1、第十五章圆锥曲线与方程 概述： 本章主要研究曲线与方程的对应关系， 圆锥曲线的定义、 方程、 几何性质， 以 及圆锥曲线在实际中的简单应用， 并介绍了坐标法和解析几何的思想. 学习这一章时需要一定的代数知识作为基础， 特别是对数式变形和解方程组的能 力要求较高， 学习中应重视并加强训练. 知识网络 第十五章圆锥曲线与方程 概念 求曲线方程 圆锥曲线与方程 曲线与方程 曲线性质 定义 标准方程椭圆 几何性质 定义 标准方程双曲线 几何性质 定义 标准方程抛物线 几何性质 相交 直线与圆锥曲线的位置关系相切 相离 119 高中数学公式、 定理、 定律图表 GAOZHONG SHUXUE GONGS
2、HI DINGLI DINGLU TUBIAO 例1求曲线y=|x|与x2+（y-1）2=1的交点坐标. 思路引导：两曲线方程联立， 求出交点坐标. 解： 联立方程 y=|x|， x2+（y-1）2=1， ， 15.1曲线与方程 一、 知识图表 1.曲线与方程的概念 在平面直角坐标系中， 如果曲线C与方程F（x，y）=0之间具有 如下关系： （1） 曲线C上点的坐标都是方程F（x，y）=0的解； （2） 以方程F（x，y）=0的解为坐标的点都在曲线C上. 那么， 曲线C叫做方程F（x，y）=0的曲线， 方程F（x，y）=0叫 做曲线C的方程. 2.两条曲线的交点 两条曲线F（x，y）=0，G（
3、x，y）=0有交点的充要条件是方程组 F（x，y）=0 G（x，y）= ， 0 有实数解. （1） 二元方程一般 表达形式：F（x，y）=0. （2） 轨迹方程： 一条曲线可以看成 动点依某种条件运动的 轨迹， 所以曲线的方程 又常称为满足某种条件 的点的轨迹方程. 要点提示: 二、 重要概念剖析 曲线的方程与方程的曲线概念解读. “曲线上的点的坐标都是这个方程的解”， 阐明曲线上没有坐标不满足方程的点， 也就是说曲线 上所有的点都符合这个条件而毫无例外；（纯粹性） “以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”， 阐明符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏. （完备性） 曲线C与方程F（x，y）=0之
4、间的关系 （1） 和 （2） 缺一不可， 而且两者是对曲线上的任意一点以 及方程的任意一个实数解而言的； 如果曲线C的方程是F（x，y）=0， 则M（x0，y0）C圳F（x0，y0）=0. 从集合的角度来看， 设A是曲线C上的所有点组成的点集，B是所有以方程F（x，y）=0的实数 解为坐标的点组成的点集， 则由关系 （1） 可知A哿B， 由关系 （2） 可知B哿A， 同时具有关系 （1） 和 （2 ）， 就有A=B. 三、 学习方法引导 120 第十五章圆锥曲线与方程 由得y2=x2， 代入得y2+（y-1）2=1， 解得y=0或y=1. 所以 x=0 y= = 0或 x=1 y= = 1或
5、x=-1 y= = 1 . 即两曲线的交点为 （0，0），（1，1），（-1，1）. 例2设动点M到两条互相垂直的直线的距离的积等于1， 求动点M 的轨迹方程， 并用方程研究轨迹 （曲线） 的性质. 思路引导：（1） 直接法求轨迹方程， 即设所求动点坐标为 （x，y）， 然后找出题设中等量关系， 将x与y联系起来， 化简后即为所求方 程.（2） 根据所求方程研究曲线性质. 解： 取已知的两条互相垂直的直线为坐标轴， 建立平面直角坐标系 xOy， 设动点M的坐标为 （x，y）， 依题意， 得|x|y|=1， 化简得xy=1或xy=-1. 下面由方程研究曲线的性质： 曲线的组成： 由方程xy=1或
6、xy=-1表示的曲线组成； 曲线与坐标轴的交点： 由x0且y0， 知方程的曲线与两条坐标 轴没有交点； 曲线的对称性： 以-x代x， 方程不变， 方程的图象关于y轴对称； 以-y代y， 方程不变， 方程的图象关于x轴对称； 以-x代x， 同时以-y代y， 方程仍不变， 方程的图象关于原点中心 对称. 曲线的变化： 在第一象限， 当x逐渐变大时，y逐渐变小， 曲线无 限地靠近x轴； 当x逐渐变小时，y逐渐增大， 曲线向上无限地靠 近y轴.画出方程的曲线如右图.（作出第一象限部分， 根据对称性 得到） （2009湖南） 在平面直角坐标系xOy中， 点P到 点F（3，0） 的距离的4倍与它到直线x=
