1、6-1-7.盈亏问题（三）.题库教师版page 1 of 5 6-1-7.6-1-7.盈亏问题（三盈亏问题（三） 教学目标教学目标 1. 熟练掌握盈亏问题的本质. 2. 运用盈亏问题的解题方法解决一些生活实际问题 知识精讲知识精讲 盈亏问题的特点是问题中每一同类量都要出现两种不同的情况分配不足时，称之为“亏”，分配有余称 之为“盈”； 还有些实际问题， 是把一定数量的物品平均分给一定数量的人时， 如果每人少分， 则物品就有余(也 就是盈)，如果每人多分，则物品就不足(也就是亏)，凡研究这一类算法的应用题叫做“盈亏问题” 可以得出盈亏问题的基本关系式：可以得出盈亏问题的基本关系式： (盈亏)两次
2、分得之差人数或单位数 (盈盈)两次分得之差人数或单位数 (亏亏)两次分得之差人数或单位数 物品数可由其中一种分法和人数求出.也有的问题两次都有余或两次都不足，不管哪种 情况，都是属于按两个数的差求未知数的“盈亏问题”. 注意：注意：1.条件转换； 2.关系互换. 模块一、利用条件关系转换解盈亏问题转化被分配物质 【例【例 1】王老师给小朋友分苹果和桔子王老师给小朋友分苹果和桔子， 苹果数是桔子数的苹果数是桔子数的 2 倍倍.桔子每人分桔子每人分 3 个个， 多多 4 个个； 苹果每人分苹果每人分 7 个个， 少少 5 个个.问有多少个小朋友？多少个苹果和桔子？问有多少个小朋友？多少个苹果和桔子
3、？ 【考点】盈亏问题【难度】3 星【题型】解答 【解析】因为桔子每人分 3 个多 4 个，而苹果是桔子的 2 倍，因此苹果每人分 6 个就多 8 个.又已知苹果每人 分 7 个少 5 个，所以应有（8+5）（6-5）=13（人）. 苹果个数为 137-5=86（个）. 桔子数为 133+4=43（个）. 答：有 13 个小朋友，86 个苹果和 43 个桔子. 【答案】13个小朋友，苹果86个，桔子43个 【巩固】【巩固】 学而思学校买来一批体育用品，羽毛球拍是乒乓球拍的学而思学校买来一批体育用品，羽毛球拍是乒乓球拍的 2 倍，分给同学们，每组分乒乓球拍倍，分给同学们，每组分乒乓球拍 5 副副，
4、 余乒乓球拍余乒乓球拍 15 副，每组分羽毛球拍副，每组分羽毛球拍 14 副，则差副，则差 30 副，问：学而思学校买来羽毛球拍、乒乓球拍副，问：学而思学校买来羽毛球拍、乒乓球拍 各多少副？各多少副？ 【考点】盈亏问题【难度】3 星【题型】解答 【解析】因为羽毛球拍是乒乓球拍的 2 倍，如果每次分羽毛球拍 52=10（副） ，最后应余下 152=30（副） ， 因为 14-52=4（副） ，分到最后还差 30 副，所以比每次分 10 副总共差 30+30=60（副） ，所以有小组： 604=15（组） ，乒乓球拍有：515+15=90（副） ，羽毛球拍 902=180（副）. 【答案】羽毛球拍
5、180副，乒乓球拍90副 【例【例 2】有若干个苹果和若干个梨有若干个苹果和若干个梨.如果按每如果按每 1 个苹果配个苹果配 2 个梨分堆个梨分堆，那么梨分完时还剩那么梨分完时还剩 2 个苹果个苹果；如果按如果按每每 3 个苹果配个苹果配 5 个梨分堆，那么苹果分完时还剩个梨分堆，那么苹果分完时还剩 1 个梨个梨.苹果和梨各有多少个苹果和梨各有多少个? 【考点】盈亏问题【难度】4 星【题型】解答 【解析】容易看出这是一道盈亏应用题，但是盈亏总额与两次分配数之差很难找到.原因在于第一种方案是 1 个苹果“搭配”2 个梨， 第二种方案是 3 个苹果“搭配”5 个梨.如果将这两种方案统一为 1 个苹
