1、5-2-2.数的整除之四大判断法综合运用（二）.题库教师版page 1 of 6 5-2-2.5-2-2.数的整除之四大判断法数的整除之四大判断法 综合运用（二）综合运用（二） 教学目标教学目标 1.了解整除的性质； 2.运用整除的性质解题； 3.整除性质的综合运用. 知识点拨知识点拨 一、常见数字的整除判定方法 1. 一个数的末位能被 2 或 5 整除，这个数就能被 2 或 5 整除； 一个数的末两位能被 4 或 25 整除，这个数就能被 4 或 25 整除； 一个数的末三位能被 8 或 125 整除，这个数就能被 8 或 125 整除； 2. 一个位数数字和能被 3 整除，这个数就能被 3
2、 整除； 一个数各位数数字和能被 9 整除，这个数就能被 9 整除； 3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被 11 整除，那么这个数能被 11 整除. 4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被 7、11 或 13 整除，那么这个数能被 7、11 或 13 整除. 5.如果一个数能被 99 整除，这个数从后两位开始两位一截所得的所有数（如果有偶数位则拆出的数都有两个 数字，如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字还有一个是一位数）的和是 99 的倍数，这个数一定 是 99 的倍数。 【备注【备注】 （以上规律仅在十进制数中成立（以上规律仅在十进制数
3、中成立.） 二、整除性质 性质性质 1如果数 a 和数 b 都能被数 c 整除，那么它们的和或差也能被 c 整除即如果 ca， cb，那么 c(ab) 性质性质 2如果数 a 能被数 b 整除，b 又能被数 c 整除，那么 a 也能被 c 整除即如果 ba， cb，那么 ca 用同样的方法，我们还可以得出： 性质性质 3如果数 a 能被数 b 与数 c 的积整除，那么 a 也能被 b 或 c 整除即如果 bca，那 么 ba，ca 性质性质 4如果数 a 能被数 b 整除，也能被数 c 整除，且数 b 和数 c 互质，那么 a 一定能被 b 与 c 的乘积整除即如果 ba，ca，且(b，c)=
4、1，那么 bca 例如：如果 312，412，且(3，4)=1，那么(34) 12 性质性质 5如果数 a 能被数 b 整除，那么 am 也能被 bm 整除如果 ba，那么 bmam（m 为非 0 整数） ； 性质性质 6如果数 a 能被数 b 整除，且数 c 能被数 d 整除，那么 ac 也能被 bd 整除如果 ba ，且 dc ，那 5-2-2.数的整除之四大判断法综合运用（二）.题库教师版page 2 of 6 么 bdac； 例题精讲例题精讲 模块一、11 系列 【例【例 1 1】 以多位数以多位数 142857 为例为例， 说明被说明被 11 整除的另一规律就是看奇数位数字之和与偶数
5、位数字之和的差能整除的另一规律就是看奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能 否被否被 11 整除整除. 【考点】整除之 11 系列【难度】2 星【题型】解答 【解析】【解析】略 【答案】1428571 1000004 100002 10008 1005 107 1 1100001 141999921001 18199511 17 1 ()()()()() 1 100001499992 10018995 11418275 () () 因为根据整除性质 1 和铺垫知，等式右边第一个括号内的数能被 11 整除，再根据整除性质 1，要判 断142857能否被 11 整除， 只需判断41827548712
6、5 () ()能否被 11 整除， 因此结 论得到说明. 【例【例 2 2】 试说明一个试说明一个 4 位数，原序数与反序数的和一定是位数，原序数与反序数的和一定是 11 的倍数的倍数(如：如：1236 为原序数，那么它对应的反为原序数，那么它对应的反 序数为序数为 6321，它们的和，它们的和 7557 是是 11 的倍数的倍数 【考点】整除之 11 系列【难度】2 星【题型】解答 【解析】【解析】略 【答案】设原序数为abcd，则反序数为dcba，则 abcddcba100010010100010010abcddcba() () 10011101101001abcd 11 91101091
