1、第四十四讲 空间几何体的表面积与体积 回归课本 1.柱体、锥体、台体的侧面积,就是各侧面面积之和,表面积 是各个面的面积之和,即侧面积与底面积之和. 2.把柱体、锥体、台体的面展开成一个平面图形,称为它的展 开图,它的表面积就是展开图的面积. 3.圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积 S =2rl,S =2r(r+l); 圆柱侧柱 S =rl,S =r(r+l); 圆锥侧锥 S =(r+r)l,S =(r2+r2+rl+rl). 圆台侧台 4.柱、锥、台体的体积 1 3 Sh V =abc,V =a3,V =Sh,V =, 长方体正方体柱锥 1 V = 台 (S+S+SS)h. 3 这是柱体 锥体
2、 台体统一计算公式,特别的圆柱 圆锥 圆台 还可以分别写成: 1 1 V =r2h,V = r2h,V = h(r2+rr+r2). 圆柱圆锥 3 圆台 3 5.球的体积及球的表面积 4 设球的半径为R,V = R3,S =4R2. 球球 3 考点陪练 1.一个长方体有公共顶点的三个面的面积分别是 2, 3, 6,则这个长方体对角线的长是 A.2B.3 2 D. 6C.6 解析:设长方体的长 宽 高分别为a、b、c,由题意不妨设 ab 2, a 2, bc 3, 解得 b 1, 所以长方体的对角线长为 ac 6,c 3, 2 2 2 a b c 2 1 3 6. 答案:D 2.圆台上、下底面面
3、积分别是、4,侧面积是6,这个圆台 的体积是( ) 2 3 A. B.2 3 3 7 37 3 C. D. 63 解析:设圆台上、下底面半径分别为r ,r ,母线长为l,高为h. 1 2 r , 2 1r 1, 1 则 2 r 4 , 解得 r 2, 22 (r r )l 6,l 2. 12 2 2 2 由l h r r ,得h 2 1 3,即h 3,故V 2 2 2 21圆台 117 3 2 1 h(r rr r ) 2 2 2 2 2 ) 2 . 1 2 333 答案:D 3.用与球心距离为1的平面去截球,所得的截面面积为,则球 的体积为( ) 88 2 3 A.B. 3 3 2 C.8
4、2 D. 3 解析:截面圆的半径为1,又球心到截面距离等于1,所以球 48 的半径 2,故球的体积 RRV 3 2. 33 答案:B 4.(2010广州一模)如果一个几何体的三视图如下图所示(单 位长度: cm),则此几何体的表面积是( ) A.(80+16 B.96 cm2 C.(96+16 D.112 cm2 2) cm 2 2 ) cm2 解析:将几何体还原,如图:该几何体是由边长为4的正方体和 一个底面边长为4高为2的正四棱锥构成的,在正四棱锥中, 可得 EG 2 2, 1 2 2 16 2,四棱锥的表面积为S =4 4正方体除 1 2 去一个面的表面积为S =542=80,所以此几何
5、体的表面积 2 S 8016 2. 答案:A 5.(2010山东临沂二模)有一个正三棱柱,其三视图如图,则其 体积等于( ) 3 3 A.3 B.1 C.D.4 2 解析:由图知该几何体为底面为正三角形的三棱柱,底面三角 形高为2,三棱柱的高为故体积为 3, 1 4 3 V 32 4. 2 3 答案:D 类型一棱柱 棱锥 棱台的表面积 体积 解题准备:求解有关多面体表面积问题的关键是利用几何图 形的性质找到其特征几何图形,从而体现出高、斜高、边 长等几何元素间的关系,如棱柱的矩形、棱锥中的直角三 角形、棱台中的直角梯形等. 1.柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系,可表示为 2.解决不规则几何
6、体的问题应注意应用以下方法: (1)几何体的“分割” 依据已知几何体的特征,将其分割成若干个易于求体积的几 何体,进而求解. (2)几何体的“补形” 有时为了计算方便,可将几何体补成易求体积的几何体,如长 方体、正方体等. 【典例1】 如图,三棱柱ABCA B C 中,若E F分别为AB 1 1 1 AC的中点,平面EB C 将三棱柱分成体积为V V 的两部分 1 112 ,那么V ：V =_. 12 解析 设三棱柱的高为h,上下底的面积为S,体积为V,则 V=V +V =Sh. 12 E F分别为AB AC的中点, 1 S S. 4 111 4 7 V h(S S SSh, 1 3412 5
