1、4-3-5.任意四边形、梯形与相似模型 题库page 1 of 21 任意四边形、梯形与相似模型任意四边形、梯形与相似模型 例题精讲例题精讲 板块三相似三角形模型 (一一)金字塔模型金字塔模型(二二) 沙漏模型沙漏模型 ? G ? F ? E ? A ? B ? C ? D ? A ? B ? C ? D ? E ? F ? G ADAEDEAF ABACBCAG ； 22 : ADEABC SSAFAG ： 所谓的相似三角形所谓的相似三角形，就是形状相同就是形状相同，大小不同的三角形大小不同的三角形(只要其形状不改变只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似不论大小怎样改变它们都相似)，
2、与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：与相似三角形相关的常用的性质及定理如下： 相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； 相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；相似三角形的面积比等于它们相似比的平方； 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半 相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具相似三角形模型，给我们提
3、供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形 【例【例 1】 如图，已知在平行四边形如图，已知在平行四边形ABCD中，中，16AB ，10AD ，4BE ，那么，那么FC的长度是多少？的长度是多少？ 【考点】相似三角形模型【难度】2 星【题型】解答 【解析】图中有一个沙漏，也有金字塔，但我们用沙漏就能解决问题，因为AB平行于CD，所以 :4:161:4BF FCBE CD，所以 4 108 14 FC 【答案】8 【例【例 2】 如图如图， 测量小玻璃管口径的量具测量小玻
4、璃管口径的量具ABC，AB的长为的长为15厘米厘米，AC被分为被分为60等份等份 如果小玻璃管口如果小玻璃管口DE 正好对着量具上正好对着量具上20等份处等份处(DE平行平行AB)，那么小玻璃管口径，那么小玻璃管口径DE是多大？是多大？ 4-3-5.任意四边形、梯形与相似模型 题库page 2 of 21 ? 60 ? 50 ? 40 ? 30 ? 20 ? 10 ? 0 ? E ? A ? D ? C ? B 【考点】相似三角形模型【难度】3 星【题型】解答 【解析】有一个金字塔模型，所以:DE ABDC AC，:1540:60DE，所以10DE 厘米 【答案】10 【例【例 3】 如图，如
5、图，DE平行平行BC，若，若:2:3AD DB ，那么，那么: ADEECB SS _ ? A ? E ? D ? C ? B 【考点】相似三角形模型【难度】2 星【题型】填空 【解析】根据金字塔模型:2:(23)2:5AD ABAE ACDE BC， 22 :2 :54:25 ADEABC SS ， 设4 ADE S 份，则25 ABC S 份，255 315 BEC S 份，所以:4:15 ADEECB SS 【答案】4:15 【例【例 4】 如图，如图，ABC中，中，DE，FG，BC互相平行，互相平行，ADDFFB， 则则 : ADEDEGFFGCB SSS 四边形四边形 ? E ? G
6、 ? F ? A ? D ? C ? B 【考点】相似三角形模型【难度】3 星【题型】填空 【解析】设1 ADE S 份 ， 根 据 面 积 比 等 于 相 似 比 的 平 方 ， 所 以 22 :1:4 ADEAFG SSADAF ， 22 :1:9 ADEABC SSADAB ， 因 此4 AFG S 份 ，9 ABC S 份 ， 进 而 有3 DEGF S 四边形 份 ， 5 FGCB S 四边形 份，所以:1:3:5 ADEDEGFFGCB SSS 四边形四边形 【答案】1:3:5 【巩固】如图，【巩固】如图，DE平行平行BC，且，且2AD ，5AB ，4AE ，求，求AC的长的长 ?
