1、5-4-5.完全平方数及应用（二）.题库教师版page 1 of 5 5-4-5.5-4-5.完全平方数及应用（二完全平方数及应用（二） 教学目标教学目标 1.学习完全平方数的性质； 2.整理完全平方数的一些推论及推论过程 3.掌握完全平方数的综合运用。 知识点拨知识点拨 一、完全平方数常用性质 1.主要性质 1.完全平方数的尾数只能是 0，1，4，5，6，9。不可能是 2，3，7，8。 2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。 3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。 4.若质数 p 整除完全平方数 2 a，则 p 能被a整除。 2.性质 性质1：完全
2、平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9 性质2：完全平方数被3，4，5，8，16除的余数一定是完全平方数 性质3：自然数N为完全平方数自然数N约数的个数为奇数因为完全平方数的质因数分解中每个质因 数出现的次数都是偶数次，所以，如果p是质数，n是自然数，N是完全平方数，且 21 | n pN ，则 2 | n pN 性质4：完全平方数的个位是6它的十位是奇数 性质5：如果一个完全平方数的个位是0，则它后面连续的0的个数一定是偶数如果一个完全平方数的个 位是5，则其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一个 性质6：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数 3.一
3、些重要的推论 1.任何偶数的平方一定能被 4 整除；任何奇数的平方被 4（或 8）除余 1.即被 4 除余 2 或 3 的数一定 不是完全平方数。 2.一个完全平方数被 3 除的余数是 0 或 1.即被 3 除余 2 的数一定不是完全平方数。 3.自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69， 89，16，36，56，76，96。 4.完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。 5.完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。 6.完全平方数的个位数字为 6 时，其十位数字必为奇
4、数。 7.凡个位数字是 5 但末两位数字不是 25 的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数不是 完全平方数；个位数字为 1，4，9 而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。 3.重点公式回顾：平方差公式： 22 ()()abab ab 例题精讲例题精讲 5-4-5.完全平方数及应用（二）.题库教师版page 2 of 5 模块一、平方差公式运用 【例【例 1】 将两个自然数的差乘上它们的积，能否得到数将两个自然数的差乘上它们的积，能否得到数 45045？ 【考点】平方差公式运用【难度】2 星【题型】解答 【解析】【解析】设这两个数分别是 a 和 b，那么有 ab(a-b)=450
5、45,分析奇偶性可知这是不可能的。因此不可能得到 45045。 【答案】不能得到这样的数 【例【例 2】 一个数减去一个数减去 100 是一个平方数，减去是一个平方数，减去 63 也是一个平方数，问这个数是多少？也是一个平方数，问这个数是多少？ 【考点】平方差公式运用【难度】2 星【题型】解答 【解析】【解析】设这个数减去63为 2 A，减去100为 2 B，则 22 100633737 1ABABAB， 可知37AB，且1AB，所以19A ，18B ，这样这个数为 2 18100424 【答案】424 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】能否找到这么一个数，它加上能否找到这么一个数，它加上 24
6、，和减去，和减去 30 所得的两个数都是完全平方数？所得的两个数都是完全平方数？ 【考点】平方差公式运用【难度】3 星【题型】解答 【解析】【解析】假设能找到，设这两个完全平方数分别为 2 A、 2 B，那么这两个完全平方数的差为 54ABAB，由于AB和AB的奇偶性质相同，所以ABAB不是 4 的倍数， 就是奇数，不可能是像 54 这样是偶数但不是 4 的倍数所以54不可能等于两个平方数的差，那么 题中所说的数是找不到的 【答案】不存在这样的数 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】能否找到这么一个数，它加上能否找到这么一个数，它加上 24，和减去，和减去 30 所得的两个数都是完全平方数？所得的
