1、20172017 年年 4 4 月浙江省普通高中学业水平考试数学试题月浙江省普通高中学业水平考试数学试题 第第卷（共卷（共 5454 分）分） 一一、选择题选择题：本大题共本大题共 1 18 8 个小题个小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,共共 5454 分分. .在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. . 1.已知全集1,2,3,4U ，若1,3A ，则 UA （） A1,2B1,4C2,3D2,4 【答案】D 【知识点】本题主要考察知识点：集合问题 【解析】 由题可以知道 A=2,4选择D。 2.已知数列1，a，5是等差
2、数列，则实数a的值为（） A2B3C4D5 【答案】B 【知识点】本题主要考察知识点：等差数列问题 【解析】6512a则3a选择B 3.计算lg4lg25（） A2B3C4D10 【答案】A 【知识点】本题主要考察知识点： 对数问题 【解析】4log10+25log10=2100log10，选A。 4.函数3xy 的值域为（） A(0,)B1,)C(0,1D(0,3 【答案】A 【知识点】本题主要考察知识点：指数函数值域 【解析】对于定义域 R 中的任意x, x 3的取值范围是(0,)，所以选择A. 5.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若3a ，60A ，45B ， 则b的
3、长为（） A 2 2 B1C2 【答案】C 【知识点】本题主要考察知识点 正弦定理 【解析】运用正弦定理 oo b 45sin60sin 3 则 b=32 60sin 45sin o o ,选择C。 6.若实数 10, 20, xy xy 则点( , )P x y不可能落在（） A第一象限B第二象限C第三象限 D第四象限 【答案】D 【知识点】本题主要考察知识点：由直线划分的平面区域 【解析】由题意可以得到 y2x ,yx+1，画图可得 点 p（x,y）不可能落在第四象限，选择D. 7.在空间中，下列命题正确的是（） A若平面内有无数条直线与直线l平行，则/ /l B若平面内有无数条直线与平面
4、平行，则/ / C若平面内有无数条直线与直线l垂直，则l D若平面内有无数条直线与平面垂直，则 【答案】D 【知识点】本题主要考察知识点：立体几何问题 【解析】A错误，因为 L 可能在平面内 B错误，与可能相交 C错误，L 与可能斜交，也可能l D正确，选择D。 8.已知锐角，且 3 sin 5 ，则sin(45 ) （） A 7 2 10 B 7 2 10 C 2 10 D 2 10 【答案】A 【知识点】本题主要考察知识点：三角函数变换 【解析】 5 3 sin,为锐角，则 5 4 cos 则 10 27 2 2 ) 5 4 5 3 (45sincos45cossin)45sin( ooo
5、 则正确选项为A 9.直线yx被圆 22 (1)1xy所截得的弦长为（） A 2 2 B1C2D2 【答案】C 【知识点】本题主要考察知识点：直线与圆的相交问题 【解析】弦的两端点是)0, 0(和) 1, 1 (，弦长为2，故选C。 10.设数列 n a的前n项和为 n S，若 1 21 nn Sa ，*nN，则 3 a （） A3B2C1D0 【答案】B 【知识点】本题主要考察知识点：等比数列求和公式 【解析】12, 12 121 nnnn aSaS后者减去前者得到 12 22 nnn aaa所以可以得到 12 121 aaa则1 12 aa 12 2321 aaaa则 32 aa 则21)
6、 1(1 11123 aaaaa故选择B。 11.如图，在三棱锥ABCD中，侧面ABD 底面BCD，BCCD，4ABAD，6BC ， 4 3BD ，该三棱锥三视图的正视图为（） 【答案】C 【知识点】本题主要考察知识点 ：立体几何问题 【解析】取BD的中点M则 MDBM32 在323648CDBCDRT中， 作CH垂直BD于H，则H点在线段DM上，故选择C 12.在第 11 题的三棱锥ABCD中，直线AC与底面BCD所成角的大小为（） A30B45C60D90 【答案】A 【知识点】本题主要考察知识点：立体几何问题 【解析】AM垂直平面BCD，则角MCA为AC于底面 BBCD成的角， 可知三角