7、2的距离的3倍之和记为d， 当P点运 动时，d恒等于点P的横坐标与18之和. （） 求点P的轨迹C； （） 设过点F的直线l与轨迹C相交于M、N两点， 求线段 MN长度的最大值. 答案：（）y2=12x （） 100 11 x 1 3 1 2 123 y321 1 2 1 3 y x O 四、 高考回眸 名师经验谈：（1） 求 两曲线的交点坐标， 转 化为求方程组的解， 若 求两曲线的交点个数， 则通过方程组的解的个 数求得， 也可通过画图 直观得到. （2） 有的题目在求 轨 迹 方 程 之 前 需 要 建 系， 注意坐标系的建立 要借助题目中给出的条 件， 如本题就以已知的 两条互相垂直的
8、直线为 坐标轴. （3） 直接法求曲线 方程的基本步骤： 建立适当的直角 坐标系 ， 设M（x，y） 为曲线上的任意一点； 写 出 适 合 条 件 P的点M的集合P=M| P（m）； 用坐标表示条件 P（m）， 列出方程F（x， y）=0； 化方程F（x，y）= 0为最简形式； 证明以化简后的 方程的解为坐标的点都 是曲线上的点. 高考命题趋势：求曲线 方程的题目若出现在主 观题中， 往往综合性比 较强， 属于较难题； 若 出现在客观题中， 则通 常可利用圆锥曲线定义 解题， 为容易题.今后几 年的高考中， 求曲线方 程仍然是考查热点之一. 121 高中数学公式、 定理、 定律图表 GAOZH
9、ONG SHUXUE GONGSHI DINGLI DINGLU TUBIAO 15.2椭圆 一、 知识图表 定 义 文字 语言 平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数 （大于|F1F2|） 的点的 轨迹 （或集合） 叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点， 两焦点的 距离叫做椭圆的焦距. 符号 语言 |MF1|+|MF2|=2a|F1F2|（M为动点，F1、F2为定点，a为常数） 标准方程 x2 a2 + y2 b2 =1（ab0） y2 a2 + x2 b2 =1（ab0） 图形 范围-axa，-byb-bxb，-ayb 对 称 性关于x 轴、 y轴、 坐标原点对称关于x 轴、 y轴、
10、坐标原点对称 顶点 A1（-a，0），A2（a，0） B1（0，-b），B2（0，b） A1（0，-a），A2（0，a） B1（-b，0），B2（b，0） 焦点F1（-c，0），F2（c，0）F1（0，-c），F2（0，c） 离 心 率e= c a （0ec0， 所以0e0，n0，mn）， 将M、N 两点代入， 得 9 4 m+25 4 n=1 3m+5n= = 1 .解得m= 1 6 ，n= 1 10. 故所求椭圆的标准方程为 x2 6 + y2 10=1. 例2已知B、C是两个定点，|BC|=8， 且ABC的周长等于18， 求这个三角形顶点A的轨迹方程. 思路引导：由ABC的周长等于18，
11、|BC|=8， 可知点A到B、C两 个定点的距离之和总是等于10， 因此点A的轨迹是以B、C为焦点 的椭圆， 但点A与点B、C不能在同一直线上.适当建立平面直角 坐标系， 可以求出这个椭圆的标准方程. 解： 以过B、C两点的直线为x轴， 线段BC的垂直平分线为y 轴， 建立直角坐标系xOy. 由|BC|=8， 可知点B（-，0），C（4，0）. 由|AB|+|BC|+|AC|=18， 得|AB|+|AC|=10， 因此， 点A的轨迹是以B、 C为焦点的椭圆， 这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a=10， 但 点A不在x轴上. 由a=5，c=4， 得b2=a2-c2=9.因此点A的轨迹方程为 x
12、2 25+ y2 9 =1（y0）. 1.（2008 浙江） 已知F1、F2为椭圆 x2 25+ y2 9 =1的两个焦点， 过F1 的直线交椭圆于A、B两点.若|F2A|+|F2B|=12， 则|AB|=. 答案：8 2.（2007江苏） 在平面直角坐标系xOy中， 已知ABC的顶点 A（-4，0） 和C（4，0）， 顶点B在椭圆 x2 25+ y2 9 =1上， 则 sinA+sinC sinB = . 答案： 5 4 三、 学习方法引导 四、 高考回眸 名师经验谈：椭圆标准 方 程 的 统 一 形 式Ax2+ By2=1（A0，B0， 且 AB）. 当BA0时 ， 表 示焦点在x轴上的椭