7、两个数都是完全平方数？ 【考点】平方差公式运用【难度】3 星【题型】解答 【解析】【解析】假 设 能 找 到 ， 设 这 两 个 完 全 平 方 数 分 别 为 2 A、 2 B， 那 么 这 两 个 完 全 平 方 数 的 差 为 54ABAB，由于AB和AB的奇偶性质相同，所以ABAB不是4的倍数， 就是奇数，所以54不可能等于两个平方数的差，所以这样的数找不到 【答案】不存在这样的数 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】一个正整数加上一个正整数加上 132 和和 231 后都等于完全平方数，求这个正整数是多少？后都等于完全平方数，求这个正整数是多少？ 【考点】平方差公式运用【难度】3 星【题
8、型】解答 【解析】【解析】设该正整数为 a，根据题意得 2 132am， 2 231an两式相减得99nmnm,注意到nm 和nm的奇偶性相同，都是奇数因为9999 133 311 9 ，所以99nm，1nm或 33nm，3nm或11nm，9nm 解得50n ，49m 或18n ，15m 或10n ，1m ， 但是10n ，1m 不符合是正整数的条件因此 2 491322269a ，或者 2 1513297所以这 个正整数是 2269 或 97 【答案】2269 或 97 【例【例 3】 两个完全平方数的差为两个完全平方数的差为 77，则这两个完全平方数的和最大是多少？最小是多少？，则这两个完
9、全平方数的和最大是多少？最小是多少？ 【考点】平方差公式运用【难度】3 星【题型】解答 【解析】【解析】设这两个完全平方数分别是 2 A和 2 B，且 22 77AB，则两个完全平方数的和可以表示为 2 772B， 所以B越大，平方和越大，B越小，平方和越小，而77ABAB，777 111 77 ，当 77AB，1AB时，B取得最大值38， 此时两个完全平方数的和最大， 为2965； 当11AB， 7AB时，B取得最小值 2，此时两个完全平方数的和最小，为 85 【答案】最小 85，最大 2965 【例【例 4】 三个自然数，它们都是完全平方数，最大的数减去第二大的数的差为三个自然数，它们都是
10、完全平方数，最大的数减去第二大的数的差为 80，第二大的数减去最小的，第二大的数减去最小的 数的差为数的差为 60，求这三个数，求这三个数 【考点】平方差公式运用【难度】3 星【题型】解答 【解析】【解析】设这三个数从大到小分别为 2 A、 2 B、 2 C，那么有80ABAB，140ACAC，因 为1402257 ，AC、AC同奇同偶， 所以有14AC，10AC或70AC，2AC， 分别解得12A ，2C 和36A ，34C ， 对于后者没有满足条件的 B， 所以 A 只能等于 12，2C ， 5-4-5.完全平方数及应用（二）.题库教师版page 3 of 5 继而求得8B ，所以这三个数
11、分别为 2 12 =144、 2 8 =64、 2 2 =4 【答案】三个数分别为144、64、4 【例【例 5】 有两个两位数有两个两位数，它们的差是它们的差是 14，将它们分别平方将它们分别平方，得到的两个平方数的末两位数得到的两个平方数的末两位数(个位数和十位数个位数和十位数) 相同，那么这两个两位数是相同，那么这两个两位数是(请写出所有可能的答案请写出所有可能的答案) 【考点】平方差公式运用【难度】4 星【题型】填空 【关键词】2008 年，清华附中 【解析】【解析】设这两个两位数中较小的那个为n，则另外一个为14n ，由题知， 22 (14)100nnk(k为正整数)，即7725nk
12、，由于7,251，所以257n ，由于n与 14n 均为两位数，所以17792n，故7n 可能为 25、50 或者 75，n可能为 18、43 或者 68经 检验，18n 、43、68 均符合题意，所以这两个两位数为 18、32，或者 43、57，或者 68、82 【答案】这两个两位数为 18、32，或者 43、57，或者 68、82 【例【例 6】 A 是一个两位数，它的是一个两位数，它的 6 倍是一个三位数倍是一个三位数 B，如果把，如果把 B 放在放在 A 的左边或者右边得到两个不同的五的左边或者右边得到两个不同的五 位数，并且这两个五位数的差是一个完全平方数位数，并且这两个五位数的差是
