1、4-3-3 圆与扇形 题库page 1 of 14 圆与扇形圆与扇形 例题精讲例题精讲 研究圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，通过变动图形的位 置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形来计算它们的面积 圆的面积 2 r；扇形的面积 2 360 n r； 圆的周长2r；扇形的弧长2 360 n r 一、跟曲线有关的图形元素： 扇形：扇形由顶点在圆心的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形，扇形是圆的一部分我们经常说 的 1 2 圆、 1 4 圆、 1 6 圆等等其实都是扇形，而这个几分之几表示的其实是这个扇形的圆心角占这个圆周角的几
2、 分之几那么一般的求法是什么呢？关键是 360 n 比如：扇形的面积所在圆的面积 360 n ； 扇形中的弧长部分所在圆的周长 360 n 扇形的周长所在圆的周长 360 n 2半径(易错点是把扇形的周长等同于扇形的弧长) 弓形：弓形一般不要求周长，主要求面积 一般来说，弓形面积扇形面积-三角形面积(除了半圆) ”弯角” ：如图：弯角的面积正方形-扇形 ”谷子” ：如图：“谷子”的面积弓形面积2 二、常用的思想方法： 转化思想(复杂转化为简单，不熟悉的转化为熟悉的) 等积变形(割补、平移、旋转等) 借来还去(加减法) 外围入手(从会求的图形或者能求的图形入手，看与要求的部分之间的”关系”) 板
3、块、曲线型旋转问题 【例【例 1】 正三角形正三角形ABC的边长是的边长是 6 厘米厘米， 在一条直线上将它翻滚几次在一条直线上将它翻滚几次， 使使A点再次落在这条直线上点再次落在这条直线上， 那么那么A 点在翻滚过程中经过的路线总长度是多少厘米？如果三角形面积是点在翻滚过程中经过的路线总长度是多少厘米？如果三角形面积是 15 平方厘米，那么三角形在滚平方厘米，那么三角形在滚 动过程中扫过的面积是多少平方厘米？动过程中扫过的面积是多少平方厘米？( (结果保留结果保留) ) 4-3-3 圆与扇形 题库page 2 of 14 ? A ? B ? B ? C ? A 【考点】【考点】曲线型旋转问题
4、曲线型旋转问题【难度】【难度】3 星星【题型】【题型】解答解答 【解析】如图所示，A点在翻滚过程中经过的路线为两段120的圆弧，所以路线的总长度为： 120 2628 360 厘米； 三角形在滚动过程中扫过的图形的为两个120的扇形加上一个与其相等的正三角形，面积为： 2 120 62152415 360 平方厘米 【答案】【答案】2415 【巩固【巩固】直角三角形直角三角形ABC放在一条直线上放在一条直线上，斜边斜边AC长长20厘米厘米，直角边直角边BC长长10厘米厘米如下图所示如下图所示，三角形三角形 由位置由位置绕绕A点转动点转动，到达位置到达位置，此时此时B，C点分别到达点分别到达 1
5、 B， 1 C点点；再绕再绕 1 B点转动点转动，到达位置到达位置， 此时此时A， 1 C点分别到达点分别到达 2 A， 2 C点求点求C点经点经 1 C到到 2 C走过的路径的长走过的路径的长 ? 60 ? 30 ? B ? 1 ? C ? 1 ? C ? 2 ? A ? 2 ? C ? B ? A ? ? ? 【考点】【考点】曲线型旋转问题曲线型旋转问题【难度】【难度】3 星星【题型】【题型】解答解答 【解析】由于BC为AC的一半，所以30CAB，则弧 1 CC为大圆周长的 180305 36012 ，弧 12 C C为小圆 周长的 1 4 ，而 112 CCC C即为C点经 1 C到 2
6、 C的路径，所以C点经 1 C到 2 C走过的路径的长为 515065 2202 105 12433 (厘米) 【答案】【答案】 65 3 【巩固【巩固】如图如图，一条直线上放着一个长和宽分别为一条直线上放着一个长和宽分别为4cm和和3cm的长方形的长方形它的对角线长恰好是它的对角线长恰好是5cm让这让这 个长方形绕顶点个长方形绕顶点B顺时针旋转顺时针旋转90后到达长方形后到达长方形的位置，这样连续做三次，点的位置，这样连续做三次，点A到达点到达点E的位的位 置求点置求点A走过的路程的长走过的路程的长 ? ? ? ? ? E ? D ? C ? B ? A 【考点】【考点】曲线型旋转问题曲线型
