1、2021 年广东省初中学业水平考试数学年广东省初中学业水平考试数学 本试卷共 4 页，25 小题，满分 120 分，考试用时 90 分钟. 注意事项: 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写 在答题卡上.用 2B 铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号.将条形码 粘贴在答题卡“条形码粘贴处” 2.作管选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域
2、内相应位 置上:如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案:不准使用铅笔和涂改液.不按以上要 求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分在每小题给出的四个选项中，只有一项分在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的 1下列实数中，最大的数是（） AB2C2D3 【答案】A 【解析】考查实数的大小比较，涉及有理数、无理数、绝对值 2据国家卫生健康委员会发布，截至 2021 年 5 月 23 日，31 个省（区、市）及新疆生
3、产建 设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗51085.8万剂次，将“51085.8万”用科学记数法表示 为（） A 9 0.510858 10B 7 51.0858 10 C 4 5.10858 10D 8 5.10858 10 【答案】D 【解析】考查科学记数法的表示方法，一般把大于 10 的数表示成 10110 n aa 3同时掷两枚质地均匀的骰子，则两枚骰子向上的点数之和为7的概率是（） A 1 12 B 1 6 C 1 3 D 1 2 【答案】B 【解析】如图，总事件有 36 种，和为 7 的事件有 6 种，所以 61 366 P 4已知93 m ，274 n ，则 23 3 mn （） A
4、1B6C7D12 【答案】D 【解析】 2323 3339713422 mnmnmn ，考查幂的运算公式的灵活变形 5若 22 391240aaabb，则ab（） A3B 9 2 C4 3D9 【答案】B 【解析】因为 22 391240aaabb，且30a ， 22 91240aabb 所以3 = 0a ， 2 22 912432320aabbabab 所以3a ， 33 3 22 a b ，所以 3 39 3 22 ab ,考查绝对值、二次根式的非负性。 6下列图形是正方体展开图的个数为（） A1个B2个C3个D4个 【答案】C 【解析】考查正方体展开图的 11 种样式的记忆，第一个属于
5、2-3-1 样式，第三个属于 2-2-2 样式， 第三个属于 3-3 样式 7 如题7图，AB是Oe的直径， 点C为圆上一点，3AC ，ABC的平分线交AC于点 D，1CD ， 则Oe的直径为（） A3B2 3C1D2 【答案】B 【解析】 作DHAB于 H 点， 根据角平分线的性质可得1DHDC,而312ADACCD ， 易得30A，所以直径 32 32 3 cos303 AB ，考查圆中的计算（结合角平分线、三角函 数） 8设610的整数部分为a，小数部分为b，则 210ab的值是（） A6B2 10C12D9 10 【答案】A 【解析】易得91016，所以91016即（3104） ，因此
6、可得2a ， 6102410b ，所以 2104104106ab，考查实数的整数部分、小数 部分的转化，以及平方差公式的运算 9我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家 海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记 2 abc p ，则其面积 Sp papbpc这个公式也被称为海伦秦九韶公式若5p ，4c ，则此三 角形面积的最大值为（） A5B4C2 5D5 【答案】C 【解析】把5p ，4c 代入Sp papbpc可得555Sab，因为 2 abc p ，所以210abcp，而4c ，所以6ab，6ba，把6ba代 入555Sab可