6、果“搭配” 若干个梨，那么问题就好解决了.将原题条件变为“1 个苹果搭配 2 个梨，缺 4 个梨；1 个苹果搭配 5/3 6-1-7.盈亏问题（三）.题库教师版page 2 of 5 个梨，多 1 个梨”，此时盈亏总额为415 (个)梨，两次分配数之差为25/ 31/ 3(个)梨.所以有苹 果(41)(25/ 3)15(个)，有梨152426(个). 【答案】苹果15个，梨26个 【巩固】【巩固】 有若干梨和苹果有若干梨和苹果， 如果如果 1 个梨和个梨和 3 个苹果分成一堆个苹果分成一堆， 则多则多 2 个梨个梨， 如果如果 2 个梨和个梨和 5 个苹果分成一堆个苹果分成一堆， 则少则少 2
7、 个苹果，则梨有个苹果，则梨有个，苹果有个，苹果有个。个。 【考点】盈亏问题【难度】4 星【题型】填空 【关键词】学而思杯，3 年级，第 11 题 【解析】【解析】 6232.58个梨，82318个苹果 【答案】梨有8个，苹果有18个 【巩固】【巩固】 有红球和绿球若干个有红球和绿球若干个，如果按每组如果按每组 1 个红球个红球 2 个绿球分组个绿球分组，绿球恰好够用绿球恰好够用，但剩但剩 5 个红球个红球；如果按如果按 每组每组 3 个红球个红球 5 个绿球分组个绿球分组，红球恰好够用红球恰好够用，但剩但剩 5 个绿球个绿球，则红球和绿球共有则红球和绿球共有_个个。 【考点】盈亏问题【难度】
8、4 星【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，二试，第 14 题 【解析】设红球有 a 个，绿球有 b 个。在第一种分法中，(a-5)1=b2；在第二种分法中,（b-5）5=a3。解 得：b=80,a=45.所以红球和绿球共有 80+45=125 个。 【答案】125个 【巩固】【巩固】 有若干个苹果和梨有若干个苹果和梨，如果按如果按 1 个苹果配个苹果配 3 个梨分一堆个梨分一堆，那么苹果分完时那么苹果分完时，还剩还剩 2 个梨个梨；如果按半个如果按半个 苹果配苹果配 2 个梨分一堆，那么梨分完时，还剩半个苹果个梨分一堆，那么梨分完时，还剩半个苹果.问梨有多少个？问梨有多少个？ 【考点】盈亏
9、问题【难度】4 星【题型】解答 【解析】1 个苹果配 3 个梨，多 2 个梨；半个苹果配 2 个梨，即 1 个苹果配 4 个梨，剩半个苹果，即少 2 个 梨.苹果有： （2+2）（4-3）=4（个） ，梨有：34+2=14（个）. 【答案】14个 【巩固】【巩固】 四四(2)班在这次的班级评比中班在这次的班级评比中，获得了获得了“全优班全优班”的称号的称号为了奖励同学们为了奖励同学们，班主任刘老师买了一些铅班主任刘老师买了一些铅 笔和橡皮笔和橡皮刘老师把这些铅笔和橡皮分成一小堆一小堆刘老师把这些铅笔和橡皮分成一小堆一小堆，以便分给几位优秀学生以便分给几位优秀学生如果每堆有如果每堆有 1 块块
