1、第 1 页 共 5 页 20202020 年期末数学学科测试试卷年期末数学学科测试试卷 高二数学高二数学 一一、单项单项选择题：选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 1 已知3i12iz（i 为虚数单位） ，则z （） A 10 10 B 10 5 C 2 2 D 5 2 2 已知全集UR，集合 2 2Ax xx ，则UA （） A. 0,2 B. 0,2 C. ,2 D. ,2 3 在打气球的游戏中，某人每次击中气球的概率是 4 5 ，则这人 3 次射击中恰有 1 次击中气 球的概率为（） A 16 25 B 48 125
2、 C 12 125 D 4 25 4 若双曲线 2 2 22 1 y x ab （a0，b0）的离心率为3，则双曲线的渐近线方程为（） A3yxB 2 2 yxC 3 2 yxD2yx 5 已知2a， 1b ，且 22abab，则向量 a 与 b 的夹角余弦值是（ ） A 3 2 B 2 3 C 1 2 D 3 2 6621xx展开式中， 3 x项的系数为（ ） A55B40C35D15 7 已知 logmf xx ，其中 51 2 m ，已知 0, 2 ，且 sincos 2 af ，b sincosf， sin2 sincos cf ，则 a，b，c 的大小关系是（） AacbBbcaCc
3、baDabc 8 在三棱锥 PABC 中，AB2，ACBC，D 为 AB 中点，PD2，若该三棱锥的体积的 最大值为 2 3 ，则其外接球表面积为（） A5B 49 12 C 64 9 D 25 4 第 2 页 共 5 页 二二、多项多项选择题：选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，至少有 两项是符合题目要求的全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分 9下列说法中，正确的命题是（） A已知随机变量 X 服从正态分布 2 2,N ， 40.8P X ，则 240.2PX B线性相关系数 r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关
4、性越弱 C 已知两个变量具有线性相关关系， 其回归直线方程为 yabx， 若 2b， 1x， 3y， 则 1a D若样本数据 1 21x ， 2 21x ， 16 21x的方差为 8，则数据 1 x， 2 x， 16 x的 方差为 2 10关于函数 sincos f xxx （xR），如下结论中正确的是（） A函数 f x的周期是 2 B函数 f x的值域是0, 2 C. 函数 f x的图象关于直线x对称 D. 函数 f x在 3 , 24 上递增 11 在棱长为 1 的正方体 1 1 11 ABCDA B C D中， 点 M 在棱 1 CC上， 则下列结论正确的是 （） A直线 BM平面 1
5、 1 ADD A B平面 1 BMD截正方体所得的截面为三角形 C异面直线 1 AD与 1 1 AC所成的角为60 D 1 MBMD 的最小值为 5 12已知函数 f x对任意xR都有 422f xf xf，若1yf x 的图象 关于直线 x1 对称，且对任意的 1 x， 2 0,2x ，且 12 xx ，都有 12 12 0 f xf x xx ， 则下列结论正确的是（） A f x是偶函数B f x的周期 T4 C20220fD f x在4, 2单调递减 AB C D M 1 B 1 D 1 A 1 C 第 3 页 共 5 页 三三、填空题填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20
6、 分第 16 题双空，第一空 2 分，第二空 3 分 13某单位在 6 名男职工和 3 名女职工中，选取 5 人参加义务献血，要求男、女职工各至少 一名，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示） 14已知 sinsinsinsin1 22 ，则tan 2 15已知数列 n a的各项均为正数，其前 n 项和为 n S，且 23 2 4 nnn aaS（n N） ，则 5 a 16在平面直角坐标系 xOy 中，O 为坐标原点，0,1A，1,0B，过平面上一点,P x y作 直线 AB 的垂线， 垂足为 Q， 且满足：3OQ AB ， 则实数 x， y 满足的关系式是， 若点 P 又在动圆 22
