1、2019 年电大本科年电大本科工程数学工程数学期末期末试题试题资料资料三三套附套附 答案答案 工程数学（本）模拟试题工程数学（本）模拟试题 一、一、单项选择题（每小题单项选择题（每小题 3 3 分，共分，共 2121 分）分） 1设 A 是nm矩阵，B是ts矩阵，且BC A 有意义， 则C是(B)矩阵 AsnBns CtmDmt 2若 X1、X2是线性方程组 AX=B 的解，而 21 、是方程组 AX = O 的解，则（A）是 AX=B 的解 A 21 3 2 3 1 XX B 21 3 2 3 1 C 21 XX D 21 XX 3 设矩阵 211 102 113 A， 则 A 的对应于特征
2、值2的 一个特征向量=(C) A 1 0 1 B 1 0 1 C 0 1 1 D 1 0 0 4. 下列事件运算关系正确的是（A） A ABBABB ABBAB CABBABD BB1 5若随机变量) 1 , 0( NX，则随机变量23XY （D） A)3 , 2(NB)3 , 4(NC)3 , 4( 2 N D)3 , 2( 2 N 6设 321 ,xxx是来自正态总体),( 2 N的样本，则 （C）是的无偏估计 A 321 5 2 5 2 5 2 xxxB 321 xxx C 321 5 3 5 1 5 1 xxxD 321 5 1 5 1 5 1 xxx 7 对给定的正态总体),( 2
3、N的一个样本),( 21n xxx， 2 未知，求的置信区间，选用的样本函数服从（B） A 2 分布Bt 分布C指数分布 D正态分布 二、二、填空题（每小题填空题（每小题 3 3 分，共分，共 1515 分分） 1 设三阶矩阵A的行列式 2 1 A， 则 1 A=2 2若向量组： 2 1 2 1 ， 1 3 0 2 ， 2 0 0 3 k ， 能构成 R3一个基，则数 k2 3设A B,互不相容，且P A( ) 0，则P B A() 0 4 若 随 机 变 量X2,0U， 则)(XD 3 1 5 设是未知参数的一个估计， 且满足) (E， 则称 为的无偏无偏估计 三三、 （每小题（每小题 10
4、10 分，共分，共 6060 分）分） 1已知矩阵方程BAXX，其中 301 111 010 A， 35 02 11 B，求X 解：因为解：因为BXAI)(，且，且 101210 011110 001011 100201 010101 001011 )(IAI 110100 121010 120001 110100 011110 010101 即即 110 121 120 )( 1 AI 所以所以 33 42 31 35 02 11 110 121 120 )( 1B AIX 2 设向量组) 1, 421 ( 1 ，)4,1684( 2 ， )2, 513( 3 ，) 1, 132( 4 ，求
5、这个向量组的秩 以及它的一个极大线性无关组 解：因为解：因为 （ 1 2 3 4 ） = 1241 15164 3182 2341 1100 7700 7500 2341 0000 2000 1100 2341 所以，所以，r( 4321 ,) = 3 它 的 一 个 极 大 线 性 无 关 组 是它 的 一 个 极 大 线 性 无 关 组 是 431 ,（ 或（ 或 432 ,） 3用配方法将二次型 323121 2 3 2 2 2 1321 22435),(xxxxxxxxxxxxf 化为标准型，并求出所作的满秩变换 解：解： 323121 2 3 2 2 2 1321 22435),(x
6、xxxxxxxxxxxf 32 2 3 2 2 2 321 22)2(xxxxxxx 2 3 2 32 2 321 )()2(xxxxxx 令令 333223211 ,2xyxxyxxxy 即得即得 2 3 2 2 2 1321 ),(yyyxxxf 由（由（*）式解出）式解出 321 ,xxx，即得，即得 33 322 3211 32 yx yyx yyyx 或写成或写成 3 2 1 3 2 1 100 110 321 y y y x x x 4罐中有 12 颗围棋子，其中 8 颗白子，4 颗黑子若从中任 取 3 颗，求： （1）取到 3 颗棋子中至少有一颗黑子的概率； （2）取 到 3 颗
7、棋子颜色相同的概率 解：设解：设 1 A=“取到取到 3 颗棋子中至少有一颗黑子颗棋子中至少有一颗黑子” ， 2 A=“取到的都取到的都 是白子是白子” ， 3 A=“取到的都是黑子取到的都是黑子” ，B =“取到取到 3 颗棋子颜色相同颗棋子颜色相同” ， 则则 （1）)(1)(1)( 211 APAPAP 745. 0255. 011 3 12 3 8 C C （2）)()()()( 3232 APAPAAPBP 273. 0018. 0255. 0255. 0 3 12 3 4 C C 5设随机变量 X N（3，4） 求： （1）P（1 X 7） ； （2）使 P （ X a ） =0.