7、 A ? E ? D ? C ? B 【考点】相似三角形模型【难度】3 星【题型】解答 【解析】由金字塔模型得:2:5AD ABAE ACDE BC，所以42510AC 【答案】10 4-3-5.任意四边形、梯形与相似模型 题库page 3 of 21 【巩固】如图，【巩固】如图，ABC中，中，DE，FG，MN，PQ，BC互相平行，互相平行，ADDFFMMPPB， 则则: ADEDEGFFGNMMNQPPQCB SSSSS 四边形四边形四边形四边形 ? Q ? E ? G ? N ? M ? F ? P ? A ? D ? C ? B 【考点】相似三角形模型【难度】3 星【题型】填空 【解析】
8、设1 ADE S 份， 22 :1:4 ADEAFG SSADAF ，因此4 AFG S 份，进而有3 DEGF S 四边形 份，同理有 5 FGNM S 四边形 份，7 MNQP S 四边形 份，9 PQCB S 四边形 份 所以有:1:3:5:7:9 ADEDEGFFGNMMNQPPQCB SSSSS 四边形四边形四边形四边形 【总结】继续拓展，我们得到一个规律：平行线等分线段后，所分出来的图形的面积成等差数列 【答案】1:3:5:7:9 【例【例 5】已知已知ABC中，中，DE平行平行BC，若，若:2:3AD DB ，且，且 DBCE S梯形比比 ADE S大大 2 8.5cm，求，求
9、ABC S ? A ? E ? D ? C ? B 【考点】相似三角形模型【难度】3 星【题型】解答 【解析】根据金字塔模型:2:(23)2:5AD ABDE BC， 22 :2 :54:25 ADEABC SS ，设4 ADE S 份， 则25 ABC S 份，25421 DBCE S 梯形 份， DBCE S梯形比 ADE S大17份，恰好是 2 8.5cm，所以 2 12.5cm ABC S 【答案】12.5 【例【例 6】 如图：如图：MN平行平行BC，:4:9 MPNBCP SS ， 4 cmAM ，求，求BM的长度的长度 ? N ? M ? P ? A ? C ? B 【考点】相似
10、三角形模型【难度】3 星【题型】解答 【解析】在沙漏模型中，因为:4:9 MPNBCP SS ，所以:2:3MN BC ，在金字塔模型中有： :2:3AMABMN BC，因为4 cmAM ，4236AB cm，所以642 cmBM 【答案】2 【巩固】如图，已知【巩固】如图，已知DE平行平行BC，:3:2BO EO ，那么，那么:AD AB _ 4-3-5.任意四边形、梯形与相似模型 题库page 4 of 21 ? O ? E ? D ? C ? B ? A 【考点】相似三角形模型【难度】3 星【题型】填空 【解析】由沙漏模型得:3:2BO EOBC DE，再由金字塔模型得:2:3AD AB
11、DE BC 【答案】2:3 【例【例 7】 如图如图，ABC中中， 1 4 AEAB， 1 4 ADAC，ED与与BC平行平行，EOD的面积是的面积是 1 平方厘米平方厘米 那么那么AED 的面积是的面积是平方厘米平方厘米 ? A ? B ? C ? D ? E ? O 【考点】相似三角形模型【难度】3 星【题型】填空 【解析】因为 1 4 AEAB， 1 4 ADAC，ED与BC平行， 根据相似模型可知:1:4ED BC ，:1:4EO OC ，44 CODEOD SS 平方厘米， 则415 CDE S 平方厘米， 又因为:1:3 AEDCDE SSAD DC ，所以 15 5 33 AED
12、 S(平方厘米) 【答案】 5 3 【例【例 8】 如下图，正方形如下图，正方形 ABCD 边长为边长为 l0 厘米，厘米，BO 长长 8 厘米。厘米。AE=_厘米。厘米。 【考点】相似三角形模型【难度】3 星【题型】填空 【关键词】走美杯，5 年级，决赛，第 4 题，10 分 【解析】AOB 与EDA 相似，对应边成比例。AB：BOAE：AD，AEABADBO1010812.5(厘 米)。 【答案】12.5 【例【例 9】 如图如图，已知正方形已知正方形 ABCD 的边长是的边长是 12 厘米厘米，E 是是 CD 边上的中点边上的中点，连接对角线连接对角线 AC，交交 BE 于点于点 O，
