1、7-7-5.容斥原理之最值问题.题库教师版page1of5 7-7-5.7-7-5.容斥原理之最值问题容斥原理之最值问题 教学目标教学目标 1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容； 2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用 知识要点知识要点 一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把 两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数， 用式子可表示成：ABABAB(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“” 读作“交”，相当于中文“且”的意思)则称这一公
2、式为包含与排除原理，简称容斥原理图示如下:A表示小圆 部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：AB，即阴影面积图示如下:A表示小圆 部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：AB，即阴影面积 包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合AB、的并集AB的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合AB、的元素个数，然后加起来，即先求AB(意思是把AB、的一切元素都“包含”进 来，加在一起)； 第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去CAB(意思是“排除”了重复计算的元素个数) 二、三量重叠问题 A类、B类与C类元素个数的总和A类元素的个数B类元素个数C类元
3、素个数既是A类又是B类 的元素个数既是B类又是C类的元素个数既是A类又是C类的元素个数同时是A类、B类、C类的元 素个数用符号表示为：ABCABCABBCACABC图示如下： 在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考 1先包含AB 重叠部分AB计算了2次，多加了1次； 2再排除ABAB 把多加了1次的重叠部分AB减去 图中小圆表示A的元素的个数，中圆表示B的元素的个数， 大圆表示C的元素的个数 1先包含：ABC 重叠部分AB、BC、CA重叠了2次， 多加了1次 2再排除：ABCABBCAC 重叠部分ABC重叠了3次，但是在进行ABC ABBCAC计算时都被减掉了 3
4、再包含：ABCABBCACABC 7-7-5.容斥原理之最值问题.题库教师版page2of5 例题精讲例题精讲 【例【例 1】 “走美走美”主试委员会为三八年级准备决赛试题主试委员会为三八年级准备决赛试题。 每个年级每个年级12道题道题， 并且至少有并且至少有8道题与其他各年级道题与其他各年级 都不同都不同。如果每道题出现在不同年级如果每道题出现在不同年级，最多只能出现最多只能出现3次次。本届活动至少要准备本届活动至少要准备道决赛试道决赛试 题。题。 【考点】容斥原理之最值问题【难度】4 星【题型】填空 【关键词】走美杯，4 年级，决赛，第 9 题 【解析】每个年级都有自己8道题目，然后可以三
5、至五年级共用4道题目，六到八年级共用4道题目，总共有 864256（道）题目。 【答案】56题 【例【例 2】 将将 113 这这 13 个数字分别填入如图所示的由四个大小相同的圆分割成的个数字分别填入如图所示的由四个大小相同的圆分割成的 13 个区域中个区域中， 然后把每个然后把每个 圆内的圆内的 7 个数相加，最后把四个圆的和相加，问：和最大是多少？个数相加，最后把四个圆的和相加，问：和最大是多少？ 【考点】容斥原理之最值问题【难度】4 星【题型】填空 【解析】越是中间，被重复计算的越多，最中心的区域被重复计算四次，将数字按从大到小依次填写于 被重复计算多的区格中，最大和为： 134+（1
6、2+11+10+9）3+（8+7+6+5）2+（4+3+2+1）=240. 【答案】240 【例【例 3】 如图，如图，5 条同样长的线段拼成了一个五角星如果每条线段上恰有条同样长的线段拼成了一个五角星如果每条线段上恰有 1994 个点被染成红色，那么在个点被染成红色，那么在 这个五角星上红色点最少有多少个这个五角星上红色点最少有多少个? 【考点】容斥原理之最值问题【难度】4 星【题型】填空 【解析】如下图，下图中“”位置均有两条线段通过，也就是交点，如果这些交点所对应的线段都在“”位置 恰 有 红 色 点 ， 那 么 在 五 角 星 上 重 叠 的 红 色 点 最 多 ， 所 以 此 时 显