13、圆； 当AB0时 ， 表 示焦点在y轴上的椭圆. 运用椭圆标准的统 一形式可避免对焦点位 置的讨论， 简化运算. 名师经验谈：椭圆定义 是解决问题的出发点 ， 要明确参数a，b，c，e 的相互关系、 几何意义 与一些概念的联系. 高考命题趋势：椭圆是 圆锥曲线中最重要的内 容， 因而是高考命题的 热点.考查椭圆的基础 知识、 椭圆的几何性质. 借椭圆的形式， 考查把 几何条件转化为代数形 式的能力， 是应引起注 意的.今后高考中， 椭 圆的考查必不可少， 选 择题、 填空题、 解答题 均可出现， 且解答题出 现的频率较高. 123 高中数学公式、 定理、 定律图表 GAOZHONG SHUXU
14、E GONGSHI DINGLI DINGLU TUBIAO 15.3双曲线 一、 知识图表 定 义 文字 语言 平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数 （小于|F1F2| 且不等于零） 的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦 点， 两焦点的距离叫做双曲线的焦距. 符号 语言 |MF1|-|MF2|=2a0，b0） y2 a2 - x2 b2 =1（a0，b0） 图形 范围xa或x-aya或y-a 对 称 性关于x 轴、 y轴、 坐标原点对称关于x 轴、 y轴、 坐标原点对称 顶点A1（-a，0），A2（a，0）A1（0，-a），A2（0，a） 离 心 率e= c a （
15、e1） 焦点F1（-c，0），F2（c，0）F1（0，-c），F2（0，c） 渐近线方程y= b a xy= a b x 双曲线的定义、 标准方程和几何性质. y x O A1 B1 F1 A2 B2 F2 y x OA1 B1 F1 A2 B2 F2 1.在椭圆与双曲线的标准方程中， 前者ab0， 后者a，b无大小关系.根据椭圆与双曲线标准 方程判定焦点在哪条坐标轴上， 前者是根据x2，y2项分母的大小来判定， 后者是根据x2，y2项系数 的正负来判定. 2.对圆锥曲线来说， 渐近线是双曲线的特有性质， 利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便， 二、 重要概念剖析 （1） 若改变定义中 的条件
16、， 使|F1F2|=2a， 则 动点的轨迹为两条射线； 若|F1F2|0，b0） 的渐近线方程为 x2 a2 - y2 b2 =0即y= b a x； 双曲线 y2 a2 - x2 b2 =1 （a0，b0） 的渐近线方程为 y2 a2 - x2 b2 =0， 即y= a b x. 3.根据双曲线的渐近线方程求出双曲线方程， 简单且实用的方法是： 如果两条渐近线方程为 AxBy=0， 那么双曲线方程为 （Ax+By）（Ax-By）=m， 这里m是待定系数， 其值可由题目中的已知条 件确定. 四、 高考回眸 高考命题趋势：在双曲 线的几何性质中， 渐近 线是独特的一种性质， 也是考查的重点内容，
17、 充分利用双曲线的渐近 线方程， 简化解题过程. 从试题层次看， 双曲线 的定义、 标准方程及简 单的几何性质的考查大 都为选择题、 填空题， 难度不大， 而较深层次 的考查 （如直线与双曲 线综合题） 随着高考要 求的降低将很少出现. 例已知双曲线上一个点 M 10 ， 8 3 3? 和两条渐近线y= 1 3 x， 求它 的标准方程. 思路引导：待定系数法求方程， 但需判定双曲线焦点所在位置.具 体思路是计算的点M与原点连线的斜率， 与渐近线的斜率比较大 小， 从而确定双曲线的位置.另外， 可利用与双曲线有共同渐近线 的双曲线系进行求解， 从而避开对焦点位置的判定. 解： 把x=10代入渐近
