1、5-4-4.完全平方数及应用（一）.题库教师版page 1 of 8 5-4-4.5-4-4.完全平方数及应用完全平方数及应用 （一一） 教学目标教学目标 1.学习完全平方数的性质； 2.整理完全平方数的一些推论及推论过程 3.掌握完全平方数的综合运用。 知识点拨知识点拨 一、完全平方数常用性质 1.主要性质 1.完全平方数的尾数只能是 0，1，4，5，6，9。不可能是 2，3，7，8。 2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。 3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。 4.若质数 p 整除完全平方数 2 a，则 p 能被a整除。 2.性质 性质1：完全
2、平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9 性质2：完全平方数被3，4，5，8，16除的余数一定是完全平方数 性质3：自然数N为完全平方数自然数N约数的个数为奇数因为完全平方数的质因数分解中每个质因 数出现的次数都是偶数次，所以，如果p是质数，n是自然数，N是完全平方数，且 21 | n pN ，则 2 | n pN 性质4：完全平方数的个位是6它的十位是奇数 性质5：如果一个完全平方数的个位是0，则它后面连续的0的个数一定是偶数如果一个完全平方数的个 位是5，则其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一个 性质6：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数 3.一
3、些重要的推论 1.任何偶数的平方一定能被 4 整除；任何奇数的平方被 4（或 8）除余 1.即被 4 除余 2 或 3 的数一定 不是完全平方数。 2.一个完全平方数被 3 除的余数是 0 或 1.即被 3 除余 2 的数一定不是完全平方数。 3.自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69， 89，16，36，56，76，96。 4.完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。 5.完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。 6.完全平方数的个位数字为 6 时，其十位数字必为奇
4、数。 7.凡个位数字是 5 但末两位数字不是 25 的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数不是 完全平方数；个位数字为 1，4，9 而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。 3.重点公式回顾：平方差公式： 22 ()()abab ab 例题精讲例题精讲 模块一、完全平方数计算及判断 5-4-4.完全平方数及应用（一）.题库教师版page 2 of 8 【例【例 1】 已知：已知：123456765432149 是一个完全平方数，求它是谁的平方是一个完全平方数，求它是谁的平方? 【考点】完全平方数计算及判断【难度】2 星【题型】解答 【解析】【解析】我们不易直接求解， 但是其数字有
5、明显的规律， 于是我们采用递推(找规律)的方法来求解： 121 2 11； 12321 2 111；1234321 2 1111，于是，我们归纳为 1234n4321= 2 (1111) n个1 ，所以， 1234567654321：11111112；则，123456765432149=1111111272=77777772所以，题中原式乘积 为 7777777 的平方 【答案】7777777 【例【例 2】1234567654321 (1234567654321)是是的平方的平方 【考点】完全平方数计算及判断【难度】2 星【题型】填空 【关键词】祖冲之杯 【解析】【解析】 2 1234567