10、橡皮橡皮 2 支铅笔支铅笔，铅笔分完时橡皮还剩铅笔分完时橡皮还剩 5 块块；如果每堆有如果每堆有 3 块橡皮和块橡皮和 5 支铅笔支铅笔，橡皮分完时还剩橡皮分完时还剩 5 支支 铅笔那么，刘老师一共买了多少块橡皮铅笔那么，刘老师一共买了多少块橡皮?多少支铅笔多少支铅笔? 【考点】盈亏问题【难度】4 星【题型】解答 【解析】如果增加10支铅笔， 则按1块橡皮、 2支铅笔正好分完； 而按3块橡皮、 5支铅笔分， 则剩下10+5=15(支) 铅笔，但如果按 3 块橡皮、6 支铅笔分，则正好分完，可以分成：15(65)=15(堆)，所以，橡皮数 为：153=45(块)，铅笔数为：15610=80(支)
11、 【答案】橡皮45支，铅笔80支 【巩固】【巩固】 小白兔和小灰兔各有若干只小白兔和小灰兔各有若干只如果如果 5 只小白兔和只小白兔和 3 只小灰兔放到一个笼子中只小灰兔放到一个笼子中，小白兔还多小白兔还多 4 只只，小小 灰兔恰好放完；如果灰兔恰好放完；如果 7 只小白兔和只小白兔和 3 只小灰兔放到一个笼子中，小白兔恰好放完，小灰兔还多只小灰兔放到一个笼子中，小白兔恰好放完，小灰兔还多 12 只那么小白兔和小灰兔共有多少只？只那么小白兔和小灰兔共有多少只？ 【考点】盈亏问题【难度】4 星【题型】解答 【解析】“7 只小白兔和 3 只小灰兔装一个笼子，小白兔恰好装完，小灰兔还多 12 只”说
12、明小白兔少了 1237 28（只） ，这样原来笼子数有： （284）（75）16（个） ，所以小白兔有 165484（只） ， 小灰兔有 16348（只） ，合起来有 8448132（只） 【答案】132只 【例【例 3】幼儿园老师买了同样多的巧克力、奶糖和水果糖她发给每个小朋友幼儿园老师买了同样多的巧克力、奶糖和水果糖她发给每个小朋友 2 块巧克力，块巧克力，7 块奶糖和块奶糖和 8 块块 水果糖水果糖 发完后清点一下发完后清点一下， 水果糖还剩水果糖还剩 15 块块， 而巧克力恰好是奶糖的而巧克力恰好是奶糖的 3 倍倍 那么共有那么共有_ 个小朋友个小朋友 【考点】盈亏问题【难度】5 星【
13、题型】填空 【关键词】迎春杯，中年级组，复试题 【解析】方法一：画线段图分析，由题意知： 6-1-7.盈亏问题（三）.题库教师版page 3 of 5 ? 8 ? 份 ? 7 ? 份 ? 2 ? 份 ? 15 ? 水果糖 ? 奶糖 ? 巧克力 从奶糖的 7 份中取 2 份，那么剩下的 5 份就和上面的 2 小段相等如图： ? 2 ? 小段 ? 5 ? 份 ? 15 ? 水果糖 ? 奶糖 ? 巧克力 那么 2 小段和 5 份都看成 10 份量，那么总量就相当于 19 份量，水果糖中原有的 8 份就是现在的 16 份， 则剩下的15块水果糖就占有3份， 则1份就是5块， 给小朋友们分出去的水果糖数
14、量是：16580 （块） ，小朋友的人数是：80810（人） 方法二：由上图知，设发完后奶糖剩下1份，则巧克力剩下3份，而巧克力与奶糖每人分得相差5块， 对应剩下的糖相差2份，水果糖与奶糖每人分得相差1块，则对应剩下的糖应相差250.4份，所 以水果糖最后应剩下10.40.6份，恰是15块，所以 1 份对应的是150.625，所以应用盈亏问题 共有(2515)(87)10（人） 【答案】10人 模块二、盈亏问题的综合运用 【例【例 4】“六一六一”儿童节，小明到商店买了一盒花球和一盒白球，两盒内的球的数量相等花球原价儿童节，小明到商店买了一盒花球和一盒白球，两盒内的球的数量相等花球原价 1 元
