1、3-3-1.比例解行程问题.题库教师版page 1 of 18 比例解行程问题比例解行程问题 教学目标教学目标 1. 理解行程问题中的各种比例关系. 2. 掌握寻找比例关系的方法来解行程问题 知识精讲知识精讲 比例的知识是小学数学最后一个重要内容，从某种意义上讲仿佛扮演着一个小学“压轴知识点”的角 色。 从一个工具性的知识点而言，比例在解很多应用题时有着“得天独厚”的优势，往往体现在方法的灵活 性和思维的巧妙性上，使得一道看似很难的题目变得简单明了。比例的技巧不仅可用于解行程问题，对于 工程问题、分数百分数应用题也有广泛的应用。 我们常常会应用比例的工具分析 2 个物体在某一段相同路线上的运动
2、情况，我们将甲、乙的速度、时 间、路程分别用,vvtts s 乙乙乙甲甲甲， ；来表示，大体可分为以下两种情况： 1.当 2 个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，经过同一段时间后，他们走过的路程之比就 等于他们的速度之比。 svt svt 甲甲甲 乙乙乙 ，这里因为时间相同，即ttt 乙甲 ,所以由 ss tt vv 甲乙 乙甲 乙甲 ， 得到 ss t vv 甲乙 乙甲 ， sv sv 甲甲 乙乙 ，甲乙在同一段时间 t 内的路程之比等于速度比 2.当 2 个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，走过相同的路程时，2 个物体所用的时间之 比等于他们速度的反比。 svt svt 甲甲甲
3、 乙乙乙 ，这里因为路程相同，即sss 乙甲 ，由svtsvt 乙乙乙甲甲甲， 得svtvt 乙乙甲甲 ， vt vt 甲乙 乙甲 ，甲乙在同一段路程 s 上的时间之比等于速度比的反比。 模块一：比例初步利用简单倍比关系进行解题 【例【例 1】 甲、乙两车从相距甲、乙两车从相距 330 千米的千米的 A、B 两城相向而行，甲车先从两城相向而行，甲车先从 A 城出发，过一段时间后，乙车城出发，过一段时间后，乙车 才从才从 B 城出发城出发， 并且甲车的速度是乙车速度的并且甲车的速度是乙车速度的 5 6 。 当两车相遇时当两车相遇时， 甲车比乙车多行驶了甲车比乙车多行驶了 30 千米千米， 则甲车
4、开出则甲车开出千米，乙车才出发。千米，乙车才出发。 【考点】行程问题之比例解行程【难度】2 星【题型】解答 【关键词】希望杯，5 年级，1 试 【解析】两车相遇时共行驶 330 千米，但是甲多行 30 千米，可以求出两车分别行驶的路程，可得甲车行 驶 180 千米，乙车行驶 150 千米，由甲车速度是乙车速度的 5 6 可以知道，当乙车行驶 150 千米的 时候，甲车实际只行驶了 5 150125 6 千米，那么可以知道在乙车出发之前，甲车已经行驶了 3-3-1.比例解行程问题.题库教师版page 2 of 18 180-125=55 千米。 【答案】55 千米 【例【例 2】 甲乙两地相距甲
5、乙两地相距 12 千米，上午千米，上午 10：45 一位乘客乘出租车从甲地出发前往乙地，途中，乘客问司一位乘客乘出租车从甲地出发前往乙地，途中，乘客问司 机距乙地还有多远，司机看了计程表后告诉乘客：已走路程的机距乙地还有多远，司机看了计程表后告诉乘客：已走路程的 1 3 加上未走路程的加上未走路程的 2 倍，恰好等倍，恰好等 于已走的路程，又知出租车的速度是于已走的路程，又知出租车的速度是 30 千米千米/小时，那么现在的时间是小时，那么现在的时间是。 【考点】行程问题之比例解行程【难度】2 星【题型】解答 【关键词】希望杯，6 年级，1 试 【解析】可设已走路程为 X 千米，未走路程为（12
6、-X）千米。 列式为：X- 1 3 X=(12-X)2解得：X=9 9306018分钟，现在时间是11:03 【答案】11:03 【例【例 3】 上午上午 8 点点 8 分，小明骑自行车从家里出发，分，小明骑自行车从家里出发，8 分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家 4 千米的千米的 地方追上了他地方追上了他.然后爸爸立即回家然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明到家后又立刻回头去追小明，再追上小明的时候再追上小明的时候，离家恰好离家恰好 是是 8 千米，这时是几点几分？千米，这时是几点几分？ 【考点】行程问题之比例解行程【难度】2 星【题型】解答 【解析】