7、旋转问题【难度】【难度】3 星星【题型】【题型】解答解答 【解析】因为长方形旋转了三次，所以A点在整个运动过程中也走了三段路程(如右上图所示) 这三段路程分别是： 第 1 段是弧 1 AA，它的长度是 1 24 4 (cm)； 第 2 段是弧 12 A A，它的长度是 1 25 4 (cm)； 第 3 段是弧 2 A E，它的长度是 1 23 4 (cm)； 4-3-3 圆与扇形 题库page 3 of 14 所以A点走过的路程长为： 111 2425236 444 (cm) 【答案】【答案】6 【例【例 2】 草场上有一个长草场上有一个长 20 米米、 宽宽 10 米的关闭着的羊圈米的关闭着
8、的羊圈， 在羊圈的一角用长在羊圈的一角用长 30 米的绳子拴着一只羊米的绳子拴着一只羊( (见如见如 图图) )问：这只羊能够活动的范围有多大？问：这只羊能够活动的范围有多大？( (圆周率取圆周率取3.14) ) 【考点】【考点】曲线型旋转问题曲线型旋转问题【难度】【难度】3 星星【题型】【题型】解答解答 【解析】如图所示，羊活动的范围可以分为A，B，C三部分，其中A是半径30米的 3 4 个圆，B，C分别是 半径为20米和10米的 1 4 个圆 所以羊活动的范围是 222 311 3020 10 444 222 311 302010 444 2512 【答案】【答案】2512 【巩固【巩固】
9、一只狗被拴在底座为边长一只狗被拴在底座为边长3m的等边三角形建筑物的墙角上的等边三角形建筑物的墙角上( (如图如图) )，绳长是绳长是4m，求狗所能到的地方求狗所能到的地方 的总面积的总面积( (圆周率按圆周率按3.14计算计算) ) 3 3 【考点】【考点】曲线型旋转问题曲线型旋转问题【难度】【难度】3 星星【题型】【题型】解答解答 【解析】如图所示，羊活动的范围是一个半径4m，圆心角 300的扇形与两个半径1m，圆心角 120的扇 形之和所以答案是 2 43.96m 【答案】【答案】43.96 【例【例 3】 如图是一个直径为如图是一个直径为3cm的半圆的半圆， 让这个半圆以让这个半圆以A
10、点为轴沿逆时针方向旋转点为轴沿逆时针方向旋转60， 此时此时B点移动到点移动到B 点，求阴影部分的面积点，求阴影部分的面积( (图中长度单位为图中长度单位为cm，圆周率按，圆周率按3计算计算) ) 4-3-3 圆与扇形 题库page 4 of 14 【考点】【考点】曲线型旋转问题曲线型旋转问题【难度】【难度】3 星星【题型】【题型】解答解答 【解析】面积圆心角为60的扇形面积半圆空白部分面积(也是半圆)圆心角为60的扇形面积 22 603 34.5(cm ) 3602 【答案】【答案】4.5 【例【例 4】 如图所示如图所示，直角三角形直角三角形ABC的斜边的斜边AB长为长为 10 厘米厘米，
11、60ABC，此时此时BC长长 5 厘米厘米以点以点B为为 中心，将中心，将ABC顺时针旋转顺时针旋转120，点，点A、C分别到达点分别到达点E、D的位置求的位置求AC边扫过的图形即图边扫过的图形即图 中阴影部分的面积中阴影部分的面积( (取取 3) ) 【考点】【考点】曲线型旋转问题曲线型旋转问题【难度】【难度】3 星星【题型】【题型】解答解答 【解析】注意分割、平移、补齐 如图所示，将图形移补到图形的位置， 因为60EBD，那么120ABE， 则阴影部分为一圆环的 1 3 所以阴影部分面积为 22 1 75 3 ABBC(平方厘米) 【答案】【答案】75 【巩固】如右图，以【巩固】如右图，以