15、钱元钱 2 个，白球原价个，白球原价 1 元钱元钱 3 个因节日商店优惠销售，两种球的售价都是个因节日商店优惠销售，两种球的售价都是 2 元钱元钱 5 个，结果小明少花个，结果小明少花了了 4 元钱，那么小明共买了多少个球？元钱，那么小明共买了多少个球？ 【考点】盈亏问题【难度】4 星【题型】解答 【解析】【解析】花球原价 1 元钱 2 个，白球原价 1 元钱 3 个即花球原价 10 元钱 20 个，白球原价 10 元钱 30 个那 么， 同样买花球和白球各 30 个， 花球要比白球多花1025（元） ， 共需要30230325（元） 现 在两种球的售价都是 2 元钱 5 个，花球和白球各买
16、30 个需要(305)2224 （元） ，说明花球和 白球各买 30 个能省下25241（元） 现在共省了 4 元，说明花球和白球各有304120（个） ， 共买了1202240（个） 【答案】240个 【例【例 5】一盒咖啡中有若干袋，一包方糖中有若干块一盒咖啡中有若干袋，一包方糖中有若干块小唐喝前两盒咖啡时每袋咖啡都放小唐喝前两盒咖啡时每袋咖啡都放 3 块方糖，结果共块方糖，结果共 用了用了 1 包方糖和第包方糖和第 2 包中的包中的 24 块块； 小唐喝后三盒咖啡时每袋咖啡都只放小唐喝后三盒咖啡时每袋咖啡都只放 1 块方糖块方糖， 最后第最后第 3 包方糖包方糖 还剩下还剩下 36 块，
17、那么每盒咖啡有多少袋？块，那么每盒咖啡有多少袋？ 【考点】盈亏问题【难度】5 星【题型】解答 【解析】小唐喝前 2 盒咖啡，每袋放 3 块糖，相当于喝 6 盒咖啡每袋放 1 块糖； 小唐喝后 3 盒咖啡，每袋放 1 块糖，所以喝后 3 盒用掉的方糖总量是前 2 盒用掉方糖量的一半 小唐喝前 2 盒咖啡一共用掉方糖一包又 24 块， 喝后 3 盒咖啡用掉方糖一包差 12 块， 因此一包又 24 块方糖与两包差 24 块方糖一样多，一包方糖有(2424)(21)48（块） 于是喝前两盒咖啡用掉方糖482472（块） ，每盒咖啡的袋数为：723212（袋） 【答案】12袋 【例【例 6】巧克力每盒巧
18、克力每盒9块，软糖每盒块，软糖每盒11块，要把这两种糖分发给一些小朋友，每种糖每人一块，由于又来了块，要把这两种糖分发给一些小朋友，每种糖每人一块，由于又来了 一位小朋友，软糖就要增加一盒，两种糖分发的盒数就一样多，现在又来了一位小朋友，巧克力还一位小朋友，软糖就要增加一盒，两种糖分发的盒数就一样多，现在又来了一位小朋友，巧克力还 要增加一盒，则最后共有多少个小朋友？要增加一盒，则最后共有多少个小朋友？ 【考点】盈亏问题【难度】5 星【题型】解答 【解析】新来了一位小朋友，就要增加一盒软糖，说明在此之前，软糖应该是刚好分完几整盒，所以原来的 小朋友人数是11的倍数增加了第二位小朋友之后，巧克力
19、糖也要再来一盒了，说明原有的小朋友 分几整盒巧克力糖之后还剩下一块，也就是说，原有的小朋友人数是 9 的倍数减1符合这两个条件 的最小的数是44，而且它刚好满足原有的巧克力比软糖多一盒的条件，所以原有44个小朋友，最后 有46个小朋友 【答案】46个小朋友 6-1-7.盈亏问题（三）.题库教师版page 4 of 5 【例【例 7】有有 48 本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多 5 人如果把书全部分给第一组，那么每人人如果把书全部分给第一组，那么每人 4 本，有剩余；每人本，有剩余；每人 5 本，书不够如果把书全分给第二组，那么每人本，书不够如果把