7、 V Sh V Sh, 21 12 V : V 7 : 5. 12 答案 7：5. 类型二圆柱、圆锥、圆台的表面积、体积 解题准备:1.圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开 图的面积,因此弄清侧面展开图的形状及侧面展开图中各 线段与原几何体的关系是掌握它们的面积公式及解决相关 问题的关键. 2.计算柱体、锥体、台体的体积关键是根据条件找出相应的 底面面积和高,要充分利用多面体的截面及旋转体的轴截 面,将空间问题转化为平面问题. 【典例2】 已知底面半径为 ,母线长为的圆柱,挖 3cm6cm 去一个以圆柱上底面圆心为顶点,下底面为底面的圆锥,求 所得几何体的表面积和体积. 解 如图,圆柱一
8、个底面的面积为 S =r2=( 底 )2=3(cm3). 3 圆柱侧面面积为: S =2 柱侧3 6 6 2(cm 2). 所挖圆锥的母线长为 3 6=3(cm). 所挖圆锥的侧面面积为: 1 2 3 3 3 3 cm . 2 S锥侧 2 则所得几何体的表面积为: S S S S 3 6 2 3 3 底柱侧锥侧 (3 6 2 3 3) cm . 2 所得几何体的体积: 12 3 V V V S 6 S 柱锥底底底 3 2 3 6 2 6 cm . 3 3 类型三球的表面积、体积 解题准备:球的表面积与体积都只与半径R有关,是以R为自变 量的函数,一个球的半径给定,它的表面积、体积随之确定, 反
9、过来,给定一个球的表面积或体积,这个球的半径也就确 定了. 【典例3】 如图,正三棱锥的高为1,底面边长为 2 6, 内有一 个球与它的四个面都相切.求:(1)棱锥的全面积;(2)内切球 的表面积与体积. 解 1 底面正三角形的中心到一边的距离为 1 3 FD 2 6 2, 3 2 则正三棱锥侧面的斜高为 PD 1 ( 2) 3. 2 2 1 S 3 2 6 3 9 2. 侧 2 1 3 S S S 9 2 2 (2 6) 9 2 6 3. 全侧底 2 2 (2)设正三棱锥PABC的内切球球心为O,连接OP OA OB OC,而O点到三棱锥的四个面的距离都为球的半径r. V PABC=VOPA
10、B+VOPBC+VOPAC+VOABC 1 3 1 3 1 3 3)r. 侧ABC全 1 1 3 2 (2 6) 1 2 3, 又VP -ABC 3 2 2 (3 2 2 3)r 2 3,得 2 3 2 3(3 2 2 3) r 6 2, 18123 2 2 3 S内切球 4 ( 6 2) (40 16 6) . 2 472 6 176 V ( 6 2)3 内切球 . 33 类型四 由几何体的三视图求几何体的表面积与体积 解题准备:已知空间几何体的三视图求表面积 体积是高考考 查的热点,对三视图的应用是解题的关键.主要体现在以下 两个方面的应用:一是数据的给出,通过三视图的长 宽 高 对应出空
11、间几何体的相关长 宽 高,从而求表面积和体积, 但是要注意三视图中的数据与原几何体中的数据不一定一 一对应,识图时注意甄别.二是揭示空间几何体的结构特征. 包括几何体的形状,平行垂直等结构特征,这些正是数据运 算的依据. 【典例4】 一几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位 :m): (1)试画出它的直观图; (2)求它的表面积和体积. 分析 由三视图,正确的画出几何体的直观图,确定几何体中 线段的位置关系及数量关系. 解 (1)直观图如图所示. (2)解法一:由三视图可知该几何体是长方体被截去一个角,且 该几何体的体积是以A A,A D ,A B 为棱的长方体的体积 11 1 1 1 3 的
12、 , 4 在直角梯形AA B B中,作BEA B , 1 11 1 则AA EB是正方形, 1 AA =BE=1 1 在RtBEB 中,BE=1,EB =1 11 BB = 21 几何体的表面积S=S正方形AA1D1D+2S梯形AA1B1B+S矩形 1 BB1C1C+S正方形ABCD+S矩形A1B1C1D1=1+2 (1+2)1+12 2 +1+12=7+ (m2). 2 33 2 几何体的体积V= 121=(m3), 4 3 该几何体的表面积为(7+)m2,体积为 m3. 2 2 解法二:几何体也可以看作是以AA B B为底面的直四棱柱,其 1 1 表面积求法同解法一, 1 V直四棱柱D1C