6、6543211111111， 2 12345676543217 ， 原式 22 (1111111 7)7777777 【答案】7777777 【例【例 3】 已知自然数已知自然数n满足：满足：12!除以除以n得到一个完全平方数，则得到一个完全平方数，则n的最小值是的最小值是。 【考点】完全平方数计算及判断【难度】3 星【题型】填空 【关键词】学而思杯，6 年级，第 9 题 【解析】（法 1）先将12！分解质因数： 1052 12!2357 11 ，由于12!除以n得到一个完全平方数，那么 这 个 完 全 平 方 数 是12!的 约 数 ， 那 么 最 大 可 以 为 1042 235， 所 以
7、n最 小 为 1042 12! 2353 7 11 231。 （法 2）12!除以n得到一个完全平方数，12!的质因数分解式中3、7、11的幂次是奇数，所以n的 最小值是3 7 11231 。 【答案】231 【例【例 4】 有一个正整数的平方，它的最后三位数字相同但不为有一个正整数的平方，它的最后三位数字相同但不为 0，试求满足上述条件的最小的正整数，试求满足上述条件的最小的正整数 【考点】完全平方数计算及判断【难度】3 星【题型】解答 【解析】【解析】平方数的末尾只能是 0，1，4，5，6，9，因为 111，444，555，666，999 都不是完全平方数，所以 所求的数最小是 4 位数考
8、察 1111，1444可以知道144438 38，所以满足条件的最小正整数 是1444 【答案】1444 【例【例 5】 A 是由是由 2002 个个“4”组成的多位数，即组成的多位数，即 20024 4444 个 ，A 是不是某个自然数是不是某个自然数 B 的平方？如果是，写出的平方？如果是，写出 B； 如果不是，请说明理由如果不是，请说明理由 【考点】完全平方数计算及判断【难度】3 星【题型】解答 【解析】【解析】略 【答案】 2 200242002 444421111A 个个1 如果 A 是某个自然数的平方，则 2002 1111 个1 也应是某个自然数的平方， 并且是某个奇数的平方由奇
9、数的平方除以 4 的余数是 1 知，奇数的平方减 1 应是 4 的倍数， 而 20022001 1111 111110 个1个1 不是4的倍数，矛盾，所以 A 不是某个自然数的平方 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】A是由是由 2008 个个“4”组成的多位数组成的多位数，即即444 2008个4 ，A是不是某个自然数是不是某个自然数B的平方？如果是的平方？如果是，写出写出B；如如 果不是，请说明理由果不是，请说明理由 【考点】完全平方数计算及判断【难度】3 星【题型】解答 【解析】【解析】略 【答案】不是 2 4442111A 2008个1 2008个4 假设A是某个自然数的平方，则111 2
10、008个1 也应是某个自然数的平方，并且 是某个奇数的平方由奇数的平方除以 4 的余数是 1 知，奇数的平方减 1 应是 4 的倍数，而 5-4-4.完全平方数及应用（一）.题库教师版page 3 of 8 111 11110 2008个12007个1 不是 4 的倍数，与假设矛盾所以A不是某个自然数的平方 【例【例 6】 计算计算1111 2004个1 2222 1002个2 =AA，求，求 A 【考点】完全平方数计算及判断【难度】4 星【题型】解答 【解析】【解析】此题的显著特征是式子都含有1111 n个1 ，从而找出突破口. 1111 2004个1 2222 1002个2 =1111 1
11、002个1 0000 1002个0 1111 1002个1 =1111 1002个1 （10000 1002个0 -1） =1111 1002个1 （9999 1002个9 ） =1111 1002个1 （1111 1002个1 33）= 2 A 所以，A3333 1002个3 . 【答案】3333 1002个3 【例【例 7】 2 2004420038 444488889A 个个 ，求，求 A 为多少为多少? 求是否存在一个完全平方数，它的数字和为求是否存在一个完全平方数，它的数字和为 2005？ 【考点】完全平方数计算及判断【难度】4 星【题型】解答 【解析】【解析】 本题直接求解有点难度
12、，但是其数字有明显的规律，于是我们采用递推(找规律)的方法来求解： 注意到有 2004420038 444488889 个个 可以看成 48 444488889 n个n-1个 ，其中 n2004； 寻找规律：当 n=1 时，有 2 497； 当 n=2 时，有 2 448967； 当 n=3 时，有 2 444889667 于是，类推有 2004420038 444488889 个个 = 2 20036 66667 个 方法二：下面给出严格计算： 2004420038 444488889 个个 = 4 44440000 2004个2004个0 + 2004 8888 个8 +1； 则 4 44
