1、1 山东省山东省 2014 年年 12 月普通高中学业水平考试月普通高中学业水平考试 数学试题数学试题 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 4 页，满分 100 分，考试 限定用时 90 分钟.答卷前，考生务必将自己的姓名、考籍号、座号填写在试卷和答题卡规定 的位置，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第第卷（共卷（共 60 分）分） 注意事项： 每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号.不涂在答题卡上，只答在试卷上无效. 一、选择题（本大题共 20 个小题，每小题 3 分，共 60 分.在每小题给出的
2、四个选项中， 只有一项是符合题目要求的） 1、已知集合1,2 ,2,3AB，则AB等于（） A.B. 2C.1,3D.1,2,3 解析：考查集合的运算，答案：B. 2、 0 120角的终边在（） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 解析：考查象限角，答案：B. 3、函数cosyx的最小正周期是（） A. 2 B.C. 3 2 D.2 解析：考查三角函数的周期，答案：D. 4、在平行四边形ABCD中，ABAD 等于（） A.AC B.BD C.CA D.DB 解析：向量的简单运算，平行四边形法则，答案：A. 5、从 96 名数学教师，24 名化学教师，16 名地理教师中，用分层抽样
3、的方法抽取一个容量为 17 的样 本，则应抽取的数学教师人数是（） A. 2B.3C.12D.15 解析：考查统计初步知识，分层抽样方法，答案：C. 6、已知向量(1,1)a ，则a 等于（） A. 1B.2C.3D.2 解析：考查向量模的运算，答案：B. 7、从 7 名高一学生和 3 名高二学生中任选 4 人，则下列事件中的必然事件是（） A. 4 人都是高一学生B.4 人都是高二学生 C. 至多有 1 人是高二学生D.至少有 1 人是高一学生 解析：考查概率事件的基本概念，必然事件，答案：D. 2 8、过(4,2),B(2, 2)A两点的直线斜率等于（） A.2B.1C.2D.4 解析：考
4、查两点的斜率，两点式，答案：C. 9、不等式(1)0 x x的解集是（） A. /01xxB. /1x x C. /0 x x D. /01x xx或 解析：考查一般不等式的解法，答案：A. 10、圆心在点(1,5),并且和y轴相切的圆的标准方程为（） A. 22 (1)(5)1xyB. 22 (1)(5)1xy C. 22 (1)(5)25xyD. 22 (1)(5)25xy 解析：考查圆心、圆的方程、直线与圆相切等概念，答案：B. 11、已知 4 sin, 5 a 且a是第二象限角，则cosa等于（） A. 4 5 B. 3 5 C. 4 5 D. 3 5 解析：考查角的正余弦值，恒等式
5、22 sincos1应用，答案：B. 12、在等差数列 n a中， 15 3,11,aa则 3 a等于（） A. 5B.6C.7D.9 解析：考查等差数列的简单运算，答案：C. 13、若二次函数 2 1yxmx有两个不同的零点，则m的取值范围是（） A.(, 2) B.(2,)C.( 2,2)D.(, 2)(2,) 解析：考查二次函数与x轴交点的个数，判别式应用，答案：D. 14、一个底面是正三角形的直三棱柱的正（主）视图如图所示，则其侧面积等于（） A. 6B.8C.12D.24 解析：考查三视图，几何体的直观图，几何体的侧面积，答案：C. 15、已知 4 cos 5 a ，则cos2a等于
6、（） A. 24 25 B. 24 25 C. 7 25 D. 7 25 解析：考查三角函数的倍角公式，答案：D. 16、在等比数列 n a中， 1 1a ，公比2q ，则该数列的前 5 项和等于（） 3 A.31B.32C.63D.64 解析：考查等比数列的前n项和公式，答案：A. 17、在ABC中，角, ,A B C所对的边分别为, , .a b c若5,4,21,abc则C等于（） A. 0 30B. 0 45C. 0 60D. 0 120 解析：考查三角函数的余弦定理，答案：C. 18、已知 14 1 55 2 ,3 ,3 ,abc 则, ,a b c的大小关系是（） A.abcB.b
7、caC.cabD.acb 解析：指数函数单调性，判断大小，答案：A. 19、当, x y满足约束条件 0 1 260 x y xy 时，目标函数zxy的最大值是（） A. 1B.2C.3D.5 解析：考查约束条件的目标函数，答案：D. 20、如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（） A.25B.35C.45D.55 解析：考查程序框图：初始：1,0,nS第一圈：3,1,nS 第二圈：5,4,nS第三圈：7,9,nS第四圈：9,16,nS 第五圈：11,25,nS因为：1110,n 所以输出：25. 第第卷（共卷（共 40 分）分） 注意事项： 1、第卷共 8 个小题，共 40 分.