7、abcd()，因为等式的右边能被11整除，所以abcd dcba能被 11 整除 【例【例 3 3】 一个一个 4 位数，把它的千位数字移到右端构成一个新的位数，把它的千位数字移到右端构成一个新的 4 位数位数.已知这两个已知这两个 4 位数的和是以下位数的和是以下 5 个数个数 的一个：的一个：9865；9866；9867；9868；9869.这两个这两个 4 位数的和到底是多少位数的和到底是多少? 【考点】整除之 11 系列【难度】2 星【题型】解答 【解析】【解析】设这个 4 位数是abcd，则新的 4 位数是bcda.两个数的和为 1001110011011abcdbcdaabcd,是
8、 11 的倍数.在所给的 5 个数中只有 9867 是 11 的倍数，故 正确的答案为 9867 【答案】9867 模块二、7、11、13 系列 【例【例 4 4】 以多位数以多位数142857314275为例，说明被为例，说明被 7、11、13 整除的规律整除的规律. 【考点】整除之 7、11、13 系列【难度】3 星【题型】解答 【解析】【解析】略 【答案】142857314275142 1000000000857 1000000314 10 00275 142(1000000001 1)857(9999991)314(1001 1)27 5 142 1000000001 14285799
9、9999857314 100131427 5 (142 1000000001857999999314 1001)(85714227 5314) 因为根据整除性质1和铺垫知，等式右边第一个括号内的数能被 7、11、13 整除，再根据整除性质 1， 要判断142857314275能否被 7、11、13 整除，只需判断857142275314能否被 7、11、13 整除， 因此结论得到说明. 【例【例 5 5】 已知道六位数已知道六位数20279是是 13 的倍数，求的倍数，求中的数字是几？中的数字是几？ 【考点】整除之 7、11、13 系列【难度】2 星【题型】填空 【解析】【解析】根据一个整数的
10、末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被 7、 11 或 13 整除， 那么这个数能被 7、 5-2-2.数的整除之四大判断法综合运用（二）.题库教师版page 3 of 6 11 或 13 整除的特点知道：27920=7，7是 13 的倍数，是 8 的时候是 13 倍数，所以知道 方格中填 1。 【答案】1 【例【例 6 6】 三位数的百位三位数的百位、 十位和个位的数字分别是十位和个位的数字分别是 5， a 和和 b， 将它连续重复写将它连续重复写 2008 次成为次成为： 20095 555 ab ab abab 个 . 如果此数能被如果此数能被 91 整除，那么这个三位数整除，那么这个
11、三位数5ab是多少？是多少？ 【考点】整除之 7、11、13 系列【难度】3 星【题型】填空 【解析】【解析】因为917 13，所以 20095 555 ab ab abab 个 也是 7 和 13 的倍数，因为能被 7 和 13 整除的特点是末三位和 前面数字的差是 7 和 13 的倍数，由此可知 2008520075 5555555000 abab ab abababab abab 个个 也是 7 和 13 的 倍数，即 20075 555 ab ab abab 个 也是 7 和 13 的倍数，依次类推可知 20075 555 ab ab abab 个 末三位和前面数字的差 即为： 200
12、6520055 5555555000 abab ab abababab abab 个个 也是 7 和 13 的倍数，即 20055 555 ab ab abab 个 也是 7 和 13 的倍数， 由此可知5ab也是 7 和 13 的倍数， 百位是 5 能被 7 和 13 即 91 整除的数是：91 6546， 所以46ab . 【答案】546 【例【例 7 7】 已知四十一位数已知四十一位数555999（其中其中 5 和和 9 各有各有 20 个个）能被能被 7 整除整除，那么中间方格内的数字是多那么中间方格内的数字是多 少？少？ 【考点】整除之 7、11、13 系列【难度】4 星【题型】填空