7、 得 2 2 5 515655320Saaaaa， 当 3a 时，S 最大，最大值为202 5，考查秦九韶公式的变形处理技巧以及二次函数的配 方 10设O为坐标原点，点 A、B 为抛物线 2 yx上的两个动点，且OAOB连接点 A、B，过O作 OCAB于点C，则点C到y轴距离的最大值（） A 2 B 2 2 C 3 2 D1 【答案】A 【解析】如图，设直线AB解析式为ykxb 联立： 2 yx ykxb ，化简得 2 0 xkxb 不妨设 11 A xy，, 22 B xy， 则 12 xxk， 12 xxb 作AEx轴，BFx轴，易得OAEBOF 则 AEOF OEBF 即（ 12 12
8、yx xy ） ，化简可得 1212 0 x xy y 而 222222 12121212 y ykxbkxbk x xkb xxbbkk bbb 所以有 2 0bb，因此1b （0b 需要舍去） 即直线 AB 过定点01，因此 AB：1ykx 易得直线 OC 的解析式为： 1 yx k ，联立 1 1 yx k ykx ，解得 2 2 1 1 1 k x k y k 即 22 1 11 k C kk ， 点 C 到 y 轴距离 2 1 k dCH k ，则 2 1d kk，化简可得 2 0dkkd，由于关于 k 的一元二 次方程有实数根，因此满足0，即 2 140d，因此 2 1 4 d，因
9、此 1 0 2 d 本题考查二次函数与一定函数结合时过定点背景下的最值求法，涉及相似三角形、一元二次方程 等多个考点 二、填空题：本大题二、填空题：本大题 7 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 28 分分 11二元一次方程组 22 22 xy xy 的解为_ 【答案】 2 2 x y 【解析】 22 22 xy xy ，+可得0 xy，得，2y ，把2y 代入得2x 因此 2 2 x y ，考查二元一次方程组的解法 12把抛物线 2 21yx向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析 式为_ 【答案】 2 24yxx 【解析】考查二次函数的图象变换，根据“上加下
10、减，左加右减”可得平移后的解析式为 2 212yx，化简即得 2 24yxx 13如题13图，等腰直角三角形ABC中，90A，4BC 分别以点 B、点 C 为圆心，线段BC 长的一半为半径作圆弧， 交AB、BC、AC于点 D、 E、 F， 则图中阴影部分的面积为_ 【答案】4 【解析】 2 111 4224 424 ABCB SSS 阴影 ，考查阴影面积的求法（主要还是用整 体减去局部） 14若一元二次方程 2 0 xbxc（b，c为常数）的两根 1 x， 2 x满足 1 31x ， 2 13x， 则符合条件的一个方程为_ 【答案】 2 40 x （答案不唯一） 【解析】不妨设 1 2x ，
11、2 2x ，则满足题意的其中一个方程是 2 40 x ，本题考查一元二次方 程根与系数的关系（已知两根范围，表达原方程，需要有逆推的思维） 15若 113 6 x x 且01x，则 2 2 1 x x _ 【答案】 65 36 【解析】因为 113 6 x x ，且 222 111325 44 636 xx xx 因此 15 6 x x 而01x，可得 1 0 x x 因此 15 6 x x ，所以 2 2 11113565 6636 xxx xxx 本题考查完全平方公式的变形运算以及因式分解的技巧 16如题16图，在ABCDY中，5AD ，12AB ， 4 sin 5 A 过点D作DEAB，
12、垂足为E， 则sinBCE_ 【答案】 9 10 50 【解析】作BHCE，在BCE中， 由等积法可得 11 22 BEDECEBH 易得4DE ，3AE ,9BE ,4 10CE 949 10 104 10 BH 9 1019 10 sin 10550 BH BCE BC 17在ABC中，90ABC，2AB ，3BC 点D为平面上一个动点，45ADB，则线 段CD长度的最小值为_ 【答案】52 【解析】如图 1，根据45ADB，2AB （定弦定角） ， 作ABD的外接圆 O，连接 OC，交O 于D（图 2） ，此时 CD 的值最小，根据45ADB，得90AOB，因此 2 2 2 OAOBOD
13、 ，作OHBC，可得1BHOH，所以2CH ，所以 22 125OC ， 所以 min 52CD 本题考查动点与隐圆条件下的最值， 难度较大，需要根据条件发散思维 三、解答题（一三、解答题（一） ：本大题共：本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分分 18解不等式组 2432 7 4 2 xx x x 【答案】 解： 2432 7 4 2 xx x x 式得：2436xx 移项得：2x 2x 2 分 2得：87xx 77x 1x 4 分 所以原不等式组的解集为12x 6 分 19某中学九年级举办中华优秀传统文化知识竞赛用简单随机抽样的方法，从该年级全体600名 学生中
