1、7-7-2.容斥原理之重叠问题（二）.题库教师版page1of6 7-7-2.7-7-2.容斥原理之重叠问题（二容斥原理之重叠问题（二） 教学目标教学目标 1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容； 2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用 知识要点知识要点 一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把 两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数， 用式子可表示成：ABABAB(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“” 读作“交”，相当于中文“且”的
2、意思)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理图示如下:A表示小圆 部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：AB，即阴影面积图示如下:A表示小圆 部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：AB，即阴影面积 包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合AB、的并集AB的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合AB、的元素个数，然后加起来，即先求AB(意思是把AB、的一切元素都“包含”进 来，加在一起)； 第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去CAB(意思是“排除”了重复计算的元素个数) 二、三量重叠问题 A类、B类与C类元素个数的总和A类元素的个数B
3、类元素个数C类元素个数既是A类又是B类 的元素个数既是B类又是C类的元素个数既是A类又是C类的元素个数同时是A类、B类、C类的元 素个数用符号表示为：ABCABCABBCACABC图示如下： 在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考 1先包含AB 重叠部分AB计算了2次，多加了1次； 2再排除ABAB 把多加了1次的重叠部分AB减去 图中小圆表示A的元素的个数，中圆表示B的元素的个数， 大圆表示C的元素的个数 1先包含：ABC 重叠部分AB、BC、CA重叠了2次， 多加了1次 2再排除：ABCABBCAC 重叠部分ABC重叠了3次，但是在进行ABC ABBCAC计算
4、时都被减掉了 3再包含：ABCABBCACABC 7-7-2.容斥原理之重叠问题（二）.题库教师版page2of6 例题精讲例题精讲 模块一、三量重叠问题 【例【例 1】 一栋居民楼里的住户每户都订了一栋居民楼里的住户每户都订了 2 份不同的报纸。如果该居民楼的住户只订了甲、乙、丙三种报份不同的报纸。如果该居民楼的住户只订了甲、乙、丙三种报 纸，其中甲报纸，其中甲报 30 份，乙报份，乙报 34 份，丙报份，丙报 40 份，那么既订乙报又订丙报的有份，那么既订乙报又订丙报的有_户。户。 【考点】三量重叠问题【难度】3 星【题型】填空 【关键词】希望杯，4 年级，1 试 【解析】总共有（3034
5、40）252 户居民，订丙和乙的有 523022 户。 【答案】22户 【例【例 2】 某班学生手中分别拿红、黄、蓝三种颜色的小旗，已知手中有红旗的共有某班学生手中分别拿红、黄、蓝三种颜色的小旗，已知手中有红旗的共有34人，手中有黄旗的共人，手中有黄旗的共 有有26人，手中有蓝旗的共有人，手中有蓝旗的共有18人其中手中有红、黄、蓝三种小旗的有人其中手中有红、黄、蓝三种小旗的有6人而手中只有红、黄人而手中只有红、黄 两种小旗的有两种小旗的有9人，手中只有黄、蓝两种小旗的有人，手中只有黄、蓝两种小旗的有4人，手中只有红、蓝两种小旗的有人，手中只有红、蓝两种小旗的有3人，那么人，那么 这个班共有多少