7、 28xaya（a N）上，则正整数 a 的取值集合是 四四、解答题：解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 （本小题满分 10 分） 在ABC 中，三个内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c且tan2tanbAcbB （1）求 A 的大小； （2）若2 13a，且ABC 的面积为12 3，求 bc 的值 18 （本小题满分 12 分） 在 2 a， 3 a， 4 4a 成等差数列； 1 S， 2 2S ， 3 S成等差数列； 1 2 nn aS 中任 选一个，补充在下列的问题中，并解答 在各项均为正数等比数列 n a 中，前 n 项和为 n
8、S，已知 1 2a，且 （1）求数列 n a 的通项公式； （2） 数列 n b的通项公式 1 2 11 n n nn b aa ，n N， 求数列 n b的前 n 项和 n T 第 4 页 共 5 页 19 （本小题满分 12 分） 一副标准的三角板如图 1 中，ABC 为直角， 60A ，DEF 为直角，DEEF，且 BCDF，把 BC 与 DF 重合，拼成一个三棱锥，如图 2设 M 是 AC 的中点，N 是 BC 的中点 图 1 图 2 （1）求证：BC平面 EMN； （2）在图 2 中，若 AC4，二面角 EBCA 为直二面角，求直线 EM 与平面 ABE 所 成角的正弦值 20 （本
9、小题满分 12 分） 一种疫苗在正式上市之前要进行多次人体临床试验接种，假设每次接种之间互不影响， 每人每次接种成功的概率相等 某医学研究院研究团队研发了新冠疫苗， 并率先开展了 新冠疫苗 I 期和 II 期临床试验I 期试验为了解疫苗接种剂量与接种成功之间的关系， 选取了两种剂量接种方案（0.5ml/次剂量组（低剂量）与 1ml / 次剂量组（中剂量） ） ， 临床试验免疫结果对比如下： 接种成功接种不成功总计（人） 0.5ml/次剂量组28836 1ml/次剂量组33336 总计（人）611172 （1） 根据数据说明哪种方案接种效果好?并判断是否有 90%的把握认为该疫苗接种成功 与两种
10、剂量接种方案有关? （2）若以数据中的频率为概率，从两组不同剂量组中分别抽取 1 名试验者，以 X 表示 这 2 人中接种成功的人数，求 X 的分布列和数学期望 A B E D C F E B（D） C（F） N M A 第 5 页 共 5 页 参考公式： 2 2 n adbc K abcdacbd ，其中 nabcd 附表： 2 0 P Kk 0.400.250.150.100.0500.0250.0100.001 0 k0.7081.3232.0722.7063.8415.0246.63510.828 21 （本小题满分 12 分） 如图，定义：以椭圆中心为圆心，长轴为直径的圆叫做椭圆的“
11、伴随圆” 过椭圆上一 点 M 作 x 轴的垂线交其 “伴随圆” 于点 N （M、 N 在同一象限内） ， 称点 N 为点 M 的“伴 随点” 已知椭圆 E： 2 2 22 1 y x ab （ab0）上的点 3 3, 2 的“伴随点”为3,1 （1）求椭圆 E 及其“伴随圆”的方程； （2）求OMN 面积的最大值，并求此时“伴随点”N 的坐标； （3）已知直线 l：xmyt0 与椭圆 E 交于不同的 A，B 两点，若椭圆 E 上存在点 P， 使得四边形 OAPB 是平行四边形求直线 l 与坐标轴围成的三角形面积最小时的 22 mt 的值 22 （本小题满分 12 分） 已知函数 2 lnf x