14、抽取20名，其竞赛成绩如题 19 图： （1）求这20名学生成绩的众数，中位数和平均数； （2）若规定成绩大于或等于90分为优秀等级，试估计该年级获优秀等级的学生人数 【答案】 解： （1）众数：90， 中位数：90， 2 分 平均数 80285 390 895 51002 = 20 =90.54 分 （2）20名中有852=15人为优秀， 优秀等级占比： 153 = 204 该年级优秀等级学生人数为： 3 600=450 4 （人） 答：该年级优秀等级学生人数为450人6 分 20如题20图，在RtABC中，90A，作BC的垂直平分线交AC于点D，延长AC至点E， 使CEAB （1）若1AE
15、 ，求ABD的周长； （2）若 1 3 ADBD，求tanABC的值 【答案】 解： （1）如图，连接BD，设BC垂直平分线交BC于点F，1 分 DFQ为BC垂直平分线， BDCD，2 分 ABD CABADBD ABADDC ABAC， ABCEQ， 1 ABD CACCEAE 3 分 （2）设ADx，3BDx，4 分 又BDCDQ，4ACADCDx， 在RtABD中， 2 222 32 2ABBDADxxx5 分 4 tan2 2 2 ACx ABC ABx 6 分 四、解答题（四、解答题（二二） ：本大题共：本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 8 分，共分，共 24 分分 21在平面
16、直角坐标系xOy中，一次函数0ykxb k的图象与x轴、y轴分别交于A、B两 点，且与反比例函数 4 y x 图象的一个交点为1,Pm （1）求m的值； （2）若2PAAB，求k的值 【答案】 解： （1）PQ为反比例函数 4 y x 上一点， 代入得 4 4 1 m ， 4m2 分 （2）令0y ，即0kxb， b x k ，,0 b A k ， 令0 x ，yb，0,Bb， 2PAABQ 由图象得，可分为以下两种情况， B在y轴正半轴时，0b ， 2PAABQ， 过P作PHx轴交x轴于点H，又 11 BOAH， 111 PAOB AO ， 111 AHPAOB， 1111 11 1 2 A
17、BAOBO APAHPH ， 1 11 42 22 BOPH， 2b ， 1 1AOOH， 1 b k ，2k 5 分 B的y轴负半轴时，0b ，过P作PQy轴， 2 PQB QQ， 22 A OB Q， 222 A B OAB Q ， 222 A OBPQB， 2222 22 1 3 A BA OB O PBPQB Q ， 2 11 33 b AOPQ k ， 22 11 2 32 B OB QOQb， 2b ， 6k，7 分 综上，2k 或6k 8 分 22端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习 俗市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家
18、用8000元购进的猪肉 粽 和 用6000元购进的豆沙粽盒数相同在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售 出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒 （1）求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价； （2）设猪肉粽每盒售价x元（5065x ） ，y表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单 位：元） ，求y关于x的函数解析式并求最大利润 【答案】 解： （1）设猪肉粽每盒进价a元，则豆沙粽没和进价10a元1 分 则 80006000 10aa 2 分 解得：40a ，经检验40a 是方程的解3 分 猪肉粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元4 分 （2）由题意得，当50 x 时，每天可售100盒 当
19、猪肉粽每盒售x元时，每天可售100250 x 盒 5065x 5 分 40100250yxx =402002xx 2 22808000 xx 2 2701800 x 6 分 5065x ，且70 x时，y 随 x 的增大而增大 当65x 时，y取最大值，最大值为 2 max 2 657018001750y 元7 分 答：y关于x的函数解析式为 2 22808000 5065yxxx ，且最大利润为1750 元2 分 23如题23图，边长为1的正方形ABCD中，点E为AD的中点连接BE，将ABE沿BE折 叠得到FBE，BF交AC于点G，求CG的长 【答案】 解：延长BF交CD于H连EH FBEQ