6、人？这个班共有多少人？ 【考点】三量重叠问题【难度】3 星【题型】解答 ? C ? B ? A 【解析】如图，用A圆表示手中有红旗的，B圆表示手中有黄旗的，C圆表示手中有蓝旗的如果用手中有 红旗的、有黄旗的与有蓝旗的相加，发现手中只有红、黄两种小旗的各重复计算了一次，应减去， 手中有三种颜色小旗的重复计算了二次，也应减去，那么，全班人数为：342618943（）（） 6250(人) 【答案】50人 【巩固】【巩固】某班有某班有42人人，其中其中26人爱打篮球人爱打篮球，17人爱打排球人爱打排球，19人爱踢足球人爱踢足球，9人既爱打篮球又爱踢足球人既爱打篮球又爱踢足球，4 人既爱打排球又爱踢足球
7、人既爱打排球又爱踢足球，没有一个人三种球都爱好没有一个人三种球都爱好，也没有一个人三种球都不爱好也没有一个人三种球都不爱好问问：既爱打既爱打 篮球又爱打排球的有几人？篮球又爱打排球的有几人？ 【考点】三量重叠问题【难度】3 星【题型】解答 【解析】由于全班42人没有一个人三种球都不爱好，所以全班至少爱好一种球的有42人根据包含排除法， 4226171994（）（既爱打篮球又爱打排球的人数0），得到既爱打篮球又爱打排球的人数 为：49427(人) 【答案】7人 【例【例 3】 四年级一班有四年级一班有 46 名学生参加名学生参加 3 项课外活动项课外活动其中有其中有 24 人参加了数学小组人参加
8、了数学小组，20 人参加了语文小组人参加了语文小组， 参加文艺小组的人数是既参加数学小组也参加文艺小组人数的参加文艺小组的人数是既参加数学小组也参加文艺小组人数的 35 倍，又是倍，又是 3 项活动都参加人数项活动都参加人数 的的 7 倍倍， 既参加文艺小组也参加语文小组的人数相当于既参加文艺小组也参加语文小组的人数相当于 3 项都参加的人数的项都参加的人数的 2 倍倍， 既参加数学小组既参加数学小组 又参加语文小组的有又参加语文小组的有 10 人求参加文艺小组的人数人求参加文艺小组的人数 【考点】三量重叠问题【难度】3 星【题型】解答 【解析】设参加数学小组的学生组成集合 A，参加语文小组的
9、学生组成集合 B，参加文艺小组的学生组成集 合 G 三者都参加的学生有 z 人 有ABC=46，A=24，B=20，C=3.5，AC=7ABC， BC=2ABC，AB=10 因为ABCABCABACBCABC， 所以 46=24+20+7x-10-2x-2x+x，解得 x=3， 即三者的都参加的有 3 人那么参加文艺小组的有 37=21 人 【答案】21人 7-7-2.容斥原理之重叠问题（二）.题库教师版page3of6 【巩固】【巩固】 五年级三班学生参加课外兴趣小组五年级三班学生参加课外兴趣小组，每人至少参加一项每人至少参加一项其中有其中有 25 人参加自然兴趣小组人参加自然兴趣小组，35
10、 人参加美术兴趣小组人参加美术兴趣小组， 27 人参加语文兴趣小组人参加语文兴趣小组， 参加语文同时又参加美术兴趣小组的有参加语文同时又参加美术兴趣小组的有 12 人人， 参加自然同时又参加美术兴趣小组的有参加自然同时又参加美术兴趣小组的有 8 人，参加自然同时又参加语文兴趣小组的有人，参加自然同时又参加语文兴趣小组的有 9 人，人， 语文、美术、自然语文、美术、自然 3 科兴趣小组都参加的有科兴趣小组都参加的有 4 人求这个班的学生人数人求这个班的学生人数 【考点】三量重叠问题【难度】3 星【题型】解答 【解析】设参加自然兴趣小组的人组成集合 A，参加美术兴趣小组的人组成集合日，参加语文兴趣