12、OA为斜边的直角三角形的面积是为斜边的直角三角形的面积是 24 平方厘米，斜边长平方厘米，斜边长 10 厘米，将它以厘米，将它以O点为中心旋点为中心旋 转转90，问：三角形扫过的面积是多少？，问：三角形扫过的面积是多少？( (取取 3) ) 4-3-3 圆与扇形 题库page 5 of 14 【考点】【考点】曲线型旋转问题曲线型旋转问题【难度】【难度】3 星星【题型】【题型】解答解答 【解析】从图中可以看出，直角三角形扫过的面积就是图中图形的总面积，等于一个三角形的面积与四分之 一圆的面积之和圆的半径就是直角三角形的斜边OA 因此可以求得，三角形扫过的面积为： 1 24 10 10242599
13、 4 (平方厘米) 【答案】【答案】99 【巩固】【巩固】( (“学而思杯学而思杯”数学试题数学试题) )如图，直角三角形如图，直角三角形ABC中，中，B为直角，且为直角，且2BC 厘米，厘米，4AC 厘米厘米， 则在将则在将ABC绕绕C点顺时针旋转点顺时针旋转120的过程中，的过程中，AB边扫过图形的面积为边扫过图形的面积为( (3.14) ) ? C ? B ? A ? B ? A ? C ? B ? A 【考点】【考点】曲线型旋转问题曲线型旋转问题【难度】【难度】3 星星【题型】【题型】解答解答 【解析】如右上图所示，假设ABC旋转120到达A B C的位置阴影部分为AB边扫过的图形 从
14、图中可以看出，阴影部分面积等于整个图形的总面积减去空白部分面积，而整个图形总面积等于 扇形ACA的面积与ABC的面积之和，空白部分面积等于扇形BCB的面积与A B C的面积，由 于ABC的面积与A B C的面积相等，所以阴影部分的面积等于扇形ACA与扇形BCB的面积之 差，为 22 120120 42412.56 360360 (平方厘米) 【答案】【答案】12.56 【例【例 5】 如下图，如下图，ABCABC是一个等腰直角三角形，直角边的长度是是一个等腰直角三角形，直角边的长度是 1 1 米。现在以米。现在以 C C 点为圆点，顺时针旋点为圆点，顺时针旋转转 9090 度，那么，度，那么，
15、ABAB边在旋转时所扫过的面积是平方米边在旋转时所扫过的面积是平方米。 （= =3.143.14） 【考点】【考点】曲线型旋转问题曲线型旋转问题【难度】【难度】3 星星【题型】【题型】解答解答 【解析】【解析】【解析】【解析】边扫过的面积为左下图阴影部分，可分为右下图所示的两部分。 4-3-3 圆与扇形 题库page 6 of 14 因为 222 1rr，所以 2 1 2 r 。 所求面积为 2222 1111 1110.6775 424428 r （平方米） 【答案】【答案】0.6775 【例【例 6】 如图如图 30-14，将长方形，将长方形 ABCD 绕顶点绕顶点 C 顺时针旋转顺时针旋
16、转 90 度，若度，若 AB=4，BC=3，AC=5，求，求 AD 边扫边扫 过部分的面积过部分的面积(取取 3.14) 【考点】【考点】曲线型旋转问题曲线型旋转问题【难度】【难度】3 星星【题型】【题型】解答解答 【解析】如下图所示， 如下图所示，端点 A 扫过的轨迹为AA A ，端点 D 扫过轨迹为DD D ，而 AD 之间的点，扫过的轨迹 在以 A、D 轨迹，AD，A D 所形成的封闭图形内，且这个封闭图形的每一点都有线段 AD 上某点扫过， 所以 AD 边扫过的图形为阴影部分显然, 有阴影部分面积为 A D CACAACD SSSS 直角扇形直角扇形CD D,而直角三角形A D C 、
17、ACD 面积相等 = A D CACAACDACA SSSSSS 直角扇形直角扇形CD D扇形扇形CD D 2222 90909 =(54 )7.065() 36036044 ACCD 平方厘米 即 AD 边扫过部分的面积为 7065 平方厘米 【答案】【答案】7.065 【例【例 7】 ( (祖冲之杯竞赛试题祖冲之杯竞赛试题) )如图如图，ABCD是一个长为是一个长为4，宽为宽为3，对角线长为对角线长为5的正方形的正方形，它绕它绕C点按顺点按顺 时针方向旋转时针方向旋转90，分别求出四边扫过图形的面积，分别求出四边扫过图形的面积 4-3-3 圆与扇形 题库page 7 of 14 ? C ?