7、画一张简单的示意图： 图上可以看出，从爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了 8-44（千米）.而爸爸骑的距离是 4 8 12（千米）.这就知道，爸爸骑摩托车的速度是小明骑自行车速度的 1243（倍）.按照 这个倍数计算，小明骑 8 千米，爸爸可以骑行 8324（千米）.但事实上，爸爸少用了 8 分钟， 骑行了 41216（千米）.少骑行 24-168（千米）.摩托车的速度是 88=1（千米/分） ，爸爸骑 行 16 千米需要 16 分钟.881632.所以这时是 8 点 32 分。 注意注意：小明第 2 个 4 千米，也就是从A到B的过程中，爸爸一共走 12 千米，这一点是本题的关 键对时间相
8、同或距离相同，但运动速度、方式不同的两种状态，是一大类行程问题的关键本 题的解答就巧妙地运用了这一点 【答案】8 点 32 分 【巩固】【巩固】 欢欢和贝贝是同班同学欢欢和贝贝是同班同学，并且住在同一栋楼里并且住在同一栋楼里早晨早晨 7 : 40 ，欢欢从家出发骑车去学校欢欢从家出发骑车去学校， 7 : 46 追上了一直匀速步行的贝贝；看到身穿校服的贝贝才想起学校的通知，欢欢立即调头，并将速追上了一直匀速步行的贝贝；看到身穿校服的贝贝才想起学校的通知，欢欢立即调头，并将速 度提高到原来的度提高到原来的 2 倍，回家换好校服，再赶往学校；欢欢倍，回家换好校服，再赶往学校；欢欢 8 : 00 赶到
9、学校时，贝贝也恰好到学赶到学校时，贝贝也恰好到学 校如果欢欢在家换校服用去校如果欢欢在家换校服用去 6 分钟且调头时间不计，那么贝贝从家里出发时是几点几分分钟且调头时间不计，那么贝贝从家里出发时是几点几分 【考点】行程问题之比例解行程【难度】2 星【题型】解答 【解析】欢欢从出发到追上贝贝用了 6 分钟，她调头后速度提高到原来的 2 倍，根据路程一定，时间比 等于速度的反比，她回到家所用的时间为 3 分钟，换衣服用时 6 分钟，所以她再从家里出发到 到达学校用了 20- 6-3- 6 =5 分钟，故她以原速度到达学校需要 10 分钟，最开始她追上贝贝用了 6 分钟，还剩下 4 分钟的路程，而这
10、 4 分钟的路程贝贝走了 14 分钟，所以欢欢的 6 分钟路程 贝贝要走 14 （6 4）= 21 分钟，也就是说欢欢追上贝贝时贝贝已走了 21 分钟，所以贝贝是 7 点 25 分出发的 【答案】7 点 25 分 【例【例 4】 甲甲、乙两车分别同时从乙两车分别同时从 A、B 两地相对开出两地相对开出，第一次在离第一次在离 A 地地 95 千米处相遇千米处相遇相遇后继续前进相遇后继续前进 到达目的地后又立刻返回，第二次在离到达目的地后又立刻返回，第二次在离 B 地地 25 千米处相遇求千米处相遇求 A、B 两地间的距离？两地间的距离？ 【考点】行程问题之比例解行程【难度】2 星【题型】解答 【
11、解析】画线段示意图(实线表示甲车行进的路线，虚线表示乙车行进的路线)： 3-3-1.比例解行程问题.题库教师版page 3 of 18 可以发现第一次相遇意味着两车行了一个 A、B 两地间距离，第二次相遇意味着两车共行了三个 A、B 两地间的距离当甲、乙两车共行了一个 A、B 两地间的距离时，甲车行了 95 千米，当它 们共行三个 A、B 两地间的距离时，甲车就行了 3 个 95 千米，即 953=285（千米），而这 285 千米比一个 A、B 两地间的距离多 25 千米，可得：953-25=285-25=260(千米) 【答案】260 千米 【巩固】【巩固】 地铁有地铁有 A，B 两站两站
12、，甲甲、乙二人都要在两站间往返行走乙二人都要在两站间往返行走.两人分别从两人分别从 A，B 两站同时出发两站同时出发，他们他们 第一次相遇时距第一次相遇时距 A 站站 800 米，第二次相遇时距米，第二次相遇时距 B 站站 500 米米.问：两站相距多远？问：两站相距多远？ 【考点】行程问题之比例解行程【难度】2 星【题型】解答 【解析】从起点到第一次迎面相遇地点，两人共同完成 1 个全长，从起点到第二次迎面相遇地点，两人 共同完成 3 个全长，一个全程中甲走 1 段 800 米，3 个全程甲走的路程为 3 段 800 米. 画图 可知，由 3 倍关系得到：A，B 两站的距离为 8003500