13、则三角形则三角形 AOB 的面积是（的面积是（）平方厘米。）平方厘米。 4-3-5.任意四边形、梯形与相似模型 题库page 5 of 21 A、24B、36C、48D、60 【考点】相似三角形模型【难度】3 星【题型】选择 【关键词】华杯赛，五年级，初赛 【解析】C 【答案】C 【例【例 10】在图中的正方形中，在图中的正方形中，A，B，C分别是所在边的中点，分别是所在边的中点，CDO的面积是的面积是ABO面积的几倍？面积的几倍？ ? A ? B ? C ? D ? O ? E ? F ? A ? B ? C ? D ? O 【考点】相似三角形模型【难度】3 星【题型】解答 【解析】连接BC
14、， 易知OAEF， 根据相似三角形性质， 可知:OB ODAE AD， 且:1:2OA BEDA DE， 所 以CDOV的 面 积 等 于CBOV的 面 积 ； 由 11 24 OABEAC可 得3COOA， 所 以 3 CDOCBOABO SSS VVV ，即CDOV的面积是ABOV面积的 3 倍 【答案】3 【例【例 11】图图 30-10 是一个正方形，其中所标数值的单位是厘米问：阴影部分的面积是多少平方厘米是一个正方形，其中所标数值的单位是厘米问：阴影部分的面积是多少平方厘米? 【考点】相似三角形模型【难度】4 星【题型】解答 【解析】如下图所示，为了方便所叙，将某些点标上字母，并连接
15、 BG 设AEG 的面积为 x，显然EBG、BFG、FCG 的面积均为 x，则ABF 的面积为 3x， 1 20 10100 2 ABF S即 100 3 x ，那么正方形内空白部分的面积为 400 4 3 x . 所以原题中阴影部分面积为 400800 20 20 33 (平方厘米) 4-3-5.任意四边形、梯形与相似模型 题库page 6 of 21 【答案】 800 3 【例【例 12】 如图，线段如图，线段AB与与BC垂直，已知垂直，已知4ADEC，6BDBE，那么图中阴影部分面积是多少？，那么图中阴影部分面积是多少？ 【考点】相似三角形模型【难度】3 星【题型】解答 【解析】解法一：
16、这个图是个对称图形，且各边长度已经给出，不妨连接这个图形的对称轴看看 作辅助线BO，则图形关于BO对称，有 ADOCEO SS ， DBOEBO SS ，且:4:62:3 ADODBO SS 设ADO的面积为 2 份，则DBO的面积为 3 份，直角三角形ABE的面积为 8 份 因为6 10230 ABE S ，而阴影部分的面积为 4 份，所以阴影部分的面积为308415 解法二：连接DE、AC由于4ADEC，6BDBE，所以DEAC，根据相似三角形性质， 可知:6:103:5DE ACBD BA， 根据梯形蝴蝶定理， 22 :3 : 3 5 : 3 5 :59:15:15:25 DOEDOAC
17、OECOA SSSS ， 所以 :1515 : 915152515:32 ADEC SS 阴影梯形 ，即 15 32 ADEC SS 阴影梯形 ； 又 11 10 1066=32 22 ADEC S 梯形 ，所以 15 15 32 ADEC SS 阴影梯形 【答案】15 【例【例 13】如图，四边形如图，四边形ABCD和和EFGH都是平行四边形，四边形都是平行四边形，四边形ABCD的面积是的面积是16，:3:1BG GC ，则四，则四 边形边形EFGH的面积的面积_ 【考点】相似三角形模型【难度】3 星【题型】填空 【关键词】华杯赛，精英邀请赛 【解析】因为FGHE为平行四边形，所以/ /EC
18、AG，所以AGCE为平行四边形 :3:1BG GC ，那么:1:4GC BC ，所以 11 164 44 AGCEABCD SS 又AEGC，所以:1:3AE BGGC BG，根据沙漏模型， :3:1FG AFBG AE，所以 33 43 44 FGHEAGCE SS 【答案】3 【例【例 14】已知三角形已知三角形ABC的面积为的面积为a，:2:1AF FC ，E是是BD的中点，且的中点，且EFBC，交，交CD于于G，求阴，求阴 影部分的面积影部分的面积 4-3-5.任意四边形、梯形与相似模型 题库page 7 of 21 【考点】相似三角形模型【难度】4 星【题型】解答 【解析】已知:2:
19、1AF FC ，且EFBC，利用相似三角形性质可知:2:3EF BCAF AC，所以 2 3 EFBC，且:4:9 AEFABC SS 又因为E是BD的中点，所以EG是三角形DBC的中位线，那么 1 2 EGBC， 1 2 :3:4 2 3 EG EF ， 所以:1:4GF EF ，可得:1:8 CFGAFE SS ，所以:1:18 CFGABC SS ，那么 18 CFG a S 【答案】 18 a 【例【例 15】已知正方形已知正方形ABCD， 过过C的直线分别交的直线分别交AB、AD的延长线于点的延长线于点E、F， 且且10 cmAE ，15cmAF ，求正方形，求正方形ABCD的边长的
