1、高三数学（理科）摸底测试题参考答案第 1 页（共 7 页） 成都七中成都七中 2021 届届高中毕业班一诊模拟测试高中毕业班一诊模拟测试 数学（理科数学（理科）参考答案及评分意见参考答案及评分意见 第第卷（选择题，共卷（选择题，共 6 60 0 分）分） 一、选择题： （每小题一、选择题： （每小题 5 分，共分，共 60 分）分） 1.A 2.C 3.D 4.C 5.A 6.C 7.B 8.C 9.C 10.A 11.B 12.C 第第卷（非选择题，共卷（非选择题，共 9 90 0 分）分） 二、填空题： （每小题5 分，共20 分） 13. 3 5 14. 2020 2021 15. 2
2、3 16.3 2 三、解答题： （共70 分） 17. 解： （1）选： sin sinsin Abc BCba ，由正弦定理得 abc bcba ， a babcbc ，即 222 abcab， 1 cos 2 C（4 分） 0,C， 3 C （5 分） 选：由正弦定理得 sincos1,sin 0,3sincos1 sin3sin CC ACC AA ， 1 2sin1,sin= 662 CC （3 分） 5 0, 666 CC ，, 663 CC .（5 分） 选：因为23SCA CB，所以sin3cosabCabC（2 分） tan3,0, 3 CCC （5 分） （2）在BCD中，由
3、余弦定理知 2 22 222cos602abab （7 分） 22 4242222ababababab ，2ab， 当且仅当2ab， （10 分） 即2,1ab时取等号，此时ab的最大值为2， （11 分） 面积 13 sin 24 SabCab取得最大值 3 2 . （12 分） 仅供四川省阿坝州九寨沟中学使用 仅供四川省阿坝州九寨沟中学使用 高三数学（理科）摸底测试题参考答案第 3 页（共 7 页） 19.解： （1）证明：连接AC，底面ABCD为菱形，60 ,ABCABC为正三角形， E是BC的中点，AEBC，又/,ADBCAEAD， PA平面,ABCD AE 平面,ABCDPAAE，
4、,PAADA PA AD平面,PADAE平面PAD， AE 平面,AEF 平面AEF 平面PAD. （5 分） （2）由（1）知，,AE AD AP两两垂直，故以,AE AD AP所在直 线 分 别 为, ,x y z轴 建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系 ， 则 0,0,0 ,3, 1,0 ,3,1,0 , 0,2,0 ,0,0,2 ,0,1,1 ,3,0,0 ABC DPME ， （7 分） 3,1, 2 ,0,2, 2 ,0,0,2PCPDAP. 设 3 , , 2PFPC ，则 3 , ,22AFAPPF . （8 分） 设平面PCD的法向量为 111 ,mx y
5、z，则 111 11 320 220 m PCxyz m PDyz 令 1 3z ，则 11 1,3,1, 3, 3xym. （10 分） 设直线AF与平面PCD所成角为，则 2 2 2 2 332 32 32 342 sincos, 7 113227 72 2 22 AF m AF m AFm 当 1 2 时，sin取最大值 42 7 ，此时F为PC的中点. （12 分） 20. 解： （1）当1a 时， 2 2lnf xxx， 2 11,2,10ffxxkf x ， f x在 1,1f处的切线方程为1y .（3 分） （2）法一：由题意 max 1 4 f x， 2 21 2 2 ax f
6、xax xx 仅供四川省阿坝州九寨沟中学使用 高三数学（理科）摸底测试题参考答案第 4 页（共 7 页） 当0a 时， 0,fxf x在 1,3上单调递减， max 1 1 4 f xfa恒成立，0a （4 分） 当0a 时， 1 0,fxxf x a 在 1 0, a 上单减，在 1 , a 上单增， （i）当 1 1,1a a 时， f x在1,3上单增， max 1 2ln3 1 4 3, 49 f xfa ，舍去； （ii）当 11 3,0 9 a a 时， f x在 1,3上单减， max 11 1, 44 f xfa， 1 0 9 a （iii）当 11 13,1 9 a a 时，
7、 f x在 1 1, a 上单减， 1 ,3 a 上单增， 1 1 111 4 , 1494 3 4 f aa f ， 综上， 1 4 a （7 分） 法 2： 2 1 2ln 4 f xaxx恒成立，即 2 1 2ln 4 x a x ， （4 分） 令 3 8 23 13 2ln4ln 42 ,0,1 xx g xgxgxxe xx . g x在 3 8 1,e 上单增， 3 8,3 e 上单减， 1 2ln3 11 4 1,3 494 gg ，（6 分） min 1 4 ag x （7 分） （3） 因为 12 0 xx， 要证 2 1212 20a xxxx， 只需证明 12 2 xx
