1、7-3-1.加乘原理之综合应用.题库教师版page1of6 7-3-1.7-3-1.加乘原理之综合运用加乘原理之综合运用 教学目标教学目标 1.复习乘法原理和加法原理； 2.培养学生综合运用加法原理和乘法原理的能力 3.让学生懂得并运用加法、乘法原理来解决问题，掌握常见的计数方法，会使用这些方法解决问题 在分类讨论中结合分步分析，在分步分析中结合分类讨论；教师应该明确并强调哪些是分类，哪些是分 步并了解与加、乘原理相关的常见题型：数论类问题、染色问题、图形组合 知识要点知识要点 一、加乘原理概念 生活中常有这样的情况：在做一件事时，有几类不同的方法，在具体做的时候，只要采用其中某一类中 的一种
2、方法就可以完成，并且这几类方法是互不影响的那么考虑完成这件事所有可能的做法，就要用到加 法原理来解决 还有这样的一种情况：就是在做一件事时，要分几步才能完成，而在完成每一步时，又有几种不同的方 法要知道完成这件事情共有多少种方法，就要用到乘法原理来解决 二、加乘原理应用 应用加法原理和乘法原理时要注意下面几点： 加法原理是把完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，所以完成任务的 不同方法数等于各类方法数之和 乘法原理是把一件事分几步完成，这几步缺一不可，所以完成任务的不同方法数等于各步方法数的乘 积 在很多题目中，加法原理和乘法原理都不是单独出现的，这就需要我们能够熟练的
3、运用好这两大原理， 综合分析，正确作出分类和分步 加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问 题可以使用加法原理解决我们可以简记为：“加法分类，类类独立” 乘法原理运用的范围：这件事要分几个彼此互不影响的独立步骤来完成，这几步是完成这件任务缺一不 可的，这样的问题可以使用乘法原理解决我们可以简记为：“乘法分步，步步相关” 例题精讲例题精讲 【例【例 1】 商店里有商店里有 2 种巧克力糖：牛奶味、榛仁味；有种巧克力糖：牛奶味、榛仁味；有 2 种水果糖：苹果味、梨味、橙味小明想买一些种水果糖：苹果味、梨味、橙味小明想买一些 糖送给他的小朋友糖送给他
4、的小朋友 如果小明只买一种糖，他有几种选法？如果小明只买一种糖，他有几种选法？ 如果小明想买水果糖、巧克力糖各如果小明想买水果糖、巧克力糖各1种，他有几种选法？种，他有几种选法？ 【考点】加乘原理之综合运用【难度】1 星【题型】解答 【解析】小明只买一种糖，完成这件事一步即可完成，有两类办法：第一类是从2种巧克力糖中选一种 有2种办法；第二类是从3种水果糖中选一种，有3种办法因此，小明有235种选糖的方法 小明完成这件事要分两步，每步分别有2种、3种方法，因此有326种方法 【答案】56 【例【例 2】从从 2，3，5，7，11 这五个数中这五个数中，任取两个不同的数分别当作一个分数的分子与分
5、母任取两个不同的数分别当作一个分数的分子与分母，这样的分数有这样的分数有 7-3-1.加乘原理之综合应用.题库教师版page2of6 _个，其中的真分数有个，其中的真分数有_个。个。 【考点】加乘原理之综合运用【难度】3 星【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，二试，第 7 题 【解析】第一问要用乘法原理，当分子有 5 种可能时，分母有 4 种可能，即 54=20 种，所以这样的分数有 20 个。第二问中，分母为 3 的真分数有 1 个，分母为 5 的真分数有 2 个，分母为 7 的真分数有 3 个， 分母为 11 的真分数有 4 个，所以真分数共有 1+2+3+4=10 个。 【答案】10