8、 2、第卷所有题目的答案， 考生须用 0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡上规定的区域内， 写在试卷上的答案不得分. 二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 3 分，共 15 分） 4 21、 0 sin150的值是 解析：常用角度的三角函数值，答案： 1 2 22、已知函数 2,0,2, ( ) ,x(2,4, x x f x x 则(1)(3)ff 解析：考查分段函数求值，答案：(1)(3)2 1 34ff ，答案：4. 23、两条直线210,230 xyxy 的交点坐标是 解析：考查两条直线的交点，解方程组，答案： 1 ( 2, ) 2 . 24、已知0,0,xy且4,xy则xy的最大值是
9、 解析：基本不等式的简单应用， 2 ()4 2 xy xy ，答案：4. 25、一个正方形及其内切圆，在正方形内随机取一点，则所取的点在圆内的概率是 解析：考查几何概型， 2 2 (2 )4 r P r ，答案： 4 . 三、解答题（本大题共 3 个小题，共 25 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 26、 （本小题满分 8 分） 有 5 张卡片，上面分别标有数字 1,2,3,4,5，从中任取 2 张，求： （1）卡片上数字全是奇数的概率； （2）卡片上数字之积为偶数的概率. 解：法一：从中任取 2 张的基本事件为： (1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,
10、4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共 10 个； 卡片上数字全是奇数的事件为：(1,3),(1,5),(3,5),共 3 个； 所以卡片上数字全是奇数的概率为： 3 10 ； 卡片上数字之积为偶数的事件为：(1,2),(1,4),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(4,5),共 7 个； 所以卡片上数字之积为偶数的概率为： 7 10 . 法二：从中任取 2 张的基本事件为： (1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5), (3,1),(3,2),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,
11、5), (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),共 20 个； 卡片上数字全是奇数的事件为:(1,3),(1,5), (3,1),(3,5), (5,1),(5,3),共 6 个； 5 所以卡片上数字全是奇数的概率为： 63 2010 ； 卡片上数字之积为偶数的事件为： (1,2),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5), (3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5), (5,2),(5,4),共 14 个，所以 卡片上数字之积为偶数的概率为： 147 2010 . 27、 （本小题满分 8 分） 如图，四棱锥PABCD的底面是平行四边形，
12、,E F分别是棱,PB PC的中点. 求证：/ /EF平面PAD. 解析：线面平行，只要证线线平行即可，根据中点构造三角形中位线即可； 解：因为四边形ABCD是平行四边形，可知：/ /BCAD, 在PBC内，连接,EF由于,E F分别是棱,PB PC的中点, 所以/ /EFBC，有平行线的传递性，可得/ /ADEF， 又,ADPADEFPAD平面，平面所以：/ /EF平面PAD. 28、 （本小题满分 9 分） 已知函数( )lg()( ,0) 1 mx f xn m nR m x 的图象关于原点对称. （1）求,m n的值； （2）若 12 0,x x 试比较 12 () 2 xx f 与
13、12 1 (x )f(x ) 2 f的大小，并说明理由. 解析：此题考查奇函数的定义，比较两个数的大小. 解： （1）根据题意可知：()( )fxf x ， 即：()lg()lg()f(x) 11 mxmx fxnn xx 化简：lg()lg() 11 mxnxnmxnxn xx ， 1 lg()lg() 1 mxnxnx xmxnxn 即： 1 1 mxnxnx xmxnxn ， ()1 1() nx mnx xnx mn 2222 ()1nx mnx ，即 222 11 () 0nxmn 所以： 2 2 10 ()10 n mn ，由于0m ，解得： 2 1 m n 所以，综上可知：2,1
14、.mn 6 （2）由（1）可知： 21 ( )lg(1)lg() 11 xx f x xx ，定义域为：(, 1)(1,),x 由 12 0,x x 根据定义域不妨设 12 1,1,xx 若 12 1,xx有 12 1212 1 ()f(x )()f(x )() 22 xx ff xf x 若 12 1,xx有： 1212 12 2 ()lg() 22 xxxx f xx ， 1212 12 1212 11(1)(x1)(1)(x1) (x )f(x )lglg 22(1)(x1)(1)(x1) xx f xx 作差比较大小： 121212 12 1212 12(1)(x1) () (x )f
15、(x )lg()lg 222(1)(x1) xxxxx ff xxx 2 12121212 2 12121212 2(1)(x1)1(2) (1)(x1) lg()lg 2(1)(x1)2(2) (1)(x1) xxxxxx xxxxxx 现在只要比较 2 1212 2 1212 (2) (1)(x1) (2) (1)(x1) xxx xxx 与“1”的大小即可， 即比较 22 12121212 (2) (1)(x1)(2) (1)(x1)xxxxxx与“0”的大小即可， 化简式： 222 121212121212 (2) (1)(x1)(2) (1)(x1)2()()0 xxxxxxxxxx
16、 即得： 2 1212 2 1212 (2) (1)(x1) 1 (2) (1)(x1) xxx xxx 所以 2 1212 2 1212 1(2) (1)(x1) lg0 2(2) (1)(x1) xxx xxx ，即 12 12 1 () (x )f(x )0 22 xx ff 即： 12 12 1 () (x )f(x ). 22 xx ff 同理可得当 12 1xx 时，有 2 1212 2()()0 xxxx，得： 12 12 1 () (x )f(x ). 22 xx ff 综上可得： 12 ,(1,)x x 时： 12 12 1 () (x )f(x ). 22 xx ff ： 12 ,(, 1)x x 时： 12 12 1 () (x )f(x ). 22 xx ff 7
