1、第 1 页 共 8 页 20122012 年北京市春季普通高中会考年北京市春季普通高中会考 数学试卷数学试卷 第一部分选择题（每小题 3 分，共 60 分） 在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的 1已知集合0,1,2M ，1,4B ，那么集合AB等于（） （A） 1（B） 4（C）2,3（D）1,2,3,4 2在等比数列 n a中，已知 12 2,4aa，那么 5 a等于() (A)6(B)8(C)10(D)16 3已知向量(3,1),( 2,5) ab，那么2 +a b等于（） A.（1,11）B. （4,7）C.（1,6）D（5,4） 4函数 2 log ( +1)yx
2、的定义域是（） (A)0,(B)( 1,+ )(C)1,（）(D)1, 5如果直线30 xy与直线10mxy 平行，那么m的值为（） (A)3(B) 1 3 (C) 1 3 (D)3 6函数=sinyx的图象可以看做是把函数=sinyx的图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标缩短 到原来的 1 2 倍而得到，那么的值为（）(A) 4(B)2(C) 1 2 (D)3 7在函数 3 yx，2xy ， 2 logyx，yx中，奇函数的是（） (A) 3 yx(B)2xy (C) 2 logyx(D)yx 8 11 sin 6 的值为（ ）(A) 2 2 (B) 1 2 (C) 1 2 (D) 2 2
3、9不等式 2 3 +20 xx的解集是（） A.2x x B.1x xC.12xxD. 1,2x xx或 10实数lg4+2lg5的值为（ ） (A) 2(B)5(C)10(D) 20 11某城市有大型、中型与小型超市共 1500 个，它们的个数之比为 1：5：9为调查超市每日的零售 额情况，需通过分层抽样抽取 30 个超市进行调查，那么抽取的小型超市个数为（） (A) 5(B)9(C)18(D) 20 12已知平面平面，直线m 平面，那么直线m与平面的关系是() A.直线m在平面内B.直线m与平面相交但不垂直 C.直线m与平面垂直D.直线m与平面平行 13在ABC中，3a ，2b ，1c ，
4、那么A的值是（） 第 2 页 共 8 页 A 2 B 3 C 4 D 6 14一个几何体的三视图如右图所示，该几何体的表面积是（） A3B8C12D14 15当0 x时， 1 2 2 x x 的最小值是（） A 1B 2C2 2D 4 16从数字 1,2,3,4,5 中随机抽取两个数字（不允许重复） ，那么这两个数字的和是奇数的概率为（） A 4 5 B 3 5 C 2 5 D 1 5 17当, x y满足条件 1 0 260 y xy xy 时，目标函数zxy的最小值是（） (A)2(B)2.5(C)3.5(D)4 18已知函数 2 ,0, ( ) ,0. x x f x xx 如果 0 (
5、)2f x，那么实数 0 x的值为（） (A)4(B)0(C)1 或 4(D)1 或2 19为改善环境，某城市对污水处理系统进行改造。三年后，城市污水排放量由原来 每年排放 125 万吨降到 27 万吨，那么污水排放量平均每年降低的百分率是（） (A)50%(B)40%(C)30%(D)20% 20.在ABC中，)BCBAACAC 2 | （，那么ABC 的形状一定是（） A. 等边三角形B.等腰三角形C. 直角三角形D.等腰直角三角形 第二部分非选择题（共 40 分） 一、填空题（共 4 个小题，每小题 3 分，共 12 分） 21已知向量(2,3),(1,)mab，且ab，那么实数m的值为
6、 22右图是甲、乙两名同学在五场篮球比赛中得分情况 的茎叶图那么甲、乙两人得分的标准差S甲S乙（填,=） 是 否 开始 n=1 =15a 输出a n=n+1 n3 结束 第 3 页 共 8 页 23某程序框图如下图所示，该程序运行后输出的a的最大值为 24数学选修课中，同学们进行节能住房设计，在分析气候和民俗后，设计出房屋的剖面图（如下图 所示） 屋顶所在直线的方程分别是 1 =+3 2 yx和 1 =+5 6 yx，为保证采光，竖直窗户的高度设计为 1m 那么点 A 的横坐标是 二、解答题： （共 4 小题，共 28 分） 25(本小题满分 7 分) 在三棱锥 P-ABC 中，侧棱 PA底面