13、440000 2004个2004个0 + 2004 8888 个8 +11111 2004个1 （4 0 10000 2004个 +8）+1 1111 2004个1 4（ 9 9999 2004个 +1）+8+1 1111 2004个1 4（ 9 9999 2004个 ）+12+1 2 (1111) 2004个1 36+121111 2004个1 +1 2 (1111) 2004个1 36+2（61111 2004个1 ）+1 22 (666661)(66667) 2004个62003个6 由知 4 444488889 n个n-1个8 2 66667 n-1个6 ，于是数字和为(4n+8n-8
14、+9)=12n+1；令 12n+1=2005 解得 n=167，所以 4 444488889 167个166个8 = 2 66667 166个6 。所以存在这样的数，是 4 444488889 167个166个8 【答案】 （1） 2 20036 66667 个 ,（2） 4 444488889 167个166个8 = 2 66667 166个6 5-4-4.完全平方数及应用（一）.题库教师版page 4 of 8 模块二、平方数特征 （1） 平方数的尾数特征 【例【例 8】 下面是一个算式下面是一个算式：1 1 21 231 2341 23451 23456 ，这个算式的得数这个算式的得数
15、能否是某个数的平方？能否是某个数的平方？ 【考点】平方数特征之平方数的尾数特征【难度】3 星【题型】解答 【关键词】华杯赛 【解析】【解析】判断一个数是否是某个数的平方，首先要观察它的个位数是多少平方数的个位数只能是 0，1，4， 5，6，9，而 2，3，7，8 不可能是平方数的个位数这个算式的前二项之和为 3，中间二项之和 的个位数为 0，后面二项中每项都有因子 2 和 5，个位数一定是 0，因此，这个 0 算式得数的个位数 是 3，不可能是某个数的平方 【答案】不是 【例【例 9】 一个数与它自身的乘积称为这个数的平方一个数与它自身的乘积称为这个数的平方各位数字互不相同且各位数字的平方和等
16、于各位数字互不相同且各位数字的平方和等于 49 的四位的四位 数共有数共有_个个 【考点】平方数特征之平方数的尾数特征【难度】4 星【题型】填空 【关键词】学而思杯，5 年级，第 10 题 【解析】4914925 ，1,2,3,5全排列共有24个。 【答案】24 【例【例 10】用用 19 这这 9 个数字各一次，组成一个两位完全平方数，一个三位完全平方数，一个四位完全平方个数字各一次，组成一个两位完全平方数，一个三位完全平方数，一个四位完全平方 数那么，其中的四位完全平方数最小是数那么，其中的四位完全平方数最小是 【考点】平方数特征之平方数的尾数特征【难度】5 星【题型】填空 【关键词】迎春
17、杯，高年级，复试，11 题 【解析】【解析】四位完全平方数12343521225，所以至少是 3621296当四位完全平方数是 1296 时，另两个 平方数的个位只能分别为 4,5，个位为 5 的平方数的十位只能是 2，但数字 2 在 1296 中已经使用当 四位完全平方数是 3721369 时，另两个平方数的个位只能分别为 4,5，个位为 5 的平方数的十位一 样只能是 2，还剩下 7,8，而 784 恰好为 282所以，其中的四位完全平方数最小是 1369 【答案】1369 【例【例 11】称能表示成称能表示成 1+2+3+K 的形式的自然数为三角数，有一个四位数的形式的自然数为三角数，有
18、一个四位数 N，它既是三角数，又是完全，它既是三角数，又是完全 平方数，平方数，N=。 【考点】平方数特征之平方数的尾数特征【难度】5 星【题型】填空 【关键词】走美杯，初赛，六年级，第 14 题 【解析】【解析】N=k(1+k)/2=m2，4 位数的话 2000=k(k+1)20000, 45=k=140，k=2n n*(2n+1)=N。 n 与 2n+1 互质 ， 所以要均为平方数。 平方数末尾 149650。 满足要求的是 4950。23=n=70 发现没有： k=2n-1， n(2n-1)=N 同上，满足要求是 1650 找到 25 所以 k=49， N=1225， m=35。 【答案