18、 B ? D ? A 【考点】【考点】曲线型旋转问题曲线型旋转问题【难度】【难度】3 星星【题型】【题型】解答解答 【解析】容易发现，DC边和BC边旋转后扫过的图形都是以线段长度为半径的圆的 1 4 ，如图： ? B ? A ? D ? C ? B ? A 因此 DC 边扫过图形的面积为4，BC边扫过图形的面积为 9 4 2、研究AB边的情况 在整个AB边上，距离C点最近的点是B点，最远的点是A点，因此整条线段所扫过部分应该介于 这两个点所扫过弧线之间，见如图中阴影部分： D C B B A A 下面来求这部分的面积 观察图形可以发现，所求阴影部分的面积实际上是： 扇形ACA面积三角形A B
19、C面积三角形ABC面积一扇形BCB面积扇形ACA面积一扇形 BCB面积 22 5 3 44 4 3、研究AD边扫过的图形 由于在整条线段上距离C点最远的点是A，最近的点是D，所以我们可以画出AD边扫过的图形， 如图阴影部分所示： A A B B C D 4-3-3 圆与扇形 题库page 8 of 14 用与前面同样的方法可以求出面积为： 22 5 4 9 444 旋转图形的关键，是先从整体把握一下”变化过程” ，即它是通过什么样的基本图形经过怎样的 加减次序得到的先不去考虑具体数据，一定要把思路捋清楚最后你会发现，所有数据要么直接 告诉你，要么就”藏”在那儿，一定会有 可以进一步思考，比如平
20、行四边形的旋转问题、一般三角形的旋转问题等等，此类问题的解决 对提高解决几何图形问题的能力是非常有益的 【答案【答案】 （1）BC边扫过图形的面积为 9 4 （2）AB边扫过图形的面积为4 （3）AD边扫过图形的面积为 9 4 （4）DC 边扫过图形的面积为4 【例【例 8】 ( (华杯赛初赛华杯赛初赛) )半径为半径为 25 厘米的小铁环沿着半径为厘米的小铁环沿着半径为 50 厘米的大铁环的内侧作无滑动的滚动厘米的大铁环的内侧作无滑动的滚动， 当小铁当小铁 环沿大铁环滚动一周回到原位时，问小铁环自身转了几圈？环沿大铁环滚动一周回到原位时，问小铁环自身转了几圈？ 【考点】【考点】曲线型旋转问题
21、曲线型旋转问题【难度】【难度】3 星星【题型】【题型】解答解答 【解析】对于这类问题，可以在初始时在小环上取一点A，观察半径OA，如图，当小环沿大环内壁滚动到 与初始相对的位置，即滚动半个大圆周时，如图，半径OA也运动到了与初始时相对的位置这时 OA沿大环内壁才滚动了半圈继续进行下半圈，直到OA与初始位置重合，这时OA自身转了 1 圈， 因此小铁环自身也转了 1 圈 ? ? ? A ? O ? A ? O 【总结】对于转动的圆来说，当圆心转动的距离为一个圆周长时，这个圆也恰好转了一圈所以本题也可以 考虑小铁环的圆心轨迹，发现是一个半径与小铁环相等的圆，所以小铁环的圆心转过的距离等于自 己的圆周
22、长，那么小铁环转动了 1 圈 【答案】【答案】1 圈圈 【巩固】如果【巩固】如果半径为半径为 25 厘米的厘米的小铁环小铁环沿着半径为沿着半径为 50 厘米的大铁环的厘米的大铁环的外外侧作无滑动的滚动侧作无滑动的滚动，当小铁环沿大铁当小铁环沿大铁 环滚动一周回到原位时，问小铁环自身转了几圈？环滚动一周回到原位时，问小铁环自身转了几圈？ 【考点】【考点】曲线型旋转问题曲线型旋转问题【难度】【难度】3 星星【题型】【题型】解答解答 【解析】如图，同样考虑小圆的一条半径OA，当小圆在大圆的外侧滚动一周，即滚动了大圆的半周时，半径 OA滚动了540，滚动了一圈半，所以当小圆沿大圆外侧滚动一周时，小圆自