20、边长 ? F ? A ? E ? D ? C ? B 【考点】相似三角形模型【难度】3 星【题型】解答 【解析】方法一：本题有两个金字塔模型，根据这两个模型有:BC AFCE EF，:DC AECF EF，设正 方形的边长为cmx，所以有1 BCDCCECF AFAEEFEF ，即1 1510 xx ，解得6x ，所以正方形的边 长为6 cm 方法二：或根据一个金字塔列方程即 15 1015 xx ，解得6x 【答案】6 【例【例 16】如图，三角形如图，三角形ABC是一块锐角三角形余料，边是一块锐角三角形余料，边120BC 毫米，高毫米，高80AD 毫米，要把它加工成正毫米，要把它加工成正
21、方形零件，使正方形的一边在方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长上，这个正方形零件的边长 是多少？是多少？ ? H ? G ? N ? P ? A ? D ? C ? B 【考点】相似三角形模型【难度】3 星【题型】解答 【解析】观察图中有金字塔模型5个，用与已知边有关系的两个金字塔模型，所以有 PNAP BCAB ， PHBP ADAB ， 4-3-5.任意四边形、梯形与相似模型 题库page 8 of 21 设正方形的边长为x毫米， PNPH BCAD 1 APBP ABAB ，即1 12080 xx ，解得48x ，即
22、正方形的边 长为48毫米 【答案】48 【巩固【巩固】 如图如图， 在在ABC中中， 有长方形有长方形DEFG，G、F在在BC上上，D、E分别在分别在AB、AC上上，AH是是ABC 边边BC的高，交的高，交DE于于M，:1:2DG DE ，12BC 厘米，厘米，8AH 厘米，求长方形的长和宽厘米，求长方形的长和宽 ? E ? H ? G ? M ? F ? A ? D ? C ? B 【考点】相似三角形模型【难度】3 星【题型】解答 【解析】观察图中有金字塔模型5个，用与已知边有关系的两个金字塔模型，所以 DEAD BCAB ， DGBD AHAB ， 所以有1 DEDGADBD BCAHAB
23、AB ， 设DGx， 则2DEx， 所以有 2 1 128 xx ， 解得 24 7 x ， 48 2 7 x ， 因此长方形的长和宽分别是 48 7 厘米， 24 7 厘米 【答案】长 48 7 ，宽 24 7 【例【例 17】图中图中ABCD是边长为是边长为12cm的正方形的正方形，从从G到正方形顶点到正方形顶点C、D连成一个三角形连成一个三角形，已知这个三角形已知这个三角形 在在AB上截得的上截得的EF长度为长度为4cm，那么三角形，那么三角形GDC的面积是多少？的面积是多少？ ? A ? B ? C ? D ? E ? F ? G ? N ? M ? A ? B ? C ? D ? E
24、 ? F ? G 【考点】相似三角形模型【难度】4 星【题型】解答 【解析】根据题中条件，可以直接判断出EF与DC平行，从而三角形GEF与三角形GDC相似，这样，就可 以采用相似三角形性质来解决问题 做GM垂直DC于M，交AB于N 因为EFDC，所以三角形GEF与三角形GDC相似，且相似比为:4:121:3EF DC ， 所以:1:3GN GM ，又因为12MNGMGN，所以18GMcm， 所以三角形GDC的面积为 2 1 12 18108 2 cm 【答案】108 【例【例 18】如图，将一个边长为如图，将一个边长为2的正方形两边长分别延长的正方形两边长分别延长1和和3，割出图中的阴影部分，
25、求阴影部分的面积，割出图中的阴影部分，求阴影部分的面积 是多少？是多少？ 4-3-5.任意四边形、梯形与相似模型 题库page 9 of 21 【考点】相似三角形模型【难度】3 星【题型】解答 【解析】根据相似三角形的对应边成比例有： 3 1223 NF ； 1 2312 EM ， 则 5 9 NF ， 5 3 EM ， 1951 22 25330 S 阴 【答案】 1 30 【例【例 19】图中的大小正方形的边长均为整数图中的大小正方形的边长均为整数(厘米厘米)，它们的面积之和等于，它们的面积之和等于 52 平方厘米，则阴影部分的面积平方厘米，则阴影部分的面积 是是 【考点】相似三角形模型【
