1、8-5.抽屉原理.题库教师版page 1 of 28 抽屉原理抽屉原理 教学目标教学目标 抽屉原理是一种特殊的思维方法抽屉原理是一种特殊的思维方法，不但可以根据它来做出许多有趣的推理和判断不但可以根据它来做出许多有趣的推理和判断，同时能够帮助同学同时能够帮助同学 证明很多看似复杂的问题。本讲的主要教学目标是：证明很多看似复杂的问题。本讲的主要教学目标是： 1理解抽屉原理的基本概念、基本用法； 2掌握用抽屉原理解题的基本过程； 3. 能够构造抽屉进行解题； 4. 利用最不利原则进行解题； 5.利用抽屉原理与最不利原则解释并证明一些结论及生活中的一些问题。 知识点拨知识点拨 一、知识点介绍 抽屉原
2、理有时也被称为鸽笼原理，它由德国数学家狄利克雷首先明确提出来并用来证明一些数论中 的问题，因此，也被称为狄利克雷原则抽屉原理是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，利用它可 以解决很多有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇的作用许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题， 在利用抽屉原则后，能很快使问题得到解决 二、抽屉原理的定义 （1）举例）举例 桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，有的抽屉可以放一个，有的可以放 两个，有的可以放五个，但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。 （2）定义）定义 一般情况下，把 n1 或多于 n1 个苹果放到 n 个抽屉里，
3、其中必定至少有一个抽屉里至少有两个苹 果。我们称这种现象为抽屉原理。 三、抽屉原理的解题方案 （一（一） 、利用公式进行解题、利用公式进行解题 苹果抽屉商余数 余数： （1）余数1，结论：至少有（商1）个苹果在同一个抽屉里 （2）余数x11xn ， 结论：至少有（商1）个苹果在同一个抽屉里 （3）余数0，结论：至少有“商”个苹果在同一个抽屉里 （二（二） 、利用最值原理解题利用最值原理解题 将题目中没有阐明的量进行极限讨论，将复杂的题目变得非常简单，也就是常说的极限思想“任我意” 方法、特殊值方法 知识精讲知识精讲 （一） 、直接利用公式进行解题 （1）求结论 【例【例 1 1】6只鸽子要飞进
4、只鸽子要飞进5个笼子，每个笼子里都必须有个笼子，每个笼子里都必须有1只，一定有一个笼子里有只，一定有一个笼子里有2只鸽子对吗？只鸽子对吗？ 【考点】抽屉原理【难度】1 星【题型】解答 8-5.抽屉原理.题库教师版page 2 of 28 【解析】6只鸽子要飞进5个笼子，如果每个笼子装1只，这样还剩下1只鸽子这只鸽子可以任意飞进其 中的一个笼子，这样至少有一个笼子里有2只鸽子所以这句话是正确的 利用刚刚学习过的抽屉原理来解释这个问题，把鸽笼看作“抽屉”，把鸽子看作“苹果”， 6511 ，1 12 （只）把6个苹果放到5个抽屉中，每个抽屉中都要有1个苹果，那么肯 定有一个抽屉中有两个苹果，也就是一
5、定有一个笼子里有2只鸽子 【答案】对 【巩固】【巩固】 把把 9 条金鱼任意放在条金鱼任意放在 8 个鱼缸里面，请你说明至少有一个鱼缸放有两条或两条以上金鱼个鱼缸里面，请你说明至少有一个鱼缸放有两条或两条以上金鱼 【考点】抽屉原理【难度】1 星【题型】解答 【解析】略 【答案】在8个鱼缸里面，每个鱼缸放一条，就是8条金鱼；还剩下的一条，任意放在这8个鱼缸其中的任 意一个中，这样至少有一个鱼缸里面会放有两条金鱼 【巩固】【巩固】 教室里有教室里有 5 名学生正在做作业名学生正在做作业，现在只有数学现在只有数学、英语英语、语文语文、地理四科作业地理四科作业 试说明试说明：这这 5 名学名学 生中，
6、至少有两个人在做同一科作业生中，至少有两个人在做同一科作业 【考点】抽屉原理【难度】1 星【题型】解答 【解析】略 【答案】将 5 名学生看作 5 个苹果 将数学、英语、语文、地理作业各看成一个抽屉，共 4 个抽屉 由抽屉 原理，一定存在一个抽屉，在这个抽屉里至少有 2 个苹果即至少有两名学生在做同一科的作业 【巩固】【巩固】 年级一班学雷锋小组有年级一班学雷锋小组有13人教数学的张老师说：人教数学的张老师说：“你们这个小组至少有你们这个小组至少有2个人在同一月过生个人在同一月过生 日日”你知道张老师为什么这样说吗？你知道张老师为什么这样说吗？ 【考点】抽屉原理【难度】1 星【题型】解答 【解