23、身转了 3 圈 ? ? O ? A ? ? O ? A 也可以考虑小圆圆心转过的距离小圆圆心转过的是一个圆周，半径是小圆的 3 倍，所以这个圆的 周长也是小圆的 3 倍，由于小圆的圆心每转动一个自身的周长时，小圆也恰好转了一圈，所以本题 中小圆自身转了 3 圈 【答案】【答案】3 圈圈 【巩固】如图所示，大圆周长是小圆周长的【巩固】如图所示，大圆周长是小圆周长的n( (1n ) )倍，当小圆在大圆内侧倍，当小圆在大圆内侧( (外侧外侧) )作无滑动的滚动一圈后又作无滑动的滚动一圈后又 4-3-3 圆与扇形 题库page 9 of 14 回到原来的位置，小圆绕自己的圆心转动了几周？回到原来的位置
24、，小圆绕自己的圆心转动了几周？ 【考点】【考点】曲线型旋转问题曲线型旋转问题【难度】【难度】3 星星【题型】【题型】解答解答 【解析】为了确定圆绕圆心转动几周，首先要明确圆心转动的距离 设小圆的半径为“单位 1” ，则大圆的半径为“n” 在内测滚动时，如图所示，因为圆心滚动的距离为2(1)n 所以小圆绕自己的圆心转动了： 2(1) 1 2 n n (圈) 在外侧滚动时，如图所示 因为圆心滚动的距离为2(1)n 所以小圆绕自己的圆心转动了： 2(1) 1 2 n n (圈) 【答案】【答案】n-1 和和 n+1 【例【例 9】 如图，如图，15枚相同的硬币排成一个长方形，一个同样大小的硬币沿着外
25、圈滚动一周，回到起始位枚相同的硬币排成一个长方形，一个同样大小的硬币沿着外圈滚动一周，回到起始位 置问：这枚硬币自身转动了多少圈？置问：这枚硬币自身转动了多少圈？ 【考点】【考点】曲线型旋转问题曲线型旋转问题【难度】【难度】3 星星【题型】【题型】解答解答 【解析】当硬币在长方形的一条边之内滚动一次时，由于三个硬币的圆心构成一个等边三角形，所以这枚硬 币的圆心相当于沿着半径为硬币 2 倍的圆旋转了180606060 而硬币上的每一点都是半径 等于硬币的圆旋转，所以硬币自身旋转了 120 当硬币从长方形的一条边滚动到另一条边时，这枚硬币的圆心相当于沿着半径为硬币 2 倍的圆旋转 了3606060
26、90150 而硬币上的每一点都是半径等于硬币的圆旋转，所以硬币自身旋转 了 300 长方形的外圈有 12 个硬币，其中有 4 个在角上，其余 8 个在边上，所以这枚硬币滚动一圈有 8 次是 4-3-3 圆与扇形 题库page 10 of 14 在长方形的一条边之内滚动，4 次是从长方形的一条边滚动到另一条边120830042160 ， 所以这枚硬币转动了 2160，即自身转动了 6 圈 另解：通过计算圆心轨迹的长度，每走一个2即滚动了一周 【答案】【答案】6 圈 【巩固】【巩固】12 个相同的硬币可以排成下面的个相同的硬币可以排成下面的 4 种正多边形种正多边形( (圆心的连线圆心的连线) )
27、 用一个同样大小的硬币，分别沿着四个正多边形的外圈无滑动地滚动一周问：在哪个图中这枚硬用一个同样大小的硬币，分别沿着四个正多边形的外圈无滑动地滚动一周问：在哪个图中这枚硬 币自身转动的圈数最多，最多转动了多少圈？币自身转动的圈数最多，最多转动了多少圈？ 【考点】【考点】曲线型旋转问题曲线型旋转问题【难度】【难度】3 星星【题型】【题型】解答解答 【解析】对于同样是 12 个硬币，所转动的圆心轨迹其实分为两部分，一是在”角”上的转动，一是在”边” 上的滚动抓住关键方法：圆心轨迹长度2自身转动圈数结论：一样多；都是 6 圈 【答案】【答案】一样多；都是 6 圈 【例【例 10】一枚半径为一枚半径为