6、个 【例【例 3】 从北京到广州可以选择直达的飞机和火车，也可以选择中途在上海或者武汉作停留，已知北京到从北京到广州可以选择直达的飞机和火车，也可以选择中途在上海或者武汉作停留，已知北京到 上海、武汉和上海、武汉到广州除了有飞机和火车两种交通方式外还有汽车问，从北京到广州上海、武汉和上海、武汉到广州除了有飞机和火车两种交通方式外还有汽车问，从北京到广州 一共有多少种交通方式供选择？一共有多少种交通方式供选择？ 【考点】加乘原理之综合运用【难度】1 星【题型】解答 【解析】从北京转道上海到广州一共有3 39种方法，从北京转道武汉到广州一共也有3 39种方法供选 择，从北京直接去广州有 2 种方法
7、，所以一共有99220种方法 【答案】20 【例【例 4】 从学而思学校到王明家有从学而思学校到王明家有 3 条路可走，从王明家到张老师家有条路可走，从王明家到张老师家有 2 条路可走，从学而思学校到张老条路可走，从学而思学校到张老 师家有师家有 3 条路可走，那么从学而思学校到张老师家共有多少种走法？条路可走，那么从学而思学校到张老师家共有多少种走法？ ? 王明家 ? 张老师家 ? 学而思学校 【考点】加乘原理之综合运用【难度】1 星【题型】解答 【解析】根据乘法原理， 经过王明家到张老师家的走法一共有326种方法， 从学而思学校直接去张老师家 一共有 3 条路可走，根据加法原理，一共有63
8、9种走法 【答案】9 【巩固】【巩固】 如下图如下图，从甲地到乙地有从甲地到乙地有 2 条路条路，从乙地到丙地有从乙地到丙地有 4 条路条路，从甲地到丁地有从甲地到丁地有 3 条路可走条路可走，从丁地到从丁地到 丙地也有丙地也有 3 条路，请问从甲地到丙地共有多少种不同走法？条路，请问从甲地到丙地共有多少种不同走法？ ? 丁 ? 丙 ? 乙 ? 甲 【考点】加乘原理之综合运用【难度】1 星【题型】解答 【解析】从甲地到丙地有两种方法：第一类，从甲地经过乙地到丙地，根据乘法原理，走法一共有428种 方法， ；第二类，从甲地经过丁地到丙地，一共有3 39种方法根据加法原理，一共有8917种 走法
9、【答案】17 【巩固】【巩固】 王老师从重庆到南京王老师从重庆到南京，他可以乘飞机他可以乘飞机、汽车直接到达汽车直接到达，也可以先到武汉也可以先到武汉，再由武汉到南京再由武汉到南京他从重他从重 庆到武汉可乘船庆到武汉可乘船，也可乘火车也可乘火车；又从武汉到南京可以乘船又从武汉到南京可以乘船、火车或者飞机火车或者飞机，如图如图那么王老师从重那么王老师从重 庆到南京有多少种不同走法呢？庆到南京有多少种不同走法呢？ ? 南京 ? 武汉 ? 重庆 【考点】加乘原理之综合运用【难度】2 星【题型】解答 【解析】从重庆到南京的走法有两类：第一类从重庆经过武汉去南京，根据乘法原理，有236(种)走法； 7-
10、3-1.加乘原理之综合应用.题库教师版page3of6 第二类不经过武汉，有 2 种走法根据加法原理，从重庆到南京一共有268种不同走法 【答案】8 【例【例 5】 某条铁路线上，包括起点和终点在内原来共有某条铁路线上，包括起点和终点在内原来共有 7 个车站，现在新增了个车站，现在新增了 3 个车站，铁路上两站之间个车站，铁路上两站之间 往返的车票不一样，那么，这样需要增加多少种不同的车票？往返的车票不一样，那么，这样需要增加多少种不同的车票？ 【考点】加乘原理之综合运用【难度】3 星【题型】解答 【解析】1、新站为起点，旧站为终点有 37=21 张，2、旧站为起点，新站为终点有 73=21
11、张，3、起点、 终点均为新站有 32=6 张，以上共有 21216=48 张 【答案】48 【例【例 6】 如右图所示如右图所示， 每个小正三角形边长为每个小正三角形边长为 1， 小虫每步走过小虫每步走过 1， 从从 A 出发出发， 走走 4 步恰好回到步恰好回到 A 的路有的路有 （） 条条(途中不再回途中不再回 A) 【考点】加乘原理之综合运用【难度】3 星【题型】填空 【关键词】走美杯，四年级，初赛，第 8 题，五年级，初赛，第 12 题 【解析】因为第一、三步到的点一定是以 A 为中心的六边形的六个顶点，根据一定的规则进行计数： （1）第一步与第三步是同一个点的情况有：65=30（种）