12、xxax， 22 e1 x g xxx （1）求曲线 yg x在 0,0g处的切线方程； （2）讨论 f x的单调区间； （3）若不等式 f xg x对任意 x0 成立，求实数 a 的取值范围 x y O M N 第 1 页 共 12 页 20202020 年期末数学学科测年期末数学学科测试试试试卷卷 高二数学高二数学 一一、单项单项选择题：选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 1 已知3i12iz（i 为虚数单位） ，则z （ ） A 10 10 B 10 5 C 2 2 D 5 2 【答案】C 2 已知全集UR，集合 2
13、 2Ax xx ，则UA（ ） A. 0,2 B. 0,2 C. ,2 D. ,2 【答案】A 3 在打气球的游戏中，某人每次击中气球的概率是 4 5 ，则这人 3 次射击中恰有 1 次击中气 球的概率为（ ） A 16 25 B 48 125 C 12 125 D 4 25 【答案】C 4 若双曲线 2 2 22 1 y x ab （a0，b0）的离心率为3，则双曲线的渐近线方程为（ ） A3yx B 2 2 yx C 3 2 yx D2yx 【答案】D 5 已知2a， 1b ，且 22abab，则向量 a 与 b 的夹角余弦值是（ ） A 3 2 B 2 3 C 1 2 D 3 2 【答案
14、】B 6 621xx展开式中， 3 x项的系数为（ ） A55 B40 C35 D15 【答案】A 7 已知 logmf xx ，其中 51 2 m ，已知 0, 2 ，且 sincos 2 af ，b sincosf， sin2 sincos cf ，则 a，b，c 的大小关系是（ ） Aacb Bbca Ccba Dabc 【答案】D 8 在三棱锥 PABC 中，AB2，ACBC，D 为 AB 中点，PD2，若该三棱锥的体积的 第 2 页 共 12 页 最大值为 2 3 ，则其外接球表面积为（ ） A5 B 49 12 C 64 9 D 25 4 【答案】D 二二、多多项项选择题：选择题：
15、本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，至少有 两项是符合题目要求的全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分 9下列说法中，正确的命题是（ ） A已知随机变量 X 服从正态分布 2 2,N ， 40.8P X ，则 240.2PX B线性相关系数 r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱 C 已知两个变量具有线性相关关系， 其回归直线方程为 yabx， 若 2b， 1x， 3y， 则 1a D若样本数据 1 21x ， 2 21x ， 16 21x的方差为 8，则数据 1 x， 2 x， 16 x的 方差为 2 【答案】CD 1
16、0关于函数 sincosf xxx （xR），如下结论中正确的是（ ） A函数 f x 的周期是 2 B函数 f x 的值域是0, 2 C. 函数 f x 的图象关于直线 x 对称 D. 函数 f x 在 3 , 24 上递增 【答案】ACD 11 在棱长为 1 的正方体 1 1 1 1 ABCDA BC D中， 点 M 在棱 1 CC上， 则下列结论正确的是 （ ） A直线 BM平面 1 1 ADD A B平面 1 BMD截正方体所得的截面为三角形 C异面直线 1 AD与 1 1 AC所成的角为60 D1 MBMD 的最小值为 5 【答案】ACD A B C D M 1 B 1 D 1 A
17、1 C 第 3 页 共 12 页 12已知函数 f x 对任意 xR 都有 422f xf xf，若1yf x 的图象 关于直线 x1 对称，且对任意的 1 x， 2 0,2x ，且 12 xx ，都有 12 12 0 f xf x xx ， 则下列结论正确的是（ ） A f x是偶函数 B f x的周期 T4 C20220f D f x在4, 2单调递减 【答案】ABC 三三、填空题：填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分第 16 题双空，第一空 2 分，第二空 3 分 13某单位在 6 名男职工和 3 名女职工中，选取 5人参加义务献血，要求男、女职工各至少 一名，则不同的
