1、2.3 2.3 直线的交点坐标与距离公式直线的交点坐标与距离公式 2.3.1 2.3.1 两条直线的交点坐标两条直线的交点坐标 2.3.2 2.3.2 两点间的距离两点间的距离 (1)(1)理解两直线的交点与方程组的解之间的关系，会求理解两直线的交点与方程组的解之间的关系，会求 两条相交直线的交点坐标两条相交直线的交点坐标; ; (2)(2)能够根据方程组解的个数来判断两直线的位置关系能够根据方程组解的个数来判断两直线的位置关系. . ( (两条直线的相交、平行和重合，对应于相应的二元一两条直线的相交、平行和重合，对应于相应的二元一 次方程组有唯一解、无解和无穷多组解次方程组有唯一解、无解和无
2、穷多组解) ) （3 3）能利用两直线方程的对应系数关系来判断两直）能利用两直线方程的对应系数关系来判断两直 线位置关系线位置关系. . （4 4）理解并掌握平面上任意两点间的距离公式，初）理解并掌握平面上任意两点间的距离公式，初 步了解解析法步了解解析法. . 二元一次方程组的解有三种不同情况（唯一解，无二元一次方程组的解有三种不同情况（唯一解，无 解解, ,无穷多解），同时在直角坐标系中两条直线的位置关无穷多解），同时在直角坐标系中两条直线的位置关 系也有三种情况（相交，平行，重合），下面我们通过二系也有三种情况（相交，平行，重合），下面我们通过二 元一次方程组解的情况来讨论直角坐标系中两
3、直线的位置元一次方程组解的情况来讨论直角坐标系中两直线的位置 关系。关系。 几何元素及关系几何元素及关系 代数表示代数表示 点点A 直线直线l 点点A在直线在直线l上上 直线直线l1与与l2的交点是的交点是A 探究探究1 1：已知：已知两直线两直线1.1.两条直线的交点：两条直线的交点： 观察下表，并填空观察下表，并填空. . 1111 2222 :0 :0 lAxB yC lA xB yC ( , )A a b :0lAxByC :0lAaBbC 111 222 0 0 AaBbC A aB bC 相交，由于交点同时在两条直线上，交点坐标一定是它们相交，由于交点同时在两条直线上，交点坐标一定
4、是它们 的方程组成的方程组的方程组成的方程组 的解；的解； 探究探究2 2：如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标：如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标 与二元一次方程组有什关系？与二元一次方程组有什关系？ 如果两条直线如果两条直线 和和 反之，如果方程组反之，如果方程组 111 222 0 0 AxB yC A xB yC 只有一个解，只有一个解， 那么以这个解为坐标的点就是直线那么以这个解为坐标的点就是直线 交点。交点。 111 0AxB yC 和和 222 0A xB yC 例例1 1：求下列两直线交点坐标：求下列两直线交点坐标： 342 0 22 0 xy xy 解：解方程组
5、解：解方程组 12 :3420;:220lxylxy 所以所以l1 1与与l2 2的交点坐标为的交点坐标为M M（-2-2， 2 2）.(.(如图所示如图所示) ) 2,2xy 得得 l1 1 M M l2 2 练习练习1:1:求下列各对直线的交点坐标，并画出图形求下列各对直线的交点坐标，并画出图形 答案：答案： 36 4 (1)(, ) 77 (2)(2,3) 12 12 (1) :2312,:24; (2) :2,:32120. lxylxy lxlxy 练习练习2 2：求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方程：求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方程: : 解：设直线方程为解：设
6、直线方程为 因为直线过原点因为直线过原点(0(0，0)0)，将其代入上式可得：，将其代入上式可得： =1=1 将将=1=1 代入代入 即所求直线方程即所求直线方程 12 :220,:220lxylxy 22(22)0 xyxy 22(22)0 xyxy 330 xy得得 0.xy 2 2两条直线的位置关系：两条直线的位置关系： 探究探究3 3：两直线位置关系与两直线的方程组成的方程组的：两直线位置关系与两直线的方程组成的方程组的 解的情况有何关系？解的情况有何关系？ 思考：思考：(1)(1)若方程组没有解，两直线应是什么位置关系？若方程组没有解，两直线应是什么位置关系？ (2)(2)若方程组有