7、析】略 【总结】题目中并没有说明什么是“抽屉”，什么是“物品”，解题的关键是制造“抽屉”，确定假设的“物品”， 根据“抽屉少，物品多”转化为抽屉原理来解 【答案】从题目可以看出，这道题显然与月份有关我们知道，一年有12个月，把这12个月看成12个抽 屉，这道题就相当于把13个苹果放入12个抽屉中根据抽屉原理，至少有一个抽屉放了两个苹 果因此至少有两个同学在同一个月过生日 【巩固】【巩固】 数学兴趣小组有数学兴趣小组有 13 个学生，请你说明：在这个学生，请你说明：在这 13 个同学中，至少有两个同学属相一样个同学中，至少有两个同学属相一样 【考点】抽屉原理【难度】1 星【题型】解答 【解析】略
8、 【答案】属相共12个，把12个属相作为12个“抽屉”，13个同学按照自己的属相选择相应的“抽屉”，根据 抽屉原理，一定有一个“抽屉”中有两个或两个以上同学，也就是说至少有两个同学属相一样 【巩固】【巩固】 光明小学有光明小学有367名名2000年出生的学生，请问是否有生日相同的学生？年出生的学生，请问是否有生日相同的学生？ 【考点】抽屉原理【难度】1 星【题型】解答 【解析】略 【答案】 一年最多有366天， 把366天看作366个“抽屉”， 将367名学生看作367个“苹果” 这样， 把367个 苹果放进366个抽屉里，至少有一个抽屉里不止放一个苹果这就说明，至少有2名同学的生日 相同 【
9、巩固】【巩固】 用五种颜色给正方体各面涂色用五种颜色给正方体各面涂色(每面只涂一种色每面只涂一种色)，请你说明：至少会有两个面涂色相同，请你说明：至少会有两个面涂色相同 【考点】抽屉原理【难度】2 星【题型】解答 【解析】略 【答案】五种颜色最多只能涂5个不同颜色的面，因为正方体有6个面，还有一个面要选择这五种颜色中 的任意一种来涂，不管这个面涂成哪种颜色，都会和前面有一个面颜色相同，这样就有两个面会 被涂上相同的颜色 也可以把五种颜色作为5个“抽屉”，六个面作为六个物品，当把六个面随意 放入五个抽屉时，根据抽屉原理，一定有一个抽屉中有两个或两个以上的面，也就是至少会有两 个面涂色相同 8-5
10、.抽屉原理.题库教师版page 3 of 28 【巩固】【巩固】 三个小朋友在一起玩，其中必有两个小朋友都是男孩或者都是女孩三个小朋友在一起玩，其中必有两个小朋友都是男孩或者都是女孩 【考点】抽屉原理【难度】1 星【题型】解答 【解析】略 【答案】方法一：情况一：这三个小朋友，可能全部是男，那么必有两个小朋友都是男孩的说法是正确的； 情况二：这三个小朋友，可能全部是女，那么必有两个小朋友都是女孩的说法是正确的； 情况三：这三个小朋友，可能其中1男2女那么必有两个小朋友都是女孩说法是正确的； 情况四：这三个小朋友，可能其中2男1女，那么必有两个小朋友都是男孩的说法是正 确的所以，三个小朋友在一起
11、玩，其中必有两个小朋友都是男孩或者都是女 孩的说法是正确的； 方法二：三个小朋友只有两种性别，所以至少有两个人的性别是相同的，所以必有两个小朋友都 是男孩或者都是女孩 【巩固】【巩固】 试说明试说明 400 人中至少有两个人的生日相同人中至少有两个人的生日相同. 【考点】抽屉原理【难度】2 星【题型】解答 【解析】略. 【答案】将一年中的 366 天或365天视为 366 个或365个抽屉，400 个人看作 400 个苹果，从最极端的情况 考虑，即每个抽屉都放一个苹果，还有35个或34个苹果必然要放到有一个苹果的抽屉里，所以 至少有一个抽屉有至少两个苹果，即至少有两人的生日相同 【例【例 2
12、2】 向阳小学有向阳小学有 730 个学生，问：至少有几个学生的生日是同一天？个学生，问：至少有几个学生的生日是同一天？ 【考点】抽屉原理【难度】2 星【题型】解答 【解析】略 【答案】一年最多有 366 天，可看做 366 个抽屉，730 个学生看做 730 个苹果因为7303661364 ， 所以，至少有 112（个）学生的生日是同一天 【巩固】【巩固】 人的头发平均有人的头发平均有 12 万根万根，如果最多不超过如果最多不超过 20 万根万根，那么那么 13 亿中国人中至少有亿中国人中至少有人的头发的人的头发的 根数相同。根数相同。 图图 8 【考点】抽屉原理【难度】2 星【题型】填空