18、选取方式的种数为 （结果用数值表示） 【答案】120 14已知 sinsinsinsin1 22 ，则tan 2 【答案】1 15已知数列 n a的各项均为正数，其前 n项和为 n S，且 23 2 4 nnn aaS（n N） ，则 5 a 【答案】11 2 16在平面直角坐标系 xOy 中，O 为坐标原点，0,1A，1,0B，过平面上一点,P x y作 直线 AB 的垂线， 垂足为 Q， 且满足：3OQ AB， 则实数 x， y 满足的关系式是 ， 若点 P 又在动圆 22 28xaya（a N）上，则正整数 a 的取值集合是 【答案】xy30，1,2 四四、解答题：解答题：本题共 6 小
19、题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 （本小题满分 10 分） 在ABC 中，三个内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c且tan2tanbAcbB （1）求 A 的大小； （2）若2 13a，且ABC 的面积为12 3，求 bc 的值 【答案】 第 4 页 共 12 页 （1）由正弦定理 sinsinsin abc ABC 得： 2sinsinsin sinsin coscos CBB BA AB -1 分 在ABC 中，0B ，0C sin0B ，sin0C sincos2sinsincos2sincossincosABCBACABA 即sincoscossin
20、2sincosABABCA sin2sincosABCA 即sin2sincosCCA 又sin0C 1 cos 2 A -3 分 又0A -4 分 3 A -5 分 （2） 31 sin12 3 24 ABC SbcAbc 48bc -7 分 由余弦定理知： 222 2cosabcbcA 2 22 523bcbcbcbc -9 分 23 4852 196bc bc14 -10 分 18 （本小题满分 12 分） 在 2 a， 3 a， 4 4a 成等差数列； 1 S， 2 2S ， 3 S成等差数列； 1 2 nn aS 中任 选一个，补充在下列的问题中，并解答 在各项均为正数等比数列 n
21、a 中，前 n 项和为 n S，已知 1 2a，且 （1）求数列 n a 的通项公式； （2） 数列 n b的通项公式 1 2 11 n n nn b aa ，n N， 求数列 n b的前 n 项和 n T 【答案】 设等比数列的公比为 q（q0） ， -1 分 第 5 页 共 12 页 （1）选：因为 2 a， 3 a， 4 4a 成等差数列， 所以 324 24aaa， 所以 23 4224qqq，又 q0 解得 2q ，所以2n n a . -5 分 选：因为 1 S， 2 2S ， 3 S成等差数列， 所以 213 22SSS ，即 23 4aa ， 所以 2 24 2qq ，又 q0
22、，解得 2q ，所以2n n a . -5 分 选：因为 1 2 nn aS ，所以 21 2 4aS ，则 2 1 2 a q a ，所以2n n a . -5 分 （2）因为2n n a ， 1 111 22121 2 212121212121 nnn n n nnnnnn b 1 1 1 22121 2121 22 nnn nn nn -9 分 则 12nn Sbbb 21321 212121212121 nn 1 21 1 n -12 分 19 （本小题满分 12 分） 一副标准的三角板如图 1中，ABC 为直角， 60A ，DEF 为直角，DEEF，且 BCDF，把 BC 与 DF
23、重合，拼成一个三棱锥，如图 2设 M 是 AC 的中点，N 是 BC 的中点 A B E D C F E B（D） C（F） N M A 第 6 页 共 12 页 图 1 图 2 （1）求证：BC平面 EMN； （2）在图 2中，若 AC4，二面角 EBCA 为直二面角，求直线 EM 与平面 ABE 所 成角的正弦值 【答案】 （1）证明： 设 BC 中点为 N，连结 MN，EN. M 是 AC 的中点，N 是 BC 的中点， MNAB， ABBC， MNBC， BEEC，BEEC，N 是 BC 的中点， ， ENBC， 又 MNBC，MNENN，MN 平面 EMN，EN 平面 EMN， BC