13、1CDA1B1BA=Sh=(1+2)11 2 3 =(m2). 2 3 几何体的表面积为(7+)m2,体积为 m3. 22 反思感悟 (1)由三视图画几何体的直观图,掌握“长对正、 宽相等,高平齐”的规则,是确定几何体特征的关键. (2)把不规则几何体分割成几个规则几何体或者是补上一部分 使之成为规则几何体,是求不规则几何体常用方法. 错源一问题考虑不全 【典例1】 是否存在这样的球,在该球内有距离为3的两个平 行截面且截面的面积分别为5和8?若存在,求出球面的 表面积;若不存在,请说明理由. 错解 假设存在满足题意的球,过圆心与截面的圆心作球的 轴截面,如图.圆O是球的大圆,A B ,A B
14、 分别是两个平行 1 1 2 2 截面圆的直径,C ,C 分别是两个截面圆的圆心,设两截面圆 1 2 的半径分别为r ,r ,(r r ),由题意可得 又 2 1 2 2 r 8,r 5, 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 此方程无解,所以满足题意的球不 R r 3, R r 存在. 剖析 错解只考虑了两个平行截面都在球心同一侧的情形, 事实上两个平行截面不一定都在球心的同一侧. 正解 假设存在满足题意的球. (1)如果两个平行截面都在球心的同一侧,则解法同错解.(2)如 果两个平行截面在球心两侧,过圆心与截面的圆心作球的 轴截面,如图.圆O是球的大圆,A B ,A B 分别是两个平行
15、1 1 2 2 截面圆的直径,C ,C 分别是两个截面圆的圆心,设两截面圆 1 2 的半径分别为r ,r (r r ).由题意可得 r 8,r 又5, 2 1 2 21 2 1 2 2 2 2 2 2 1 解得R2=9, R r R r 3, 所以球的表面积S=4R2=36. 综上可得,存在满足题意的球,该球的表面积为36. 错源二对三视图的形成认识不清 【典例2】 设某几何体的三视图如图(尺寸的长度单位为m). 则该几何体的体积为_m3. 错解 该几何体为三棱锥,底面为腰为4,底为3的等腰三角形 ,高为2. 1155 55 23(m ). 3 V 3222 剖析 把正视图看成三棱锥的一个面造
16、成误解.三视图中的 每一个视图都是整个几何体在某一屏幕上的投影,不一定 是某个面留下的投影.这类问题不能孤立的分析某一视图. 正解 由三视图可知原几何体是一个三棱锥,由“长对正,宽 相等,高平齐”的原则可知三棱锥的高为2,底面三角形的底 边长为4,高为3,则所求棱锥的体积为 1 1 V=342=4. 3 2 答案 4 技法一等积转化思想方法 【典例1】 如图,一个三棱柱容器中盛有水,且侧棱AA =8,若 1 AA B B水平放置时,液面恰好过AC,BC,A C ,B C 的中点 1 11 1 1 1 ,则当底面ABC水平放置时,液面的高为多少? 1 3 , 解 当AA B B水平放置时,纵截面
17、中水的面积占1- 4 4 1 1 3 . 所以水的体积与三棱柱体积比为 3 当底面ABC水平放 4 置时,液面高度为8 =6. 4 方法与技巧 容器中水的体积不会减少,运用等积思想可不 用计算体积,而通过体积比进而化为高度比. 技法二巧解三棱锥的体积 【典例2】 已知正三棱锥PABC的三条侧棱两两垂直,侧棱 长都等于a,如图1,求此三棱锥的体积. 解 解法一:设顶点P在底面ABC上的射影为O,则O为 ABC的中心,连接CO延长交AB于M,连接PM,则 CMAB且M为AB的中点. 在ABC中,易求得 11 3 6 OM MC AC AM 2 2 a. 36 3 在Rt中 2 PO PM MO 2
18、 a, 3 1a3 所以VPABC S 36 解法二:转换三棱锥顶点,如图2.因为APPBPC, 所以三棱锥APBC的高为PA,底面PBC为直角三角形. 1 所以VPABC=VAPBC= S AP PBC 3 3 1 1 a 2 a a . 3 26 解法三:由三棱锥PAPBPC,易联想到以PBC为底面可以 补成三棱柱ABC-PBC,如图3,它与三棱锥APBC的高均 为AP,底面为PBC,易知锥体的体积是与其等底等高的柱 1 体体积的 , 3 3 1a 于是VPABC VAPBC V . ABCPBC 36 方法与技巧 该题题目虽小,但其解法涵盖了求解几何体体 积常用的几种思维方法.解法一是直接法,它是对应体积公 式的通法;解法二是等体积转化法,针对锥体的几何特点,变 换顶点,体积不变.解法三是补形法,这是直接法遇阻时经常 采用的间接求解策略.诸如还可将三棱锥补形成为四棱柱, 三棱柱补形成为平行六面体等,与此法相对的还有分割法, 即将一个几何体分割成几部分来进行求解.
