1、第四十讲 椭圆 回归课本 1.椭圆的定义 (1)定义:平面内两定点为F F ,当动点P满足条件点P到点F 1 2 1 F 的距离之和等于常数(大于|F F |)时,P点的轨迹为椭圆 1 2 2 ;F F 是椭圆的两个焦点. 1 2 (2)定义的数学表达式为:|PF |+|PF |=2a(2a|F F |). 1 2 12 (3)注意:定义中,“定值大于|F F |”(即2a2c)是必要条件. 1 2 当2a=2c时,动点轨迹是两焦点的连线段;而当2a2c. (3)涉及椭圆定义的问题时,一定要注意“2a2c”这一个前 提条件.因为当平面内的动点与定点F F 的距离之和等于 12 |F F |时,
2、其动点轨迹就是线段F F ;当平面内的动点与定点 1 21 2 F F 的距离之和小于|F F |时,其轨迹不存在. 121 2 【典例1】一动圆与已知圆O :(x+3)2+y2=1外切,与圆O :(x- 12 3)2+y2=81内切,试求动圆圆心的轨迹方程. 解两定圆的圆心和半径分别是O (-3,0),r =1, 1 1 O (3,0),r =9.设动圆圆心为M(x,y),半径为R, 2 2 则由题设条件,可知 |MO |=1+R,|MO |=9-R, 2 1 |MO |+|MO |=10, 2 1 由椭圆的定义知:M在以O O 为焦点的椭圆上,且 1 2 a=5,c=3,b2=a2-c2=
3、25-9=16, 22 x y 故动圆圆心的轨迹方程为 1. 25 16 反思感悟先根据定义判断轨迹的类型,再用待定系数法求轨 迹方程的方法叫定义法.用定义法求轨迹方程时,应首先充 分挖掘图形的几何性质,找出动点满足的几何条件,看其是 否符合某种曲线的定义,如本例,根据平面几何知识,列出内 切 外切的条件后,可发现利用动圆的半径过渡,恰好符合椭 圆的定义,从而用待定系数法求解,这里充分利用椭圆的定 义是解题的关键. 类型二求椭圆的标准方程 解题准备:(1)定义法; (2)待定系数法.若已知焦点的位置可唯一确定标准方程;若 焦点位置不确定,可采用分类讨论来确定方程的形式,也可 以直接设椭圆的方程
4、为Ax2+By2=1,其中A,B为不相等的正 22 x y 常数或由已知条件设椭圆系 如 , 0 22 a b 来求解,以避免讨论和繁琐的计算. 【典例2】求满足下列各条件的椭圆的标准方程. 1 长轴是短轴的3倍,且经过点A 3,0 ; 2 经过点P 2 3,1 ,Q 3,2 两 点; 22 x y 3 与椭圆 1有相同的离心率,且经过点 2, 3 . 4 3 解 1 由条件可知,所求椭圆的位置不能确定,故分两种情 况分别求解. 22 x y 当焦点在x轴上时,可设椭圆的方程为 1(a b 0). 22 a b 椭圆经过点A 3,0 , 9 1,a 3.又2a 32b,b 1. 2 a 2 x
5、 所以此时椭圆的方程为 y 1. 2 9 当焦点在y轴上时,可设所求椭圆的标准方程为 22 y x 1(a b 0). 22 a b 9 椭圆经过点A 3,0 , 1,b 3. 2 b 又2a 32b,a 9. 22 y x 所以此时椭圆的方程为 1. 81 9 综上所述,所求椭圆的方程为 x2y x 22 y 1 1. 2 或 981 9 2 2 2 设椭圆的标准方程为mx ny 1 m 0,n 0 ,因为椭 12m n 1, 3m 4n 1, 圆经过点P 2 3,1 ,Q 3,2 ,所以有 1 m , 15 所以 1 n , 5 22 x y 所以所求椭圆的标准方程为 1. 15 5 3
6、由题意,当焦点在x轴上时,设所求椭圆的方程为 22 x y t(t 0). 4 3 2 3 2 2 因为椭圆过点(2, 3),所以t 2, 43 22 x y 故所求的椭圆的标准方程为 1. 8 6 当焦点在y轴上时,设所求椭圆的方程为 22 y x t (t 0) 1 1 4 3 3 4 25 因为椭圆过点 2, 3 ,所以t , 1 4 3 12 2222 y x 25 3y 4x 故所求的椭圆的方程为 ,即 1 4 3 12 25 25 2222 x y 综上所述,所求椭圆方程为 1或 1. 8 6 25 25 3y 4x 反思感悟在求椭圆的标准方程时,会遇到焦点位置不确 定而有两种结果
7、的情况,这时应注意分类讨论.由于分类讨 论较复杂,因此在处理椭圆焦点位置不确定的情况时,有 2 2 时可直接设椭圆方程为Ax By 1 A 0, B 0 ,或由已 22 x y 知条件设椭圆系 如 ( 0) 来求解,如 2 、3 22 a b 两小题,这样可避免讨论和复杂的计算. 类型三椭圆的几何性质 解题准备:1.对椭圆几何性质的考查一直是高考命题的一个 热点,尤其是对椭圆离心率的求解问题,更是考查的重点. 2.对于焦点在x轴上,中心在原点的椭圆 22 x y 1(a b 0) 22 a b 有以下性质:范围:-axa,-byb.椭圆位于直线 x=a和y=b所围成的矩形框里;对称性:椭圆关于