13、【关键词】希望杯，4 年级，1 试 【解析】这是一道抽屉原理的题目， 所以要先分清楚什么是抽屉， 什么是苹果。 此题中的抽屉是人的头发： 有 20 万个，中国的人数是苹果：13 亿人，所以至少应有：13000000002000006500（人） 。 【答案】650人 【例【例 3 3】 “六一六一”儿童节，很多小朋友到公园游玩，在公园里他们各自遇到了许多熟人试说明：在游园儿童节，很多小朋友到公园游玩，在公园里他们各自遇到了许多熟人试说明：在游园 的小朋友中，至少有两个小朋友遇到的熟人数目相等的小朋友中，至少有两个小朋友遇到的熟人数目相等 【考点】抽屉原理【难度】3 星【题型】解答 【解析】略
14、【答案】假设共有n个小朋友到公园游玩，我们把他们看作n个“苹果”，再把每个小朋友遇到的熟人数目 看作“抽屉”，那么，n个小朋友每人遇到的熟人数目共有以下n种可能：0，1，2，1n 其 中 0 的意思是指这位小朋友没有遇到熟人； 而每位小朋友最多遇见1n 个熟人， 所以共有n个“抽 屉”下面分两种情况来讨论： 如果在这n个小朋友中，有一些小朋友没有遇到任何熟人，这时其他小朋友最多只能遇上2n 个熟人，这样熟人数目只有1n 种可能：0，1，2，2n 这样，“苹果”数(n个小朋友) 超过“抽屉”数(1n 种熟人数目)，根据抽屉原理，至少有两个小朋友，他们遇到的熟人数目相等 如果在这n个小朋友中，每位
15、小朋友都至少遇到一个熟人，这样熟人数目只有1n 种可能：1， 8-5.抽屉原理.题库教师版page 4 of 28 2，3，1n 这时，“苹果”数(n个小朋友)仍然超过“抽屉”数(1n 种熟人数目)，根据抽屉 原理，至少有两个小朋友，他们遇到的熟人数目相等 总之，不管这n个小朋友各遇到多少熟人(包括没遇到熟人)，必有两个小朋友遇到的熟人数目相等 【巩固】【巩固】 五年级数学小组共有五年级数学小组共有 20 名同学名同学，他们在数学小组中都有一些朋友他们在数学小组中都有一些朋友，请你说明请你说明：至少有两名同学至少有两名同学， 他们的朋友人数一样多他们的朋友人数一样多 【考点】抽屉原理【难度】3
16、 星【题型】解答 【解析】略 【答案】数学小组共有 20 名同学，因此每个同学最多有 19 个朋友；又由于他们都有朋友，所以每个同学 至少有 1 个朋友因此，这 20 名同学中，每个同学的朋友数只有 19 种可能：1，2，3， 19把这 20 名同学看作 20 个“苹果”，又把同学的朋友数目看作 19 个“抽屉”，根据抽屉原理，至 少有 2 名同学，他们的朋友人数一样多 【例【例 4 4】 四个连续的自然数分别被四个连续的自然数分别被3除后，必有两个余数相同，请说明理由除后，必有两个余数相同，请说明理由 【考点】抽屉原理【难度】2 星【题型】解答 【解析】略 【答案】想一想，不同的自然数被3除
17、的余数有几类？在这道题中，把什么当作抽屉呢？ 把这四个连续的自然数分别除以3，其余数不外乎是0，1，2，把这3个不同的余数当作3个“抽 屉”，把这4个连续的自然数按照被3除的余数，分别放入对应的3个“抽屉”中，根据抽屉原理， 至少有两个自然数在同一个抽屉里，也就是说，至少有两个自然数除以3的余数相同 【例【例 5 5】 在任意的四个自然数中，是否其中必有两个数，它们的差能被在任意的四个自然数中，是否其中必有两个数，它们的差能被3整除？整除？ 【考点】抽屉原理【难度】3 星【题型】解答 【解析】略 【答案】因为任何整数除以3，其余数只可能是0，1，2三种情形我们将余数的这三种情形看成是三个 “抽
18、屉”一个整数除以3的余数属于哪种情形，就将此整数放在那个“抽屉”里将四个自然数放入 三个抽屉，至少有一个抽屉里放了不止一个数，也就是说至少有两个数除以3的余数相同（需要对 学生利用余数性质进行解释：为什么余数相同，则差就能被整除） 这两个数的差必能被3整除 【巩固】【巩固】 证明：任取证明：任取 8 个自然数，必有两个数的差是个自然数，必有两个数的差是 7 的倍数的倍数 【考点】抽屉原理【难度】3 星【题型】解答 【解析】略 【答案】在与整除有关的问题中有这样的性质，如果两个整数 a、b，它们除以自然数 m 的余数相同，那 么它们的差ab是 m 的倍数.根据这个性质，本题只需证明这 8 个自然