19、】1225 （2） 奇数个约数指数是偶数 【例【例 12】在在224，3 39，4416，5 525，6636， 等这些算是中等这些算是中， 4， 9， 16， 25， 36， 叫做完全平方数。那么，不超过叫做完全平方数。那么，不超过 2007 的最大的完全平方数是的最大的完全平方数是_。 【考点】平方数特征之奇数个约数【难度】2 星【题型】填空 【关键词】希望杯，四年级，复赛，第 4 题，5 分 【解析】4545=2025；4444=1936，所以最大的是 1936. 【答案】1936 【例【例 13】写出从写出从 360 到到 630 的自然数中有奇数个约数的数的自然数中有奇数个约数的数
20、【考点】平方数特征之奇数个约数【难度】2 星【题型】解答 【解析】【解析】一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后,将每个质因数的指数(次数)加 1 后所得的乘积. 如:1400 严格分解质因数后为 23527,所以它的约数有(3+1)(2+1)(1+1)=432=24 个.(包括 1 和它 自身) 5-4-4.完全平方数及应用（一）.题库教师版page 5 of 8 如果某个自然数有奇数个约数,那么这个数的所有质因子的个数均为偶数个.这样它们加 1 后均是奇 数,所得的乘积才能是奇数.而所有质因数的个数均是偶数个的数为完全平方数.即完全平方数(除0外) 有奇数个约数,反过来,有奇数个约数的
21、数一定是完全平方数 由以上分析知,我们所求的为 360630 之间有多少个完全平方数? 1818=324,1919=361,2525=625,2626=676, 所 以 在 360 630 之 间 的 完 全 平 方 数 为 192,202,212,222,232,242,252 即 360 到 630 的自然数中有奇数个约数的数为 361,400,441,484,529,576,625 【答案】361,400,441,484,529,576,625 【例【例 14】1016 与正整数与正整数 a 的乘积是一个完全平方数，则的乘积是一个完全平方数，则 a 的最小值是的最小值是_ 【考点】平方数
22、特征之奇数个约数【难度】2 星【题型】填空 【解析】【解析】先将 1016 分解质因数： 3 10162127，由于1016a是一个完全平方数，所以至少为 42 2127，故 a 最小为2 127254 【答案】254 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】已知已知3528a恰是自然数恰是自然数 b 的平方数，的平方数，a 的最小值是的最小值是。 【考点】平方数特征之奇数个约数【难度】2 星【题型】填空 【解析】【解析】 322 3528237，要使3528a是某个自然数的平方，必须使3528a各个不同质因数的个数为偶数， 由于其中质因子 3 和 7 各有 2 个，质因子 2 有 3 个，所以a为
23、2 可以使3528a是完全平方数，故a至 少为 2 【答案】2 【例【例 15】从从 1 到到 2008 的所有自然数中，乘以的所有自然数中，乘以 72 后是完全平方数的数共有多少个？后是完全平方数的数共有多少个？ 【考点】平方数特征之奇数个约数【难度】3 星【题型】解答 【解析】【解析】完全平方数，其所有质因数必定成对出现 而 32 7223266 ，所以满足条件的数必为某个完全平方数的 2 倍， 由于231 3119222008232322048，所以 2 2 1、 2 22、 2 231都满足题意，即 所求的满足条件的数共有 31 个 【答案】31 【例【例 16】已知自然数已知自然数n
24、满足：满足：12!除以除以n得到一个完全平方数，则得到一个完全平方数，则n的最小值是的最小值是。 【考点】平方数特征之奇数个约数【难度】3 星【题型】填空 【关键词】学而思杯，6 年级 【解析】【解析】（法 1）先将12！分解质因数： 1052 12!2357 11 ，由于12!除以n得到一个完全平方数，那么 这 个 完 全 平 方 数 是12!的 约 数 ， 那 么 最 大 可 以 为 1042 235， 所 以n最 小 为 1042 12! 2353 7 11 231。 （法 2）12!除以n得到一个完全平方数，12!的质因数分解式中3、7、11的幂次是奇数，所以n的 最小值是3 7 11