11、小组的人 组成集合 C A=25，B=35，C=27，BC=12，AB=8，AC=9，ABC=4. ABC=ABCABACBCABC. 所以，这个班中至少参加一项活动的人有 25+35+27-12-8-9+4=62，而这个班每人至少参加一项即 这个班有 62 人 【答案】62人 【巩固】【巩固】 光明小学组织棋类比赛光明小学组织棋类比赛， 分成围棋分成围棋、 中国象棋和国际象棋三个组进行中国象棋和国际象棋三个组进行， 参加围棋比赛的有参加围棋比赛的有42人人， 参加中国象棋比赛的有参加中国象棋比赛的有55人人，参加国际象棋比赛的有参加国际象棋比赛的有33人人，同时参加了围棋和中国象棋比赛同时参
12、加了围棋和中国象棋比赛 的有的有18人，同时参加了围棋和国际象棋比赛的有人，同时参加了围棋和国际象棋比赛的有10人，同时参加了中国象棋和国际象棋比赛人，同时参加了中国象棋和国际象棋比赛 的有的有9人，其中三种棋赛都参加的有人，其中三种棋赛都参加的有5人，问参加棋类比赛的共有多少人？人，问参加棋类比赛的共有多少人？ 【考点】三量重叠问题【难度】3 星【题型】解答 【解析】根据包含排除法， 先把参加围棋比赛的42人， 参加中国象棋比赛的55人与参加国际象棋比赛的33人 加起来，共是425533130人把重复加一遍同时参加围棋和中国象棋的18人，同时参加围棋 和国际象棋的10人与同时参加中国象棋和国
13、际象棋的9人减去，但是，同时参加了三种棋赛的5人 被加了3次，又被减了3次，其实并未计算在内，应当补上，实际上参加棋类比赛的共有： 13018109598（）(人) 或者根据学过的公式：ABCABCABBCACABC，参加棋类比赛的总 人数为：425533 18109598(人) 【答案】98人 【例【例 4】 新年联欢会上，共有新年联欢会上，共有 90 人参加了跳舞、合唱、演奏三种节目的演出如果只参加跳舞的人数三倍人参加了跳舞、合唱、演奏三种节目的演出如果只参加跳舞的人数三倍 于只参加合唱的人数；同时参加三种节目的人比只参加合唱的人少于只参加合唱的人数；同时参加三种节目的人比只参加合唱的人少
14、 7 人；只参加演奏的比同时参人；只参加演奏的比同时参 加演奏、跳舞但没有参加合唱的人多加演奏、跳舞但没有参加合唱的人多 4 人；人；50 人没有参加演奏；人没有参加演奏；10 人同时参加了跳舞和合唱但没人同时参加了跳舞和合唱但没 有参加演奏；有参加演奏；40 人参加了合唱；那么，同时参加了演奏、合唱但没有参加跳舞的有人参加了合唱；那么，同时参加了演奏、合唱但没有参加跳舞的有_人人 【考点】三量重叠问题【难度】3 星【题型】填空 【关键词】西城实验 【解析】【解析】设只参加合唱的有x人，那么只参加跳舞的人数为3x，由50人没有参加演奏、10人同时参加了跳 舞和合唱但没有参加演奏，得到只参加合唱
15、的和只参加跳舞的人数和为501040人，即 340 xx，得10 x ，所以只参加合唱的有10人，那么只参加跳舞的人数为30人，又由“同时参加 三种节目的人比只参加合唱的人少7人”，得到同时参加三项的有3人，所以参加了合唱的人中“同时 参加了演奏、合唱但没有参加跳舞的”有：401010317人 【答案】17人 【巩固】【巩固】 六年级六年级 100 名同学，每人至少爱好体育、文艺和科学三项中的一项其中，爱好体育的名同学，每人至少爱好体育、文艺和科学三项中的一项其中，爱好体育的 55 人，爱人，爱 好文艺的好文艺的 56 人，爱好科学的人，爱好科学的 51 人，三项都爱好的人，三项都爱好的 15
16、 人，只爱好体育和科学的人，只爱好体育和科学的 4 人，只爱好体育人，只爱好体育 和文艺的和文艺的 17 人问：有多少人只爱好科学和文艺两项？只爱好体育的有多少人？人问：有多少人只爱好科学和文艺两项？只爱好体育的有多少人？ 【考点】三量重叠问题【难度】3 星【题型】解答 【解析】只是 A 类和 B 类的元素个数，有别于容斥原理中的既是 A 类又是 B 类的元数个数依题意，画图 如 下 设 只 爱 好 科 学 和 文 艺 两 项 的 有x人 由 容 斥 原 理 ， 列 方 程 得 55565117154151515100 x（）（）（） 7-7-2.容斥原理之重叠问题（二）.题库教师版page4