19、数中有 2 个自然数，它们 除以 7 的余数相同.我们可以把所有自然数按被 7 除所得的 7 种不同的余数 0、1、2、3、4、5、6 分成七类.也就是 7 个抽屉.任取 8 个自然数，根据抽屉原理，必有两个数在同一个抽屉中，也就 是它们除以 7 的余数相同，因此这两个数的差一定是 7 的倍数 【巩固】【巩固】 证明：任取证明：任取 6 个自然数，必有两个数的差是个自然数，必有两个数的差是 5 的倍数。的倍数。 【考点】抽屉原理【难度】3 星【题型】解答 【解析】略。 【答案】把自然数按照除以 5 的余数分成 5 个剩余类，即 5 个抽屉.任取 6 个自然数，根据抽屉原理，至少 有两个数属于同
20、一剩余类，即这两个数除以 5 的余数相同，因此它们的差是 5 的倍数 【巩固】【巩固】 （第八届（第八届小数报小数报数学竞赛决赛数学竞赛决赛）将全体自然数按照它们个位数字可分为将全体自然数按照它们个位数字可分为 10 类类：个位数字个位数字是是 1 的为第的为第 1 类类，个位数字是个位数字是 2 的为第的为第 2 类类，个位数字是个位数字是 9 的为第的为第 9 类类，个位数字是个位数字是 0 的为的为第第 10 类类 （1）任意取出）任意取出 6 个互不同类的自然数，其中一定有个互不同类的自然数，其中一定有 2 个数的和是个数的和是 10 的倍数吗？（的倍数吗？（2）任）任 意取出意取出
21、7 个互不同类的自然数个互不同类的自然数，其中一定有其中一定有 2 个数的和是个数的和是 10 的倍数吗？如果一定的倍数吗？如果一定，请煎药说明请煎药说明 理由；如果不一定，请举出一个反例理由；如果不一定，请举出一个反例 【考点】抽屉原理【难度】2 星【题型】解答 【解析】略 【答案】 （1）不一定有例如 1、2、3、4、5、10 这 6 个数中，任意两个数的和都不是 10 的倍数 8-5.抽屉原理.题库教师版page 5 of 28 （2）一定有将第 1 类与第 9 类合并，第 2 类与第 8 类合并，第 3 类与第 7 类合并，第 4 类与第 6 类合并，制造出 4 个抽屉；把第 5 类、
22、第 10 类分别看作 1 个抽屉，共 6 个抽屉任意 7 个 互不同类的自然数，放到这 6 个抽屉中，至少有 1 个抽屉里放 2 个数因为 7 个数互不同类， 所以后两个抽屉中每个都不可能放两个数当两个互不同类的数放到前 4 个抽屉的任何一个 里面时，它们的和一定是 10 的倍数 【巩固】【巩固】 证明证明：任给任给 12 个不同的两位数个不同的两位数，其中一定存在着这样的两个数其中一定存在着这样的两个数，它们的差是个位与十位数字相它们的差是个位与十位数字相 同的两位数同的两位数 【考点】抽屉原理【难度】2 星【题型】解答 【解析】略 【答案】两位数除以 11 的余数有 11 种：0，1，2，
23、3，4，5，6，7，8，9，10，按余数情况把所有两位数 分成 11 种12 个不同的两位数放入 11 个抽屉，必定有至少 2 个数在同一个抽屉里，这 2 个数除 以 11 的余数相同，两者的差一定能整除 11两个不同的两位数，差能被 11 整除，这个差也一定 是两位数（如 11，22） ，并且个位与十位相同 所以，任给 12 个不同的两位数，其中一定 存在着这样的两个数，它们的差是个位与十位数字相同的两位数 【例【例 6 6】 任给任给 11 个数，其中必有个数，其中必有 6 个数，它们的和是个数，它们的和是 6 的倍数的倍数 【考点】抽屉原理【难度】3 星【题型】解答 【解析】略 【答案】
24、设这 11 个数为 1 a， 2 a， 3 a， 11 a，由 5 个数的结论可知，在 1 a， 2 a， 3 a， 4 a， 5 a中必有 3 个数，其和为 3 的倍数，不妨设 1231 3aaak；在 4 a， 5 a， 6 a， 7 a， 8 a中必有 3 个数，其 和为 3 的倍数，不妨设 4562 3aaak；在 7 a， 8 a， 9 a， 10 a， 11 a中必有 3 个数，其和为 3 的倍 数，不妨设 7893 3aaak又在 1 k， 2 k， 3 k中必有两个数的奇偶性相同，不妨设 1 k， 2 k的奇 偶性相同，那么 12 33kk是 6 的倍数，即 1 a， 2 a，
25、 3 a， 4 a， 5 a， 6 a的和是 6 的倍数 【巩固】【巩固】 在任意的五个自然数中，是否其中必有三个数的和是在任意的五个自然数中，是否其中必有三个数的和是3的倍数？的倍数？ 【考点】抽屉原理【难度】3 星【题型】解答 【解析】略 【答案】至多有两个数在同一个抽屉里，那么每个抽屉里都有数，在每个抽屉里各取一个数，这三个数被 3除的余数分别为0，1，2因此这三个数之和能被3整除综上所述，在任意的五个自然数中， 其中必有三个数的和是3的倍数 【巩固】【巩固】 从从 2、4、6、30 这这 15 个偶数中，任取个偶数中，任取 9 个数，证明其中一定有两个数之和是个数，证明其中一定有两个数
