1、第十八章推理与证明 知识网络 第十八章推理与证明 推 理 与 证 明 推理 数学归纳法 证明 合情推理 演绎推理 归纳推理 类比推理 三段论 数学归纳法 利用数学归纳法证明有关命题 直接证明 间接证明 综合法 分析法 反证法 概述：“推理与证明” 是数学的基本思维过程， 也是人们学习和生活中经常使用的思维方 式.推理一般包括合情推理和演绎推理.在解决问题中， 合情推理具有猜测和发现结论、 探 索和提供思路的作用.证明通常包括逻辑证明和实验、 实践证明、 演绎推理或者逻辑证明能 力的培养. 学习过程中， 结合实例运用合情推理去探索、 猜测一些数学结论， 并用演绎推理确认 所得结论的正确性或者用反
2、例推翻错误的猜想， 从而培养严谨推理的作风， 发展数学思维能 力， 培养创新意识与创新能力， 深刻领会合情推理与演绎推理的特点及联系、 区别.感受逻 辑证明在数学以及日常生活中的作用， 养成言之有理、 论证有据的严谨的理性思维习惯. 147 高中数学公式、 定理、 定律图表 GAOZHONG SHUXUE GONGSHI DINGLI DINGLU TUJIE （1） 推理形式： ab bc ac （2） 合情推理有归 纳推理和类比推理. （3） 哥德巴赫猜想 是一个重要的归纳推理. 任何一个大于4的 偶数都是两个质数之和. （4） 归纳推理的前 提与结论只具有或然性 联系， 结论不一定正确.
3、 结论的正确性还需要理 论证明或实践检验. （5） 归纳分成完全 归纳和不完全归纳.由归 纳推理所得的结论虽然 未必是可靠的， 但它由 特殊到一般， 由具体到 抽象的认识功能， 对科 学的发现是十分有用的， 观察、 实验、 对有限的 资料作归纳整理、 提出 带规律性的证法是科学 研究的最基本的方法. （6） 演绎推理是由 一般到特殊的推理， 其 特征是： 当前提为真时， 结论必然为真. （7） 演绎推理是一 种必然性推理， 演绎推 理的前提与结论之间有 蕴涵关系， 因而， 只要前 提是真实的， 推理形式是 正确的， 那么结论必定是 真实的， 但错误的前提， 可能导致错误的结论. 特别提示: 前
4、提 结论 18.1合情推理与演绎推理 一、 知识图表 推 理 根据几个或一个已知的事实 （或假设） 得出一个判断的思维方式叫 做推理. 从结构上说， 推理一般由两部分组成， 一部分是已知的事实 （或假设）， 叫做前提， 一部分是由已知推出的判断， 叫做结论. 前提为真时， 结论可能为真的推理， 叫做合情推理. 根据一类事物的部分对象具有的某种性质， 推出这类事物的所有对象 都具有这种性质的推理， 叫做归纳推理 （简称归纳）. 归纳推理的步骤： 1.通过观察个别情况发现某些相同性质； 2.从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题 （猜想）. 根据两类不同事物之间具有某些类似 （或一致） 性
5、， 推测其中一类 事物具有与另一类事物类似 （或相同） 的性质的推理， 叫做类比推 理 （简称类比）. 类比推理的一般步骤： 1.找出两类事物之间的相似性或一致性； 2.用一类事物的性质推测另一类事物的性质， 得出一个明确的命题 （猜想）. 从一般性的命题出发， 推出某个特殊性命题的过程， 即根据一般性 的真命题 （或逻辑规则） 导出特殊性命题为真的推理， 叫做演绎推 理. 在推理中： “若 b圯c，a圯b， 则a圯c” 这种推理规则叫做三段论推 理， 它包括： a.大前提已知的一般原理； b.小前提所研究的特殊情况； c.结论根据一般原理对特殊情况做出的判断. “三段论” 可以表示为 大前提
6、：M是P 小前提：S是M 结论：S是P 集合知识说明 若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的一个子集， 那么S、P 所有元素也都具有性质P. 推 理 合 情 推 理 演 绎 推 理 148 第十八章推理与证明 二、 重要概念剖析 1.归纳推理的特点： （1） 归纳推理是依据几个已知的特殊现象， 归纳推断出一般性的结论， 该结论超越了前提所包 容的范围. （2） 由归纳推理得到的结论具有猜测的性质， 结论是否真实， 还需要经过逻辑证明和实践检 验. （3） 归纳的前提是特殊的情况， 所以归纳是立足于观察、 经验或实验的基础上的. （4） 归纳推理是一种具有创造性的推理， 通过归纳推理得到的猜想