7、形CDM是正三角形，则32CM。又可以求2AM， 则 3 3 32 2 tanMCA，则角MAC为 30 度，故选择A。 13.设实数a，b满足| |ab，则“0ab”是“0ab”的（） A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件 【答案】C 【知识点】本题主要考察知识点：条件论证 【解析】一方面，若0ab，则ba ，而| |ab （如图） ，则ba，则0ba；另一方面，若0ab， 则ba， 而| |ab（如图） ， 则ba ， 则0ba。总之，选择 C。 14.过双曲线 22 22 1 xy ab （0a ，0b ）的左顶点A作倾斜角为45的直线l，l交y轴于点B， 交
8、双曲线的一条渐进线于点C，若ABBC ，则该双曲线的离心率为（） A5B5C3D 5 2 【答案】B 【知识点】本题主要考察知识点：双曲线解析问题 【解析】),(),0(),0 ,( 0 0 a bx xCaBaA 由于BCAB ，则),(baC又因为直线AC的 倾角为 o 45，则ba 2则 51 2 2 2 22 2 2 a b a ba a c a c e，故选B. 15.若实数a，b，c满足12ba， 1 0 8 c，则关于x的方程 2 0axbxc（） A在区间1,0内没有实数根 B在区间1,0内有一个实数根，在1,0外有一个实数根 C在区间1,0内有两个相等的实数根 D在区间1,0
9、内有两个不相等的实数根 【答案】D 【知识点】本题主要考察知识点： 二次函数的求根与范围 【解析】 8 1 0 , 21,)( 2 Cabcbxaxxf由于记 8 9 8 1 12) 1(), 8 1 , 0()0(cbafCf则， ) 8 9 , 0() 1(, 000)() 1(fcbacbaf 8 1 2 1 4 2 24 ) 2 1 (ccc ba f尝试 Dc ba f故选择尝试0 8 1 4 1 16 2 416 ) 4 1 ( 16.如图（1） ，把棱长为 1 的正方体沿平面 11 AB D和平面 11 ABC截去部分后，得到如图（2）所示几何 体，该几何体的体积为（） A 3
10、4 B 17 24 C 2 3 D 1 2 【答案】B 【知识点】本题主要考察知识点：立体几何求体积问题 【解析】 MBANBCABDABA VVVVV 11111111 正三棱锥正三棱锥正方体 2) 3 3 60sin 2 22 3 1 (13 o V+1/31/2 2 1 ) 2 2 ( 2 24 17 V(这里用到结论，两截面 11D AB于DBC1三等分对角 线CA1另外两个截面)所以选择B. 17.已知直线22(2)0 xyy与两坐标轴围成一个三角形，该三角形的面积记为( )S，当 (0,)时，( )S的最小值是（） A12B10C8 【答案】C 【知识点】本题主要考察知识点：求函数
11、最值问题 【解析】 2, 2, 02 , 022yxyyx解得令 则直线经过定点)2 , 2(D斜率0 1 2 k ) 1 22 , 0(),0 , 1( BA 则84424 ) 1( 4 ) 1( 1 ) 1( )( 2 1 2 BAAOB YXS 故选择C. 18.已知函数 2 ( )f xxaxb（a，bR） ，记集合|( )0AxR f x， |( ( ) 1)0BxR f f x，若AB ，则实数a的取值范围为（） A4,4B2,2C2,0D0,4 【答案】B 【知识点】本题主要考察知识点：复合函数问题 【解析】 bbaxxabaxxbaxxfxff) 1() 1() 1() 1)(
12、 2222 )1 ()(2()( 222 babaxxabaxx 0)2(4, 01 , 04 22 ababaabaBA则，由于 0)21(4, 0) 1(4 22 aaa所以。故选择）所以（Baaa, 22, 4, 02 22 第第卷（共卷（共 4646 分）分） 二、填空题（每空二、填空题（每空 3 3 分，满分分，满分 1515 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 19.设向量(1,2)a ，(3,1)b ，则ab 的坐标为，a b 【答案】(4,3) ;5 【知识点】本题主要考察知识点：向量的运算 【解析】)3 , 4() 1 , 3()2 , 1 (ba,51231b
13、a 20.椭圆 2 2 1 3 x y两焦点之间的距离为 【答案】22 【知识点】本题主要考察知识点：椭圆的 a、b、c 之间的关系。 【解析】3a,b=1,2 22 bac,所以 2c=22 21.已知a，bR，且1a ，则 1 | 1 abb a 的最小值 是 【答案】1 【知识点】本题主要考察知识点：绝对值不等式、均值不等式 【解析】 112 ) 1 1 1 () 1() 1 1 ()( 1 1 a ab a bab a ba 22.设点P是边长为 2 的正三角形ABC的三边上的动点，则()PAPBPC 的取值范围 为 【答案】2 , 8 9 【知识点】本题主要考察知识点向量的应用 【解