7、 ABC,ABBC,E,F 分别是 BC,PC 的中点 (I)证明：EF平面 PAB; (II)证明：EFBC Ax(m)O y(m) 屋顶 竖直窗户 第 4 页 共 8 页 26(本小题满分 7 分) 已知向量=(2sin ,2sin )xxa，=(cos , sin )xxb，函数( )=+1f xa b (I)如果 1 ( )= 2 f x，求sin4x的值； (II)如果(0,) 2 x ，求( )f x的取值范围 27(本小题满分 7 分) 已知图 1 是一个边长为 1 的正三角形，三边中点的连线将它分成四个小三角形，去掉中间的一个小三 角形，得到图 2，再对图 2 中剩下的三个小三
8、角形重复前述操作，得到图 3，重复这种操作可以得到一系 列图形记第n个图形中所有剩下的 小三角形的面积之和为 n a，所以去掉的 三角形的周长之和为 n b (I) 试求 4 a， 4 b； (II) 试求 n a， n b 第 5 页 共 8 页 28(本小题满分 7 分) 已知圆 C 的方程是 22 +2 + =0 xyy m (I)如果圆 C 与直线=0y没有公共点，求实数m的取值范围； (II) 如果圆 C 过坐标原点，直线l过点 P(0，) (0a2)，且与圆 C 交于 A,B 两点，对于每一个确定 的a，当ABC 的面积最大时，记直线l的斜率的平方为u，试用含a的代数式表示u，试求
9、u的最大值 第 6 页 共 8 页 数学试卷参考答案： 1、B2、C3、B4、B5、A6、B7、A8、B9、C10、A11、C12、D13、B 14、B15、B16、B17、A18、D19、B20、C 21、 2 3 ； 22、 ；23、45；24、4.5； 25、(I)证明： E,F 分别是 BC,PC 的中点， EFPBEF平面 PAB,PB平面 PAB, EF平面 PAB; (II)证明： 在三棱锥 P-ABC 中， 侧棱 PA底面 ABC,PABC ABBC, 且 PAAB=A,BC平面 PAB PB平面 PAB, BCPB 由（I）知 EFPB,EFBC 26、 （I）解： =(2s
10、in ,2sin )xxa，=(cos , sin )xxb， ( )=+1f xa b 2 =2sin cos2sin+1xxx=sin2cos2xx 1 ( )= 2 f x， 1 in2cos2 = 2 xx， 1 1+2sin2 cos2 = 4 xx 1 sin4 = 4 x (II)解： 由（I）知( )=sin2cos2f xxx 22 = 2(sin2 +cos2 ) 22 xx = 2(sin2 cos+cos2 sin) 44 xx = 2sin(2 +) 4 x (0,) 2 x 第 7 页 共 8 页 5 2 + 444 x 2 0m，即1m 又圆 C 与直线=0y没有
11、公共点， 10m 综上，实数m的取值范围是0 1m (II)解： 圆 C 过坐标原点， =0m 圆 C 的方程为 22 +1=1xy （），圆心 C（0,1） ，半径为 1 当=1a时，直线l经过圆心 C，ABC 不存在，故0,1)(1,2a 由题意可设直线l的方程为=+y kx a，ABC 的面积为 S 则 S= 1 2 |CA|CB|sinACB= 1 2 sinACB 当 sinACB 最大时，S 取得最大值 要使 sinACB= 2 ，只需点 C 到直线l的距离等于 2 2 即 2 |1|2 = 2 +1 a k 整理得 22 =2(1)10ka 解得 2 1 2 a 或 2 1+ 2
12、 a 第 8 页 共 8 页 1当 22 0,11+,2 22 a时 ， sin ACB 最 大 值 是 1 此 时 22 =24 +1kaa， 即 2 =24 +1uaa 2当 22 (1,1)(1,1+) 22 a时，ACB(, ) 2 =sinyx是(, ) 2 上的减函数， 当ACB 最小时，sinACB 最大 过 C 作 CDAB 于 D，则ACD= 1 2 ACB 当ACD 最大时，ACB 最小 sinCAD= |CD| |CA =|CD|,且CAD(0,) 2 ， 当|CD |最大时，sinACD 取得最大值，即CAD 最大 |CD|CP|,当 CPl时，|CD|取得最大值|CP| 当ABC 的面积最大时，直线l的斜率=0k =0u 综上所述， 2 22 24 +1,0,11+,2 22 = 22 0, (1,1)(1,1+) 22 aaa u a i） 22 0,11+,2 22 a， 2 =24 +1uaa 2 =2(1)1a,当=2a或=0a时，u取得最大值 1 ii） 22 (1,1)(1,1+) 22 a，=0u 由 i） ，ii）得u的最大值是 1