18、线方程得y=10 3 ， 因为 8 3 0） y2=-2px （p0） x2=2py （p0） x2=-2py （p0） （0，0）（0，0）（0，0）（0，0） y=0y=0 x=0 x=0 F p 2 ， ，? 0 F - p 2 ， ， 0 F 0 ， p 2 2， F 0 ，- p 2 ， x=- p 2 x= p 2 y=- p 2 y= p 2 |MF|=x0+ p 2 |MF|=-x0+ p 2 |MF|=y0+ p 2 |MF|=-y0+ p 2 e=1 抛物线的定义、 标准方程和几何性质. y x O - p 2 F l y x Op 2 F l y x O F l - p
19、2 y x O F l p 2 1.已知抛物线的标准方程， 求它的焦点坐标和准线方程时， 首先要判断抛物线的对称轴和开口 方向.一次项的变量如为x （或 y）， 则x轴 （或y轴） 是抛物线的对称轴； 一次项系数的符号决定 开口方向.例如， 抛物线的方程为x2=-2y， 则y轴为对称轴， 开口方向和y轴的正方向相反. 2.抛物线的离心率是定值1， 它说明所有的抛物线都相似， 即所有的抛物线形状都相同. 3.过圆锥曲线的一个焦点且与它的对称轴垂直的弦叫做圆锥曲线的 “通径”.抛物线的通径的 二、 重要概念剖析 126 第十五章圆锥曲线与方程 三、 学习方法引导 名师经验谈：（1） 由 已知条件判
20、断抛物线的 对称轴以及开口方向， 是设定抛物线标准方程 的依据， 应用定义建立 等量关系， 可使待定系 数的求解过程简捷. （2） 当抛物线的对 称轴为y轴， 开口向上 或 向 下 时 ， 设 方 程 为 x2=2ty（t0）， 是一种 合二为一的简捷设法， 应该注意应用. 长等于2p， 其中p是抛物线的焦点到准线之间的距离， 称为焦准距 （或称焦参数）.根据抛物线的 顶点和通径的两端点， 可作出抛物线的近似图形. p刻画了抛物线开口的大小，p值越大， 开口越 宽； p值越小， 开口越窄. 高考命题趋势：高考中 考查的重点为抛物线的 方程、 准线、 抛物线的 几何性质， 或与抛物线 相关的综合
21、问题 （轨迹 问题、 直线与抛物线）. 高考考试说明中理科对 抛物线要求是掌握， 而 文科对抛物线要求是了 解， 在文科教学中注重 把握难度. 例抛物线顶点在原点， 焦点在y轴上， 若抛物线上一点M（m，-3） 到焦点距离等于5， 求m值和抛物线方程. 思路引导：由抛物线顶点在原点， 焦点在y轴上， 又过点M（m，-3）， 可知抛物线的开口向下， 由抛物线定义可将点M（m，-3） 到焦点 的距离等于5， 转化为点M到其准线的距离等于5， 从而建立关于 m的方程求解m值. 解： 由已知抛物线的开口向下， 可设抛物线方程为x2=-2py（p0） 由定义知 p 2 +3=5， 解得p=4， 方程为x
22、2=-8y. 将点M（m，-3） 代入抛物线方程， 得m2=24 即m=26 姨 为所求. 变 式抛 物 线 顶 点 在 原 点 ， 焦 点 在y轴 上 ， 若 抛 物 线 上 一 点 M（-3，m） 到焦点的距离等于5， 求抛物线方程. 答案：x2=18y，x2=2y，x2=-2y， x2=-18y. （9浙江） 已知抛物线C：x2=2py（p0） 上一点A（m，4） 到其焦点的距离为17 4 . （） 求p与m的值； （） 设抛物线C上一点P的横坐标为t（t0）， 过P的直线交C 于另一点Q， 交x轴于点M， 过点Q作PQ的垂线交C于另一点N. 若MN是C的切线， 求t的最小值. 答案：（
23、）p= 1 2 ，m=2（）t的最小值是 2 3 四、 高考回眸 127 高中数学公式、 定理、 定律图表 GAOZHONG SHUXUE GONGSHI DINGLI DINGLU TUBIAO 15.5直线与圆锥曲线 一、 知识图表 1.利用坐标法解决直线与圆锥曲线的位置关系问题. 设直线l的方程为Ax+By+C=0， 圆锥曲线C：f（x，y）=0. 由 Ax+By+C=0 f（x，y）= = 0 ， 消去y（或x）， 得到关于x （或 y） 的方程ax2+bx+c=0， 此时方程组的解的个 数与方程ax2+bx+c=0的解的个数是一致的. 当a0时， 方程ax2+bx+c=0是一个一元二