13、=1900 米 【答案】1900 米 【巩固】【巩固】 如右图如右图，A，B 是圆的直径的两端是圆的直径的两端，甲在甲在 A 点点，乙在乙在 B 点同时出发反向而行点同时出发反向而行，两人在两人在 C 点第点第 一次相遇，在一次相遇，在 D 点第二次相遇点第二次相遇.已知已知 C 离离 A 有有 80 米，米，D 离离 B 有有 60 米，求这个圆的周长米，求这个圆的周长. 【考点】行程问题之比例解行程【难度】2 星【题型】解答 【解析】根据总结可知，第二次相遇时，乙一共走了 803=240 米，两人的总路程和为一周半，又甲所走 路程比一周少 60 米， 说明乙的路程比半周多 60 米， 那么
14、圆形场地的半周长为 240-60=180 米， 周长为 1802=360 米. 【答案】360 米 【例【例 5】 甲甲、乙两人从相距乙两人从相距 490 米的米的 A、 B 两地同时步行出发两地同时步行出发，相向而行相向而行，丙与甲同时从丙与甲同时从 A 出发出发，在在 甲、乙二人之间来回跑步甲、乙二人之间来回跑步(遇到乙立即返回，遇到甲也立即返回遇到乙立即返回，遇到甲也立即返回)已知丙每分钟跑已知丙每分钟跑 240 米，甲米，甲 每分钟走每分钟走 40 米米，当丙第一次折返回来并与甲相遇时当丙第一次折返回来并与甲相遇时，甲甲、乙二人相距乙二人相距 210 米米，那么乙每分钟那么乙每分钟 走
15、走_米；甲下一次遇到丙时，甲、乙相距米；甲下一次遇到丙时，甲、乙相距_米米 【考点】行程问题之比例解行程【难度】3 星【题型】填空 【解析】如图所示： 假设乙、丙在C处相遇，然后丙返回，并在D处与甲相遇，此时乙则从走C处到E处根据题意 可知210DE 米 由于丙的速度是甲的速度的 6 倍， 那么相同时间内丙跑的路程是甲走的路程的 6 倍，也就是从A到C再到D的长度是AD的 6 倍，那么(6)22.5CDADADAD， 3.5ACAD，可见 5 7 CDAC那么丙从C到D所用的时间是从A到C所用时间的 5 7 ，那么这 段时间内乙、丙所走的路程之和(CD加CE)是前一段时间内乙、丙所走的路程之和
16、(AC加BC， 即全程)的 5 7 ，所以 5 490350 7 CDCE，而210CDCEDE，可得280CD ，70CE 3-3-1.比例解行程问题.题库教师版page 4 of 18 相同时间内丙跑的路程是乙走的路程的280704倍，所以丙的速度是乙的速度的 4 倍，那么乙 的速度为240460(米/分)，即乙每分钟走 60 米 当这一次丙与甲相遇后，三人的位置关系和运动方向都与最开始时相同，只是甲、乙之间的距离 改变了，变为原来的 2103 4907 ，但三人的速度不变，可知运动过程中的比例关系都不改变，那么 当下一次甲、丙相遇时，甲、乙之间的距离也是此时距离的 3 7 ，为 3 21
17、090 7 米 【答案】90米 【巩固】【巩固】 甲、乙两车同时从甲、乙两车同时从 A 地出发，不停地往返行驶于地出发，不停地往返行驶于 A、B 两地之间已知甲车的速度比乙车快两地之间已知甲车的速度比乙车快， 并且两车出发后第一次和第二次相遇都在途中并且两车出发后第一次和第二次相遇都在途中 C 地甲车的速度是乙车速度的多少倍？地甲车的速度是乙车速度的多少倍？ 【考点】行程问题之比例解行程【难度】2 星【题型】解答 【解析】第一次相遇时两车合走了两个全程， 而乙车走了 AC 这一段路； 第二次相遇两车又合走了两个全 程，而乙车走了从 C 地到 B 地再到 C 地，也就是 2 个 BC 段由于两次
18、的总行程相等，所 以每次乙车走的路程也相等，所以 AC 的长等于 2 倍 BC 的长而从第一次相遇到第二次相遇 之间， 甲车走了 2 个 AC 段， 根据时间一定， 速度比等于路程的比， 甲车、 乙车的速度比为 2 AC : 2 BC 2 :1 ，所以甲车的速度是乙车速度的 2 倍 【答案】2 倍 【巩固】【巩固】 甲、乙两人同时甲、乙两人同时A地出发，在地出发，在A、B两地之间匀速往返行走，甲的速度大于乙的速度，甲每次两地之间匀速往返行走，甲的速度大于乙的速度，甲每次 到达到达A地地、B地或遇到乙都会调头往回走地或遇到乙都会调头往回走，除此以外除此以外，两人在两人在AB之间行走方向不会改变之