8、 a ， （8 分） 由（2）可知 12 1 0 xx a ，要证 12 2 xx a ，只需证明 21 2 xx a ， 又因为 21 121 ,xx aaa ，且函数 f x在 1 , a 单调递增， 仅供四川省阿坝州九寨沟中学使用 高三数学（理科）摸底测试题参考答案第 5 页（共 7 页） 所以只需证明 21 2 f xfx a ，又因为 21 f xf x，即证 11 2 f xfx a 令 21 0g xf xfxx aa （9 分） 即 2 2 222 2ln2ln442ln2lng xaxxaxxaxxx aaa 注意到 1 0g a 因为 2 224141 4440 2 2 2
9、 2 gxaaa xaa x xx xx a a a 则 g x在 1 0, a 单调递减，所以 1 0g xg a 在 1 0,x a 恒成立，（11 分） 所以 12 2 xx a ，即满足 2 1212 20a xxxx（12 分） 21.解： （1）已知, 26 a OAa OBBAF ，则 3 , 44 aa B ， 代入椭圆C的方程： 22 22 3 1 1616 aa ab ， 2 22 2 2 5 5,5 ,2 , 5 ac abcabbe ba （4 分） （2） （i）由（1）可得 2 2 1,5,:1 5 x baCy， 设直线 112233 :32,l xyP x yQ
10、 xyN x y， 11 2, 22 xy OMOPM , 联立直线l与椭圆C的方程： 22 32 55 xy xy 得 2 84 310yy ，0 恒成立， 仅供四川省阿坝州九寨沟中学使用 高三数学（理科）摸底测试题参考答案第 6 页（共 7 页） 1212 31 , 28 yyy y ， 12121212 5 323232 34 8 x xyyy yyy 12 12 1 5 OPOQ y y kk x x （8 分） （ii）设点 33 ,N x y，因为 NM NQ ，所以 01 ,NMNQ 又因为2OMOP，所以点 11 , 22 xy M ，则满足 11 332323 , 22 xy
11、 NMxyNQxx yy 则 1 323 1 323 2 2 x xxx y yyy ， 123 123 22 1 22 1 xxx yyy ，即 12 3 12 3 2 2 1 2 2 1 xx x yy y ,P Q N在椭圆上， 222222 112233 55,55,55,xyxyxy 22 1212 22 22 55 4 14 1 xxyy 2 22222 11221212 5454520 1xyxyx xy y 由（i）可知 2 2 1212 3 50, 1 44 1, 8 x xy y ， 3 8 NM NQ （12 分） 22.解： （1） 将直线 12 ,l l的参数方程化为
12、普通方程， 得到 12 1 :3 ,:3 3 lyk xlyx k . （2 分） 两式相乘消去k，可得 2 2 1 3 x y. （4 分） 因为0k ，所以0y . 所以曲线 1 C的普通方程为 2 2 10 3 x yy. （5 分） （2）直线 2 C的直角坐标方程为60 xy. （6 分） 由（1）知，曲线 1 C与直线 2 C无公共点. 由于曲线 1 C的参数方程为 3cos sin x y （为参数，,kkZ） ， （7 分） 仅供四川省阿坝州九寨沟中学使用 高三数学（理科）摸底测试题参考答案第 7 页（共 7 页） 所以曲线 1 C上的点 3cos ,sinQ到直线 2: 60
13、Cxy的距离 2sin6 3cossin6 3 22 d （9 分） 所以当sin1 3 ，即 7 6 时，d取得最大值为4 2. （10 分） 23.解： （1） 272527252f xxxxx , （3 分） 函数 f x的最小值2m . （4 分） （2）证明：法 1： （综合法） 22 2abab，1,1abab ，当且仅当ab时取等号， （6 分） 又 1 , 222 abababab ab abab ，当且仅当ab时取等号，（8 分） 由得 1 2 ab ab ，2abab （10 分） 法 2： （分析法） 0,0ab，要证2abab， 只需证 2 22 4aba b， 即证 2222 24ababa b （6 分） 22 2ab，只需证 22 224aba b，即证 2 210abab ，即证2110abab （8 分） 2abab （10 分） 仅供四川省阿坝州九寨沟中学使用