26、之和是 34 【考点】抽屉原理【难度】3 星【题型】解答 【解析】略 【答案】我们用题目中的 15 个偶数制造 8 个抽屉，(2),(4,30)，(6,28)，(16,18),凡是抽屉中的有两个 数，都具有一个共同的特点：这两个数的和是 34 现从题目中的 15 个偶数中任取 9 个数，由抽屉原理（因为抽屉只有 8 个），必有两个数在同一 个抽屉中.由制造的抽屉的特点，这两个数的和是 34 【例【例 7 7】 任意给定任意给定 2008 个自然数个自然数， 证明证明： 其中必有若干个自然数其中必有若干个自然数， 和是和是 2008 的倍数的倍数(单独一个数也当做和单独一个数也当做和) 【考点】
27、抽屉原理【难度】3 星【题型】解答 【解析】略 【答案】把这 2008 个数先排成一行： 1 a， 2 a， 3 a， 2008 a， 第 1 个数为 1 a； 前 2 个数的和为 12 aa； 前 3 个数的和为 123 aaa； 前 2008 个数的和为 122008 aaa 如果这 2008 个和中有一个是 2008 的倍数，那么问题已经解决；如果这 2008 个和中没有 2008 的 倍数，那么它们除以 2008 的余数只能为 1，2，2007 之一，根据抽屉原理，必有两个和除 8-5.抽屉原理.题库教师版page 6 of 28 以 2008 的余数相同，那么它们的差(仍然是 1 a
28、， 2 a， 3 a， 2008 a中若干个数的和)是 2008 的 倍数所以结论成立 【巩固】【巩固】 20 道复习题，小明在两周内做完，每天至少做一道题道复习题，小明在两周内做完，每天至少做一道题证明：小明一定在连续的若干天内恰好证明：小明一定在连续的若干天内恰好 做了做了 7 道题目道题目 【考点】抽屉原理【难度】3 星【题型】解答 【解析】略 【答案】 设小明第 1 天做了 1 a道题， 前 2 天共做了 2 a道题， 前 3 天共做了 3 a道题， ， 前 14 天共做了 14 a 道题 显然 14 20a， 而 1 a 13 a都小于 20 考虑 1 a， 2 a， 3 a， ，1
29、4a及 1 7a ， 2 7a ， 3 7a ， ， 14 7a这 28 个数，它们都不超过 27 根据抽屉原理， 这 28 个数中必有两个数相等 由于 1 a， 2 a， 3 a， ， 14 a互不相等， 1 7a ， 2 7a ， 3 7a ， 14 7a也互不相等，因而这两个相等的数只能一个在前一组，另一个在后一组中， 即有：7 ji aa，所以7 ji aa这表明从第1i 天到第j天，小明恰好做了 7 道题 【例【例 8 8】 求证：可以找到一个各位数字都是求证：可以找到一个各位数字都是 4 的自然数，它是的自然数，它是 1996 的倍数的倍数 【考点】抽屉原理【难度】4 星【题型】解
30、答 【解析】略 【答案】19964499，下面证明可以找到 1 个各位数字都是 1 的自然数，它是 499 的倍数 取 500 个数：1，11，111，1111（500 个 1） 用 499 去除这 500 个数，得到 500 个余 数 1 a， 2 a， 3 a， 500 a由于余数只能取 0，1，2，498 这 499 个值，所以根据抽屉原则， 必有 2 个余数是相同的，这 2 个数的差就是 499 的倍数，差的前若干位是 1，后若干位是 0： 111000又 499 和 10 是互质的，所以它的前若干位由 1 组成的自然数是 499 的倍数，将它 乘以 4，就得到一个各位数字都是 4 的
31、自然数，这是 1996 的倍数 【巩固】【巩固】 任意给定一个正整数任意给定一个正整数n，一定可以将它乘以适当的整数，使得乘积是完全由，一定可以将它乘以适当的整数，使得乘积是完全由 0 和和 7 组成的数组成的数. 【考点】抽屉原理【难度】4 星【题型】解答 【解析】略 【答案】考虑如下1n 个数：7，77，777，777 n 位 ， 1 777 n 位 ，这1n 个数除以n的余数只能为 0，1， 2，1n 中之一，共n种情况，根据抽屉原理，其中必有两个数除以n的余数相同，不妨设 为777 p 位 和777 q 位 (pq)， 那么 () 777777777000 pqp qq 位位位位 是n