8、x轴 y轴和原点都是对称的;椭圆有四个顶点A (-a,0) 1 A (a,0) B (0,-b) B (0,b).线段A A 和B B 分别叫做椭圆 2 211 2 1 2 的长轴和短轴,它们的长分别等于2a和2b;椭圆的离心率 c e ,0 e 1. a 22 2 x y 3.椭圆的几何性质常涉及一些不等关系.例如对椭圆 2 a b 1(a b 0),有 a x a,b y b,0 e 1等,在求与椭圆 有关的一些量的取值范围或最值时,经常要用到这些不等式. 22 x y 【典例3】已知椭圆 1(a b 0)的长 短轴端点分 22 a b 别为A、B,从此椭圆上一点M(在x轴上方)向x轴作垂
9、线, 恰好通过椭圆的左焦点F ,向量AB与OM是共线向量. 1 1 求椭圆的离心率e; 2 设Q是椭圆上任意一点,F、F 分别是左 右焦点,求 12 FQF的取值范围. 12 2 b 解 10 ,则x c, y , 1MM a 2 bb k .由题意有k , OMAB aca 又与AB是共线向量, 2 b b2 k 0, ,b c,故e . AB ac a2 2 设 FQ r , F Q r ,F QF , 112212 r r 2a, | FF | 2c, 121 2 2 1 2 2 2 2 2 r r 4c (r r ) 2rr 4c cos 121 2 2rr2rr 1 21 2 2 a
10、2a 11 0, 2 rr r r 1 2 12 2 当且仅当r r 时, cos 0, 12 0, . 2 反思感悟求解与几何性质有关的问题时要结合图形进行分 析,即使不画出图形,思考时也要联想到图形.当涉及到顶点 焦点 长轴 短轴等椭圆的基本量时,要理清它们之间的关 系,建立基本量之间的联系. 类型四直线与椭圆的位置关系 解题准备:1.直线方程与椭圆方程联立,消元后得到一元二次 方程,然后通过判别式来判断直线和椭圆相交 相切或相 离. 2.消元后得到的一元二次方程的根是直线和椭圆交点的横坐 标或纵坐标,通常是写成两根之和与两根之积的形式,这是 进一步解题的基础. 3.直线y kx b k
11、0 与圆锥曲线相交于A x , y , 11 B x , y 两 点,则 22 11 | AB | 1 2 y . 1 2 1212 22 kk 【典例4】已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1. (1)求椭圆C的标准方程; (2)若直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A B两点(A B不是左右顶 点),且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点.求证:直线l过定 点,并求出该定点的坐标. 分析(1)由a+c=3,a-c=1,可求a、c.(2)直线方程与椭圆 方程联立后得到交点A B的坐标关系,再根据以AB为直径的 圆过椭圆的右顶点可得到两直线垂直,从
12、而求得交点A B的 坐标关系,联立后可求k、m的关系. 22 x y 解 1 据题意设椭圆的标准方程为 1(a b 0), 22 a b 由已知得a c 3,a c 1, 2 2 2 a 2, c 1, b a c 3. 22 x y 椭圆的标准方程为 1. 4 3 y kx m, 1 1 2 2 2 证明:设A x , y ,B x , y ,联立 22 x y 1, 4 3 得 22 2 则由题意 得 3 4k x 8mkx 4 m 3 0, , 64m k 16 3 4k m 3 0, 2 2 22 3 4k m 0, 即 2 2 2 8mk4(m 3) x x , x1, 12 2 3
13、 4k 2 2 3 4k 即y y kx m kx m 1 212 2 2 3(m 4k ) 2 k x x mk(x x ) m 2 , 1 212 3 4k 2 因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D 2,0 , y 1 y k k 1,即1. AD BD x 2 x 2 12 2 y y x x 2 x x 4 0. 1 21 21 2 22 3(m 4k ) 4(m 3) 16mk 4 0. 2 3 4k 3 4k 22 3 4k 2 2 7m 16mk 4k 0. 2k m 2k,m 解得 且均满足 , 2 3 4k m 0. 2 12 7 当m 2k时, l的方程为y k x 2 ,