19、间行走方向不会改变，已知已知 两人第一次相遇的地点距离两人第一次相遇的地点距离B地地1800米，第三次的相遇点距离米，第三次的相遇点距离B地地800米，那么第二次相遇的米，那么第二次相遇的 地点距离地点距离B地地。 【考点】行程问题之比例解行程【难度】2 星【题型】填空 【关键词】学而思杯，4 年级 【解析】设甲、乙两人的速度分别为 1 v、 2 v，全程为s，第二次相遇的地点距离B地x米。 由于甲的速度大于乙的速度，所以甲第一次遇到乙是甲到达B地并调头往回走时遇到乙的， 这时甲、乙合走了两个全程，第一次相遇的地点与B地的距离为 12 1 1212 2vvs vss vvvv ，那 么第一次相
20、遇的地点到B地的距离与全程的比为 12 12 vv vv ； 两人第一次相遇后，甲调头向B地走，乙则继续向B地走，这样一个过程与第一次相遇前 相似，只是这次的“全程”为第一次相遇的地点到B地的距离，即1800米。根据上面的分析 可知第二次相遇的地点到B地的距离与第一次相遇的地点到B地的距离的比为 12 12 vv vv ；类 似分析可知，第三次相遇的地点到B地的距离与第二次相遇的地点到B地的距离的比为 12 12 vv vv ；那么， 800 1800 x x ，得到1200 x ，故第二次相遇的地点距离B地1200米。 【答案】1200 【例【例 6】 甲、乙两人同时从甲、乙两人同时从 A
21、地出发，在地出发，在 A、 B 两地之间匀速往返行走，甲的速度大于乙的速度，甲两地之间匀速往返行走，甲的速度大于乙的速度，甲 每次到达每次到达 A 地、地、B 地或遇到乙都会调头往回走，除此以外，两人在地或遇到乙都会调头往回走，除此以外，两人在 A、B 之间行走方向不会之间行走方向不会 改变改变，已知两人第一次相遇点距离已知两人第一次相遇点距离 B 地地 1800 米米，第三次相遇点距离第三次相遇点距离 B 地地 800 米米，那么第二那么第二 次相遇的地点距离次相遇的地点距离 B 地多少米？地多少米？ 【考点】行程问题之比例解行程【难度】3 星【题型】解答 【解析】设甲、乙两人的速度分别为
22、1 v、 2 v，全程为 s，第二次相遇的地点距离 B 地 x 米 由于甲的速度大于乙的速度，所以甲第一次遇到乙是甲到达 B 地并调头往回走时遇到乙的，这 时甲、乙合走了两个全程，第一次相遇的地点与 B 地的距离为 12 1 1212 2vvs vss vvvv ，那么第 一次相遇的地点到 B 地的距离与全程的比为 12 12 vv vv ；两人第一次相遇后，甲调头向 B 地走，乙 则继续向 B 地走，这样一个过程与第一次相遇前相似，只是这次的“全程”为第一次相遇的地点 3-3-1.比例解行程问题.题库教师版page 5 of 18 到 B 地的距离，即 1800 米根据上面的分析可知第二次相
23、遇的地点到 B 地的距离与第一次相 遇的地点到 B 地的距离的比为 12 12 vv vv ； 类似分析可知， 第三次相遇的地点到 B 地的距离与第二 次相遇的地点到 B 地的距离的比为 12 12 vv vv ；那么 800 1800 x x ，得到1200 x ，故第二次相遇的 地点距离 B 地 1200 米 【答案】1200 米 【例【例 7】 每天早晨，小刚定时离家步行上学，张大爷也定时出家门散步，他们相向而行，并且准时在途每天早晨，小刚定时离家步行上学，张大爷也定时出家门散步，他们相向而行，并且准时在途 中相遇中相遇有一天有一天，小刚提早出门小刚提早出门，因此比平时早因此比平时早 7
24、 分钟与张大爷相遇分钟与张大爷相遇已知小刚步行速度是每已知小刚步行速度是每 分钟分钟 70 米，张大爷步行速度是每分钟米，张大爷步行速度是每分钟 40 米，那么这一天小刚比平时早出门多少分钟？米，那么这一天小刚比平时早出门多少分钟？ 【考点】行程问题之比例解行程【难度】2 星【题型】解答 【解析】比平时早 7 分钟相遇，那么小刚因提早出门而比平时多走的路程为小刚和张大爷 7 分钟合走的 路程，所以当张大爷出门时小刚已经比平时多走了 （70 +40 ）7 =770 米，因此小刚比平时早 出门 770 70 =11 分钟 【答案】11 分钟 【例【例 8】 甲、乙两人步行速度之比是甲、乙两人步行速
25、度之比是 32，甲、乙分别由，甲、乙分别由 A，B 两地同时出发，若相向而行，则两地同时出发，若相向而行，则 1 时后时后 相遇。若同向而行，则甲需要多少时间才能追上乙？相遇。若同向而行，则甲需要多少时间才能追上乙？ 【考点】行程问题之比例解行程【难度】2 星【题型】解答 【解析】5 时。解：设甲、乙速度分别为 3x 千米时和 2x 千米时。由题意可知 A，B 两地相距（3x 2x）15x（千米） 。追及时间为 5x（3x2x）=5（时） 。 【答案】5 时 【例【例 9】 一辆小汽车与一辆大卡车在一段一辆小汽车与一辆大卡车在一段 9 千米长的狭路上相遇，必须倒车，才能继续通行已知小汽千米长的