25、231 。 【答案】231 【例【例 17】有有 5 个连续自然数，它们的和为一个平方数，中间三数的和为立方数，则这五个数中最小数的最个连续自然数，它们的和为一个平方数，中间三数的和为立方数，则这五个数中最小数的最 小值为小值为 【考点】平方数特征之奇数个约数【难度】4 星【题型】填空 【解析】【解析】考查平方数和立方数的知识点，同时涉及到数量较少的连续自然数问题，设未知数的时候有技巧： 一般是设中间的数，这样前后的数关于中间的数是对称的 设中间数是 x,则它们的和为5x, 中间三数的和为3x5x是平方数，设 22 55xa,则 2 5xa， 22 3153 5xaa 是立方数，所以 2 a至
26、少含有 3 和 5 的质因数各 2 个, 即 2 a至少是 225,中间的数 至少是 1125，那么这五个数中最小数的最小值为 1123 【答案】1123 【例【例 18】求一个最小的自然数，它乘以求一个最小的自然数，它乘以 2 后是完全平方数，乘以后是完全平方数，乘以 3 后是完全立方数，乘以后是完全立方数，乘以 5 后是后是 5 次方数次方数 【考点】平方数特征之奇数个约数【难度】4 星【题型】解答 【解析】【解析】为使所求的数最小， 这个数不能有除 2、 3、 5 之外的质因子 设这个数分解质因数之后为235 abc ， 5-4-4.完全平方数及应用（一）.题库教师版page 6 of
27、8 由于它乘以 2 以后是完全平方数，即 1 235 abc 是完全平方数，则(1)a 、b、c都是 2 的倍数； 同理可知a、(1)b 、c是 3 的倍数，a、b、(1)c 是 5 的倍数 所以，a是 3 和 5 的倍数，且除以 2 余 1；b是 2 和 5 的倍数，且除以 3 余 2；c是 2 和 3 的倍数， 且除以 5 余 4 可以求得a、b、c的最小值分别为 15、 20、 24， 所以这样的自然数最小为 152024 235 【答案】 152024 235 【例【例 19】三个连续正整数，中间一个是完全平方数，将这样的三个连续正整数的积称为三个连续正整数，中间一个是完全平方数，将这
28、样的三个连续正整数的积称为“美妙数美妙数”问：所问：所 有小于有小于 2008 的美妙数的最大公约数是多少？的美妙数的最大公约数是多少？ 【考点】平方数特征之奇数个约数【难度】4 星【题型】解答 【关键词】华杯赛 【解析】【解析】60345 是一个美妙数，因此美妙数的最大公约数不会大于 60任何三个连续正整数，必有一个 能为 3 整除，所以，任何美妙数必有因子 3若中间的数是偶数，它又是完全平方数，必定能为 4 整除；若中间的数是奇数，则第一和第三个数是偶数，所以任何美妙数必有因子 4另外，由于完 全平方数的个位数字只能是 0，1，4，5，6，9，若其个位是 0 和 5，则中间的数能被 5 整
29、除；若其 个位是 1 和 6，则第一个数能被 5 整除；若其个位是 4 和 9，则第三个数能被 5 整除所以，任何美 妙数必有因子 5由于 3，4，5 的最小公倍数是 60，所以任何美妙数必有因子 60，故所有美妙数的 最大公约数至少是 60综合上面分析，所有美妙数的最大公约数既不能大于 60，又至少是 60，所 以，只能是 60 【答案】60 【例【例 20】考虑下列考虑下列 32 个数：个数：1!，2!，3!，32!，请你去掉其中的一个数，使得其余各数的乘积为一，请你去掉其中的一个数，使得其余各数的乘积为一 个完全平方数，划去的那个数是个完全平方数，划去的那个数是 【考点】平方数特征之奇数
30、个约数【难度】4 星【题型】填空 【解析】【解析】设这 32 个数的乘积为 A 222 1! 2! 3!32!(1!)2(3!)4(31!)32A 2216 (1! 3!31!)(2432)(1! 3!31!)216! ， 所以，只要划去16!这个数，即可使得其余各数的乘积为一个完全平方数 另外，由于16!16 15!，而 16 也是完全平方数，所以划去15!也满足题意 【答案】16!或15!，答案不唯一 【例【例 21】一个数的完全平方有一个数的完全平方有 39 个约数，求该数的约数个数是多少？个约数，求该数的约数个数是多少？ 【考点】平方数特征之奇数个约数【难度】4 星【题型】解答 【解析