12、 （2）第一步与第三步不是同一个点的情况有：46=24（种） 所以共有 30+24=54（种） 【答案】54种 【例【例 7】 如下图，八面体有如下图，八面体有 12 条棱，条棱，6 个顶点一只蚂蚁从顶点个顶点一只蚂蚁从顶点A出发，沿棱爬行，要求恰好经过每一个出发，沿棱爬行，要求恰好经过每一个 顶点一次问共有多少种不同的走法？顶点一次问共有多少种不同的走法？ ? F ? E ? D ? C ? B ? A 【考点】加乘原理之综合运用【难度】3 星【题型】解答 【解析】走完 6 个顶点，有 5 个步骤，可分为两大类： 第二次走C点：就是意味着从A点出发，我们要先走F，D，E，B中间的一点，再经过
13、C点， 但之后只能走D，B点，最后选择后面两点 有4 1 2 1 18 种(从F到C的话，是不能到E的)； 第二次不走C：有4222 132 种(同理，F不能到E)； 共计：83240种 【答案】40 【例【例 8】 有有 3 所学校共订所学校共订 300 份中国少年报，每所学校订了至少份中国少年报，每所学校订了至少 98 份，至多份，至多 102 份问：一共有多少种不份问：一共有多少种不 同的订法同的订法？ 【考点】加乘原理之综合运用【难度】3 星【题型】解答 【解析】可以分三种情况来考虑： 3 所学校订的报纸数量互不相同，有 98，100，102；99，100，101 两种组合，每种组各有
14、 3 3 6P 种 7-3-1.加乘原理之综合应用.题库教师版page4of6 不同的排列，此时有6212种订法 3 所学校订的报纸数量有 2 所相同，有 98，101，101；99，99，102 两种组合，每种组各有 3 种 不同的排列，此时有326种订法 3 所学校订的报纸数量都相同，只有 100，100，100 一种订法 由加法原理，不同的订法一共有126119 种 【答案】19 【例【例 9】玩具厂生产一种玩具棒玩具厂生产一种玩具棒， 共共 4 节节， 用红用红、 黄黄、 蓝三种颜色给每节涂色蓝三种颜色给每节涂色。 这家玩具厂共可生产这家玩具厂共可生产种种 颜色不同的玩具棒。颜色不同的
15、玩具棒。 【考点】加乘原理之综合运用【难度】3 星【题型】填空 【关键词】走美杯，五年级，初赛，第 10 题 【解析】总共有 45 种，分三类： 只有一种颜色的有：3 种； 有两种颜色的有：3 824； 有3种颜色的有：6318 所以共有：3241845（种） 【答案】45种 【例【例 10】如果从如果从 3 本不同的语文书、本不同的语文书、4 本不同的数学书、本不同的数学书、5 本不同的外语书中选取本不同的外语书中选取 2 本不同学科的书阅读，本不同学科的书阅读， 那么共有多少种不同的选择？那么共有多少种不同的选择？ 【考点】加乘原理之综合运用【难度】2 星【题型】解答 【解析】因为强调 2
16、 本书来自不同的学科，所以共有三种情况：来自语文、数学：34=12；来自语文、外语： 35=15；来自数学、外语：45=20；所以共有 121520=47 【答案】47 【例【例 11】过年了，妈妈买了过年了，妈妈买了 7 件不同的礼物，要送给亲朋好友的件不同的礼物，要送给亲朋好友的 5 个孩子每人一件其中姐姐的儿子小个孩子每人一件其中姐姐的儿子小 强想从智力拼图和遥控汽车中选一个，朋友的女儿小玉想从学习机和遥控汽车中选一件那么妈妈强想从智力拼图和遥控汽车中选一个，朋友的女儿小玉想从学习机和遥控汽车中选一件那么妈妈 送出这送出这 5 件礼物共有件礼物共有_种方法种方法 【考点】加乘原理之综合运
17、用【难度】3 星【题型】填空 【关键词】迎春杯，中年级，决赛，7 题 【解析】【解析】假如给小强的是智力拼图，则有2543120 （种）方法 假如给小强的是遥控汽车，则有1 54360 （种）方法 总共有12060180（种）方法 【答案】180种 【例【例 12】某件工作需要钳工某件工作需要钳工 2 人和电工人和电工 2 人共同完成人共同完成 现有钳工现有钳工 3 人人、 电工电工 3 人人， 另有另有 1 人钳工人钳工、 电工都会电工都会 从从 7 人中挑选人中挑选 4 人完成这项工作，共有多少种方法？人完成这项工作，共有多少种方法？ 【考点】加乘原理之综合运用【难度】3 星【题型】解答