26、狭路上相遇，必须倒车，才能继续通行已知小汽 车的速度是大卡车速度的车的速度是大卡车速度的 3 倍，两车倒车的速度是各自速度的倍，两车倒车的速度是各自速度的 1 5 ，小汽车需倒车的路程是大卡，小汽车需倒车的路程是大卡 车需倒车的路程的车需倒车的路程的 4 倍倍如果小汽车的速度是每小时如果小汽车的速度是每小时 50 千米千米，那么要通过这段狭路最少用多少那么要通过这段狭路最少用多少 小时小时? 【考点】行程问题之比例解行程【难度】3 星【题型】解答 【解析】 如果一辆车在倒车，另一辆的速度一定大于其倒军速度，即一车倒出狭路另一车也驶离狭路，倒 车的车可立即通过 小汽车倒车的路程为 9 47.2
27、41 千米，大卡车倒车的路程为 9 11.8 41 千米 小汽车倒车的路程为 1 5010 5 千米小时，大卡车倒车的速度为 1110 50 353 千米/小时 当小汽车倒车时，倒车需 7.210=O.72 小时，而行驶过狭路需 950=0.18 小时，共需 0.720.180.9小时； 当大卡车倒车时，倒车需 10 1.80.54 3 小时，而行驶过狭路需 50 90.54 3 小时，共 0.540.541.08小时 显然当小轿车倒车时所需时间最少，需 0.9 小时 【答案】0.9 小时 【例【例 10】一辆货车从甲地往乙地运货一辆货车从甲地往乙地运货，然后空车返回然后空车返回，再继续运货再
28、继续运货。已知装满货物每时行已知装满货物每时行 50 千米千米，空车空车 每时行每时行 70 千米。不计装卸货物时间，千米。不计装卸货物时间，9 时往返五次。求甲、乙两地的距离。时往返五次。求甲、乙两地的距离。 【考点】行程问题之比例解行程【难度】2 星【题型】解答 3-3-1.比例解行程问题.题库教师版page 6 of 18 【解析】52.5 千米。解：因为满车与空车的速度比为 507057，所以 9 时中满车行的时间为的时间为 721 9 574 （时） ，两地距离为 21 50552.5 4 （千米） 。 【答案】52.5千米 【例【例 11】甲、乙两车往返于甲、乙两车往返于 A，B
29、两地之间。甲车去时的速度为两地之间。甲车去时的速度为 60 千米时，返回时的速度为千米时，返回时的速度为 40 千米千米 时；乙车往返的速度都是时；乙车往返的速度都是 50 千米时。求甲、乙两车往返一次所用时间的比。千米时。求甲、乙两车往返一次所用时间的比。 【考点】行程问题之比例解行程【难度】2 星【题型】解答 【解析】2524。提示：设 A，B 两地相距 600 千米。 【答案】2524 【例【例 12】甲、乙、丙三辆车先后从甲、乙、丙三辆车先后从 A 地开往地开往 B 地，乙比丙晚出发地，乙比丙晚出发 5 分，出发后分，出发后 45 分追上丙；甲比乙晚分追上丙；甲比乙晚 出发出发 15
30、分，出发后分，出发后 1 时追上丙。甲出发后多长时间追上乙？时追上丙。甲出发后多长时间追上乙？ 【考点】行程问题之比例解行程【难度】2 星【题型】解答 【解析】75 分。提示：行驶相同路程所需时间之比为： 459 5010 乙 甲 ， 603 804 甲 丙 。 【答案】75 分 【例【例 13】甲火车甲火车 4 分行进的路程等于乙火车分行进的路程等于乙火车 5 分行进的路程分行进的路程。乙火车上午乙火车上午 8：00 从从 B 站开往站开往 A 站站，开出开出 若干分后，甲火车从若干分后，甲火车从 A 站出发开往站出发开往 B 站。上午站。上午 9：00 两列火车相遇，相遇的地点离两列火车相
31、遇，相遇的地点离 A，B 两站两站 的距离的比是的距离的比是 1516。甲火车从。甲火车从 A 站发车的时间是几点几分？站发车的时间是几点几分？ 【考点】行程问题之比例解行程【难度】2 星【题型】解答 【解析】8 点 15 分。 解： 从甲火车出发算起， 到相遇时两车走的路程之比为 541512， 而相遇点距 A， B 两站的距离的比是 1516，说明相遇前乙车所走路程等于乙火车1时所走路程的 1 161216 4 ，也就是说已走了 1 4 时。所以甲火车发车时间是8点15分。 【答案】8 点 15 分 【例【例 14】一段路程分为上坡、平路、下坡三段，各段路程的长度之比是一段路程分为上坡、平