26、难度】3 星【题型】填空 【关键词】101 中学 【解析】设大、小正方形的边长分别为m厘米、n厘米(mn)，则 22 52mn，所以8m 若5m ，则 222 525052mn，不合题意，所以m只能为 6 或 7检验可知只有6m 、4n 满足题意， 所 以 大 、 小 正 方 形 的 边 长 分 别 为 6 厘 米 和 4 厘 米 根 据 相 似 三 角 形 性 质 ， :6:43:2BG GFAB FE，而6BGGF，得3.6BG (厘米)，所以阴影部分的面积为： 1 63.610.8 2 (平方厘米) 【答案】10.8 【例【例 20】如图如图，O是矩形一条对角线的中点是矩形一条对角线的中
27、点，图中已经标出两个三角形的面积为图中已经标出两个三角形的面积为3和和4，那么阴影部分的一那么阴影部分的一 块直角三角形的面积是多少？块直角三角形的面积是多少？ 【考点】相似三角形模型【难度】4 星【题型】解答 【解析】连接OB,面积为4的三角形占了矩形面积的 1 4 ，所以431 OEB S ,所以:1:3OE EA ,所以 :5:8CE CA ,由三角形相似可得阴影部分面积为 2 525 8( ) 88 【答案】 25 8 4-3-5.任意四边形、梯形与相似模型 题库page 10 of 21 【例【例 21】已知长方形已知长方形ABCD的面积为的面积为70厘米，厘米，E是是AD的中点，的
28、中点，F、G是是BC边上的三等分点，求阴影边上的三等分点，求阴影 EHO的面积是多少厘米？的面积是多少厘米？ 【考点】相似三角形模型【难度】3 星【题型】解答 【解析】因为E是AD的中点，F、G是BC边上的三等分点，由此可以说明如果把长方形的长分成6份的 话，那么3EDAD份、2BFFGGC份，大家能在图形中找到沙漏EOD和BOG：有 3 4ED BG= ，所以3 4OD BO ，相当于把BD分成(34)7份，同理也可以在图中在次找到沙 漏：EHD和BHF也是沙漏，3 2ED BF ，由此可以推出：3 2HD BH , 相当于把BD分 成(32)5份， 那么我们就可以把BD分成35份(5和7的
29、最小公倍数)其中OD占15份，BH占14份， HO占6份，连接EB则可知BED的面积为 35 704 2 ，在BD为底的三角形中HO占6份，则面 积为： 356 3 235 (平方厘米). 【答案】3 【例【例 22】ABCD是平行四边形，面积为是平行四边形，面积为 72 平方厘米，平方厘米，E、F分别为分别为AB、BC的中点，则图中阴影部分的的中点，则图中阴影部分的 面积为面积为平方厘米平方厘米 【考点】相似三角形模型【难度】4 星【题型】填空 【解析】方法一：注意引导学生利用三角形的中位线定理以及平行线的相关性质 设G、H分别为AD、DC的中点，连接GH、EF、BD 可得 1 = 4 AE
30、DABCD SS 平行四边形 ， 对角线BD被EF、AC、GH平均分成四段，又OMEF，所以 23 :2:3 44 DO EDBDBD， :32 :31:3OE EDEDODED， 所以 1111 726 3434 AEOABCD SS 平行四边形 (平方厘米)，212 ADOAEO SS (平方厘米) 同理可得6 CFM S 平方厘米，12 CDM S 平方厘米 所以366624 ABCAEOCFM SSS (平方厘米)， 于是，阴影部分的面积为24121248(平方厘米) 方法二：寻找图中的沙漏，:1:2AE CDAO OC，:1:2FC ADCMAM，因此,O M为AC的 三等分点， 1
31、1 7212 66 ODMABCD SS 平行四边形 (平方厘米)， 11 1226 44 AEOOCD SS (平方厘米)， 同理6 FMC S (平方厘米)，所以72126648S 阴影 (平方厘米) 【答案】48 【例【例 23】如图如图，三角形三角形PDM的面积是的面积是 8 平方厘米平方厘米，长方形长方形ABCD的长是的长是 6 厘米厘米，宽是宽是 4 厘米厘米，M是是BC的的 中点，则三角形中点，则三角形APD的面积是的面积是平方厘米平方厘米 4-3-5.任意四边形、梯形与相似模型 题库page 11 of 21 ? A ? B ? C ? D ? P ? M ? K ? N ?