7、 现 的 红 色 点 最 少 ， 有 19945-(2-1)10=9960 个 【答案】9960 【例【例 4】 某班共有学生某班共有学生 48 人，其中人，其中 27 人会游泳，人会游泳，33 人会骑自行车，人会骑自行车，40 人会打乒乓球那么，这个班至少人会打乒乓球那么，这个班至少 有多少学生这三项运动都会？有多少学生这三项运动都会？ 【考点】容斥原理之最值问题【难度】4 星【题型】填空 【解析】【解析】（法 1）首先看至少有多少人会游泳、自行车两项，由于会游泳的有 27 人，会骑自行车的有 33 人， 而总人数为 48 人，在会游泳人数和会骑自行车人数确定的情况下，两项都会的学生至少有
8、27334812人，再看会游泳、自行车以及乒乓球三项的学生人数，至少有1240484人. 该情况可以用线段图来构造和示意： ? 40人 ? 33人 ? 23|24 游泳 自行车 ? 15|16 总人数 48人 ? 27人 游泳 ? 27|28 ? 48| ? 0|1 （法 2）设三项运动都会的人有x人，只会两项的有y人，只会一项的有z人， 那么根据在统计中会n项运动的学生被统计n次的规律有以下等式： 7-7-5.容斥原理之最值问题.题库教师版page3of5 32273340 48 , ,0 xyz xyz x y z 由第一条方程可得到10032zxy，将其代入第二条式子得到： 100248
9、xy，即252xy 而第二条式子还能得到式子48xy，即248xyx 联立和得到4852x，即4x 可行情况构造同上 【答案】4 【巩固【巩固】某班有某班有50名学生名学生，参加语文竞赛的有参加语文竞赛的有28人人，参加数学竞赛的有参加数学竞赛的有23人人，参加英语竞赛的有参加英语竞赛的有20人人，每每 人最多参加两科，那么参加两科的最多有人最多参加两科，那么参加两科的最多有人人 【考点】容斥原理之最值问题【难度】4 星【题型】填空 【解析】【解析】根据题意可知，该班参加竞赛的共有28232071人次由于每人最多参加两科，也就是说有参 加 2 科的，有参加 1 科的，也有不参加的，共是 71
10、人次要求参加两科的人数最多，则让这71人 次尽可能多地重复，而712351，所以至多有35人参加两科，此时还有 1 人参加 1 科 那么是否存在 35 人参加两科的情况呢？由于此时还有 1 人是只参加一科的，假设这个人只参加数学 一科，那么可知此时参加语文、数学两科的共有(282220)215人，参加语文、英语两科的共 有281513人，参加数学、英语两科的共有20137人也就是说，此时全班有 15 人参加语文、 数学两科，13 人参加语文、英语两科，7 人参加数学、英语两科，1 人只参加数学 1 科，还有 14 人 不参加检验可知符合题设条件所以 35 人是可以达到的，则参加两科的最多有 3
11、5 人 （当然本题 中也可以假设只参加一科的参加的是语文或英语） 【答案】35 【巩固【巩固】60 人中有人中有 2 3 的人会打乒乓球的人会打乒乓球， 3 4 的人会打羽毛球的人会打羽毛球， 4 5 的人会打排球的人会打排球，这三项运动都会的人有这三项运动都会的人有22人人， 问：这三项运动都不会的最多有多少人？问：这三项运动都不会的最多有多少人？ 【考点】容斥原理之最值问题【难度】4 星【题型】填空 【解析】【解析】设只会打乒乓球和羽毛球两项的人有x人，只会打乒乓球和排球两项的有y人，只会打羽毛球和排 球两项的有z人由于只会三项运动中的一项的不可能小于0，所以x、y、z有如下关系： 402
12、20 45220 48220 xy xz yz 将三条关系式相加，得到33xyz，而 60 人当中会至少一项运动的人数有 40454822256xyz人，所以 60 人当中三项都不会的人数最多 4 人（当x、y、z分 别取7、11、15时，不等式组成立） 【答案】4 【例【例 5】 图书室有图书室有 100 本书，借阅图书者需在图书上签名已知这本书，借阅图书者需在图书上签名已知这 100 本书中有甲、乙、丙签名的分别本书中有甲、乙、丙签名的分别有有 33，44 和和 55 本本，其中同时有甲其中同时有甲、乙签名的图书为乙签名的图书为 29 本本，同时有甲同时有甲、丙签名的图书为丙签名的图书为
13、25 本本，同时同时 有乙有乙、丙签名的图书为丙签名的图书为 36 本本问这批图书中最少有多少本没有被甲问这批图书中最少有多少本没有被甲、乙乙、丙中的任何一人借阅过丙中的任何一人借阅过? 【考点】容斥原理之最值问题【难度】4 星【题型】填空 【解析】设甲借过的书组成集合 A， 乙借过的书组成集合 B， 丙借过的书组成集合 CA=33,B=44，C=55， 7-7-5.容斥原理之最值问题.题库教师版page4of5 AB=29，AC=25，BC=36 本题只需算出甲、乙、丙中至少有一人借过的书的最大值，再将其与 100 作差即可 ABCABCABACBCABC, 当ABC最大时，ABC有最大值.