31、】【解析】设该数为 12 12 n aaa n ppp，那么它的平方就是 12 222 12 n aaa n ppp， 因此 12 21212139 n aaa 由于391 393 13 ， 所以， 1 213a ， 2 2113a ，可得 1 1a ， 2 6a ； 故该数的约数个数为 1 16114个； 或者， 1 2139a ，可得 1 19a ，那么该数的约数个数为19120 个 所以这个数的约数个数为 14 个或者 20 个 【答案】14 个或者 20 个 【例【例 22】有一个不等于有一个不等于 0 的自然数，它的的自然数，它的 1 2 是一个立方数，它的是一个立方数，它的 1 3
32、 是一个平方数，则这个数最小是一个平方数，则这个数最小 是是 【考点】平方数特征之奇数个约数【难度】4 星【题型】填空 【关键词】希望杯，六年级，二试，第 9 题，5 分 【解析】【解析】设为2 3 abc （c为不含质因子 2，3 的整数） ，则它的 1 2 是 1 23 a c 是立方数，所以1a 是 3 的倍数，b 是 3 的倍数，另外它的 1 3 即 1 2 3 ab c 是一个平方数，所以a是偶数，b是奇数，符合以上两个条件的a 的最小值为 4，b的最小值为3，这个数最小为 432 5-4-4.完全平方数及应用（一）.题库教师版page 7 of 8 【答案】432 （3） 平方数的
33、整除特性 【例【例 23】三个连续正整数，中间一个是完全平方数，将这样的三个连续正整数的积称为三个连续正整数，中间一个是完全平方数，将这样的三个连续正整数的积称为“美妙数美妙数”。问所有。问所有 的小于的小于 2008 的的“美妙数美妙数”的最大公约数是多少？的最大公约数是多少？ 【考点】平方数特征之平方数的整除特性【难度】2 星【题型】填空 【关键词】华杯赛，决赛，第 11 题，10 分 【解析】任何三个连续正整数，必有一个能为 3 整除所以，任何“美妙数”必有因子 3 若三个连续正整数中间的数是偶数，它又是完全平方数，必定能为 4 整除；若中间的数是奇数， 则第一和第三个数是偶数，所以任何
34、“美妙数”必有因子 4 完全平方数的个位只能是 1、4、5、6、9 和 0，若其个位是 5 和 0，则中间的数必能被 5 整除， 若其个位是 1 和 6，则第一个数必能被 5 整除，若其个位是 4 和 9，则第三个数必能被 5 整除所以， 任何“美妙数”必有因子 5 上述说明“美妙数”都有因子 3、4、和 5，也就有因子 60，即所有的美妙数的最大公约数至少是 6060=345 是一个“美妙数”，美妙数的最大公约至多是 60所有的美妙数的最大公约数既不能大 于 60，又至少是 60，只能是 60。 【答案】60 【例【例 24】证明：形如证明：形如 11，111，1111，11111，的数中没
35、有完全平方数。的数中没有完全平方数。 【考点】平方数特征之平方数的整除特性【难度】2 星【题型】解答 【解析】【解析】略 【答案】由于奇数的平方是奇数，偶数的平方为偶数，而奇数的平方除以 4 余 1，偶数的平方能被 4 整除现 在这些数都是奇数，它们除以 4 的余数都是 3，所以不可能为完全平方数 【例【例 25】记记(1 23)(43)Snk ，这里，这里3n 当当 k 在在 1 至至 100 之间取正整数值时，有之间取正整数值时，有个不个不 同的同的 k，使得，使得 S 是一个正整数的平方是一个正整数的平方 【考点】平方数特征之平方数的整除特性【难度】3 星【题型】填空 【关键词】少年数学
36、智力冬令营 【解析】【解析】一个平方数除以 4 的余数是 0 或 1当4n 时，S 除以 4 余 3，所以 S 不是平方数；当3n 时， 49Sk， 当 k 在 1 至 100 之间时， S 在 13 至 409 之间， 其中只有 8 个平方数是奇数： 2 5， 2 7， 2 9， 2 11， 2 13， 2 15， 2 17， 2 19，其中每 1 个平方数对应 1 个 k，所以答案为 8 【答案】8 【例【例 26】能够找到这样的四个正整数能够找到这样的四个正整数， 使得它们中任意两个数的积与使得它们中任意两个数的积与2002的和都是完全平方数吗？若能够的和都是完全平方数吗？若能够， 请举
37、出一例；若不能够，请说明理由请举出一例；若不能够，请说明理由 【考点】平方数特征之平方数的整除特性【难度】4 星【题型】解答 【解析】【解析】略 【答案】因为偶数的平方能被 4 整除，奇数的平方被 4 除余 1，因此任一正整数的平方 2 n被 4 除余 0 或 1 假设存在四个正整数 1234 nnnn、 、 、，使得 2 2002(12 3 4) ij n nm ijij， ， ， ，又2002被 4 除余 2， 故 ij n n被 4 除余 2 或 3 若 1234 nnnn、 、 、中有两个偶数，如 12 nn、是偶数，那么 12 n n是 4 的倍数，2002 ij n n 被 4 除