32、A ? B ? C ? D ? P ? M 【考点】相似三角形模型【难度】4 星【题型】填空 【解析】本题在矩形内连接三点构成一个三角形，而且其中一点是矩形某一条边的中点，一般需要通过这一 点做垂线 取AD的中点N，连接MN，设MN交PD于K 则三角形PDM被分成两个三角形，而且这两个三角形有公共的底边MK，可知三角形PDM的面积 等于 1 8 2 MKBC(平方厘米)，所以 8 MK= 3 (厘米)，那么 84 4 33 NK (厘米) 因为NK是三角形APD的中位线，所以 8 2 3 APNK(厘米)，所以三角形APD的面积为 18 68 23 (平方厘米) 【答案】8 【例【例 24】如
33、图如图，长方形长方形ABCD中中，E为为AD的中点的中点，AF与与BE、BD分别交于分别交于G、H，OE垂直垂直AD于于E， 交交AF于于O，已知，已知 5cmAH ， 3cmHF ，求，求AG ? A ? B ? C ? D ? E ? F ? G ? H ? O 【考点】相似三角形模型【难度】3 星【题型】解答 【解析】由于ABDF，利用相似三角形性质可以得到:5:3AB DFAH HF， 又因为E为AD中点，那么有:1:2OE FD ， 所以 3 :5:10:3 2 AB OE ，利用相似三角形性质可以得到:10:3AG GOAB OE， 而 11 534 cm 22 AOAF，所以 1
34、040 4cm 1313 AG 【答案】 40 13 【例【例 25】右图中正方形的面积为右图中正方形的面积为 1，E、F分别为分别为AB、BD的中点，的中点， 1 3 GCFC求阴影部分的面积求阴影部分的面积 【考点】相似三角形模型【难度】3 星【题型】解答 4-3-5.任意四边形、梯形与相似模型 题库page 12 of 21 【解析】题中条件给出的都是比例关系，由此可以初步推断阴影部分的面积要通过比例求解，而图中出现最 多的就是三角形，那么首先想到的就是利用相似三角形的性质 阴影部分为三角形，已知底边为正方形边长的一半，只要求出高，便可求出面积 可以作FH垂直 BC于H，GI垂直BC于I
35、 根据相似三角形性质，:1:3CI CHCG CF，又因为CHHB，所以:1:6CI CB ，即 :61 :65:6BI BC ，所以 1155 22624 BGE S 【答案】 5 24 【例【例 26】梯形梯形ABCD的面积为的面积为 12，2ABCD，E为为AC的中点的中点，BE的延长线与的延长线与AD交于交于F， 四边形四边形CDFE 的面积是的面积是 ? A ? B ? C ? D ? E ? F ? G ? A ? B ? C ? D ? E ? F 【考点】相似三角形模型【难度】4 星【题型】填空 【解析】延长BF、CD相交于G 由于E为AC的中点，根据相似三角形性质，2CGAB
36、CD， 11 22 GDGCAB，再根据相似三 角形性质，:2:1AF FDAB DG，:1:3GF GB ，而:2:1 ABDBCD SSAB CD ， 所以 11 124 33 BCDABCD SS ，28 GBCBCD SS 又 111 236 GDF GBC S S ， 1 2 EBCGBC SS ，所以 1118 1 2633 CDFEGBCGBC SSS 【答案】 8 3 【例【例 27】如图，三角形如图，三角形ABC的面积为的面积为 60 平方厘米，平方厘米，D、E、F分别为各边的中点，那么阴影部分的面积分别为各边的中点，那么阴影部分的面积 是是平方厘米平方厘米 【考点】相似三角
37、形模型【难度】4 星【题型】填空 【解析】阴影部分是一个不规则的四边形，不方便直接求面积，可以将其转化为两个三角形的面积之差而 从图中来看， 既可以转化为BEF与EMN的面积之差， 又可以转化为BCM与CFN的面积之差 (法 1)如图，连接DE 由于D、E、F分别为各边的中点，那么BDEF为平行四边形，且面积为三角形ABC面积的一半， 即 30 平方厘米；那么BEF的面积为平行四边形BDEF面积的一半，为 15 平方厘米 根据几何五大模型中的相似模型，由于DE为三角形ABC的中位线，长度为BC的一半，则 :1:2EM BMDE BC，所以 1 3 EMEB； :1:1EN FNDE FC，所以