24、平面 EMN -5 分 （2） 由（1）可知：ENBC，MNBC， ENM 为二面角 EBCC 的平面角 又二面角 EBCC 为直二面角 ENM 90 以 NM，NC，NE 分别为 x，y，z 轴，如图建立空间直角坐标系 Nxyz AC4，则 AB2， 2 3BC ， 3NE 由0,0, 3E， 1,0,0M ，则1,0,3EM 又0,3,0B，2,3,0A，0,0, 3E，则0, 3, 3BE，2,0,0BA 设 , ,x y zm 为平面 ABE 的一个法向量，则 BE BA m m ，即 0, 0 BE BA m m 即 0, 330, x yz 令 y1，则 z1 E B（D） C（F
25、） N M A x y z 第 7 页 共 12 页 0,1, 1m 为平面的一个法向量 -9 分 设直线 EM 与平面 ABE 所成的角为（ 0 2 ） 36 sincos, 4 2 2 EM EM EM m m m 所以直线 EM 与平面 ABE 所成的角的正弦值为 6 4 -12 分 20 （本小题满分 12 分） 一种疫苗在正式上市之前要进行多次人体临床试验接种，假设每次接种之间互不影响， 每人每次接种成功的概率相等 某医学研究院研究团队研发了新冠疫苗， 并率先开展了 新冠疫苗 I 期和 II 期临床试验I 期试验为了解疫苗接种剂量与接种成功之间的关系， 选取了两种剂量接种方案（0.5
26、ml/次剂量组（低剂量）与 1ml / 次剂量组（中剂量） ） ， 临床试验免疫结果对比如下： 接种成功 接种不成功 总计（人） 0.5ml/次剂量组 28 8 36 1ml/次剂量组 33 3 36 总计（人） 61 11 72 （1） 根据数据说明哪种方案接种效果好?并判断是否有 90%的把握认为该疫苗接种成功 与两种剂量接种方案有关? （2）若以数据中的频率为概率，从两组不同剂量组中分别抽取 1 名试验者，以 X 表示 这 2 人中接种成功的人数，求 X 的分布列和数学期望 参考公式： 2 2 n adbc K abcdacbd ，其中 nabcd 附表： 2 0 P Kk 0.40 0
27、.25 0.15 0.10 0.050 0.025 0.010 0.001 0 k 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【答案】 第 8 页 共 12 页 （1）0.5ml/次剂量组（低剂量）接种成功的概率为 287 369 1ml/次剂量组（中剂量）接种成功的概率为 3311 3612 11 7 129 1ml/次剂量组（中剂量）接种效果好 -3 分 由 22 列联表得 2 2 7 2 2 8383 3 2 . 6 8 32 . 7 0 6 6 11 13 63 6 k 没有 90%的把握认为该疫苗接种成功与两种剂量接种方案有关
28、-6 分 （2）X 得可能取值为 0，1，2 2121 0 91210854 P X 7121129 1 912912108 P X 71177 2 912108 P X X 得分布列为 X 0 1 2 P 1 54 29 108 77 108 1297718361 012 5410810810836 E X -12 分 21 （本小题满分 12 分） 如图，定义：以椭圆中心为圆心，长轴为直径的圆叫做椭圆的“伴随圆” 过椭圆上一 点 M 作 x 轴的垂线交其 “伴随圆” 于点 N （M、 N 在同一象限内） ， 称点 N 为点 M 的 “伴 随点” 已知椭圆 E： 2 2 22 1 y x a
29、b （ab0）上的点 3 3, 2 的“伴随点”为3,1 （1）求椭圆 E 及其“伴随圆”的方程； （2）求OMN 面积的最大值，并求此时“伴随点”N 的坐标； （3）已知直线 l：xmyt0 与椭圆 E 交于不同的 A，B 两点，若椭圆 E 上存在点 P， 使得四边形 OAPB 是平行四边形求直线 l 与坐标轴围成的三角形面积最小时的 22 mt 的值 x y O M N 第 9 页 共 12 页 【答案】 （1）因为椭圆 E： 2 2 22 1 y x ab （ab0）过点 3 3, 2 ，伴随圆 222 xya过点 3,1， 所以 22 2 33 1 4 31 ab a 解得： 2 3b