28、 1cm的圆形硬币相互紧靠着平放在桌面上，让一枚硬币沿着它们的外轮廓滚过后回到的圆形硬币相互紧靠着平放在桌面上，让一枚硬币沿着它们的外轮廓滚过后回到 原来的位置，那么与原原来的位置，那么与原A点重合的点是点重合的点是_硬币自己转动硬币自己转动_，硬币圆心的运动轨迹周长硬币圆心的运动轨迹周长 为为_ ? F ? E ? D ? C ? B ? A ? F ? E ? D ? C ? B ? A 【考点】【考点】曲线型旋转问题曲线型旋转问题【难度】【难度】3 星星【题型】【题型】解答解答 【解析】先计算轨迹的长度：三个半径为2的半圆， 1 (22)36 2 ， 623，即为3周，所以答案为A点，3
29、周，6 【答案】【答案】A点，3周，6 【例【例 11】先做一个边长为先做一个边长为2cm的等边三角形的等边三角形，再以三个顶点为圆心再以三个顶点为圆心，2cm为半径作弧为半径作弧，形成曲边三角形形成曲边三角形( (如如 左图左图) )再准备两个这样的图形再准备两个这样的图形，把一个固定住把一个固定住( (右图中的阴影右图中的阴影) )，另一个围绕着它滚动另一个围绕着它滚动，如右图那如右图那 样，从顶点相接的状态下开始滚动请问此图形滚动时经过的面积是多少平方厘米？样，从顶点相接的状态下开始滚动请问此图形滚动时经过的面积是多少平方厘米？( (3.14) ) ? C ? B ? A ? 2 ? 2
30、 ? 2 【考点】【考点】曲线型旋转问题曲线型旋转问题【难度】【难度】3 星星【题型】【题型】解答解答 【解析】在处理图形的运动问题时，描绘出物体的运动轨迹是解决问题的第一步，只有大的方向确定了，才 能实施具体的计算 4-3-3 圆与扇形 题库page 11 of 14 在数学中，本题所作出的这个曲边三角形叫“莱洛三角形” ， “莱洛三角形”有一个重要的性质就是 它在所有方向上的宽度都相同 为了求出“莱洛三角形”滚动时经过的面积，可以分 2 步来思考： 第 1 步：如图所示，当“莱洛三角形”从顶点A的上方滚动到顶点A的左边时，这时阴影“莱洛 三角形”滚动的这部分面积是以A为圆心、2cm为半径、
31、圆心角为60的扇形在顶点A、B、C处 各有这样的一个扇形； 第 2 步：如图所示，当“莱洛三角形”在边AB上滚动时，这时可以把阴影“莱洛三角形”看作是 以图中D点为圆心的圆的一部分，这个圆在以C点为圆心的弧AB上滚动，可知此时圆心D运动 的轨迹是图中的弧DD，所以此时阴影“莱洛三角形”滚动的这部分面积是以C为圆心、4cm为 半径、圆心角为60的扇形减去半径为2cm的60的扇形； 综上所述，去掉图中阴影“莱洛三角形”后所形成的组合图形就是要求的面积 滚动时经过的面积是： 2222 606060 32342825.12(cm ) 360360360 【答案】【答案】25.12 【例【例 12】下图
32、为半径下图为半径 20 厘米、圆心角为厘米、圆心角为 1440的扇形图的扇形图.点点 C、D、E、F、G、H、J 是将扇形的是将扇形的 B、K 弧线弧线 分为分为 8 等份的点等份的点.求阴影部分面积之和求阴影部分面积之和 【考点】【考点】曲线型旋转问题曲线型旋转问题【难度】【难度】3 星星【题型】【题型】解答解答 【解析】如下图,做出辅助线, 4-3-3 圆与扇形 题库page 12 of 14 KMA 与ANG 形状相同(对应角相等),大小相等(对应边相等),有KMAANG, KMAANG SS , 而LMA 是两个三角形的公共部分,所以上图中的阴影部分面积相等 所以,GNMK 与扇形 K