14、直线过定点 2, 0 , 1 与已知矛盾; 2k 2 7 当m 时,l的方程为y k x ,直线过定点 2 7 2 ,0 . 7 2 所以直线l过定点,定点坐标为 ,0 . 7 反思感悟(1)直线方程与椭圆方程联立,消元后得到一元二 次方程,然后通过判别式 来判断直线和椭圆相交 相切或 相离的情况. (2)消元后得到的一元二次方程的根是直线和椭圆交点的 横坐标或纵坐标,通常是写成两根之和与两根之积的形式, 这是进一步解题的基础. 错源一 定义理解不清致错 22 x y 内1 的一点, 25 9 【典例1】已知A(4,0),B(2,2)是椭圆 如图所示,M是椭圆上的一动点,求|MA|+|MB|的
15、范围. 错解欲使|MA|+|MB|最大或最小,考虑动点M在椭圆上的位 置,再结合图形,由于A是椭圆的右焦点,当M是左顶点时 ,|MA|最大,当M是右顶点时,|MA|最小.于是|MA|+|MB|的最 1 13. 大值为 9 53, 最小值为 剖析当|MA|最大时,|MA|+|MB|就一定最大吗?显然,不一定 . 正解易知A(4,0)为椭圆的右焦点,设左焦点为F ,由a2=25知 1 |MF |+|MA|=10,因此|MA|+|MB|=10+|MB|-|MF |.问题转化 1 1 为“求椭圆上一点到B,F 两点距离之差的最大值与最小 1 值”;连接B,F 并延长交椭圆于两点;其一使|MB|-|MF
16、 |最 1 1 大,另一个使|MB|-|MF |最小.则|MA|+|MB|的最大值为 1 最小值为 10 2 10,10 2 10. 错源二 忽视焦点位置致错 2222 x yx y 【典例2】若椭圆 1(m 0 )的焦距和椭圆 16 m8 4 1的焦距相等,则m _ . 22 x y 错解易得椭圆 1的焦距为4. 8 4 22 x y 在椭圆 中 因为 所 1(m 0) , a 16, b m, 2c 4, 2 2 16 m 以16 m 4,所以m 12. 剖析焦距相等,焦点不一定相同,上述错解武断地认为椭 22 x y 圆 1(m 0)的焦点一定在x轴上,故而致错. 16 m 22 x y
17、 正解易得椭圆 1的焦距为4. 8 4 22 x y 当m 16时,椭圆 1(m 0)是焦点在x轴上的椭圆, 16 m 2 2 此时a 16, b m, 2c 4,所以16 m 4,所以m 1 2. 22 x y 当m 16时,椭圆 1(m 0)是焦点在y轴上的椭圆, 16 m 2 2 此时a m,b 16, 2c 4,所以m 16 4,所以m 20. 综上m 12或m 20. 答案12或20 错源三 忽视变量的范围致错 2 2 2 2 【典例3】已知椭圆3x 2y 6x与曲线x y k 0恒有 交 点,求k的取值范围. 22 3x 2y 6x, 2 错解由 消去y,得x 6x 2k 0. 2
18、 2 x y k 0, 36 8k0,9 由 解得0k . k0,2 剖析 0只能保证方程x2-6x+2k=0有解,而不能保证原方 程组有解.因为原方程组中有隐含条件0 x2,消去y后得到 关于x的一元二次方程看不到这个限制条件. 22 3x 2y 6x, 2 消去y,得x 6x 2k 0. 正解由 2 2 x y k 02 又2y 6x 3x 0,解得0 x2. 2 2 从而方程x 6x 2k 0的两根x ,x 满足0 x 2或 121 0 x 2. 2 设函数 其图象的对称轴为 且 f x x 6x 2k, x 3, 2 图象开口向上,必有 f (0) 2k 0, f (2) 8 2k0,
19、 解得0k4.故k的取值范围是 0, 4 . 技法一 求焦点位置不确定的椭圆方程 焦点位置不确定的椭圆标准方程常设为:mx2+ny2=1(m0,n0 且mn). 【典例1】已知椭圆以坐标轴为对称轴,且长轴是短轴的2倍, 并且过点P(2,-6),求椭圆的方程. 2 2 解设所求椭圆的方程为mx ny 1(m 0,n 0且m n). 因为椭圆过点P 2,6 ,所以4m 36n 1. 又因为长轴是短轴的2倍, mm 1 所以 4或 .即m 4n或n 4m. nn 4 1111 所以n ,m 或n ,m . 52 1337 148 2222 x yx y 故所求椭圆的方程为 1或 1. 13 5214
20、8 37 技法二 求与已知椭圆共焦点的椭圆方程 22 x y 与椭圆 1(a b 0)共焦点的椭圆方程常设为: 22 a b x2 y 2 1( b ); 2 a 2 b 2 2 2 y x 与椭圆 1(a b 0)共焦点的椭圆方程常设为: 22 a b y 2 a 2 x2 1( b ). 2 b 2 22 y x 【典例2】已知椭圆C与椭圆 1有公共焦点,且过 9 5 点P(1, 6),求椭圆C的方程. y2x2 解设椭圆C的方程为1( 5). 9 5 因为椭圆C过点P(1, 6 ), 61 所以1. 9 5 即 2 解得 或 7 6 0, 6.1 因为 5,所以 1. 22 y x 故椭圆C的方程为 1. 8 4