7、无数解，两直线应是什么位置关系？若方程组有无数解，两直线应是什么位置关系？ 设两条直线方程为：设两条直线方程为： 1111 2222 :0 :0 lAxB yC lA xB yC 例例2 2 判断下列各对直线的位置关系判断下列各对直线的位置关系. .如果相交，求出如果相交，求出 交点坐标交点坐标. . 12 12 12 (1) :0,:33100 (2) :340,:6210 (3) :3450,:68100 lxylxy lxylxy lxylxy 0 33100 xy xy 5 3 xy 55 (,) 33 解：解：（1）解方程组解方程组 得得 所以所以l1与与l2相交，交点坐标为相交，交
8、点坐标为 340,(1) 6210,(2) xy xy （2 2）解方程组解方程组 (1) 2(2) 得得90, 矛盾，矛盾， 所以方程组无解，两直线无公共点，所以方程组无解，两直线无公共点，故故 12 ,l l平行。平行。 （3） 3450,(1) 68100,(2) xy xy 解方程组解方程组 (1) 2得得68100,xy 因此，因此，化成同一个方程，表示同一直线，化成同一个方程，表示同一直线，(1),(2) 12 ,l l重合。重合。 练习练习: :(3)(3)判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出 交点的坐标交点的坐标 答案：答案：(1
9、) (1) 相交，交点坐标相交，交点坐标 (2) (2) 相交，交点坐标（相交，交点坐标（0 0， ） (3) (3) 平行平行 12 12 12 (1) :2312,:421; 22 (2) :2640,:; 33 (3) :( 21)3,:( 21)2. lxylxy lxylyx lxylxy 练习练习(4)(4)：已知直线已知直线ykx2k1与直线与直线yx2的交的交 点位于第一象限，求实数点位于第一象限，求实数k的取值范围的取值范围。 41 1 k y k 1 2 , 1 k x k 分析：先通过联立方程组将交点坐标解出，再判断交点分析：先通过联立方程组将交点坐标解出，再判断交点 横
10、纵坐标的范围横纵坐标的范围. . ) 1k （否则两直线平行，无交点），（否则两直线平行，无交点），解：解：因为因为 联立方程解得联立方程解得 1 241 (,) 11 kk kk 由交点由交点位于第一象限位于第一象限 1 2 0 1 41 0 1 k k k k 所以所以 解得解得 实数实数k k的取值范围是的取值范围是 ) 因为直线ykx2k1恒过定点（恒过定点（-2，1），），直线直线ykx2k 1与直线与直线yx2的交点位于第一象限的交点位于第一象限即为过定点（即为过定点（-2，1） 的直线与直线的直线与直线y=-x+2在第一象限的部分有交点在第一象限的部分有交点 观察观察直线直线yk
11、x2k1，当，当x=-2时，时，y=1,即即直线直线ykx 2k1恒过点恒过点 ，结合前面斜率的知识，结合前面斜率的知识，可以可以求求 实数实数k的取值范围的取值范围。 3.3.两点间的距离公式：两点间的距离公式： 111222 ( ,),(,)P x yP xy探究探究4 4： 已知已知，试求两点间的距离。试求两点间的距离。 111222 ( ,),(,)P x yP xy由此得到由此得到两点间的距离公式两点间的距离公式 特殊地，原点特殊地，原点O O（0 0，0 0）与任一点）与任一点P P（x,yx,y）的距离）的距离 22 OPxy ( 1,2), (2, 7),ABP | |PAPB|PA 例例3 已知点已知点在在轴上求一点轴上求一点 ， 使使，并求，并求的值。的值。 2 222 102207xx 解得解得 x=1。所以，所求点所以，所求点P（1，0）且且 解：解：设所求点为设所求点为P（x,0），），于是于是 22 25411xxxx 22 PAPB由由 得得 22 (1 1)(02)2 2PA x 即即