20、书全分给第二组，那么每人 3 本，有剩余；每人本，有剩余；每人 4 本，书本，书 不够问第二组有多少人？不够问第二组有多少人？ 【考点】盈亏问题【难度】5 星【题型】解答 【解析】如果把书全部分给第一组， 那么每人 4 本， 有剩余； 每人 5 本， 书不够 说明第一组人数少于48412 （人） ，多于48593 ，即 9 人；如果把书全分给第二组，那么每人 3 本，有剩余；每人 4 本， 书不够说明第二组人数少于48316（人） ，多于48412（人） ；因为已知第二组比第一组多 5 人，所以，第一组只能是 10 人，第二组 15 人 【答案】15人 【例【例 8】有若干盒卡片分给一些小朋友
21、，如果只分一盒，每人至少可以得到有若干盒卡片分给一些小朋友，如果只分一盒，每人至少可以得到 7 张；如果每人分张；如果每人分 8 张卡片，则张卡片，则 还缺少还缺少 5 张张现在把所有卡片都分完现在把所有卡片都分完，每人分到每人分到 60 张张，而且还多出而且还多出 4 张张问问：共有多少个小朋友？共有多少个小朋友？ 【考点】盈亏问题【难度】5 星【题型】解答 【解析】首先由题意，一盒卡片每人分 7 张则有剩余，每人分 8 张则少 5 张，证明总人数多于 5 个 如果一共有 7 盒卡片，则所有人每人要想分到8756（张）卡片，还缺 35 张，卡片张数比题中所 述要少 如果一共有 9 盒卡片，则
22、只要再添上5 945（张）卡片，就能使所有人每人分到8 972（张） ， 人数为 1 (454)(7260)45 12 ，不满足总人数多于 5 个的要求 类似地，当卡片总盒数多于 9 时，都不满足总人数多于 5 个的要求 因此卡片一共有 8 盒，添上5 840（张）卡片，就能使所有人每人分到8 864（张） ，所以总人 数为：(404)(6460)11（人） (二解)60784 ，60874 ，说明卡片的盒数是 8 盒，“若都分 8 张则还缺少 5 张”，即如果 我们在每盒中加 5 张（8 盒共加 40 张） ，每人就可以得到8 864（张） ，现在实际每人得到 60 张， 即每人需要退出 4
23、 张，其中要有 4 张是每人 60 张后多下来的，还有 40 张是我们一开始借来的要还 出去，即要退出 44 张，44411（人） ，说明有 11 人 【答案】11个小朋友 【例【例 9】一班和二班的学生一起出去划船，要求一班和二班的学生不能坐同一艘船，但每船都按要求尽量坐一班和二班的学生一起出去划船，要求一班和二班的学生不能坐同一艘船，但每船都按要求尽量坐 满，如果满，如果 7 人一船，则共需人一船，则共需 15 船；如果要求船；如果要求 8 人一船，则恰好全部坐满；如果要求人一船，则恰好全部坐满；如果要求 10 人一船，则人一船，则 一班比二班多一班比二班多 3 船，那么一班和二班分别有船
24、，那么一班和二班分别有_、_人人. 【考点】盈亏问题【难度】5 星【题型】填空 【关键词】学而思杯，5 年级，第 13 题 【解析】8 人一船，则恰好全部坐满，那么两班人数都是 8 的倍数；10 人一船，则一班比二班多 3 船，说明 一班比二班人多. 7 人一船，肯定也是一班船多，多的数目也是 3 左右. 由于两班船和是 15，是奇数， 所以差也应该是奇数. 下面我们按照差分别是 1，3，5 分别讨论. 发现在船数差 3 和差 5 的时候，会出现 10 人每船时差 3 的情况，但是第一种一班人数没有 8 的倍数， 所以取第二种情况，一班 64 人，二班 32 人. 【答案】一班 64 人，二班