33、GA 的面积相等,那么 KGEB 的面积为 2 倍扇形 KGA 的面积 扇形 KGA 的圆心角为 0 144 8 3=540,所以扇形面积为 0 54 20 360 60平方厘米 那么 KGEB 的面积为 602=120平方厘米 如下图,做出另一组辅助线 JQA 与ARH 形状相同(对应角相等),大小相等(对应边相等), 有JQAARH, JQAARH SS =5A,而PQA 是两个三角形的公共部分, 所以右图中的阴影部分面积相等. 所以,JHRQ 与扇形 JHA 的面积相等,那么 JHDC 的面积为 2 倍扇形 JHA 的面积 扇形 JHA 的圆心角为 0 0 144 180 8 ,所以扇形
34、面积为 2 18 2020 360 平方厘米 那么 JHDC 的面积为20240平方厘米 所以,原题图中阴影部分面积为 KGEBJHDC SS 1204080803.14=251.2 平方厘米 【答案】【答案】251.2 【例【例 13】10 个一样大的圆摆成如图所示的形状过图中所示两个圆心个一样大的圆摆成如图所示的形状过图中所示两个圆心 A，B 作直线，那么直线右上方圆内作直线，那么直线右上方圆内 图形面积总和与直线左下圆内图形面积总和的比是多少图形面积总和与直线左下圆内图形面积总和的比是多少? 【考点】【考点】曲线型旋转问题曲线型旋转问题【难度】【难度】3 星星【题型】【题型】解答解答 【
35、解析】直线 AB 的右上方的有 2 个完整的圆，2 个半圆，1 个1 个而 1 个1 个正好 4-3-3 圆与扇形 题库page 13 of 14 组成一个完整的圆，即共有 4 个完整的圆，那么直线 AB 的左下方有 10-4=6 个完整的圆，每个圆的 面积相等，所以直线右上方圆内图形面积总和与直线左下圆内图形面积总和的比是 4：6=2：3 【答案】【答案】2:3 【例【例 14】在图中在图中， 一个圆的圆心是一个圆的圆心是 0， 半径半径 r=9 厘米厘米， 1=2=15.那么阴影部分的面积是多少平方厘米那么阴影部分的面积是多少平方厘米?( 取取 3.14) 【考点】【难度】2 星【题型】填
36、空 【关键词】奥林匹克，初赛，11 题 【考点】【考点】曲线型旋转问题曲线型旋转问题【难度】【难度】3 星星【题型】【题型】解答解答 【解析】有 AO=OB，所以AOB 为等腰三角形，AO=OC，所以AOC 为等腰三角形. ABO=1=15，AOB=180-1-ABO=150. ACO=2=15,AOC=180-2-ACO=150， 所以 BOC=360-AOB-AOC=60，所以扇形 BOC 的面积为 2 60 942.39 360 (平方厘米) 【答案】【答案】42.39 【例【例 15】图是由正方形和半圆形组成的图形其中图是由正方形和半圆形组成的图形其中 P 点为半圆周的中点，点为半圆周
37、的中点，Q 点为正方形一边的中点已知点为正方形一边的中点已知 正方形的边长为正方形的边长为 10，那么阴影部分的面积是多少，那么阴影部分的面积是多少?(取取 3.14) 【考点】【考点】曲线型旋转问题曲线型旋转问题【难度】【难度】3 星星【题型】【题型】解答解答 【关键词】奥林匹克，初赛，11 题 【解析】过 P 做 AD 平行线，交 AB 于 O 点，P 为半圆周的中点，所以 0 为 AB 中点 有 2 ABCDDPC 101 S10 10100S12.5 22 半圆 ，（）. AOPOPQB 101101 S510+37.5S105550. 2222 梯形 （）， 4-3-3 圆与扇形 题库page 14 of 14 阴影部分面积为 ABCDAOPDPCOPQB SSSS100 12.537.55012.5 12.551.75. 半圆梯形 - 【答案】【答案】51.75