18、【解析】分两类情况讨论： 都会的这 1 人被挑选中，则有： 如果这人做钳工的话， 则再按乘法原理， 先选一名钳工有 3 种方法， 再选 2 名电工也有 3 种方法； 所以有3 39种方法； 同样，这人做电工，也有 9 种方法 都会的这一人没有被挑选，则从 3 名钳工中选 2 人，有 3 种方法；从 3 名电工中选 2 人，也有 3 种方法，一共有3 39种方法 所以，根据加法原理，一共有99927种方法 【答案】27 【例【例 13】某信号兵用红，黄，蓝，绿四面旗中的三面从上到下挂在旗杆上的三个位置表示信号每次可挂某信号兵用红，黄，蓝，绿四面旗中的三面从上到下挂在旗杆上的三个位置表示信号每次可
19、挂 一面，二面或三面，并且不同的顺序，不同的位置表示不同的信号一共可以表示出多少种不同一面，二面或三面，并且不同的顺序，不同的位置表示不同的信号一共可以表示出多少种不同 的信号？的信号？ 【考点】加乘原理之综合运用【难度】3 星【题型】解答 【解析】由于每次可挂一面、二面或三面旗子，我们可以根据旗杆上旗子的面数分三类考虑： 7-3-1.加乘原理之综合应用.题库教师版page5of6 第一类，可以从四种颜色中任选一种，有 4 种表示法； 第二类，要分两步完成：第一步，第一面旗子可以从四种颜色中选一种，有 4 种选法；第二步，第 二面旗子可从剩下的三种中选一种，有 3 种选法根据乘法原理，共有43
20、12种表示法； 第三类，要分三步完成：第一步，第一面旗子可以从四种颜色中选一种，有 4 种选法；第二步，第 二面旗子可从剩下的三种中选一种，有 3 种选法；第三步，第三面旗子可从剩下的两种颜色中选一 种，有 2 种选法根据乘法原理，共有43224 种表示法 根据加法原理，一共可以表示出4122440种不同的信号 【答案】40 【巩固】【巩固】 五面五种颜色的小旗五面五种颜色的小旗，任意取出一面任意取出一面、两面或三面排成一行表示各种信号两面或三面排成一行表示各种信号，问问：共可以表示多少种共可以表示多少种 不同的信号？不同的信号？ 【考点】加乘原理之综合运用【难度】3 星【题型】解答 【解析】
21、分 3 种情况： 取出一面，有 5 种信号； 取出两面：可以表示5420种信号； 取出三面：可以表示：54360 种信号； 由加法原理，一共可以表示：5206085种信号 【答案】85 【例【例 14】五种颜色不同的信号旗，各有五种颜色不同的信号旗，各有 5 面，任意取出三面排成一行，表示一种信号，问：共可以表示多面，任意取出三面排成一行，表示一种信号，问：共可以表示多 少种不同的信号？少种不同的信号？ 【考点】加乘原理之综合运用【难度】3 星【题型】解答 【解析】方法一：取出的 3 面旗子，可以是一种颜色、两种颜色、三种颜色，应按此进行分类 一种颜色： 5 种可能； 两种颜色：54360（）
22、 三种颜色：54360 所以，一共可以表示56060125种不同的信号 方法二：每一个位置都有 5 种颜色可选，所以共有5 5 5125 种 【答案】125 【巩固】【巩固】红、黄、蓝、白四种颜色不同的小旗，各有红、黄、蓝、白四种颜色不同的小旗，各有 2，2，3，3 面，任意取出三面按顺序排成一行，表示一面，任意取出三面按顺序排成一行，表示一 种信号，问：共可以表示多少种不同的信号？如果白旗不能打头又有多少种？种信号，问：共可以表示多少种不同的信号？如果白旗不能打头又有多少种？ 【考点】加乘原理之综合运用【难度】3 星【题型】解答 【解析】 (一)取出的 3 面旗子，可以是一种颜色、两种颜色、
23、三种颜色，应按此进行分类 第一类，一种颜色：都是蓝色的或者都是白色的，2 种可能； 第二类，两种颜色：(43)336 第三类，三种颜色：43224 所以，根据加法原理，一共可以表示2362462种不同的信号 (二)白棋打头的信号，后两面旗有4416种情况所以白棋不打头的信号有621646种 【答案】46 【例【例 15】小红和小明举行象棋比赛，按比赛规定，谁先胜头两局谁赢，如果没有胜头两局，谁先胜三局谁小红和小明举行象棋比赛，按比赛规定，谁先胜头两局谁赢，如果没有胜头两局，谁先胜三局谁 赢共有赢共有种可能的情况种可能的情况 【考点】加乘原理之综合运用【难度】1 星【题型】解答 【关键词】清华附
