1、高三数学（文科）摸底测试题 第 1 页（共 10 页） 成都七中成都七中 2021 届届高高中毕业班中毕业班一诊模拟一诊模拟测试测试答案答案 1-12：ACCDC ACCDC DB 10. 详解：对于A选项：由 2 22 1 22 ab ab ，当且仅当 1 2 ab时取等，知A正确； 对于B选项： 41414 55249 ba ab ababab ， 当且仅当 2 2 3 ab时取得最小 值9，知B正确； 对于C选项： 1112ababab ab ababab ，又 1 0 2 ab， 所以 21219 4 1 222 2 ab ab ，知C选项不正确. 对于D选项： 11 113 11 c
2、c cc ，当且仅当2c 时取等，知选项D正确 第第卷（非选择题，共卷（非选择题，共 9 90 0 分）分） 13 3 5 14. 2020 2021 15 4 16. 2 3 解：如图，连接BD，交AC于点O，连接OE，在线段PE取一点G使得GEED， 连接BG，则/BGOE，又因为OE 平面AEC，BG 平面AEC，所以/BG平面AEC. 因为/BF平面ACE且满足BGBFB，故平面BGF/平面AEC. 因为平面PCD平面BGFGF，平面PCD平面AECEC，则/GFEC. 所以 2 3 PFPG PCPE ，即 2 3 为所求. 17.（本小题满分 12 分） 解： （1）选： sin
3、sinsin Abc BCba ，由正弦定理得 abc bcba ， a babcbc，即 222 abcab， 1 cos 2 C（4 分） A BC D P E F O A BC D P E F G 高三数学（文科）摸底测试题 第 3 页（共 10 页） 则， 2 分 又平面平面，平面，作平面， 那么，根据题意，点落在上， ，易求得，4 分 四边形是平行四边形， ，平面 6 分 （2）因为ACBO ，平面ACD平面ABC，BO 平面ABC， 平面ABC平面,ACDAC 所以BO 平面ACD,即FO 平面ACD, 7 分 由（1）知，/ /,FEDO 故 1 3 ACDEEACDFACDAC
4、D VVVSFO . 9 分 又 2 3 =2 =3 4 ACD S， 10 分 31 =cos 602231 22 FOOBBF.11 分 13 3(31)1 33 ACDE V 12 分 20.（本小题满分 12 分） 解： （1）当1a 时， 2 2 lnfxxx， 2 11,2,10ffxxkf x ， fx在 1,1f处的切线方程为1y .（5 分） （2）法一：由题意 max 1 4 fx， 2 21 2 2 ax fxax xx 当0a 时， 0,fxfx在1,3上单调递减， max 1 1 4 fxfa恒成立，0a（7 分） 当0a 时， 1 0,fxxfx a 在 1 0,
5、a 上单减，在 1 , a 上单增， （i）当 1 1,1a a 时， fx在1,3上单增， max 1 2 ln 3 1 4 3, 49 fxfa ，舍去； （ii）当 11 3,0 9 a a 时， fx在1,3上单减， max 11 1, 44 fxfa， 1 0 9 a （iii）当 11 13,1 9 a a 时， fx在 1 1, a 上单减， 1 ,3 a 上单增， ACBO ACDO ACDABCDOABCEFABC DOEF /FBO 60EBF3 DOEF DEFO OFDE /DEABC 高三数学（文科）摸底测试题 第 4 页（共 10 页） 1 1 111 4 , 14
6、94 3 4 f aa f ，综上， 1 4 a （12 分） 法 2： 2 1 2 ln 4 fxaxx恒成立，即 2 1 2 ln 4 x a x ，（7 分） 令 3 8 23 13 2 ln4 ln 42 ,0,1 xx gxgxgxxe xx . gx在 3 8 1,e 上单增， 3 8,3 e 上单减， 1 2 ln 3 11 4 1,3 494 gg ，（11 分） min 1 4 agx（12 分） 21.（本小题满分 12 分） 解： （1）已知, 26 a OAa OBBAF ，则 3 , 44 aa B ， 代入椭圆C的方程： 22 22 3 1 1616 aa ab ，
7、 2 22 2 25 5,5 ,2 , 5 ac abcabbe ba （5 分） （2）由（1）可得 2 2 1,5,:1 5 x baCy， 设直线 112233 :32,lxyP xyQ xyNxy， 11 2, 22 xy OMOPM , 联立直线l与椭圆C的方程： 22 32 55 xy xy 得 2 84310yy，0 恒成立， 1212 31 , 28 yyy y ， 12121212 5 32323234 8 x xyyy yyy 12 12 1 5 OPOQ y y kk x x （12 分） 22.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 解： （1） 将直线
8、 12 ,l l的参数方程化为普通方程， 得到 12 1 :3 ,:3 3 lykxlyx k . （2 分） 高三数学（文科）摸底测试题 第 5 页（共 10 页） 两式相乘消去k，可得 2 2 1 3 x y. （4 分） 因为0k ，所以0y . 所以曲线 1 C的普通方程为 2 2 10 3 x yy. （5 分） （2）直线 2 C的直角坐标方程为60 xy. （6 分） 由（1）知，曲线 1 C与直线 2 C无公共点. 由于曲线 1 C的参数方程为 3 cos sin x y （为参数，,kkZ） ，（7 分） 所以曲线 1 C上的点 3 cos,sinQ到直线 2 :60Cxy的
9、距离 2 sin6 3 cossin6 3 22 d （9 分） 所以当sin1 3 ，即 7 6 时，d取得最大值为42. （10 分） 23. （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 解： （1） 272527252fxxxxx, （3 分） 函数 fx的最小值2m .（4 分） （2）证明：法 1： （综合法） 22 2abab，1,1abab，当且仅当ab时取等号， （6 分） 又 1 , 222 abababab ab abab ，当且仅当ab时取等号，（8 分） 由得 1 2 ab ab ，2abab（10 分） 法 2： （分析法） 0,0ab，要证2abab， 只需证 2 22 4aba b， 即证 2222 24ababa b （6 分） 22 2ab，只需证 22 224aba b，即证 2 210abab，即证2110abab （8 分） 2abab （10 分）