17、of6 即555651 174152100 x 111100 x 11x 只爱好体育的有：551715419(人) 【答案】11人只爱好科学和文艺，19人只爱好体育。 【例【例 5】 在某个风和日丽的日子在某个风和日丽的日子，10个同学相约去野餐个同学相约去野餐，每个人都带了吃的每个人都带了吃的，其中其中6个人带了汉堡个人带了汉堡，6个人个人 带了鸡腿，带了鸡腿，4个人带了芝士蛋糕，有个人带了芝士蛋糕，有3个人既带了汉堡又带了鸡腿，个人既带了汉堡又带了鸡腿，1个人既带了鸡腿又带了芝士个人既带了鸡腿又带了芝士 蛋糕蛋糕2个人既带了汉堡又带了芝土蛋糕问：个人既带了汉堡又带了芝土蛋糕问： 三种都带了
18、的有几人？三种都带了的有几人？ 只带了一种的有几个？只带了一种的有几个？ 【考点】三量重叠问题【难度】4 星【题型】解答 ? B ? A ? C 【解析】如图，用A圆表示带汉堡的人，B圆表示带鸡腿的人，C圆表示带芝士蛋糕的人 根据包含排除法，总人数 （带汉堡的人数带鸡腿的人数带芝士蛋糕的人数）（带汉堡、鸡 腿的人数带汉堡、芝士蛋糕的人数带鸡腿、芝士蛋糕的人数）三种都带了的人数，即 10664321（）（）三种都带了的人数，得三种都带了的人数为：10100(人) 求只带一种的人数，只需从 10 人中减去带了两种的人数，即103214（）(人)只带了一种 的有4人 【答案】（1）0 人，（2）4人
19、 【巩固】【巩固】盛夏的一天盛夏的一天，有有10个同学去冷饮店个同学去冷饮店，向服务员交了一份需要冷饮的统计表向服务员交了一份需要冷饮的统计表：要可乐要可乐、雪碧雪碧、橙汁的橙汁的 各有各有5人人；可乐可乐、雪碧都要的有雪碧都要的有3人人；可乐可乐、橙汁都要的有橙汁都要的有2人人；雪碧雪碧、橙汁都要的有橙汁都要的有2人人；三样都三样都 要的只有要的只有1人，证明其中一定有人，证明其中一定有1人这三种饮料都没有要人这三种饮料都没有要 【考点】三量重叠问题【难度】4 星【题型】解答 【解析】略 【答案】根据根据包含排除法，至少要了一种饮料的人数(要可乐的人数要雪碧的人数要橙汁的人 数)(要可乐、雪
20、碧的人数要可乐、橙汁的人数要雪碧、橙汁的人数)三种都要的人数，即至 少要了一种饮料的人数为：55532219 （）（）(人)1091(人)，所以其中有1人这三种 饮料都没有要 【例【例 6】 全班有全班有25个学生个学生，其中其中17人会骑自行车人会骑自行车，13人会游泳人会游泳，8人会滑冰人会滑冰，这三个运动项目没有人全会这三个运动项目没有人全会， 至少会这三项运动之一的学生数学成绩都及格了，但又都不是优秀若全班有至少会这三项运动之一的学生数学成绩都及格了，但又都不是优秀若全班有6个人数学不及格个人数学不及格， 那么，那么， 数学成绩优秀的有几个学生？数学成绩优秀的有几个学生？ 有几个人既会
21、游泳，又会滑冰？有几个人既会游泳，又会滑冰？ 【考点】三量重叠问题【难度】4 星【题型】解答 【解析】 有6个数学不及格，那么及格的有：25619(人)，即最多不会超过19人会这三项运动之一而 又因为没人全会这三项运动， 那么， 最少也会有：17138219（）(人)至少会这三项运动之一 于 是，至少会三项运动之一的只能是19人，而这19人又不是优秀，说明全班25人中除了19人外，剩 下的6名不及格，所以没有数学成绩优秀的 上面分析可知，及格的19人中，每人都会两项运动：会骑车的一定有一部分会游泳，一部分会滑 冰；会游泳的人中若不会骑车就一定会滑冰，而会滑冰的人中若不会骑车就一定会游泳，但既会