38、余 2， ， 所以不可能是完全平方数； 因此 1234 nnnn、 、 、中至多只有一个偶数，至少有三个奇数设 123 nnn、 、为奇数， 4 n为偶数，那么 123 nnn、 、被 4 除余 1 或 3，所以 123 nnn、 、中至少有两个数余数相同如 12 nn、被 4 除余数相同，同 为 1 或 3，那么 12 n n被 4 除余 1，所以 12 2002n n 被 4 除余 3，不是完全平方数； 综上，2002 ij n n 不可能全是完全平方数 【例【例 27】1 3 51991 的末三位数是多少？的末三位数是多少？ 【考点】平方数特征之平方数的整除特性【难度】5 星【题型】解答
39、 【解析】【解析】首先，仅考虑后三位数字，所求的数目相当于1 3 5991 的平方再乘以993 995 997999的 5-4-4.完全平方数及应用（一）.题库教师版page 8 of 8 末三位而993 995 997999993 999995 997 993000993995000995 39930009939950002985， 其末三位为7 15105；然后来看前者它是一个奇数的平方，设其为 2 5k(k 为奇数)，由于 2 22 52525251kkk， 而奇数的平方除以 8 余 1， 所以 2 1k 是 8 的倍数， 则 2 251k 是 200 的 倍 数 ， 设 2 25120
40、0km， 则 2 2 52525125200kkm， 所 以 它 与 105 的 乘 积 2 510525200105210002625kmm，所以不论 m 的值是多少，所求的末三位都是 625 【答案】625 【例【例 2828】求所有的质数求所有的质数 P，使得，使得 2 41p 与与 2 61p 也是质数也是质数 【考点】平方数特征之平方数的整除特性【难度】5 星【题型】解答 【解析】【解析】如果5p ，则 2 41101p ， 2 61151p 都是质数，所以 5 符合题意如果 P 不等于 5，那么 P 除 以 5 的余数为 1、2、3 或者 4， 2 p除以 5 的余数即等于 2 1
41、、 2 2、 2 3或者 2 4除以 5 的余数，即 1、4、 9 或者 16 除以 5 的余数，只有 1 和 4 两种情况如果 2 p除以 5 的余数为 1，那么 2 41p 除以 5 的余 数等于4 1 15 除以 5 的余数，为 0，即此时 2 41p 被 5 整除，而 2 41p 大于 5，所以此时 2 41p 不是质数； 如果 2 p除以 5 的余数为 4， 同理可知 2 61p 不是质数， 所以 P 不等于 5， 2 41p 与 2 61p 至少有一个不是质数，所以只有5p 满足条件 【答案】5 【例【例 2929】古时候有两位贩卖家畜的商人把他们共有一群牛卖掉，每头牛买得的钱数正
42、好等于牛的头数。他古时候有两位贩卖家畜的商人把他们共有一群牛卖掉，每头牛买得的钱数正好等于牛的头数。他 们把所得的钱买回了一群羊，每只羊们把所得的钱买回了一群羊，每只羊 10 文钱，钱的零头又买了一只小羊。他们平分了这些羊，结文钱，钱的零头又买了一只小羊。他们平分了这些羊，结 果第一个人多得了一只大羊，第二人得到了那只小羊。为了公平，第一个人应补给第二个人果第一个人多得了一只大羊，第二人得到了那只小羊。为了公平，第一个人应补给第二个人_ 文钱。文钱。 【考点】平方数特征之平方数的整除特性【难度】5 星【题型】填空 【关键词】走美杯，四年级，初赛，第 15 题 【解析】根据题意，设每头牛的价钱为 10a+b（a、b 不同为 0，a、b 为自然数） ，因为题目中明显给出“每头 牛卖的钱数正好等于牛的头数”可知买牛人所得到钱数为：2 22 10a+b10020aabb，由题意得 这个总数的十位数字必为奇数否则不会达到“平分这些羊，并且一个人得到一只大羊，第二个人得 到了那只小羊” ，而 2 10020aab的十位必为偶数，所以只要看 2 b的值，尝试得到只有 16 和 36 满足 条件，所以小羊的价格应该为 6，那么第一个人应该补给第二个人：1062=2（文） 【答案】2文钱