25、 32 人. 【例【例 10】幼儿园有三个班，甲班比乙班多幼儿园有三个班，甲班比乙班多4人，乙班比丙班多人，乙班比丙班多4人，老师给小孩分枣，甲班每个小孩比人，老师给小孩分枣，甲班每个小孩比 乙班每个小孩少分乙班每个小孩少分3个枣个枣， 乙班每个小孩比丙班每个小孩少分乙班每个小孩比丙班每个小孩少分5个枣个枣， 结果甲班比乙班共多分结果甲班比乙班共多分3个枣个枣， 6-1-7.盈亏问题（三）.题库教师版page 5 of 5 乙班比丙班总共多分乙班比丙班总共多分5个枣问：三个班总共分了多少个枣？个枣问：三个班总共分了多少个枣？ 【考点】盈亏问题【难度】6 星【题型】解答 【解析】设丙班有x个小孩
26、，那么乙班就有4（）x个小孩，甲班有8（）x个小孩 乙班每个小孩比丙班每个小孩少分5个枣， 那么x个小孩就少分5x个枣， 而乙班比丙班总共多分5个 枣，所以多出来的那4个小孩分了55（）x个枣 同样的道理，甲班每个小孩比乙班每个小孩少分3个枣，那么4（）x个小孩就少分312（）x个枣，而 甲班比乙班总共多分3个枣，所以多出来的那4个小孩分了3123315xx个枣 甲班每个小孩比乙班每个小孩少分3个枣，4个小孩就少3412个枣，因此我们得到： 5531512xx，解得11x 所以，丙班有11个小朋友，乙班有15个小朋友，甲班有19个小朋友；甲班每人分12个枣，乙班每 人分15个枣，丙班每人分20
27、个枣共分了12 1915 1520 11673（个）枣 【答案】673个 【例【例 1 1】 动物园里猩猩比狒狒多，猴子比猩猩多。一天，饲养员拿了动物园里猩猩比狒狒多，猴子比猩猩多。一天，饲养员拿了 10 箱香蕉分给它们。每只猩猩比每只箱香蕉分给它们。每只猩猩比每只 狒狒多分狒狒多分 1 根根， 每只猴子比每只猩猩多分每只猴子比每只猩猩多分 1 根根。 分完后分完后， 只剩下只剩下 2 根香蕉根香蕉。 如果每箱香蕉数量相同如果每箱香蕉数量相同， 都是都是 40 多个，而且猴子比狒狒多多个，而且猴子比狒狒多 6 只，猩猩只，猩猩 16 只。那么，动物园里有只。那么，动物园里有_只猴子。只猴子。
28、A.A.18B.19C.20D.17 【考点】盈亏问题【难度】6 星【题型】选择 【关键词】迎春杯，中年级组，复试，8 题 【解析】【解析】B，由题意知，共吃了香蕉400500根，且个位数是8。设有猴子n只，则有狒狒n 6只。因为 猩猩的数量介于猴子与狒狒之间，所以17n21。再设每只猴子吃了a根香蕉，则每只猩猩吃了 a 1根，每只狒狒吃了a 2根。共吃香蕉 anaan11626 anaanna16162612 anan21024 a nn2524 X。X的个位数是 8，且17n21 若n 17，则Xa4438。a的个位只能是4或9，不满足X400500； 若n 18，则Xa4640。a的个位只能是3或8，不满足X400500； 若n 19，则Xa4842。a的个位只能是0或5，当a 10时，X 438，符合题意； 同理，n 20或21都不符合题意。 所以有猴子19只。 【答案】19