8、9 成 立 的 常 数 a (8413. 0)0 . 1 (， 9 . 0)28. 1 (，9973. 0)0 . 2() 解解： （1）P（1 X 7）=) 2 37 2 3 2 31 ( X P =)2 2 3 1( X P=) 1()2( = 0.9973 + 0.8413 1 = 0.8386 （2）因为因为 P（X a）=) 2 3 2 3 ( aX P=) 2 3 ( a = 0.9 所以所以28. 1 2 3 a ，a = 3 +28. 12= 5.56 6从正态总体 N（，9）中抽取容量为 64 的样本，计算样本 均值得x= 21，求的置信度为 95%的置信区间(已知 96.
9、1 975. 0 u) 解：已知解：已知3，n = 64，且，且 n x u ) 1,0(N 因为因为x= 21，96. 1 2 1 u，且，且 735. 0 64 3 96. 1 2 1 n u 所以，置信度所以，置信度为为 95%的的的置信区间的置信区间为：为： 735.21,265.20, 2 1 2 1 n ux n ux 四、证明题（本题四、证明题（本题 4 4 分）分） 设A是 n 阶矩阵，若 3 A= 0，则 21 )(AAIAI 证明证明：因为：因为)( 2 AAIAI = 322 AAAAAI = 3 AI =I 所以所以 21 )(AAIAI 工程数学（本）模拟试题工程数学
10、（本）模拟试题 一、一、单项选择题（每小题单项选择题（每小题 3 3 分，共分，共 2121 分）分） 1设BA,都是n阶矩阵) 1(n，则下列命题正确的是 （D） A.若ACAB ， 且0A， 则CB B. 222 2)(BABABA C.ABBA )(D.0AB， 且0A，则0B 2在下列所指明的各向量组中， （B ）中的向量组是线性无关 的 A. 向量组中含有零向量 B. 任何一个向量都不能被其余的向量线性表出 C. 存在一个向量可以被其余的向量线性表出 D. 向量组的向量个数大于向量的维数 3 设矩阵 211 102 113 A， 则 A 的对应于特征值2的 一个特征向量=(C) A
11、1 0 1 B 1 0 1 C 0 1 1 D 1 0 0 4. 甲、乙二人射击，A B,分别表示甲、乙射中目标，则AB 表示（A）的事件 A. 至少有一人没射中B. 二人都没射中 C. 至少有一人射中D. 两人都射中 5设) 1 , 0( NX，)(x是X的分布函数，则下列式子不 成立的是（C） A.5 . 0)0(B. 1)()(xx C.)()(aa D. 1)(2)(aaxP 6设 321 ,xxx是来自正态总体N(,) 2 的样本，则（D ） 是无偏估计 A. 321 xxxB. 321 5 2 5 2 5 2 xxx C. 321 5 1 5 1 5 1 xxxD. 321 5 3
12、 5 1 5 1 xxx 7对正态总体),( 2 N的假设检验问题中，U检验解决的 问题是（A） A. 已知方差，检验均值B. 未知方差，检验均值 C. 已知均值，检验方差D. 未知均值，检验方差 二、二、填空题（每小题填空题（每小题 3 3 分，共分，共 1515 分分） 1设A是 2 阶矩阵，且9A， )(3 1 A1 2已知齐次线性方程组0AX中A为53矩阵，且该方程 组有非零解，则)(Ar3 3 2 . 0)(,5 . 0)(ABPAP， 则)(BAP 0.7 4 若 连 续 型 随 机 变 量X的 密 度 函 数 的 是 其它,0 10,2 )( xx xf，则)(XE 3 2 5
13、若参数的两个无偏估计量 1 和 2 满足) () ( 21 DD， 则称 2 比 1 更有效有效 三、计算题（每小题三、计算题（每小题 1010 分，共分，共 6060 分）分） 1设矩阵 500 050 002 , 322 121 011 BA，问：A 是否可逆？若 A 可逆，求BA 1 解：因为解：因为 143 342 111 001 322 121 011 A 所以所以 A 可逆。利用初等行变换求可逆。利用初等行变换求 1 A，即，即 102340 011110 001011 100322 010121 001011 146100 135010 001011 146100 011110
14、001011 146100 135010 134001 即即 146 135 134 1 A 由矩阵乘法得由矩阵乘法得 52012 51510 5158 500 050 002 146 135 134 1B A 2线性方程组的增广矩阵为 11231 3211 1511 求此线性方程组的全部解 解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形 2720 2720 1511 11231 3211 1511 0000 2720 1511 0000 1 2 7 10 1511 0000 1 2 7 10 2 2 3 01 此时齐次方程组化为此时齐次方程组化为 32 31 2 7 2 3