13、一个完全平方数(整数的平方整数的平方)，那么，那么 A 的所有可能取值之和的所有可能取值之和 为为 【考点】平方差公式运用【难度】4 星【题型】填空 【解析】【解析】如果把 B 放在 A 的左边，得到的五位数为100601BAA；如果把B放在A的右边，得到的五位数 为10001006ABA；这两个数的差为1006601405AAA，是一个完全平方数，而 2 40595， 所以A是 5 与一个完全平方数的乘积A 又是一个两位数，所以可以为 2 52、 2 5 3、 2 54，A 的 所有可能取值之和为 222 525 354145 【答案】145 【例【例 7】 一个自然数与自身相乘的结果称为完
14、全平方数已知一个完全平方数是四位数，且各位数字均小一个自然数与自身相乘的结果称为完全平方数已知一个完全平方数是四位数，且各位数字均小 于于 7如果把组成它的数字都加上如果把组成它的数字都加上 3，便得到另外一个完全平方数，求原来的四位数，便得到另外一个完全平方数，求原来的四位数 【考点】平方差公式运用【难度】2 星【题型】解答 【解析】【解析】设这个四位数为 2 abcdm， 由于其各位数字都小于 7，所以每位数字都加 3，没有发生进位，故 2 (3)(3)(3)(3)abcdn 由得： 23 3333()()nmnm nm 将3333分解质因数， 有33333 11 101， 其有 1 11
15、 11 18个约数， 但是有nmnm， 所以只有 4 种可能，即33331 33333 111111 30333 101 由于 2 1000mabcd，故30m ，所以260nmnmm； 又 2 (3)(3)(3)(3)10000nabcd，所以100n ，故2200nmnmn； 一一检验，只有33 101满足1013360且10133200，所以101nm，33nm，得34m ， 原来的四位数为 2 341156 【答案】1156 模块二、完全平方数与其他知识点的综合运用 【例【例 8】 如果如果+=a，-=b，=c，=d，a+b+c+d=100，那么，那么，=_. 【考点】完全平方数与其他
16、知识点的综合运用【难度】3 星【题型】填空 【关键词】迎春杯，三年级，初赛，第 5 题 【解析】【解析】根据题意，2a ，0b ， 2 c ，1d ， 2 21abcd (1) 2 100，则110 ， 9. 【答案】9 【例【例 9】 已知已知ABCA是一个四位数是一个四位数，若两位数若两位数AB是一个质数是一个质数，BC是一个完全平方数是一个完全平方数，CA是一个质数与一是一个质数与一 个不为个不为 1 的完全平方数之积，则满足条件的所有四位数是的完全平方数之积，则满足条件的所有四位数是_ 【考点】完全平方数与其他知识点的综合运用【难度】3 星【题型】填空 5-4-5.完全平方数及应用（二
17、）.题库教师版page 4 of 5 【解析】【解析】本题综合利用数论知识，因为AB是一个质数，所以 B 不能为偶数，且同时BC是一个完全平方数， 则符合条件的数仅有 16 和 36，所以可以确定 B 为 1 或 3，6C 由于CA是一个质数与一个不为 1 的完全平方数之积，在 6169 中只有 63 和 68 符合条件，那么 A 为 3 或 8那么AB可能为 31，33， 81，83，其中是质数的有 31 和 83，所以满足条件的四位数有 3163 和 8368 【答案】3163 和 8368 【例【例 10】称能表示成称能表示成123k的形式的自然数为三角数的形式的自然数为三角数有一个四位
18、数有一个四位数N，它既是三角数它既是三角数，又是完全又是完全 平方数则平方数则N 【考点】完全平方数与其他知识点的综合运用【难度】4 星【题型】填空 【关键词】2007 年，走美 【解析】【解析】依题有 2 123ka，即 2 (1)2k ka因为k与1k 是两个连续自然数，其中必有一个奇 数，有奇数 2 2 a 相邻偶数 又由相邻自然数互质知，“奇数”与“ 2 相邻偶数 ”也互质，于是奇数 2 m， 2 2 n 相邻偶数 (amn)，而 2 a为四位数，有3299a，即3299mn，又 2 m与 2 2n相邻， 有712m 当7m 时， 2 49m ，相邻偶数为 50 时，5n 满足条件，这