38、 1 2 ENEF 4-3-5.任意四边形、梯形与相似模型 题库page 13 of 21 那么EMN的面积占BEF面积的 111 236 ，所以阴影部分面积为 1 15112.5 6 (平方厘米) (法 2)如图，连接AM 根据燕尾定理，:1:1 ABMBCM SSAE EC ，:1:1 ACMBCM SSAD DB ， 所以 11 6020 33 BCOABC SS 平方厘米， 而 11 6030 22 BDCABC SS 平方厘米，所以 1 7.5 4 FCNBDC SS 平方厘米， 那么阴影部分面积为207.512.5(平方厘米) 【总结】求三角形的面积，一般有三种方法： 利用面积公式
39、：底高2； 利用整体减去部分； 利用比例和模型 【答案】12.5 【例【例 28】如图如图,ABCD是直角梯形，是直角梯形，4,5,3ABADDE，那么梯形，那么梯形ABCD的面积是多少的面积是多少? ? O ? E ? D ? C ? B ? A ? O ? E ? D ? A ? F ? C ? B 【考点】相似三角形模型【难度】3 星【题型】解答 【解析】延长EO交AB于F点，分别计算,AODAOBDOCBOC的面积，再求和 3 1DE BFDO OB 3 1 AODAOB SS ；3 1 DOCBOC SS AODBOC SS 又 1 4 510 2 ABD S 3 7.5 4 AOD
40、ABD SS ,2.5,7.5,33 7.522.5 AOBBOCDOCBOC SSSS 7.52.57.522.540 ABCD S 梯形 【答案】40 【例【例 29】边长为边长为8厘米和厘米和12厘米的两个正方形并放在一起，那么图中阴影三角形的面积是多少平方厘米？厘米的两个正方形并放在一起，那么图中阴影三角形的面积是多少平方厘米？ 【考点】相似三角形模型【难度】3 星【题型】解答 【解析】给图形标注字母，按顺时针方向标注，大正方形为ABCD，小正方形为MNDE，EB分别交,AC AD 于,O H两点， 12 203 5AO OCAB EC，3 5AH BCAO OC 3 8AO AC ，
41、3 5AHAD ，9 40 AHOADC SS 2 1 1272 2 ADC S 4-3-5.任意四边形、梯形与相似模型 题库page 14 of 21 99 7216.2 4040 AHOADC SS 【答案】16.2 【例【例 30】如右图，长方形如右图，长方形ABCD中，中，16EF ，9FG ，求，求AG的长的长 ? D ? A ? B ? C ? E ? F ? G 【考点】相似三角形模型【难度】3 星【题型】解答 【解析】因为DABE，根据相似三角形性质知 DGAG GBGE ， 又因为DFAB， DGFG GBGA ， 所以 AGFG GEGA ，即 22 25 922515AG
42、GE FG，所以15AG 【答案】15 【例【例 31】如图，已知正方形如图，已知正方形ABCD的边长为的边长为4，F是是BC边的中点，边的中点，E是是DC边上的点，且边上的点，且:1:3DE EC ， AF与与BE相交于点相交于点G，求，求 ABG S ? G ? F ? A ? E ? D ? C ? B ? M ? G ? F ? A ? E ? D ? C ? B ? G ? F ? A ? E ? D ? C ? B 【考点】相似三角形模型【难度】4 星【题型】解答 【关键词】迎春杯 【解析】方法一： 连接AE， 延长AF，DC两条线交于点M， 构造出两个沙漏， 所以有:1:1AB
43、CMBF FC， 因 此4CM ， 根 据 题 意 有3CE ， 再 根 据 另 一 个 沙 漏 有:4:7GB GEAB EM， 所 以 4432 (442) 471111 ABGABE SS 方法二：连接,AE EF，分别求4224 ABF S ，444 1232247 AEF S ，根据 蝴蝶定理:4:7 ABFAEF SSBG GE ，所以 4432 (442) 471111 ABGABE SS 【答案】 32 11 【例【例 32】如图所示如图所示，已知平行四边形已知平行四边形ABCD的面积是的面积是 1，E、F是是AB、AD的中点的中点，BF交交EC于于M，求求 BMG的面积的面积
44、 ? M ? H ? G ? F ? E ? D ? C ? B ? A ? I ? A ? B ? C ? D ? E ? F ? G ? H ? M 【考点】相似三角形模型【难度】4 星【题型】解答 4-3-5.任意四边形、梯形与相似模型 题库page 15 of 21 【解析】解法一：由题意可得，E、F是AB、AD的中点，得/ /EFBD，而:1:2FD BCFH HC， :1:2EB CDBG GD所以:2:3CH CFGH EF， 并得G、H是BD的三等分点，所以BGGH，所以 :2:3BG EFBM MF， 所以 2 5 BMBF， 1111 2224 BFDABDABCD SSS