13、 【解析】【解析】我们知道abcabc这样的六位数一定能被 7、11、13 整除。原 41 位数中从高位数起共有 20 个 5，从 低位数起共有 20 个 9，那么我们可以分别从低位和高位选出 555555，和 999999，从算式的结构上 将 就 是 进 行 加 法 的 分 拆 ， 即 ： 5555551000(35个0)+5555551000(29个 0)+5599+9999991000(12 个 0)+999999.这个算式的和就是原来的 41 位数，我们可以发现 每一组含有555555或999999因数的部分都已经是7的倍数， 唯独剩余5599待定， 那么只要令5599 是 7 的倍数
14、即可，即只要44 是 7 的倍数即可，应为 6。 【答案】6 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】应当在如下的问号应当在如下的问号“？”的位置上填上哪一个数码，才能使得所得的整数的位置上填上哪一个数码，才能使得所得的整数 5050 666?555 个6个5 可被可被 7 整除？整除？ 【考点】整除之 7、11、13 系列【难度】4 星【题型】填空 【解析】【解析】由于111111111 1001可被 7 整除， 因此如果将所得的数的头和尾各去掉 48 个数码， 并不改变其对 7 的整除性，于是还剩下“66 55？”从中减去 63035，并除以 10，即得“3 2 ？”可被 7 整除.此时不难 验证
15、，具有此种形式的三位数中，只有 322 和 392 可被 7 整除所以？处应填 2 或 9. 【答案】2 或 9 【例【例 8 8】88888ab ab ab ab ab是是 77 的倍数，则的倍数，则ab最大为最大为_? 【考点】整除之 7、11、13 系列【难度】4 星【题型】填空 【关键词】学而思杯，4 年级，第 9 题 【解析】8888881001001001001ab ab ab ab abab 1001001001001既不是7的倍数，也不是11的倍数 所以8ab是7和11的倍数 77 10770，77077847，84777924 所以47ab 【答案】47 【例【例 9 9】
16、一个一个 19 位数位数 99 7777044444 个个 能被能被 13 整除，求整除，求内的数字内的数字 5-2-2.数的整除之四大判断法综合运用（二）.题库教师版page 4 of 6 【考点】整除之 7、11、13 系列【难度】4 星【题型】填空 【解析】【解析】13| 99 7777044444 个个 ，13| 9 77770444 ，13|7777770000000+7770444 13|777777，13|7777770000000，13|7770444，13|7770 444 44413432，13|7770 2，设7770=7770 7770135979，013(92)6 【
17、答案】6 【例【例 1010】称一个两头称一个两头（首位与末尾首位与末尾）都是都是1的数为的数为“两头蛇数两头蛇数”。一个四位数的一个四位数的“两头蛇数两头蛇数”去掉两头去掉两头，得到一得到一 个 两 位 数 ， 它 恰 好 是 这 个个 两 位 数 ， 它 恰 好 是 这 个 “ 两 头 蛇 数两 头 蛇 数 ” 的 约 数 。 这 个的 约 数 。 这 个 “ 两 头 蛇 数两 头 蛇 数 ” 是是。 （写出所有可能）（写出所有可能） 【考点】整除之 7、11、13 系列【难度】4 星【题型】填空 【关键词】走美杯，5 年级，决赛，第 9 题，10 分 【解析】去掉头尾后的两位数必为100
18、1的约数。1001的两位数的约数有11，13，77，91，所有可能的数为 1111，1131，1771，1911。 【答案】所有可能的数为1111，1131，1771，1911 模块三、特殊的数字系列 【例【例 1111】学生问数学老师的年龄老师说：学生问数学老师的年龄老师说：“由三个相同数字组成的三位数除以这三个数字的和，所得结果就由三个相同数字组成的三位数除以这三个数字的和，所得结果就 是我的年龄。是我的年龄。”老师今年老师今年岁。岁。 【考点】整除之特殊的数字系列【难度】2 星【题型】填空 【关键词】走美杯，3 年级，决赛，第 10 题，12 分 【解析】方法一：操作找规律，当这个三位数