32、路、下坡三段，各段路程的长度之比是 123，某人走这三段路所用，某人走这三段路所用 的时间之比是的时间之比是 456。已知他上坡时每小时行。已知他上坡时每小时行 2.5 千米，路程全长为千米，路程全长为 20 千米。此人走完全程千米。此人走完全程 需多长时间？需多长时间？ 【考点】行程问题之比例解行程【难度】2 星【题型】解答 【解析】20.5 时。提示：先求出上坡的路程和所用时间。 【答案】20.5 时 【巩固】【巩固】 一段路程分为上坡一段路程分为上坡、平路平路、下坡三段下坡三段，各段路程的长度之比是各段路程的长度之比是 235，某人骑车走这三段路所某人骑车走这三段路所 用的时间之比是用的
33、时间之比是 654。已知他走平路时速度为已知他走平路时速度为 4.5 千米时千米时，全程用了全程用了 5 时时。问问：全程多少全程多少 千米？千米？ 【考点】行程问题之比例解行程【难度】2 星【题型】解答 【解析】21.25 千米。提示：先求出走平路所用的时间和路程。 【答案】21.25 千米 【巩固】【巩固】 甲、乙两列火车的速度比是甲、乙两列火车的速度比是 54。乙车先从。乙车先从 B 站开往站开往 A 站，当走到离站，当走到离 B 站站 72 千米的地方时，千米的地方时， 甲车从甲车从 A 站发车开往站发车开往 B 站站。如果两列火车相遇的地方离如果两列火车相遇的地方离 A，B 两站距离
34、的比是两站距离的比是 34，那么那么 A，B 两站之间的距离为多少千米？两站之间的距离为多少千米？ 【考点】行程问题之比例解行程【难度】2 星【题型】解答 【解析】315 千米。解：从甲火车出发算起，到相遇时两车走的路程之比为 541512，而相遇点距 A， B 两站的距离之比是 341520，说明相遇前乙车走的72千米占全程的 20128 152035 ，所以全 程为 8 72315 35 （千米） 【答案】315 千米 【巩固】【巩固】 大、小客车从甲、乙两地同时相向开出，大、小客车的速度比为大、小客车从甲、乙两地同时相向开出，大、小客车的速度比为 45，两车开出后，两车开出后 60 分相
35、遇分相遇， 并继续前进。并继续前进。问：大客车比小客车晚多少分到达目的地？问：大客车比小客车晚多少分到达目的地？ 3-3-1.比例解行程问题.题库教师版page 7 of 18 【考点】行程问题之比例解行程【难度】2 星【题型】解答 【解析】27 分。解：大客车还需 5 6075 4 （分） 、小客车还需 4 6048 5 （分） 。大客车比小客车晚到 754827（分） 【答案】27 分 【例【例 15】从甲地到乙地全部是山路，其中上山路程是下山路程的从甲地到乙地全部是山路，其中上山路程是下山路程的 2 3 。一辆汽车上山速度是下山速度的一。一辆汽车上山速度是下山速度的一 半，从甲地到乙地共
36、行半，从甲地到乙地共行 7 时。这辆汽车从乙地返回甲地需要多少时间？时。这辆汽车从乙地返回甲地需要多少时间？ 【考点】行程问题之比例解行程【难度】2 星【题型】解答 【解析】8 时。解：根据题意，上山与下山的路程比为 23，速度比为1:2，所用时间比为 3 21 : 322:4:3 2 。因为从甲地到乙地共行 7 时，所以上山用 4 时，下山用 3 时。 如下图所示， 从乙地返回甲地时， 因为下山的速度是上山的 2 倍， 所以从乙到丙用 326 （时） ， 从丙到甲用 422（时），共用 628（时）。 【答案】8 时 【例【例 16】甲、乙、丙三辆车同时从甲、乙、丙三辆车同时从 A 地出发到
37、地出发到 B 地去，出发后地去，出发后 6 分甲车超过了一名长跑运动员，分甲车超过了一名长跑运动员，2 分后分后 乙车也超过去了，又过了乙车也超过去了，又过了 2 分丙车也超了过去。已知甲车每分走分丙车也超了过去。已知甲车每分走 1000 米，乙车每分走米，乙车每分走 800 米米， 丙车每分钟走多少米？丙车每分钟走多少米？ 【考点】行程问题之比例解行程【难度】2 星【题型】解答 【解析】680 米。提示：先求长跑运动员的速度。 【答案】680 米 【例【例 17】甲甲、乙两人都从乙两人都从 A 地经地经 B 地到地到 C 地地。甲甲 8 点出发点出发，乙乙 8 点点 45 分出发分出发。乙乙