20、由ABE沿BE折叠得到 EAEF，90EFBEAB ， EQ为AD中点， EAED， EDEF， Q正方形ABCD 90DEFBEFH ， 在RtEDH和RtEFH中， EDEF EHEH RtRtHLEDHEFH2 分 DEHFEH 又AEBFEBQ ， 90HEB， 90DEHAEB ， ABEDEHQ ， 90DEHAEB ， ABEDEHQ ， DHEAEB， 1 2 DHAE DEAB ，4 分 1 4 DH， CHABQ， HGCBGA 3 4 CGCH AGAB ，6 分 由勾股定理得：2AC 7 分 3 2 7 CG8 分 备注：本题用其他解法，且过程严谨，亦可以给满分 五、解
21、答题（五、解答题（三三） ：本大题共：本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 10 分，共分，共 20 分分 24如题24图，在四边形ABCD中，ABCD，ABCD，90ABC，点E、F分别在线段 BC、AD上，且EFCD，ABAF，CDDE （1）求证：CFFB； （2）求证：以AD为直径的圆与BC相切； （3）若2EF ，120DFE，求ADE的面积 【答案】 解： （1）CDDFQ，设DCFDFC ， 1802FDC， CDABQ， 18018022BAF， 又ABAFQ， 1802 90 2 ABFAFB ， 1801809090CFBCFDBFA， CFBF2 分 （2）如图，取AD
22、中点O，过点O作OMBC， ABCDQ，90ABC， 90DCB， 又OMBCQ， OMAB， M为BC中点， 1 2 OMABCD，3 分 ADAFDFQ， 又AFABQ，DFDC， 2ADABCDOM， 1 2 OMADOD5 分 又OMBCQ， 以AD为直径的圆与BC相切6 分 （3）120DFEQ ，CDEF，EFAB， 60D，120A，60AFE， 又DCDFQ， DCF 为等边三角形，60DFC，7 分 由（2）得：90CFB， 30EFB， 30BFAFBA ， 2EFQ，在RtBFE中， 2 tan303 3 BEEF 在RtCEF中，tan602 3CEEF ，8 分 如图
23、，过点D，点A分别向EF作垂线交EF于点M，N， CDEMQ，ABEF， 2 3CEDM， 2 3 3 BEAN， ADEEFDEFA SSS 11 22 EF DMEF AN 1 2 EFDNAN 12 22 33 23 8 3 3 10 分 （备注：第 3 问若用其他解法，且过程完整，也可以得满分） 25已知二次函数 2 yaxbxc的图象过点1,0，且对任意实数x，都有 22 412286xaxbxcxx （1）求该二次函数的解析式； （2）若（1）中二次函数图象与x轴的正半轴交点为A，与y轴交点为C；点M是（1） 中二次函数图象上的动点问在x轴上是否存在点N，使得以A、C、M、N 为顶
24、点的四边形是平行四边形若存在，求出所有满足条件的点N的坐标；若不 存在，请说明理由 【答案】 解： （1）令 2 412286xxx，解得 12 3xx， 当3x 时， 2 4122860 xxx， 2 yaxbxc必过3,0，1 分 又 2 yaxbxcQ过1,0， 02 9303 abcba abcca ， 2 23yaxaxa， 又 2 412xaxbxc， 2 23412axaxax， 2 241230axaxxa0， 0a 且0， 2 2441230aaa， 2 10a， 1a ， 2b ，3c ，2 分 2 23yxx3 分 （2）由（1）可知：3,0A，0, 3C，设 2 ,23
25、M m mm，,0N n， 当AC为对角线时， ACMN ACMN xxxx yyyy 2 30 03230 mn mm ，解得 1 0m （舍） ， 2 2m ， 1n ，即 1 1,0N5 分 当AM为对角线时， AMCN AMCN xyxx yyyy 2 30 02330 mn mm ，解得 1 0m （舍） 2 2m ， 5n ，即 2 5,0N7 分 当AN为对角线时， ANCM ANCM xxxx yyyy 2 30 00323 nm mm ，解得 1 17m ， 2 17m ， 72n 或27n ， 3 72,0N， 4 27,0N 9 分 综上所述：N点坐标为1,0或5,0或 72,0或 27,0 10 分