19、为111时，111(1 1 1)37 ，当这个三位数为222时， 222(222)37，所以老师今年37岁。 方法二，设而不求设这个三位数为aaa时，根据题意列出式子整理得到：111()37aaaa。 【答案】37 【例【例 1212】已知两个三位数已知两个三位数abc与与def的和的和abcdef能被能被 37 整除，试说明：六位数整除，试说明：六位数abcdef也能被也能被 37 整除整除 【考点】整除之特殊的数字系列【难度】2 星【题型】解答 【解析】【解析】略 【答案】1000999()abcdefabcdefabcabcdef，因为 999 能被 37 整除，所以999abc能被 3
20、7 整 除，而()abcdef也能被 37 整除，所以其和也能被 37 整除，即abcdef能被 37 整除 【例【例 1313】一个一个 4 位数，把它的千位数字移到右端构成一个新的位数，把它的千位数字移到右端构成一个新的 4 位数位数.再将新的再将新的 4 位数的千位数字移到右端位数的千位数字移到右端 构成一个更新的四位数，已知最新的构成一个更新的四位数，已知最新的 4 位数与最原先的位数与最原先的 4 位数的和是以下位数的和是以下 5 个数的一个：个数的一个：9865； 9867；9462；9696；9869.这两个这两个 4 位数的和到底是多少位数的和到底是多少? 【考点】整除之特殊的
21、数字系列【难度】2 星【题型】解答 【解析】【解析】设这个 4 位数是abcd，则最新的 4 位数是cdab.两个数的和为 10101011010101abcdcdababcd,是 101 的倍数.在所给的 5 个数中只有 9696 是 101 的倍数， 故正确的答案为 9696. 【答案】9696 【例【例 1414】一个六位数各个数字都不相同，且这个数字能被一个六位数各个数字都不相同，且这个数字能被 17 整除，则这个数最小是整除，则这个数最小是_？ 【考点】整除之特殊的数字系列【难度】2 星【题型】填空 【关键词】学而思杯，4 年级，第 11 题 【解析】各个数字不同的六位数最小是123
22、456，1234561772622 7263 17123471，123471 17123488，12348817123505，123505+17=123522， 12352217123539，12353917123556，12355617123573，12357317123590 最小是123590 5-2-2.数的整除之四大判断法综合运用（二）.题库教师版page 5 of 6 【答案】123590 【例【例 1515】 王老师在黑板上写了这样的乘法算式王老师在黑板上写了这样的乘法算式:12345679(),然后说道然后说道:“只要同学只要同学 们告诉我你们喜欢们告诉我你们喜欢 1,2,3,
23、4,5,6,7,8,9 中的哪个数中的哪个数， 我在括号里填上适当的乘数我在括号里填上适当的乘数， 右边的积一定全由你右边的积一定全由你 喜欢的数字组成。喜欢的数字组成。”小明抢着说：小明抢着说：“我喜欢我喜欢 3。”王老师填上乘数王老师填上乘数“27”结果积就出现九个结果积就出现九个 3； 12345679(27)333333333小宇举手说小宇举手说： “我喜欢我喜欢 7。 ”只见王老师填上乘数只见王老师填上乘数“63”， 积久出现九个积久出现九个 7： 12345679(63)777777777，小丽说：小丽说：“我喜欢我喜欢8。”那么算式中应填上的乘数是那么算式中应填上的乘数是. 【考
24、点】整除之特殊的数字系列【难度】2 星【题型】填空 【解析】 实际上有123456799111111111，因此12345679 乘以9n（n为1,2,3,4,5,6,7,8,9）得到的积就能出现9 个n，所以要想得到9 个8 应该乘以72 【答案】72 模块四、综合系列 【例【例 1616】有四个非零自然数有四个非零自然数, , ,a b c d，其中，其中cab，dbc.如果如果a能被能被 2 整除，整除，b能被能被 3 整除，整除，c能能 被被 5 整除，整除，d能被能被 7 整除，那么整除，那么d最小是最小是 【考点】整除之综合系列【难度】2 星【题型】填空 【关键词】迎春杯，高年级，
25、复赛，6 题 【解析】令2 ,3ak bl，则62dlk，因为d能被 7 整除，最小 14，此时c取不到 5 的倍数；若28d ， 则4,2lk，所以d最小是 28 【答案】28 【例【例 1717】若四位数若四位数9 8a a能被能被 15 整除，则整除，则a代表的数字是多少？代表的数字是多少？ 【考点】整除之综合系列【难度】2 星【题型】解答 【关键词】希望杯，五年级，复赛，第 4 题，6 分 【解析】【解析】因为 15 是 3 和 5 的倍数，所以9 8a a既能被 3 整除，也能被 5 整除能被 5 整除的数的个位数字是 0 或 5，能被 3 整除的数的各位数字的和是 3 的倍数当0a