30、 ， 椭圆 E 的方程为 2 2 1 43 y x ；伴随圆的方程为 22 4xy -3 分 （2）设 , m M m y ， , n N m y ，则 2 2 1 43 m y m ， 22 4 n my； 22113 43 224 nmOMN Smyymmm 22222323231 4444 2244 mmmmmmm 2 22 23234 422 mm 当且仅当 22 4mm ，即 2m 时，等号成立此时2,2N -7 分 （3）由题意可设 11 ,A x y ， 22 ,B xy 联立 2 2 1 43 y x xmyt 整理得 222 346312mymtyt0，则 22 48 340
31、mt 由韦达定理得：12 2 6 34 mt yy m 121212 2 8 2 34 t xxmytmytm yyt m -8 分 因为四边形 OAPB 是平行四边形， 所以 1212 22 86 , 34 34 tmt OP OAOBxxyy mm 又点 P 在椭圆 E 上，所以 22 2 22 22 6436 1 4 343 34 tm t mm ， 整理得 22 434tm -10 分 在直线 l：xmyt0 中，由于直线 l 与坐标轴围成三角形，则 t0，m0 令 x0，得 t y m ，令 y0，得 xt 第 10 页 共 12 页 所以三角形 OAB 面积为 2 311 3414
32、1 34 3 28882 OAB tm Stm mmm ， 当且仅当 24 3 m ， 2 2t 时，等号成立，此时0且有 2210 3 mt ， 故所求 22 mt 的值为10 3 -12 分 22 （本小题满分 12 分） 已知函数 2 lnf xxxax， 22 e1 x g xxx （1）求曲线 yg x在 0,0g处的切线方程； （2）讨论 f x的单调区间； （3）若不等式 f xg x对任意 x0 成立，求实数 a 的取值范围 【答案】 （1） 01g 22 e2 e2 xx g xxx 01k g 切线的方程为 yx1 -3 分 （2） 2 121 2 xax fxxa xx
33、当 2 8 0a 即2 22 2a 时， 2 21 0 xax 在0,恒成立， 即 0fx在0,恒成立，则 f x的增区间为0, 当 2 8 0a 且0 2 a 即2 2a时， 令 0fx，得 2 8 0 4 aa x 或 2 8 4 aa x 令 0fx，得 22 88 44 aaaa x f x的增区间为 2 8 0, 4 aa ， 2 8 , 4 aa ； 减区间为 22 88 , 44 aaaa 第 11 页 共 12 页 当 2 8 0a 且0 2 a 即2 2a时， 2 21 0 xax 在0,恒成立， 即 0fx在0,恒成立， f x在0,上单调递增 综上：当2 2a时， f x
34、的增区间为0,； 当2 2a时， f x的增区间为 2 8 0, 4 aa ， 2 8 , 4 aa ； 减区间为 22 88 , 44 aaaa -7 分 （3） 2ln2 maxmax ln1eln1e xxx xxx a xx -8 分 令 e1 x F xx，则 e1 x Fx 当 x0 时， 0Fx， F x单调递减； 当 x0 时， 0Fx， F x单调递增； 当 x0 时， F x有极小值也是最小值 10F 10F xF，即e1 x x ln2 eln21 xx xx (令 ln1F xxx，则 11 1 x Fx xx 当 0 x1 时， 0Fx， F x单调递增； 当 x1 时， 0Fx， F x单调递减 当 x1 时， F x有极大值也是最大值 10F 10F xF，即ln1xx ln2ln2 lnee1 xxxx ，即 ln2 ln2e1 xx xx ，即 ln2 ln21 e xx xx ) -10 分 2ln2 ln1ln21 ln1eln1e 2 xxx xxx xxx xxx 第 12 页 共 12 页 当且仅当ln20 xx取等号， 2 max ln1e 2 x xx x ， 2a -12 分