38、 9 点点 45 分到达分到达 B 地时地时， 甲已经离开甲已经离开 B 地地 20 分。两人刚好同时到达分。两人刚好同时到达 C 地。问：到达地。问：到达 C 地时是什么时间？地时是什么时间？ 【考点】行程问题之比例解行程【难度】2 星【题型】解答 【解析】10 点 33 分。解：到达 B 地甲用 85 分，乙用 60 分，也就是说，甲走 85 分的路程，乙至少走 25 分。由此推知，乙要比甲少走 45 分，甲要走 45 85153 25 （分）=2时33分。所以两人同时到 C 地的时间为 10 点 33 分。 【答案】10 点 33 分 【例【例 18】甲甲、 乙两车先后以相同的速度从乙两
39、车先后以相同的速度从 A 站开出站开出， 10 点整甲车距点整甲车距 A 站的距离是乙车距站的距离是乙车距 A 站距离的三倍站距离的三倍， 10 点点 10 分甲车距分甲车距 A 站的距离是乙车距站的距离是乙车距 A 站距离的二倍。问：甲车是何时从站距离的二倍。问：甲车是何时从 A 站出发的？站出发的？ 【考点】行程问题之比例解行程【难度】2 星【题型】解答 【解析】9 点 30 分。提示：因为两车速度相同，故甲、乙两车距 A 站的距离之比等于甲、乙两车行驶的 时间之比。设 10 点时乙车行驶了 x 分，用车行驶了 3x 分，据题意有 2（x10）=3x10。 【答案】9 点 30 分 【例【
40、例 19】某人沿公路前进，迎面来了一辆汽车，他问司机：某人沿公路前进，迎面来了一辆汽车，他问司机：“后面有骑自行车的人吗？后面有骑自行车的人吗？”司机回答：司机回答：“10 分前我超过一个骑自行车的人。分前我超过一个骑自行车的人。”这人继续走了这人继续走了 10 分，遇到了这个骑自行车的人。如果自行车分，遇到了这个骑自行车的人。如果自行车 的速度是人步行速度的三倍，那么汽车速度是人步行速度的多少倍？的速度是人步行速度的三倍，那么汽车速度是人步行速度的多少倍？ 【考点】行程问题之比例解行程【难度】2 星【题型】解答 【解析】7 倍。提示：汽车行 10 分的路程，等于步行 10 分与骑车 20 分
41、行的路程之和。 【答案】7 倍 【例【例 20】兄弟两人骑马进城，全程兄弟两人骑马进城，全程 51 千米。马每时行千米。马每时行 12 千米，但只能由一个人骑。哥哥每时步行千米，但只能由一个人骑。哥哥每时步行 5 千千 米，弟弟每时步行米，弟弟每时步行 4 千米。两人轮换骑马和步行，骑马者走过一段距离就下鞍拴马（下鞍拴马千米。两人轮换骑马和步行，骑马者走过一段距离就下鞍拴马（下鞍拴马 3-3-1.比例解行程问题.题库教师版page 8 of 18 的时间忽略不计的时间忽略不计） ，然后独自步行然后独自步行。而步行者到达此地而步行者到达此地，再上马前进再上马前进。若他们早晨若他们早晨 6 点动身
42、点动身，则则 何时能同时到达城里？何时能同时到达城里？ 【考点】行程问题之比例解行程【难度】2 星【题型】解答 【解析】下午 1 点 45 分。解：设哥哥步行了 x 千米，则骑马行了（51x）千米。而弟弟正好相反，步行 了（51x）千米，骑马行 x 千米。由哥哥骑马与步行所用的时间之和与弟弟相等，可列出方程 解得 x=30（千米） 。所以两人用的时间同为 5151 512412 xxxx .早晨 6 点动身，下午 1 点 45 分到达。 【答案】下午 1 点 45 分 模块二：时间相同速度比等于路程比 【例【例 21】A、 B 两地相距两地相距 7200 米米，甲甲、乙分别从乙分别从 A， B
43、 两地同时出发两地同时出发，结果在距结果在距 B 地地 2400 米处相米处相 遇如果乙的速度提高到原来的遇如果乙的速度提高到原来的 3 倍，那么两人可提前倍，那么两人可提前 10 分钟相遇，则甲的速度是每分钟行分钟相遇，则甲的速度是每分钟行 多少米？多少米？ 【考点】行程问题之比例解行程【难度】2 星【题型】解答 【解析】第一种情况中相遇时乙走了 2400 米，根据时间一定，速度比等于路程之比，最初甲、乙的速度 比为 (7200 2400) : 2400 =2 :1，所以第一情况中相遇时甲走了全程的 2/3乙的速度提高 3 倍 后，两人速度比为 2 : 3，根据时间一定，路程比等于速度之比，
44、所以第二种情况中相遇时甲走了 全程的 33 325 两种情况相比，甲的速度没有变化，只是第二种情况比第一种情况少走 10 分 钟，所以甲的速度为 33 6000()9150 58 (米/分) 【答案】150米/分 【例【例 22】甲、乙分别从甲、乙分别从 A，B 两地同时相向出发。相遇时，甲、乙所行的路程比是两地同时相向出发。相遇时，甲、乙所行的路程比是 ab。从相遇算起，。从相遇算起， 甲到达甲到达 B 地与乙到达地与乙到达 A 地所用的时间比是多少？地所用的时间比是多少？ 【考点】行程问题之比例解行程【难度】2 星【题型】解答 【解析】b2a2。解：因为甲、乙的速度比是 ab，所以相遇后甲