26、 时，9817aa，不是 3 的倍数； 当5a 时，9817aa，是 3 的倍数所以，a代表的数字是 5 【答案】5 【例【例 1818】在六位数在六位数321的三个方框里分别填入数字，使得该数能被的三个方框里分别填入数字，使得该数能被 15 整除，这样的六位数中最小的整除，这样的六位数中最小的 是是_. 【考点】整除之综合系列【难度】3 星【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，初赛，第 13 题，5 分 【解析】15=53，最小数为 302010 【答案】302010 【例【例 1919】06 这这 7 个数字能组成许多个没有重复数字的个数字能组成许多个没有重复数字的 7 位数位数， 其中
27、有些是其中有些是 55 的倍数的倍数， 最大的一个是最大的一个是 （） 。 【考点】整除之综合系列【难度】4 星【题型】填空 【关键词】走美杯，五年级，初赛，第 8 题 【解析】如果组成的 7 位数是 55 的倍数，5511 5说明这个数既是 5 的倍数也是 11 的倍数。能被 5 整除个 位为 5 或者 0，能被 11 整除说明这 7 位数的奇数位与偶数位的差是 11 的倍数，为 0、11、22， 012345621 ，拆成的两组数的差分别为：5 和 16，5014023 ， 1665326541， 又因为组成的数要最大为： 6431205 或者 6342105， 所以答案为 6431205
28、 【答案】6431205 【例【例 2020】两个四位数两个四位数275A和和275B相乘，要使它们的乘积能被相乘，要使它们的乘积能被 72 整除，求整除，求A和和B. 【考点】整除之综合系列【难度】2 星【题型】解答 【解析】【解析】考虑到728 9，而275A是奇数，所以275B必为 8 的倍数，因此可得2B ；四位数 2752 各位数 字之和为275216不是 3 的倍数也不是 9 的倍数， 因此275A必须是 9 的倍数， 其各位数字之 和27514AA能被 9 整除，所以4A . 【答案】4A ，2B 5-2-2.数的整除之四大判断法综合运用（二）.题库教师版page 6 of 6
29、【例【例 2121】一位后勤人员买了一位后勤人员买了 72 本笔记本，可是由于他吸烟不小心，火星落在帐本上，把这笔帐的总数烧去本笔记本，可是由于他吸烟不小心，火星落在帐本上，把这笔帐的总数烧去 两个数字两个数字.帐本是这样的帐本是这样的：72 本笔记本本笔记本，共共67.9元元(为被烧掉的数字为被烧掉的数字)，请把请把处数字补上处数字补上，并求并求 笔记本的单价笔记本的单价. 【考点】整除之综合系列【难度】3 星【题型】填空 【解析】【解析】把67.9元作为整数679分.既然是 72 本笔记本的总线数，那就一定能被 72 整除，又因为 728 9，(8，9)1.所以8|679，9|679.8|
30、679，根据能被 8 整除的数的特征，8 |79， 通过计算个位的2.又9|6792，根据能被 9 整除的数的特征，9|(6792 )，显然前面的 应是 3.所以这笔帐笔记本的单价是：367.92725.11(元). 【答案】5.11 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】小红为班里买了小红为班里买了 33 个笔记本个笔记本。班长发现购物单上没有表明单价班长发现购物单上没有表明单价，总金额的字迹模糊总金额的字迹模糊，只看到只看到93 元，班长问小红用了多少钱，小红只记得不超过元，班长问小红用了多少钱，小红只记得不超过 95 元，她实际用了元，她实际用了元。元。 【考点】整除之综合系列【难度】3 星【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，初赛，第 19 题，5 分 【解析】9a.b3 元是 33 个本的总金额， 那一定是 33 的倍数。 因为 33=311， 所以 9a.b3 一定是 11 和 3 的倍数， 即 9+3+a+b=3 的倍数， 也就是 a+b=3 的倍数； 同时 9+a- （3+b） =11， 也就是 6+b-a=11;总上可知 a=2,b=7.s 所以她实际用了 92.73 元。 【答案】92.73