24、次方程.此时方程的解的个数 （即为直线与圆锥曲线 交点的个数） 可由判别式=b2-4ac来判断如下： （1）0圳直线l与圆锥曲线C相交； （2）=0圳直线l与圆锥曲线C相切； （3）0圳直线l与圆锥曲线C相离. 2.求弦长问题. 连接圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦.求弦长的一种求法是将直线的方程与圆锥曲 线方程联立， 求出两交点的坐标， 然后运用两点间的距离公式来求； 另外一种求法是利用弦长公式 求解. 二、 重要概念剖析 1.直线与圆锥曲线的位置关系 2.弦长公式 斜率为k的直线与圆锥曲线交于A（x1，y1），B（x2，y2） 两点， 则 弦长|AB|=1+k2 姨 （x1+x2）2
25、-4x1x2 姨=1+ 1 k2姨 （y1+y2）2-4y1y2 姨 位置关系交点个数判定方法 相离没有交点0 一个交点 直线平行于双曲线渐近线或与 抛物线对称轴平行 （重合） 当直线平行 （或重 合） 于抛物线的对称轴 时， 直线与抛物线只有 一个公共点； 当直线平 行 于 双 曲 线 的 渐 近 线 时， 直线与双曲线相交 且只有一个公共点， 所 以直线与抛物线、 双曲 线有一个公共点是直线 与抛物线、 双曲线相切 的必要条件， 但不是充 分条件. 要点提示: 128 第十五章圆锥曲线与方程 三、 学习方法引导 名师经验谈：（1） 由 于直线l与双曲线C的 右支有两相异交点.故 方程 （k
26、2-2）x2+2kx+2=0 的两根必须都是正根， 其充要条件是0且两 根之和与之积均为正数. （2） 以线段AB为 直 径 的 圆 经 过 焦 点F， 并不一定要求出圆的方 程.如果应用直径所对 的 圆 周 角 为 直 角 来 求 解， 则要简捷一些. （3） 直线与圆锥曲 线相交是解析几何中一 类重要问题， 解题时注 意应用韦达定理及 “设 而不求” 的技巧， 以解 决直线与圆锥曲线的综 合问题. 四、 高考回眸 高考命题趋势：题型以 解答题的形式出现居多. 这类问题往往综合性强， 注重与一元二次方程中 根的判别式、 韦达定理、 函数的单调性、 不等式、 平面向量等知识综合， 重在考查学生
27、的基本数 学素质和数学能力， 具 有 较 高 的 区 分 度 功 能. 预计近几年高考中， 圆 锥曲线主观题目仍是考 查重点和热点. 例直线l：y=kx+1与双曲线C：2x2-y2=1的右支交于不同的两点 A、B. （1） 求实数k的取值范围. （2） 是否存在实数k， 使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的 右焦点F？ 若存在， 求出k的值； 若不存在， 说明理由. 思路引导：（1） 直线与曲线相交， 应用判别式求解， 但注意联立 后方程两根均大于0的条件限制. （2） 问题转化为直径所对圆周角为直角求解. 解： （1） 将直线l的方程y=kx+1代入双曲线C的方程2x2-y2=1后， 整
28、理得 （k2-2）x2+2kx+2=0. 依题意， 直线l与双曲线C 的右支交于不同 两点， 则 k2-20 =（2k）2-8（k2-2）0 - 2k k2-2 0， 2 k2-2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 解得k的取值范围为-2k ? ? ? ? 2 ? ? ? ? ? . 假设存在实数k， 使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的 右焦点F（c，0）， 则由FAFB得 （x1-c）（x2-c）+y1y2=0， 即 （x1-c）（x2- c）+（kx1+1）（kx2+1）=0.整理得 （k2+1）x1x2+（k-c）（x1+x2）+c2+1=0 把式及c= 6姨 2 代入式化简得5k2+26 姨k-6=0. 解得k=-6+ 6姨 5 或k=6- 6姨 5 埸（-2，-2姨） （舍去）. 可知k=-6+ 6姨 5 使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点. （2010 辽宁） 设椭圆C： x2 a2 +y 2 b2=1 （ab0） 的右焦点为F， 过F的 直线l与椭圆C相交于A、B两点， 直线l的倾斜角为60，A A? F=2F A? B. （） 求椭圆C的离心率； （） 如果|AB|=15 4 ， 求椭圆C的方程. 答案：（）e= 2 3 （） x2 9 + y2 5 129