24、中 【解析】小红和小明如果有谁胜了头两局，则胜者赢，此时共 2 种情况；如果没有人胜头两局，即头两局中 两人各胜一局，则最少再进行两局、最多再进行三局，必有一人胜三局，如果只需再进行两局，则 这两局的胜者为同一人，对此共有224种情况；如果还需进行三局，则后三局中有一人胜两局， 另一人只胜一局，且这一局不能为最后一局，只能为第三局或第四局，此时共有2228 种情况， 7-3-1.加乘原理之综合应用.题库教师版page6of6 所以共有24814种情况 【答案】14 【例【例 16】玩具厂生产一种玩具棒，共玩具厂生产一种玩具棒，共4节，用红、黄、蓝三种颜色给每节涂色节，用红、黄、蓝三种颜色给每节
25、涂色这家厂共可生产这家厂共可生产_ 种颜色不同的玩具棒种颜色不同的玩具棒 【考点】加乘原理之综合运用【难度】4 星【题型】解答 【解析】每节有3种涂法，共有涂法3 3 3 381 (种)但上述81种涂法中，有些涂法属于重复计算，这是因 为有些游戏棒倒过来放时的颜色与顺着放时的颜色一样，却被我们当做两种颜色计算了两次 可以发现只有游戏棒的颜色关于中点对称时才没有被重复计算，关于中点对称的游戏棒有 3 3 1 19 (种)故玩具棒最多有(819)245种不同的颜色 【答案】45 【例【例 17】奥苏旺大陆上的居民使用的文字非常独特奥苏旺大陆上的居民使用的文字非常独特，他们文字的每个单词都由他们文字
26、的每个单词都由5个字母个字母a、b、c、d、e组组 成成，并且所有的单词都有着如下的规律并且所有的单词都有着如下的规律，字母字母e不打头不打头，单词中每个字母单词中每个字母a后边必然后边必然紧跟紧跟着字着字 母母b，c和和d不会出现在同一个字母之中，那么由四个字母构成的单词一共有多少种？不会出现在同一个字母之中，那么由四个字母构成的单词一共有多少种？ 【考点】加乘原理之综合运用【难度】4 星【题型】解答 【解析】分为三种： 第一种：有两个a的情况只有abab1 种 第二种，有一个a的情况，又分 3 类 第一类，在第一个位置，则b在第二个位置，后边的排列有4416种，减去c、d同时出现的 两种，
27、总共有 14 种， 第二类，在第二个位置，则b在第三个位置，总共有34210种. 第三类，在第三个位置，则b在第四个位置，总共有34210种. 第三种，没有a的情况: 分别计算没有c的情况:23 3 354 种. 没有d的情况：23 3 354 种. 没有c、d的情况：1 2228 种. 由容斥原理得到一共有54548100种. 所以，根据加法原理，一共有1 141010100135种 【答案】135 【例【例 18】从从 6 名运动员中选出名运动员中选出 4 人参加人参加4 100接力赛，求满足下列条件的参赛方案各有多少种：接力赛，求满足下列条件的参赛方案各有多少种： 甲不能跑第一棒和第四棒
28、；甲不能跑第一棒和第四棒； 甲不能跑第一棒，乙不能跑第二棒甲不能跑第一棒，乙不能跑第二棒 【考点】加乘原理之综合运用【难度】3 星【题型】解答 【解析】先确定第一棒和第四棒，第一棒是除甲以外的任何人，有 5 种选择，第四棒有 4 种选择，剩下的 四人中随意选择 2 个人跑第二、第三棒，有4312种，由乘法原理，共有：54 12240 种参赛 方案 先不考虑甲乙的特殊要求，从 6 名队员中随意选择 4 人参赛，有6543360 种选择.考虑若甲 跑第一棒，其余 5 人随意选择 3 人参赛，对应54360 种选择，考虑若乙跑第二棒，也对应 54360 种选择，但是从 360 种中减去两个 60 种的时候，重复减了一次甲跑第一棒且乙跑第 二棒的情况， 这种情况下， 对应于第一棒第二棒已确定只需从剩下的 4 人选择 2 人参赛的4312 种方案，所以，一共有36060212252种不同参赛方案 【答案】252