32、的倍数， 所以n乘以适当的整数， 可以得到形式为 () 777000 p qq 位位 的数，即由 0 和 7 组成的数 【例【例 9 9】 求证求证： 对于任意的对于任意的 8 个自然数个自然数， 一定能从中找到一定能从中找到 6 个数个数 a， b， c， d， e， f， 使得使得()()()ab cd ef 是是 105 的倍数的倍数 【考点】抽屉原理【难度】3 星【题型】解答 【解析】略 【答案】1053 57 对于任意的 8 个自然数，必可选出 2 个数，使它们的差是 7 的倍数；在剩下的 6 个数中，又可选出 2 个数，使它们的差是 5 的倍数；在剩下的 4 个数中，又可选出 2
33、个数，使它 们的差是 3 的倍数 【巩固】【巩固】 任给六个数字，一定可以通过加、减、乘、除、括号，将这六个数组成一个算式，使其得数任给六个数字，一定可以通过加、减、乘、除、括号，将这六个数组成一个算式，使其得数为为 105 的倍数的倍数 【考点】抽屉原理【难度】3 星【题型】解答 【解析】略 【答案】根据上一题的提示我们可以写出下列数字谜()()()a b c d e f使其结果为 105 的倍数，那么我们的 思路是使第一个括号里是 7 的倍数，第二个括号里是 5 的倍数，第三个括号里是 3 的倍数，那 8-5.抽屉原理.题库教师版page 7 of 28 么对于如果六个数字里有 7 的倍数
34、，那么第一个括号里直接做乘法即可，如果没有 7 的倍数， 那么我们做如下抽屉： 除以 7 的余数是 1 或者是 6 除以 7 的余数是 2 或者是 5 除以 7 的余数是 3 或者是 4那么六个数字肯定有两个数字在同一个抽屉里，那么着两个数如果 余数相同，做减法就可以得到 7 的倍数，如果余数不同，做加法就可以得到 7 的倍数 这样剩下的 4 个数中，同理可得后面的括号里也可以组合出 5 和 3 的倍数于是本题可以证明 【巩固】【巩固】 在在100张卡片上不重复地编上张卡片上不重复地编上1100，至少要随意抽出几张卡片才能保证所抽出的卡片上的数之至少要随意抽出几张卡片才能保证所抽出的卡片上的数
35、之 乘积可被乘积可被12整除？整除？ 【考点】抽屉原理【难度】2 星【题型】解答 【关键词】2008年，中国台湾小学数学竞赛决赛 【解析】略。 【答案】 2 1223，因为3的倍数有 100 33 3 个，所以不是3的倍数的数一共有1003367（个） ，抽 取这67个数无法保证乘积是3的倍数，但是如果抽取68个数，则必定存在一个数是3的倍数，又 因为奇数只有50个，所以抽取的偶数至少有18个，可以保证乘积是4的倍数，从而可以保证乘 积是12的倍数。于是最少要抽取68个数（即：68张卡片）才可以保证结果 【例【例 1010】把把 1、2、3、10 这十个数按任意顺序排成一圈，求证在这一圈数中一
36、定有相邻的三个数之这十个数按任意顺序排成一圈，求证在这一圈数中一定有相邻的三个数之 和不小于和不小于 17 【考点】抽屉原理【难度】3 星【题型】解答 【解析】略 【答案】(法 1)把这一圈从某一个数开始按顺时针方向分别记为 1 a、 2 a、 3 a、 10 a相邻的三个数为一 组，有 123 a a a、 234 a a a、 345 a a a、 9101 a a a、 1012 a a a共 10 组 这十组三个数之和的总和为： 12323410121210 +33 55165aaaaaaaaaaaa， 16516 105，根据抽屉原理，这十组数中至少有一组数的和不小于 17 (法 2
37、)在 10 个数中一定有一个数是 1，不妨设 10 1a，除去 10 a之外，把 1 a、 2 a、 3 a、 9 a这 9 个数按顺序分为三组 123 a a a、 456 a a a、 789 a a a因为这三组数之和的总和为： 123456789 +231054aaaaaaaaa，根据抽屉原理，这三组数中 至少有一组数之和不小于 17 【巩固】【巩固】 圆周上有圆周上有2000个点，在其上任意地标上个点，在其上任意地标上0,1,2,1999（每一点只标一个数，不同的点标上不同（每一点只标一个数，不同的点标上不同 的数的数） 证明必然存在一点，与它紧相邻的两个点和这点上所标的三个数之和不