14、析】 （1）当 P(x,0)在 BC 上时，x1. 2 , 02)0 ,2()3,()( 2 xxxPCPBPA （2）当点xp(，x33 ）在边AC上时,10 x则 )3,(2)(xxPOPAPCPBPAxxxxx662)3232 ,2( 22 2 , 8 9 )1 (), 8 3 (68 2 ffxx (3)当 P 在边 AB 上时同理可以求得范围也是2 , 8 9 三三、解答题解答题 （本大题共本大题共 3 3 小题小题，共共 3131 分分. .解答应写出文字说明解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤. .） 23.已知函数 2 ( )2cos1f xx，xR （）求
15、() 6 f 的值； （）求函数( )f x的最小正周期； （）设( )()3cos2 4 g xfxx ，求( )g x的值域 【答案】(1) 2 1 (2)(3)2 , 2 【知识点】本题主要考察知识点为：三角函数与函数，函数的值域问题 【解析】 （1）2/11) 2 3 (21) 6 (cos2) 6 ( 22 f （2）由于的最小正周期为则）（)(,2cos1) 2 2cos1 (2xfx x xf （3）xxxxxg2cos3)2 2 cos(2cos3) 4 (2cos)( 2 , 2) 3 2sin(22cos32sin xxx 则)(xg的值域为2 , 2 24.已知抛物线C：
16、 2 2ypx过点(1,1)A （）求抛物线C的方程； （）过点(3, 1)P的直线与抛物线C交于M，N两个不同的点（均与点A不重合） 设直线AM， AN的斜率分别为 1 k， 2 k，求证： 12 kk为定值 【答案】 （1）xy 2 （2） 2 1 21 kk 【知识点】本题主要考察知识点为：曲线抛物线与直线相交问题 【解析】 （）代点) 1 , 1 (A得 11212p,则12p 则抛物线的方程为xy 2 （） 1)( 1)( 1 1 1 1 21 nmnM nmnM n n m m XXXX yyyy X y X y kk 设直线MN的方程为1)3(xky代入抛物线方 xy 2 整理得
17、到0) 13() 126( 2222 kxkkxk)0(k其中 2 2 2 2 ) 13( , 126 k k XX k kk XX nmnm k KXXkyy nmnm 1 ) 13(2)( k k k k kk kk 13 ) 13() 126 () 13() 13( 2 2 2 则代入得 2 1 ) 126() 13( ) 13( 222 2 21 kkkk kkkk kk 验证得知斜率不存在时，)3, 3(),3, 3(M时， 2 1 21 kk 25.已知函数( )3|1|f xxaax，其中aR （）当1a 时，写出函数( )f x的单调区间； （）若函数( )f x为偶函数，求实
18、数a的值； （）若对任意的实数0,3x，不等式( )3 |f xx xa恒成立，求实数a的取值范围 【答案】 （）f(x)的递减区间是)., 1 ,1 ,(递增区间是 （）0a （） 2 15 3 , 9 19 【知识点】本题主要考察的知识点是：函数的单调性奇偶性抛物线与直线问题 【解析】 （）当1a时， 14113)(xxxxf 则)(xf的递减区间是)., 1 ,1 ,(递增区间是 （）因为)(xf偶函数，则) 1 () 1(ff 所以113113aaaa 所以1414aa 所以) 1(1aa 所以) 1(1)( 11aaaa或无 所以0a axaxaxaxxxf31-33)(等价变形为
19、)30(133xaxaxx）即（ 13-363aax时，特别地当则 22 ) 13()186(aa 解得 3 17 9 19 a这是原不等式当30 x时恒成立的必要条件。 当 3 17 9 19 a时，1a可考虑不等式 a xaaxx 1 ) 1(3 对于30 x恒成立，可以考察两函数)30() 1(3)(xaxxxg 与)30( 1 )(x a xaxh的图像，此时只要考虑直线段 )31 ( 1xaxy与抛物线 不相交即可)(1(3axxy 联立，消去 y 并整理得 0) 13()32(3 2 axax 则 可正可负15)3(4 21244 2 2 a aa 此时，转化为)(1(31axxax对于31 x恒成立 即转化为) 2 3 (2133 2 xaxx对于31 x恒成立 即0) 13()32(3)( 2 axaxxp,对于31 x恒成立 则0) 1 (1 6 32 0 P a x且或0或0)3(3 6 32 0 P a x且 解得aaa或或 2 15 3 2 15 -3 2 3 5 与求交集 3 17 9 19 a得到函数 a 的取值范围是 2 15 3 , 9 19