45、 ； 又因为 1 3 BGBD，所以 121211 3535430 BMGBFD SS 解法二：延长CE交DA于I，如右图， 可得，:1:1AI BCAE EB， 从而可以确定M的点的位置， :2:3BM MFBC IF， 2 5 BMBF， 1 3 BGBD(鸟头定理)， 可得 212111 5353430 BMGBDFABCD SSS 【答案】 1 30 【例【例 33】正方形正方形ABCD的面积是的面积是 120 平方厘米平方厘米，E是是AB的中点的中点，F是是BC的中点的中点，四边形四边形BGHF的面积是的面积是 平方厘米平方厘米 ? H ? G ? F ? E ? D ? C ? B
46、 ? A ? M ? H ? G ? F ? E ? D ? C ? B ? A 【考点】相似三角形模型【难度】4 星【题型】填空 【关键词】清华附中，入学测试 【解析】欲求四边形BGHF的面积须求出EBG和CHF的面积 由题意可得到：:1:2EG GCEB CD，所以可得： 1 3 EBGBCE SS 将AB、DF延长交于M点，可得： :1:1BM DCMF FDBF FC， 而 1 :():3:2 2 EH HCEM CDABABCD，得 2 5 CHCE， 而 1 2 CFBC，所以 121 255 CHFBCEBCE SSS 111 12030 224 BCE SABBC 1177 3
47、014 351515 EBCEBCEBCEBCBGHF SSSSS 四边形 本题也可以用蝴蝶定理来做，连接EF，确定H的位置(也就是:FH HD)，同样也能解出 【答案】14 【例【例 34】如 图 ， 已 知如 图 ， 已 知14 ABC S , 点点,D E F分 别 在分 别 在,AB BC CA上 ， 且上 ， 且2,5,ADBDAFFC， ABEDBEF SS 四边形 则则 ABE S是多少？是多少？ 4-3-5.任意四边形、梯形与相似模型 题库page 16 of 21 ? F ? E ? D ? C ? B ? A ? F ? E ? D ? C ? B ? A 【考点】相似三角
48、形模型【难度】4 星【题型】解答 【解析】ABC的面积已知，若知道ABE的面积占ABC的几分之几就可以计算出ABE的面积连接 CD ABEDBEF SS 四边形 DEFADE SS AC与DE平行， ADECDE SS ABECDB SS 2AD ，5BD :2:5 ACDCDB SS 55 1410 77 ABC ABBCDB S SS 【答案】10 【例【例 35】如图如图， 长方形长方形ABCD中中，E、F分别为分别为CD、AB边上的点边上的点，DEEC，2FBAF， 求求 :PM MN NQ ? P ? M ? N ? Q ? F ? E ? D ? C ? B ? A ? G ? P
49、 ? M ? N ? Q ? F ? E ? D ? C ? B ? A 【考点】相似三角形模型【难度】4 星【题型】解答 【解析】如图，过E作AD的平行线交PQ于G 由于E是DC的中点，所以G是PQ的中点 由于DEEC，2FBAF，所以:2:3AF DE ，:4:3BF CE 根据相似性，:2:3PM MGAM MEAF DE，:3:4GN NQEN NBEC BF， 于是 2 5 PMPG， 3336 5735 MNPGGQPG， 44 77 NQGQPG， 所以 2 36 4 :7:18:10 5 35 7 PM MN NQ 【答案】7:18:10 【例【例 36】如下图，如下图，D、E
50、、F、G均为各边的三等分点，线段均为各边的三等分点，线段EG和和DF把三角形把三角形ABC分成四部分，如果分成四部分，如果 四边形四边形FOGC的面积是的面积是 24 平方厘米，求三角形平方厘米，求三角形ABC的面积的面积 4-3-5.任意四边形、梯形与相似模型 题库page 17 of 21 E D O G C F B A E D O G C F B A 【考点】相似三角形模型【难度】3 星【题型】解答 【解析】设三角形以AB为底的高为h， 由于:2:3FG AB ，所以:1:2ED FG ； 所以三角形OGF以GF为底的高是 122 339 hh； 又因为三角形CFG以FG为底的高是 2