45、、乙还要行的路程比是 ba，还要用的 时间比是（ba）（ab）b2：a2。 【答案】b2a2 【巩固】【巩固】 甲、乙两辆车分别同时从甲、乙两辆车分别同时从 A， B 两地相向而行，相遇后甲又经过两地相向而行，相遇后甲又经过 15 分到达分到达 B 地，乙又经过地，乙又经过 1 时到达时到达 A 地，甲车速度是乙车速度的几倍？地，甲车速度是乙车速度的几倍？ 【考点】行程问题之比例解行程【难度】2 星【题型】解答 【解析】2 倍。解： 60152212，所以甲车速度是乙车的 2 倍。 【答案】2 倍 【巩固】【巩固】 A，B 两地相距两地相距 1800 米，甲、乙二人分别从米，甲、乙二人分别从
46、A，B 两地同时出发，相向而行。相遇后甲又走了两地同时出发，相向而行。相遇后甲又走了 8 分到达分到达 B 地，乙又走了地，乙又走了 18 分到达分到达 A 地。甲、乙二人每分钟各走多少米？地。甲、乙二人每分钟各走多少米？ 【考点】行程问题之比例解行程【难度】2 星【题型】解答 【解析】每分甲走 90 米，乙走 60 米。解： 1883222，所以甲的速度是乙的 321.5（倍） 。相遇时 乙走了 1800 （11.5） 720 （米） 。 推知， 甲每分走 720890 （米） ， 乙每分走 901.560 （米） 。 【答案】60 米 【例【例 23】甲、乙两人分别从甲、乙两人分别从AB、
47、两地同时出发，相向而行。出发时他们的速度之比是两地同时出发，相向而行。出发时他们的速度之比是 3：2，相遇后，相遇后， 甲的速度提高甲的速度提高 20%， 乙的速度提高乙的速度提高 1 3 ， 这样当甲到达这样当甲到达B地时地时， 乙离乙离A地还有地还有 41 千米千米， 那么那么AB、 两地相遇两地相遇_千米。千米。 【考点】行程问题之比例解行程【难度】3 星【题型】填空 【关键词】希望杯,六年级,一试 【解析】 3-3-1.比例解行程问题.题库教师版page 9 of 18 相遇前:VV 3 2 甲乙 相遇后:VV 54 3227 20 63 甲乙 km 41 41135 125 如图！
48、即kmAB 135 【答案】km135 【例【例 24】甲、乙二人分别从甲、乙二人分别从 A、 B 两地同时出发，相向而行，甲、乙的速度之比是两地同时出发，相向而行，甲、乙的速度之比是 4 : 3，二人相遇后，二人相遇后 继续行进，甲到达继续行进，甲到达 B 地和乙到达地和乙到达 A 地后都立即沿原路返回，已知二人第二次相遇的地点距第地后都立即沿原路返回，已知二人第二次相遇的地点距第 一次相遇的地点一次相遇的地点 30 千米，则千米，则 A、 B 两地相距多少千米？两地相距多少千米？ 【考点】行程问题之比例解行程【难度】2 星【题型】解答 【解析】两个人同时出发相向而行，相遇时时间相等，路程比
49、等于速度之比，即两个人相遇时所走过的路 程比为 4 : 3第一次相遇时甲走了全程的 4/7；第二次相遇时甲、乙两个人共走了 3 个全程，三 个全程中甲走了 45 31 77 个全程， 与第一次相遇地点的距离为 542 (1) 777 个全程 所以 A、B 两地相距 2 30105 7 (千米) 【答案】105千米 【巩固】【巩固】 甲、乙两车分别从甲、乙两车分别从 A、B 两地出发，在两地出发，在 A、B 之间不断往返行驶，已知甲车的速度是乙车的速之间不断往返行驶，已知甲车的速度是乙车的速 度的度的 3 7 ，并且甲、乙两车第，并且甲、乙两车第 2007 次相遇（这里特指面对面的相遇）的地点与
50、第次相遇（这里特指面对面的相遇）的地点与第 2008 次相遇次相遇 的地点恰好相距的地点恰好相距 120 千米，那么，千米，那么，A、B 两地之间的距离等于多少两地之间的距离等于多少 千米？千米？ 【考点】行程问题之比例解行程【难度】2 星【题型】解答 【解析】甲、乙速度之比是 3：7，所以我们可以设整个路程为 3+7=10 份，这样一个全程中甲走 3 份， 第 2007 次相遇时甲总共走了 3（20072-1）=12039 份，第 2008 次相遇时甲总共走了 3 （20082-1）=12045 份，所以总长为 12012045-12040-（12040-12039）10=300 米. 【答
