盒子里放有编号 1 到到 10 的十个球，小红先后三次从盒子中共取出九个球，如果从第二次起，每次的十个球，小红先后三次从盒子中共取出九个球，如果从第二次起，每次 取出的球的编号的和都比上一次的两倍还多一，那么剩下的球的编号为取出的球的编号的和都比上一次的两倍还多一，那么剩下的球的编号为_。 【考点】除法公式的应用【难度】3 星【题型】填空 【关键词】走美杯，四年级，初赛，第 11 题 【解析】令第 1 次取的编号为 a，第二次取的编号为 2a+1，第三次取的编号为：2（2a+1）+1=4a+3；还剩下 5-5-1.带余除法（一）.题库教师版page 5 of 6 的编号为：5
19、5-7a-4=517a，当 a 为 6 时，余下的是 9；当 a 为 7 时，余下的是 2. 【答案】9或者2 【例【例 17】10 个自然数，和为个自然数，和为 100，分别除以，分别除以 3。若用去尾法，。若用去尾法，10 个商的和为个商的和为 30；若用四舍五入法，；若用四舍五入法，l0 个商个商 的和为的和为 3410 个数中被个数中被 3 除余除余 l 的有的有_个个 【考点】除法公式的应用【难度】3 星【题型】填空 【关键词】走美杯，五年级，初赛，第 13 题 【解析】由题意， “用去尾法，10 个商的和为 30；用四舍五入法，l0 个商的和为 34”可知，10 个数中除以 3 余
20、 2 的数有 34-30=4（个） ，又知道 10 个自然数的和为 100，设除以 3 余 1 的数有x个，那么根据用 去尾法后十个商的和与 10 个自然数的和，可得关系式： 24100 30 333 x ，解得，2x 。 【答案】2 【例【例 18】3782除以某个整数后所得的商恰好是余数的除以某个整数后所得的商恰好是余数的21倍，那么除数最小可能是倍，那么除数最小可能是。 【考点】除法公式的应用【难度】3 星【题型】填空 【关键词】学而思杯，4 年级，第 2 题 【解析】设除数为a， 商为b， 余数为c， 则3782abc ， 且21bc。 可以将除式转化为213782acc， 所以211
21、3782ca （），所以c和211a （）是3782的约数，3782231 61，在3782的约数中只有 31 611891被21除所得的余数为1，所以2111891a ，90a 。 【答案】90 【例【例 1919】在大于在大于 2009 的自然数中，被的自然数中，被 57 除后，商与余数相等的数共有除后，商与余数相等的数共有_个个. 【考点】除法公式的应用【难度】4 星【题型】填空 【关键词】华杯赛，初赛，第 10 题 【解析】根据题意，设这样的数除以 57 所得的商和余数都为 a（a57），则这个数为 57a+a=58a。所以 58a 2009，得到 a200958= 37 34 58
22、，由于 a 为整数，所以 a 至少为 35.又由于 a57，所以 a 最大为 56，则 a 可以为 35，36，37，56.由于每一个 a 的值就对应一个满足条件的数，所以所求的满 足条件的数共有 56-35+1=22 个。 【答案】22 【例【例 2020】用用 1、9、8、8 这四个数字能排成几个被这四个数字能排成几个被 11 除余除余 8 的四位数？的四位数？ 【考点】除法公式的应用【难度】5 星【题型】填空 【关键词】华杯赛，初赛，第 14 题 【解析】用 1、9、8、8 可排成 12 个四位数，即 1988，1898，1889，9188，9818，9881，8198，8189，891
23、8， 8981，8819，8891 它们减去 8 变为 1980，1890，1881，9180，9810，9873，8190，8181，8910，8973，8811，8883 其中被 11 整除的仅有 1980，1881，8910，8811，即用 1、9、8、8 可排成 4 个被 1 除余 8 的四位数， 即 1988，1889，8918，8819. 【又解】什么样的数能被 11 整除呢？一个判定法则是：比较奇位数字之和与偶位数字之和，如果 它们之差能被 11 除尽，那么所给的数就能被 11 整除，否则就不能够 现在要求被 11 除余 8， 我们可以这样考虑： 这样的数加上 3 后， 就能被
24、11 整除了 所以我们得到“一 个数被 11 除余 8”的判定法则：将偶位数字相加得一个和数，再将奇位数字相加再加上 3，得另一 个和数，如果这两个和数之差能被 11 除尽，那么这个数是被 11 除余 8 的数；否则就不是 要把 1、9、8、8 排成一个被 11 除余 8 的四位数，可以把这 4 个数分成两组，每组 2 个数字其 中一组作为千位和十位数， 它们的和记作 A； 另外一组作为百位和个位数， 它们之和加上 3 记作 B 我 们要适当分组，使得能被 11 整除现在只有下面 4 种分组法： 5-5-1.带余除法（一）.题库教师版page 6 of 6 经过验证， 第 （1） 种分组法满足前面的要求： A18， B98320， BA11 能被 11 除尽 但 其余三种分组都不满足要求 根据判定法则还可以知道，如果一个数被 11 除余 8，那么在奇位的任意两个数字互换，或者在偶位 的任意两个数字互换，得到的新数被 11 除也余 8于是，上面第（1）分组中，1 和 8 中任一个可 以作为千位数，9 和 8 中任一个可以作为百位数这样共有 4 种可能的排法：1988，1889，8918， 8819 答：能排成 4 个被 11 除余 8 的数 【答案】4