22、 游泳又会滑冰的人一定不会骑自行车所以，全班有19172(人)既会游泳又会滑冰 【答案】（1）0 人，（2）2人 【巩固】【巩固】 五年级一班共有五年级一班共有36人，每人参加一个兴趣小组，共有人，每人参加一个兴趣小组，共有A、B、C、D、E五个小组，若参加五个小组，若参加A组组 的有的有15人，参加人，参加B组的人数仅次于组的人数仅次于A组，参加组，参加C组、组、D组的人数相同，参加组的人数相同，参加E组的人数最少，只组的人数最少，只 有有4人那么，参加人那么，参加B组的有组的有_人人 【考点】三量重叠问题【难度】4 星【题型】填空 【解析】参加B，C，D三组的总人数是3615417(人)，
23、C，D每组至少5人，当C，D每组6人时， 7-7-2.容斥原理之重叠问题（二）.题库教师版page5of6 B组为5人，不符合题意，所以参加B组的有17557(人) 【答案】7人 【例【例 7】 五一班有五一班有 28 位同学，每人至少参加数学、语文、自然课外小组中的一个其中仅参加数学与语文位同学，每人至少参加数学、语文、自然课外小组中的一个其中仅参加数学与语文 小组的人数等于仅参加数学小组的人数，没有同学仅参加语文或仅参加自然小组，恰有小组的人数等于仅参加数学小组的人数，没有同学仅参加语文或仅参加自然小组，恰有 6 个同学个同学 参加数学与自然小组但不参加语文小组，仅参加语文与自然小组的人数
24、是参加数学与自然小组但不参加语文小组，仅参加语文与自然小组的人数是 3 个小组全参加的人数个小组全参加的人数 的的 5 倍倍， 并且知道并且知道 3 个小组全参加的人数是一个不为个小组全参加的人数是一个不为 0 的偶数的偶数， 那么仅参加数学和语文小组的人有那么仅参加数学和语文小组的人有 多少人？多少人？ 【考点】三量重叠问题【难度】4 星【题型】解答 【解析】参加 3 个小组的人数是一个不为 0 的偶数，如果该数大于或等于 4，那么仅参加语文与自然小 组的人数则大于等于 20，而仅参加数学与自然小组的人有 6 个，这样至少应有 30 人，与题意 矛盾，所以参加 3 个小组的人数为 2仅参加语
25、文与自然小组的人数为 10，于是仅参加语文与 自然、仅参加数学与自然和参加 3 个小组的人数一共是 18 人，剩下的 10 人是仅参加数学与语 文以及仅参加数学的由于这两个人数相等，所以仅参加数学和语文小组的有 5 人 【答案】5人 【例【例 8】 在一个自助果园里，只摘山莓者两倍于只摘李子者；摘了草莓、山莓和李子的人数比只摘李子的在一个自助果园里，只摘山莓者两倍于只摘李子者；摘了草莓、山莓和李子的人数比只摘李子的 人数多人数多3个；只摘草莓者比摘了山莓和草莓但没有摘李子者多个；只摘草莓者比摘了山莓和草莓但没有摘李子者多4人；人；50个人没有摘草莓；个人没有摘草莓；11个人个人 摘了山莓和李子
26、但没有摘草莓；总共有摘了山莓和李子但没有摘草莓；总共有60人摘了李子人摘了李子.如果参与采摘水果的总人数是如果参与采摘水果的总人数是100，你能回，你能回 答下列问题吗？答下列问题吗？ 有有人摘了山莓；人摘了山莓； 有有人同时摘了三种水果；人同时摘了三种水果； 有有人只摘了山莓；人只摘了山莓； 有有人摘了李子和草莓，而没有摘山莓；人摘了李子和草莓，而没有摘山莓； 有有人只摘了草莓人只摘了草莓. 【考点】三量重叠问题【难度】3 星【题型】填空 【解析】【解析】如图，根据题意有 2AC 3GC 4BE 50ADC 11D 60CDFG 40ABE 代入求解：26A ，9B ，13C ，11D ，5
27、E ，20F ，16G 所以有261151658ADEG(人)摘了山莓； 有16人同时摘了三种水果； 有26人只摘了山莓； 有20人摘了李子和草莓，而没有摘山莓； 有9人只摘了草莓. 【答案】有58(人)摘了山莓；有16人同时摘了三种水果； 有26人只摘了山莓；有20人摘了李子和草莓，而没有摘山莓； 有9人只摘了草莓. 【例【例 9】 某学校派出若干名学生参加体育竞技比赛，比赛一共只有三个项目，已知参加长跑、跳高、标枪某学校派出若干名学生参加体育竞技比赛，比赛一共只有三个项目，已知参加长跑、跳高、标枪 三个项目的人数分别为三个项目的人数分别为 10、15、20 人，长跑、跳高、标枪每一项的的参