19、时 22 (75)1225a ，即1225N ； 当9m 时， 2 81m ，相邻偶数为 80 和 82 都不满足条件； 当11m 时， 2 121m ，相邻偶数为 120 和 122 都不满足条件 所以，1225N 【答案】1225 【例【例 11】自然数的平方按大小排成自然数的平方按大小排成 1，4，9，16，25，36，49，问：第，问：第 612 个位置的数字是几？个位置的数字是几？ 【考点】完全平方数与其他知识点的综合运用【难度】4 星【题型】解答 【解析】【解析】1 到 3 的平方是一位数，占去 3 个位置； 4 到 9 的平方是二位数，占去 12 个位置； 10 到 31 的平方
20、是三位数，占去 66 个位置； 32 到 99 的平方是四位数，占去 272 个位置； 将 1 到 99 的平方排成一行，就占去 353 个位置，从 612 减去 353，还有 259 个位置 从 100 到 300 的平方都是五位数，因此，第 612 个位置一定是其中某个数的平方中的一个数字 因为25951 54，即从 100 起到 150，共 51 个数，它们的平方都是五位数，要占去 255 个位置， 而151 15122701，它的第 4 个数字是 0，所以第 612 个位置的数字是 0 【答案】0 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】不是零的自然数的平方按照从小到大的顺序接连排列，是：不是
21、零的自然数的平方按照从小到大的顺序接连排列，是：149162536，则从左向右的第，则从左向右的第 l6 个个 数字是数字是_ 【考点】完全平方数与其他知识点的综合运用【难度】3 星【题型】填空 【关键词】希望杯，4 年级，初赛，11 题 【解析】通过列举可得 1。 【答案】1 【例【例 12】由由 22222 2615134，可以断定，可以断定26最多能表示为最多能表示为3个互不相等的非零自然数的平方和，请你个互不相等的非零自然数的平方和，请你 判定判定200最多能表示为最多能表示为_个互不相等的非零自然数的平方之和个互不相等的非零自然数的平方之和 【考点】完全平方数与其他知识点的综合运用【
22、难度】4 星【题型】填空 【解析】【解析】 222 128204200L，所以200不能表示成8个互不相等的非零自然数的平方之和，而 2 2042200，所以200可以表示成7个互不相等的非零自然数的平方之和，所以200最多能表示 为7个互不相等的非零自然数的平方之和 【答案】7 【例【例 13】有有 4 个不同的数字共可组成个不同的数字共可组成 18 个不同的个不同的 4 位数位数 将这将这 18 个不同的个不同的 4 位数由小到大排成一排位数由小到大排成一排， 其中其中 第一个是一个完全平方数第一个是一个完全平方数，倒数第二个也是完全平方数倒数第二个也是完全平方数那么这那么这 18 个数的
23、平均数是个数的平均数是： 【考点】完全平方数与其他知识点的综合运用【难度】4 星【题型】填空 5-4-5.完全平方数及应用（二）.题库教师版page 5 of 5 【关键词】迎春杯，五年级,初赛，第 12 题 【解析】【解析】一般而言， 4 个不同的数字共可组成 3 4 24P （个） 不同的 4 位数 如果只能组成 18 个不同的 4 位数， 说明其中必有 0，即按3 32 118 算出来的在这四个不同的数中，则设最小的数 2 0A小 中大， 倒数第二个则是 2 0B大中 小，两数正好是一对反序数 根据完全平方数特点，“小”、“大”两数必是 1，4，6，9 之中的两个且中数在小大之间 可以为
24、以下 3 类： 当“大”4，在 1024、1034 中，1034 不是完全平方数，10243232，但 4201 不成立 当“大”6，1026、1036、1046、1056、4056都不是完全平方数 当“大”9， 在109中的数中，取 2 331089，而 2 980199 在409中的数中，取 632，672 不成立 在509中的数中，取 672，732 不成立 在609中的数中，取 732，772 不成立 所以，符合条件的数只能是由 1089 开始的四位数， 求这 18 个数的和，有两种方法，一种是枚举法， 另一种是概率法，可以作为方法来记： 即，对于没有 0 的四位数a，b，c，d排列互不相同的四位数时，共有 24 个数，每个数字在每位上 出现的概率机会是一样的，所以，每个数字在每位上都出现2446（次） 则总和为：6 1111abcd 如果有一个数是 0，则在此基础上，考虑 0 作首位的部分要排除 即： 06 1111631116444abcabcabc ， 所以，本题的总和为1896444115992，所以，这 18 个数的平均数为115992186444 【答案】6444