15、 xx xx ， （其中（其中 x3为自由未知量）为自由未知量）. . 分别令分别令1 3 x，得齐次方程组的一个基础解系，得齐次方程组的一个基础解系 1 2 7 2 3 1 X 令令0 3 x，得非齐次方程组的一个特解，得非齐次方程组的一个特解 012 0 X 由此得原方程组的全部解为由此得原方程组的全部解为 10 XXXk（其中（其中k为任意常数）为任意常数） 3用配方法将二次型 3221 2 3 2 2 2 1321 4242),(xxxxxxxxxxf化为标准 型，并求出所作的满秩变换 解解： 3221 2 3 2 2 2 1321 4242),(xxxxxxxxxxf 32 2 3
16、2 2 2 21 44 2 1 ) 2 1 (2xxxxxx 2 3 2 32 2 21 4)4( 2 1 ) 2 1 (2xxxxx 令令 33322211 ,4, 2 1 xyxxyxxy 即得即得 2 3 2 2 2 1321 2 1 2),(yyyxxxf 由（由（*）式解出）式解出 321 ,xxx，即得，即得 33 322 3211 4 2 2 1 yx yyx yyyx 或写成或写成 3 2 1 3 2 1 100 410 2 2 1 1 y y y x x x 4两台车床加工同样的零件，第一台废品率是 1，第二台废 品率是 2， 加工出来的零件放在一起。 已知第一台加工的零件是
17、第 二台加工的零件的 3 倍,求任意取出的零件是合格品的概率 解：解：设设Ai： “是第是第i台车床加工的零件台车床加工的零件”(, )i 1 2，B： “零件零件 是合格品是合格品”. .由全概公式有由全概公式有 P BP A P B AP AP B A( )() ()() () 1122 显 然显 然 4 3 )( 1 AP， 4 1 )( 2 AP，99. 0)( 1 ABP， P B A(). 2 098，故，故 9875. 098. 0 4 1 99. 0 4 3 )(BP 5 设)4,3( NX， 试 求 )95( XP； )7(XP （已知,8413. 0) 1 ( 9987.
18、0)3(,9772. 0)2(） 解：解： ) 3 2 3 1 () 2 39 2 3 2 35 ()95( X P X PXP 1574. 08413. 09987. 0) 1 ()3( ) 2 37 2 3 ()7( X PXP )2 2 3 (1)2 2 3 ( X P X P 0228. 09772. 01)2(1 6设xxxn 12 ,来自指数分布 0,0 0,e 1 ),( x x xf x ， 其中是未知参数，求的最大似然估计值 解：答案解：答案: : 解：解： 似然函数为似然函数为 L xxxf xf xf x nn (,; )(, ) (, )(; ) 1212 0,0 0,
19、e 1 1 1 x x n i i x n 取对数得取对数得 n i i xnL 1 1 lnln 求导得求导得 n i i x nL 1 2 1 d lnd 令令 d d ln L 0得得的最大似然估值的最大似然估值 n i i x n 1 1 四、证明题（本题四、证明题（本题 4 4 分）分） 设BA,是随机事件，试证： )()()()(ABPBAPBAPBAP 证明证明：由事件的运算得：由事件的运算得BAABA， 且且A与与BA互斥，由加法公式得互斥，由加法公式得 )()()(BAPAPBAP， 又有又有BAABA，且，且AB与与BA互斥，由加法公式得互斥，由加法公式得 )()()(BA
20、PABPAP 综合而得综合而得)()()()(BAPBAPABPBAP，证毕，证毕 工程数学（本）模拟试题工程数学（本）模拟试题 一、单项选择题（每小题 3 分，本题共 21 分） 1设BA,为n阶矩阵，则下列等式成立的是（ A） (A)BAAB (B)BABA (C) 111 )( BABA(D) 111 )( BAAB 2向量组 3 2 1 , 3 3 3 , 0 2 2 , 0 0 1 的秩是（C） (A)1(B)2 (C)3(D)4 3设A是n阶方阵，当条件（B）成立时，n元线性方程组 bAX 有惟一解 (A)nr)(A(B)nr)(A (C)0A(D)0b 4设A B,为随机事件，下
21、列等式成立的是（B ） (A)()()(BAPAPABP(B) )()()(BAPABPAP (C)()()(BPAPABP(D) )()()(BPAPABP 5随机事件A B,互斥的充分必要条件是（C） (A) BA(B) BA (C)ABA(D)0)(ABP 6 下列函数中能够作为连续型随机变量的密度函数的是 （A） (A)f x xx ( ) , , 501 0 4 其它 (B) f x xx ( ) , , 01 0其它 (C) 其它,0 0,sin )( xx xf(D) 其它,0 2 ,cos )( xx xf 7 设 总 体X满 足E XD X(),() 2 ， 又 X n Xk