28、加选手中人中都有五分之人，长跑、跳高、标枪每一项的的参加选手中人中都有五分之 一的人还参加了别的比赛项目，求这所学校一共派出多少人参加比赛？一的人还参加了别的比赛项目，求这所学校一共派出多少人参加比赛？ 7-7-2.容斥原理之重叠问题（二）.题库教师版page6of6 ? 科学 ? 51 ? 人 ? 文艺 ? 56 ? 人 ? 17 ? 15 ? 4 ? 体育 ? 55 ? 人 ? x 【考点】三量重叠问题【难度】4 星【题型】解答 【解析】由条件可知，参加长跑的人中有 2 人参加其它项目，参加跳高的人中有 3 人参加其它项目，参加标 枪的人中有 4 人还参加别的项目， 假设只参加长跑和跳高的
29、人数为 x， 只参加长跑和标枪的人数为 y， 只参加标枪和跳高的有 z 人，三项都参加的有 n 人.那么有以下方程组： 由 条 件 可 知 ， 参 加 长 跑 的 人 中 有 2 人 参 加 其 它 项 目 ， 参 加 跳 高 的 人 中 有 3 人 参加其它项目，参加标枪的人中有 4 人还参加别的项目，假设只参加长跑和跳高的人数为 x，只参加 长跑和标枪的人数为 y，只参加标枪和跳高的有 z 人，三项都参加的有 n 人.那么有以下方程组： 2 ?3 ?4 xyn xzn zyn 将 3 条等式相加则有 2（x+y+z）+3n=9，由这个等式可以得到，n 必须是奇数，所以，n 只能是 1 或
30、3、5、7，如果 n3 时 x、y、z 中会出现负数.所以 n=1，这样可以求得 x=0，y=1，z=2.由此可得 到这个学校一共派出了 10+15+20-0-1-2-21=40 人. 将 3 条等式相加则有 2（x+y+z）+3n=9，由这个等式可以得到，n 必须是奇数，所以，n 只能是 1 或 3、5、7，如果 n3 时 x、y、z 中会出现负数.所以 n=1，这样可以求得 x=0，y=1，z=2.由此可得 到这个学校一共派出了 10+15+20-0-1-2-21=40 人. 【答案】40人 模块二、四个量的重叠问题 【例【例 10】养牛场有养牛场有 2007 头黄牛和水牛，其中母牛头黄牛
31、和水牛，其中母牛 1105 头，黄牛头，黄牛 1506 头，公水牛头，公水牛 200 头，那么母黄牛有头，那么母黄牛有 头。头。 【考点】四个量的重叠问题【难度】3 星【题型】填空 【关键词】希望杯，4 年级，1 试 【解析】解：公牛有 2007-1105=902 头，公黄牛有 902-200=702 头，母黄牛有 1506-702=804 头 【答案】804头 【例【例 11】一个书架上有数学、语文、英语、历史一个书架上有数学、语文、英语、历史 4 种书共种书共 35 本，且每种书的数量互不相同。其中数学书和本，且每种书的数量互不相同。其中数学书和 英语书共有英语书共有 l6 本，语文书和英
32、语书共有本，语文书和英语书共有 17 本：有一种书恰好有本：有一种书恰好有 9 本，这种书是本，这种书是书。书。 【考点】四个量的重叠问题【难度】4 星【题型】填空 【关键词】迎春杯，四年级，初赛，5 题 【解析】【解析】如果数学 书有 x 本，那么 英语书有 16-x 本，语文 书有 17-（ 16-x ）=x+1 本，历史 书为 35-(x+16-x+x+1)=18-x 本，其中有可能出现相等的有 x 和 16-x，x 和 18-x 因为它们奇偶性相同.为了 不相等，x8 且 x9，有此得到 16-x 不等于 8 和 7，x+1 不等于 9 和 10，18-x 不等于 10 和 9，只有 16-x 可以等于 9，所以英语书有 9 本. 【答案】英语