38、小于证明必然存在一点，与它紧相邻的两个点和这点上所标的三个数之和不小于2999 【考点】抽屉原理【难度】3 星【题型】解答 【解析】略 【答案】把这一圈从某一个数开始按顺时针方向分别记为 1 a、 2 a、 3 a、 2000 a相邻的三个数为一组， 有 123 a a a、 234 a a a、 345 a a a、 199920001 aaa、 200012 aa a共2000组 这2000组三个数之和的总和为： 123234200012122000 +33 (1231999)5997000aaaaaaaaaaaa 5997000299820001000，根据抽屉原理，这两千组数中至少有一
39、组数的和不小于 2999 【例【例 1111】证明：在任意的证明：在任意的 6 个人中必有个人中必有 3 个人，他们或者相互认识，或者相互不认识个人，他们或者相互认识，或者相互不认识 【考点】抽屉原理【难度】3 星【题型】解答 【解析】略 【答案】把这 6 个人看作 6 个点，每两点之间连一条线段，两人相互认识的话将线段涂红色，两人不认识 的话将线段涂上蓝色， 那么只需证明其中有一个同色三角形即可 从这 6 个点中随意选取一点A， 从A点引出的 5 条线段，根据抽屉原理，必有 3 条的颜色相同，不妨设有 3 条线段为红色，它们 8-5.抽屉原理.题库教师版page 8 of 28 另外一个端点
40、分别为B、C、D，那么这三点中只要有两点比如说B、C之间的线段是红色，那 么A、B、C3 点组成红色三角形；如果B、C、D三点之间的线段都不是红色，那么都是蓝色， 这样B、C、D3 点组成蓝色三角形，也符合条件所以结论成立 【巩固】【巩固】 平面上给定平面上给定 6 个点个点，没有没有 3 个点在一条直线上个点在一条直线上证明证明：用这些点做顶点所组成的一切三角形中用这些点做顶点所组成的一切三角形中， 一定有一个三角形，它的最大边同时是另外一个三角形的最小边一定有一个三角形，它的最大边同时是另外一个三角形的最小边 【考点】抽屉原理【难度】3 星【题型】解答 【解析】略 【答案】我们先把题目解释
41、一下一般情况下三角形的三条边的长度是互不相等的，因此必有最大边和最 小边在等腰三角形(或等边三角形中)，会出现两条边，甚至三条边都是最大边(或最小边) 我们用染色的办法来解决这个问题分两步染色： 第一步：先将每一个三角形中的最大边涂上同一种颜色，比如红色；第二步，将其它的未涂色的 线段都涂上另外一种颜色，比如蓝色 这样，我们就将所有三角形的边都用红、蓝两色涂好根据上题题的结论可知，这些三角形中至 少有一个同色三角形由于这个同色三角形有自己的最大边，而最大边涂成红色，所以这个同色 三角形必然是红色三角形由于这个同色三角形有自己的最小边，而这条最小边也是红色的，说 明这条最小边必定是某个三角形的最
42、大边结论得证 【巩固】【巩固】 假设在一个平面上有任意六个点假设在一个平面上有任意六个点，无三点共线无三点共线，每两点用红色或蓝色的线段连起来每两点用红色或蓝色的线段连起来，都连好后都连好后， 问你能不能找到一个由这些线构成的三角形，使三角形的三边同色？问你能不能找到一个由这些线构成的三角形，使三角形的三边同色？ 【考点】抽屉原理【难度】3 星【题型】解答 【解析】略 【答案】从这 6 个点中随意选取一点A，从A点引出的 5 条线段，根据抽屉原理，必有 3 条的颜色相同， 不妨设有 3 条线段为红色，它们另外一个端点分别为B、C、D，那么这三点中只要有两点比如 说B、C之间的线段是红色，那么A
43、、B、C3 点组成红色三角形；如果B、C、D三点之间的 线段都不是红色，那么都是蓝色，这样B、C、D3 点组成蓝色三角形，也符合条件所以结论 成立(可以拓展玩转数学) 【巩固】【巩固】 平面上有平面上有 17 个点个点，两两连线两两连线，每条线段染红每条线段染红、黄黄、蓝三种颜色中的一种蓝三种颜色中的一种，这些线段能构成若干这些线段能构成若干 个三角形个三角形证明：一定有一个三角形三边的颜色相同证明：一定有一个三角形三边的颜色相同 【考点】抽屉原理【难度】4 星【题型】解答 【解析】略 【答案】从这 17 个点钟任取一个点A，把A点与其它 16 个点相连可以得到 16 条线段，根据抽屉原理，
44、其中同色的线段至少有 6 条，不妨设为红色考虑这 6 条线段的除A点外的 6 个端点： 如果 6 个点两两之间有 1 条红色线段，那么就有 1 个红色三角形符合条件； 如果 6 个点之间没有红色线段，也就是全为黄色和蓝色，由上面的 2 题可知，这 6 个点中必有 3 个点，它们之间的线段的颜色相同，那么这样的三角形就符合条件 综上所述，一定存在一个三角形满足题目要求 【例【例 1212】上体育课时上体育课时，21 名男名男、女学生排成女学生排成 3 行行 7 列的队形做操列的队形做操老师是否总能从队形中划出一个长方老师是否总能从队形中划出一个长方 形，使得站在这个长方形形，使得站在这个长方形