22、 k n 1 1 ，其中XXXn 12 ,是来自总体X的n个 样品，则等式（B）成立 (A) n XE )(B)(XE (C) 2 2 )( n XD (D) 2 )(XD 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 1 * 02 13 32 10 2 若是A的特征值， 则是方程0 AI的 根 3已知5 . 0)(,9 . 0)(ABPAP，则)(BAP 4 . 0 4 设 连 续 型 随 机 变 量X的 密 度 函 数 是)(xf， 则 )(bXaP b a xxfd)( 5统计量就是不含未知参数不含未知参数的样本函数 三、计算题（每小题 10 分，共 60 分） 1设矩阵 101 111
23、001 A，求 1 )( AA 解：由矩阵乘法和转置运算得解：由矩阵乘法和转置运算得 221 231 111 110 010 111 101 111 001 AA 利用初等行变换得利用初等行变换得 111100 01 1 2 1 2 1 2 0 011101 1 11100 0 1 1 2 1 2 1 2 0 0 0 1 2 1 2 1 2 1 即即 211 110 102 )( 1 AA 2在线性方程组 1532 3 32 321 21 321 xxx xx xxx 中取何值时，此方程组有解有解的情况下写出方程组的一般解 解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形 21
24、110 3330 321 1532 3011 321 22000 1110 2101 22000 1110 321 由此可知当由此可知当1时方程组无解，当时方程组无解，当1时方程组有解此时方时方程组有解此时方 程组的一般解为程组的一般解为 1 1 32 31 xx xx 3用配方法将二次型 2 332 2 23121 2 1321 62242),(xxxxxxxxxxxxf 化为标准型，并求出所作的满秩变换 解：解： 2 332 2 23121 2 1321 62242),(xxxxxxxxxxxxf 2 3 2 332 2 2323121 2 3 2 2 2 1 7)96()4424(xxx
25、xxxxxxxxxxx 2 3 2 32 2 321 7)3()2(xxxxxx 令令 333223211 ,3,2xyxxyxxxy 即得即得 2 3 2 2 2 1321 7),(yyyxxxf 由式解出由式解出 321 ,xxx，即得，即得 33 322 3211 3 5 yx yyx yyyx 或写成或写成 3 2 1 3 2 1 100 310 511 y y y x x x 4一袋中有 9 个球，其中 6 个黑球 3 个白球今从中依次无放 回地抽取两个，求第 2 次抽取出的是白球的概率. 解：解：设如下事件：设如下事件： i A： “第第i次抽取出的是白球次抽取出的是白球” （2,
26、 1i） 显然有显然有 9 3 )( 1 AP，由全概公式得，由全概公式得 )()()()()( 1211212 AAPAPAAPAPAP 3 1 8 3 3 2 8 2 3 1 5 设)4,5( NX， 试 求 )95( XP； )7(XP （已知,8413. 0) 1 ( 9987. 0)3(,9773. 0)2(） 解：解： )2 2 5 0() 2 59 2 5 2 55 ()95( X P X PXP 4773. 05 . 09773. 0)0()2( ) 2 57 2 5 ()7( X PXP ) 1 2 5 (1) 1 2 5 ( X P X P 1587. 08413. 01)
27、 1 (1 6某钢厂生产了一批轴承，轴承的标准直径 20mm，今对这批 轴承进行检验，随机取出 16 个测得直径的平均值为 19.8mm，样本 标准差3 . 0s，已知管材直径服从正态分布，问这批轴承的质量 是否合格？（检验显著性水平 005.，131. 2)15( 05. 0 t） 解：解：零假设零假设20: 0 H由于未知由于未知 2 ，故选取样本函数，故选取样本函数 T x sn t n () 1 已知已知8 .19x，经计算得，经计算得 075. 0 4 3 . 0 16 s ， 667. 2 075. 0 208 .19 ns x 由由已知条件已知条件131. 2)15( 05. 0 t， )15(131. 2667. 2 05. 0 t ns x 故拒绝零假设，即不认为故拒绝零假设，即不认为这批轴承的质量是这批轴承的质量是合格的合格的 四、证明题（本题 4 分） 设是可逆矩阵A的特征值， 且0， 试证： 1 是矩阵 1 A 的特征值 证明：由已知条件知有非零向量证明：由已知条件知有非零向量x，使得，使得 xAx 上式两端左乘上式两端左乘 1 A得得 xAAxA 11 即即 xAxAxIxAxA 111 整理得整理得 xxA 1 1 由定义可由定义可