14、也就是说当三人都借过的书最多时，甲、乙、丙中至少 有一人借过的书最多 而ABC最大不超过A、B、C、AB、BC、AC6 个数中的最小值， 所以ABC 最大为 25此时ABC=33+44+55-29-25-36+25=67，即三者至少有一人借过的书最多为 67 本， 所以这批图书中最少有 33 本没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过 【答案】33 【巩固【巩固】 甲甲、 乙乙、 丙都在读同丙都在读同-一本故事书一本故事书， 书中有书中有 100 个故事个故事 每个人都从某一个故事开始每个人都从某一个故事开始， 按顺序往后读按顺序往后读 已已 知甲读了知甲读了 75 个故事个故事，乙读了乙读了 60
15、 个故事个故事，丙读了丙读了 52 个故事个故事那么甲那么甲、乙乙、丙丙 3 人共同读过的故事最人共同读过的故事最 少有多少个少有多少个? 【考点】容斥原理之最值问题【难度】4 星【题型】填空 【解析】考虑甲乙两人情况，有甲乙都读过的最少为：75+60-100=35 个，此时甲单独读过的为 75-35=40 个， 乙单独读过的为 60-35=25 个；欲使甲、乙、丙三人都读过的书最少时，应将丙读过的书尽量分散在 某端，于是三者都读过书最少为 52-40=12 个 【答案】12 【例【例 6】 某数学竞赛共某数学竞赛共 160 人进入决赛人进入决赛，决赛共四题决赛共四题，做对第一题的有做对第一题
16、的有 136 人人，做对第二题的有做对第二题的有 125 人人，做做 对第三题的有对第三题的有 118 人，做对第四题的有人，做对第四题的有 104 人。在这次决赛中至少有人。在这次决赛中至少有_得满分。得满分。 【考点】容斥原理之最值问题【难度】5 星【题型】填空 【关键词】走美杯，5 年级，决赛，第 10 题 【解析】设得满分的人都做对3道题时得满分的人最少，有136+125+118+104-1603=3(人)。 【答案】3人 【例【例 7】 某班有某班有 46 人人，其中有其中有 40 人会骑自行车人会骑自行车，38 人会打乒乓球人会打乒乓球，35 人会打羽毛球人会打羽毛球，27 人会游
17、泳人会游泳，则该则该 班这四项运动都会的至少有班这四项运动都会的至少有人。人。 【考点】容斥原理之最值问题【难度】5 星【题型】填空 【关键词】希望杯，4 年级，1 试 【解析】不会骑车的 6 人，不会打乒乓球的 8 人，不会羽毛球的 11 人，不会游泳的 19 人，那么至少不会一 项的最多只有 6+8+11+19=44 人，那么思想都会的至少 44 人 【答案】44人 【例【例 8】 在阳光明媚的一天下午，甲、乙、丙、丁四人给在阳光明媚的一天下午，甲、乙、丙、丁四人给 100 盆花浇水，已知甲浇了盆花浇水，已知甲浇了 30 盆，乙浇了盆，乙浇了 75 盆盆， 丙浇了丙浇了 80 盆，丁浇了盆
18、，丁浇了 90 盆，请问恰好被盆，请问恰好被 3 个人浇过的花最少有多少盆？个人浇过的花最少有多少盆？ 【考点】容斥原理之最值问题【难度】5 星【题型】填空 【解析】为了恰好被 3 个人浇过的花盆数量最少，那么被四个人浇过的花、两个人浇过的花和一个人浇过的 花数量都要尽量多，那么应该可以知道被四个人浇过的花数量最多是 30 盆，那么接下来就变成乙浇 了 45 盆，丙浇了 50 盆，丁浇 60 盆了，这时共有1003070盆花，我们要让这 70 盆中恰好被 3 个人浇过的花最少，这就是简单的容斥原理了，恰好被 3 个人浇过的花最少有45506014015 盆 【答案】15 【巩固】【巩固】 甲、
19、乙、丙同时给甲、乙、丙同时给 100 盆花浇水已知甲浇了盆花浇水已知甲浇了 78 盆，乙浇了盆，乙浇了 68 盆，丙浇了盆，丙浇了 58 盆，那么盆，那么 3 人都浇人都浇 过的花最少有多少盆过的花最少有多少盆? 【考点】容斥原理之最值问题【难度】4 星【题型】填空 【解析】只考虑甲乙两人情况，有甲、乙都浇过的最少为：78+68-100=46 盆，此时甲单独浇过的为 78-46=32 盆，乙单独浇过的为 68-46=22 盆； 7-7-5.容斥原理之最值问题.题库教师版page5of5 欲使甲、乙、丙三人都浇过的花最少时，应将丙浇过的花尽量分散在两端于是三者都浇过花最少 为 58-32-22=
20、4 盆 【答案】4 【巩固】【巩固】 在阳光明媚的一天下午，甲、乙、丙、丁四人给在阳光明媚的一天下午，甲、乙、丙、丁四人给 100 盆花浇水，已知甲浇了盆花浇水，已知甲浇了 30 盆，乙浇了盆，乙浇了 75 盆盆， 丙浇了丙浇了 80 盆，丁浇了盆，丁浇了 90 盆，请问恰好被盆，请问恰好被 1 个人浇过的花最少有多少盆？个人浇过的花最少有多少盆？ 【考点】容斥原理之最值问题【难度】5 星【题型】填空 【解析】100 盆花共被浇水 275 次，平均每盆被浇2.75次，为了让被浇 1 次的花多，我们也需要被浇 4 次的 花尽量多，为 30 盆，那么余下 70 盆共被浇 155 次，平均每盆被浇2.21次，说明需要一些花被浇 3 次才可以我们假设 70 盆都被浇 3 次，那么多出 55 次，每盆花少浇 2 次变为被浇 1 次最多可以变 27 次，所以本题答案为 27 盆 【答案】27