45、4 个角上的学生或者都是男生，或者都是女生个角上的学生或者都是男生，或者都是女生?如果能，请说明理由如果能，请说明理由； 如果不能，请举出实例如果不能，请举出实例 【考点】抽屉原理【难度】3 星【题型】解答 【解析】略 【答案】因为只有男生或女生两种情况，所以第 1 行的 7 个位置中至少有 4 个位置同性别为了确定起见， 不妨设前 4 个位置同是男生，如果第二行的前 4 个位置有 2 名男生，那么 4 个角同是男生的情况 已经存在，所以我们假定第二行的前 4 个位置中至少有 3 名女生，不妨假定前 3 个是女生又第 三行的前 3 个位置中至少有 2 个位置是同性别学生，当是 2 名男生时与第
46、一行构成一个四角同性 别的矩形，当有 2 名女生时与第二行构成四角同性别的矩形所以，不论如何，总能从队形中划 出一个长方形，使得站在这个长方形 4 个角上的学生同性别问题得证 8-5.抽屉原理.题库教师版page 9 of 28 【例【例 1313】8 个学生解个学生解 8 道题目道题目(1)若每道题至少被若每道题至少被 5 人解出，请说明可以找到两个学生，每道题至少被人解出，请说明可以找到两个学生，每道题至少被 过两个学生中的一个解出过两个学生中的一个解出(2)如果每道题只有如果每道题只有 4 个学生解出个学生解出，那么那么(1)的结论一般不成立的结论一般不成立试构试构 造一个例子说明这点造
47、一个例子说明这点. 【考点】抽屉原理【难度】4 星【题型】解答 【解析】略 【答案】 （1）先设每道题被一人解出称为一次，那么 8 道题目至少共解出 58=40 次，分到 8 个学生身上， 至少有一个学生解出了 5 次或 5 次以上题目，即这个学生至少解出 5 道题，称这个学生为 A， 我们讨论以下 4 种可能： 第一种可能： 若A只解出5道题， 则另3道题应由其他7个人解出， 而3道题至少共被解出35=15 次，分到 7 个学生身上，至少有一名同学解出了 3 次或 3 次以上的题目(15=27+1，由抽屉原则 便知)由于只有 3 道题，那么这 3 道题被一名学生全部解出，记这名同学为 B那么
48、，每道题至 少被 A、B 两名同学中某人解出 第二种可能：若 A 解出 6 道题，则另 2 道题应由另 7 人解出，而 2 道题至少共被解出 25=10 次，分到 7 个同学身上，至少有一名同学解出 2 次或 2 次以上的题目(10=17+3，由抽屉原则便 知)与 l 第一种可能 I 同理，这两道题必被一名学生全部解出，记这名同学为 C那么，每道题 目至少被 A、C 学生中一人解出 第三种可能：若 A 解出 7 道题目，则另一题必由另一人解出，记此人为 D那么，每道题目至 少被 A、D 两名学生中一人解出 第四种可能：若 A 解出 8 道题目，则随意找一名学生，记为 E，那么，每道题目至少被
49、A、E 两名学生中一人解出，所以问题(1)得证 (2)类似问题(1)中的想法，题目共被解出 84=32 次，可以使每名学生都解出 4 次，那么每人解 出 4 道题随便找一名学生，必有 4 道未被他解出，这 4 道题共被 7 名同学解出 44=16 次，由 于 16=27+2，可以使每名同学解出题目不超过 3 道，这样就无法找到两名学生，使每道题目至 少被其中一人解出 具体构造如下表，其中汉字代表题号，数字代表学生，打代表该位置对应的题目被该位置对应 的学生解出 【巩固】【巩固】 试卷上共有试卷上共有 4 道选择题，每题有道选择题，每题有 3 个可供选择的答案一群学生参加考试，结果是对于其个可供
50、选择的答案一群学生参加考试，结果是对于其 中任何中任何 3 人，都有一个题目的答案互不相同问参加考试的学生最多有多少人人，都有一个题目的答案互不相同问参加考试的学生最多有多少人? 【考点】抽屉原理【难度】4 星【题型】解答 【解析】略 【答案】设总人数为 A，再由分析可设第一题筛选取出的人数为 1 A，第二题筛选的人数为 2 A，第三题筛 选取的人数为 3 A，第四题筛选的人数为 4 A如果不能满足题目要求，则： 4 A至少是 3，即 3 个 人只有两种答案由于 4 A是 3 A人做第四题后筛选取出的人数，则由抽屉原则知， (两种答案)中至少放有 3 3 3 A A 个苹果(即 4 A). 3
