1、教教 师师学生姓名学生姓名教材版本教材版本北师大 学学 科科数学年级年级上课时间上课时间 课课 题题平行垂直 教学教学 目目 标标 平行垂直 教教 学学 重重 点点 平行垂直 教教 学学 过过 程程 一、知识梳理 1.直线和平面垂直: (1)定义:如果一条直线l和一个平面内的任意一条直线都垂直,那么就说直线l和平面互相垂直.记作:l (2)判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面. 即 , , mnmnA l lmln (3)性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行即 a ab b 2. 三垂线定理: (1)斜线在平面内的射影：从斜线
2、上斜足以外的一点向平面引垂线，过斜足和垂足的直线叫做斜线在这个平面内 的射影注：垂线段比任何一条斜线段短 三垂线定理:在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直. 即 , aPA aOP aOA OA 三垂线定理的逆定理:在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂 直.即 , aPAA aOA aOP OOP 垂足为 二、专题精讲 题型一线线、线面、面面垂直关系的综合问题 例题 1：lm、为两条不重合的直线，、 、为三个互不重合的平面，给出下面四个命题： ，；/ ，； /ll，；mlml， 其中正确的命题有（） A1 个
3、B 2 个C 3 个D 4 个 【反思小结】与平行问题一样，本题主要考查线线、线面、面面的垂直问题，高考几乎年年都单独考查学生对线 面、面面垂直的判定定理和性质定理的准确、深刻的理解，考查学生对符号语言、图形语言、文字语 言熟练转换的能力，以选择题、填空题居多，既可能就平行或垂直单独进行考查，又可能在平行中渗 透垂直，垂直中兼顾平行，既考查空间想象能力，又考查逻辑推理能力。 拓展练习：设mn、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，下列命题中正确的是() Amnmn，B/mnmn ， C/mnmn，Dmnmn， 题型二线面垂直的定义、判定定理和性质定理及其应用 1如图，四棱锥 P-ABCD 中，
4、PD 平面 ABCD， ，90BCD 求证：PCBC； 2如图所示，在长方体 1111 ABCDA BC D中， 1 12ABADAA，M 是棱 1 CC的中点 证明：平面 11 ABMA B M 平面。 3如图所示，在三棱柱 ABCA1B1C1中，AA1BC，A1AC60，A1AACBC1，A1B 2. (1)求证：平面 A1BC平面 ACC1A1； (2)如果D为AB中点，求证：BC1平面A1CD. 三、学法提炼三、学法提炼 证明线线、线面、面面平行或垂直时需要注意以下几点：(1)由已知想性质，由求证想判定，即分析法和综合 法相结合寻找解题思路(2)利用题设条件添加适当的辅助线或辅助面是解
5、题的常用方法之一，例如：证明平行时 遇到中点要设法构造中位线或平行四边形， 而证明垂直时则要构造等腰三角形的中线、 高线、 角平分线三线合一； 证明线面、面面垂直时要注意条件的充分性，已知线面垂直或面面垂直时要用好性质，构造适当的辅助面 1新教材中删去了三垂线定理，用传统方法求角和距离的要求也相当低，教学中不宜过分强调，但是必须 明确斜线、垂线、以及斜线在平面内的射影之间的联系，会作出斜线在平面内的射影，从而为线线或线面垂直做 好铺垫 2线面垂直的性质可以用来证明两条直线垂直和平行，也可以实现面面垂直的证明，因此线面垂直关系是 线线垂直、线线平行、面面垂直的枢纽，进而是整个线面位置关系的核心
6、3在线面垂直的定义中，一定要弄清楚不可缺少 4面面垂直的性质的理解中三个条仵也不可缺少，即：两个平面垂直；其中一个平面内的直线；垂 直于交线，所以无论何时见到已知两个平面垂直，都要首先找其交线，看是否存在直线垂直于交线来决定是否该 作辅助线，这样就能目标明确，事半功倍 5注意充分利用好身边的物体进行比划和举反例，如将课室当成六面体，将书桌、课本、纸张当成平面，笔当 成直线等，这些方法依然是解决空间线面位置关系的最佳方法。 1：如图，在四棱锥:PABCD中，PA 底面 ABCD，ABADACCD， 60ABCPAABBC，E 是 PC 的中点， 证明：(1)CDAE；(2)PD 平面 ABE。
7、【反思小结】本题考查直线与直线垂直、直线与平面垂直等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力，立体 几何的证明关键是学会分析和掌握一些常规的证明方法，如：已知中点证明垂直时要首先考虑等腰三 角形中的“三线合一”已知线段或角度等数量关系较多时最好标示出来，充分进行计算，从而发现蕴 含的垂直等关系；已知线面垂直时会有哪些结论，是选择线线垂直还是选择面面垂直；要证明结论或 要得到哪个结论，就必须满足什么条件等。 2：在四棱锥SABCD中，侧棱 SA= SC，底面 ABCD 是菱形，AC 与 BD 交于 O 点 (1)求证：AC 平面 SBD; (2)若 E 为 BC 的中点，点 P 在侧面SCD内及
8、其边界上运动，并保持PEAC，试指出动点 P 的转迹，并 证明你的结论 3：如图，AB 为圆 O 的直径，点 E、F 在圆 O 上，且/AB EF，矩形 ABCD 所在的平面和圆 O 所在的平面互相 垂直，且 AB =2，AD =EF=1 (1)求证：平面ACF 平面 CBF： (2)设 FC 的中点为 M，求证：/OM平面 DAF (3)设平面 CBF 将几何体 EFABCD 分成的两个锥体的体积分别为 FABCDF CBE VV ，求 FABCDF CBE VV 。 学法升华学法升华 方法与技巧方法与技巧 1.证明线面垂直的方法证明线面垂直的方法 (1)线面垂直的定义：线面垂直的定义：a
9、与与内任何直线都垂直内任何直线都垂直a； (2)判定定理判定定理 1： m、n，mnA lm，ln l； (3)判定定理判定定理 2：ab，ab； (4)面面平行的性质：面面平行的性质：，aa； (5)面面垂直的性质：面面垂直的性质：，l，a，ala. 2. 证明线线垂直的方法证明线线垂直的方法 (1)定义：两条直线所成的角为定义：两条直线所成的角为 90； (2)平面几何中证明线线垂直的方法；平面几何中证明线线垂直的方法； (3)线面垂直的性质：线面垂直的性质：a，bab； (4)线面垂直的性质：线面垂直的性质：a，bab. 3. 证明面面垂直的方法证明面面垂直的方法 (1)利用定义：两个平
10、面相交，所成的二面角是直二面角；利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角； (2)判定定理：判定定理：a，a. 失误与防范失误与防范 1. 垂直关系的转化垂直关系的转化 在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助 线来解决线来解决.如有平面垂直时如有平面垂直时，一般要用性质定理一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直使之转化为线面垂直，然后然后 进一步转化为线线垂直进一步转化为线线垂直.故熟练掌握故熟练
11、掌握“线线垂直线线垂直” 、 “面面垂直面面垂直”间的转化条件是解决这类问题的关键间的转化条件是解决这类问题的关键. 2.面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据.我们要作一个平面的一条垂线我们要作一个平面的一条垂线， 通常是先找这个平面的一个垂通常是先找这个平面的一个垂 面，在这个垂面中，作交线的垂线即可面，在这个垂面中，作交线的垂线即可. 课后作业课后作业 1若lmn、 、是互不相同的空间直线，ab、是不重合的两个平面，则下列命题中为真命题的是（） A若/ln ，则/l nB若l，则l C若lnmn，则/l mD若/ll，则 2如图，直线 PA
12、垂直于以 AB 为直径的圆所在的平面，C 为圆上异于点 A 和点 B 的任意一点，有下列四个结 论： PCBC；BCPAC平面；ACPB；PABC 其中不正确的是 3如图，在正四面体 PABC 中，D、E、F 分别是 AB、BC、CA 的中点，下面四个结论不 成立的是() ABC平面 PDF BDF平面 PAE C平面 PDF平面 PAE D平面 PDE平面 ABC 4设、是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是() A若 l，则 lB若 l，则 l C若 l，则 lD若 l，则 l 5如图所示，在四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，且底面各边都相等，M 是 PC 上的一动点，当点 M 满 足_时，平面 MBD平面 PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可) 6如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，AC3，AB5， cosBAC3 5. (1)求证：BCAC1； (2)若 D 是 AB 的中点，求证：AC1平面 CDB1. 7如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，M、N、G 分别是 A1A，D1C，AD 的中点求证： (1)MN平面 ABCD； (2)MN平面 B1BG. 课后课后 小结小结 上课情况：上课情况： 课后需再巩固的内容：课后需再巩固的内容： 组长签字：组长签字：_