7、， 可以作为进一步研究的起 点， 帮助人们发现问题和提出问题. 2.类比推理的特点： （1） 类比是从人们已经掌握了的事物的属性， 推测正在研究中的事物的属性， 它以旧有认识作 基础， 类比出新的结果. （2） 类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性. （3） 类比的结果是猜测性的， 不一定可靠， 但它却具有发现的功能. 3.合情推理与演绎推理的区别 归纳和类比是常用的合情推理， 从推理形式上看， 归纳是由部分到整体、 个别到一般的推理； 类比是由特殊到特殊的推理； 而演绎推理是由一般到特殊的推理.从推理所得到的结论来看， 合情 推理的结论不一定正确， 有待进一步证明.因此， 合情
8、推理不能用作证明； 演绎推理的大前提、 小 前提和推理形式都正确的前提下， 得到的结论一定正确. 4.四种演绎推理规则. （1） 假言推理：“如果p圯q，p真， 则q真.” 本质是： 通过证明结论的充分条件是真， 判断结论是真. （2） 三段论推理：“如果b圯c，a圯b， 则a圯c.” （3） 传递性推理：“如果aRb，bRc， 则aRc”， 其中 “R” 表示具有传递性的关系. 例如：ab，bc圯ac （4） 完全归纳推理： 把所有情况都考虑在内的演绎推理规则 在数学证明中， 以上四种演绎推理规则是经常用到的， 一道证明题， 往往要综合应用这些推理 规则， 如果违背了这些规则， 那么证明就是
9、错误的. 例1设f（n）=n2+n+41，nN*， 计算f（1），f（2），f（3），f（4）， ， f（10）的值， 同时作出归纳推理， 并用n=40验证猜想是否正确. 思路引导： 解： f（1）=12+1+41=43，f（2）=22+2+41=47 f（3）=32+3+41=53，f（4）=42+4+41=61， f（5）=52+5+41=71，f（6）=62+6+41=83， f（7）=72+7+41=97，f（8）=82+8+41=113， f（9）=92+9+41=131，f（10）=102+10+41=151. 43，47，53，61，71，83，97，113，131，151都为质
10、数， 归纳猜想： 当nN* 时， f（n）=n2+n+41的值都为质数. 当n=40 时， f（40）=402+40+41=4041+41=4141. 三、 学习方法引导 名师经验谈：（1） 归 纳分成完全归纳和不完全 归纳.由归纳推理得到结 论虽然未必可靠， 但它是 一种创新的思维方法， 是 科学进步不可缺少的. （2） 归纳的结论也 不一定是唯一的.例如， 此 题 还 可 以 猜 想 ， 当 nN* 时， f（n）的值都 是奇数. 149 高中数学公式、 定理、 定律图表 GAOZHONG SHUXUE GONGSHI DINGLI DINGLU TUJIE 名师经验谈：（1） 其 中前三
11、个类比得到的结 论是正确的， 最后一个 是 错误的， 由此可见， 类比结论只具有或然性， 即可能真， 也可能假. （2） 虽然类比所得 到 的 结 论 未 必 是 正 确 的， 但它所具有的由特 殊到特殊的认识功能， 对于发现新的规律却是 十分有用的. 高考命题趋势：利用合 情推理， 对数列、 解析 几何等数学命题提出猜 想， 再利用演绎推理加 以证明是一种重要的综 合题. f（40）是合数， 因此， 由上面归纳推理得到的猜想不正确. 例2找出圆与球的相似性质， 并用圆的下列性质类比球的有关性 质： （1） 圆心与弦 （非直径） 中点的连线垂直于弦； （2） 与圆心距离相等的两弦相等； （3）
12、 圆的周长C=d（d是直径）； （4） 圆的面积S=r2. 思路引导：解： 圆与球有下列相似的性质： （1） 圆是平面上到一定点的距离等于定长的所有点构成的集合.球 面是空间中到一定点的距离等于定长的所有点的集合. （2） 圆是平面内封闭的曲线所围成的对称图形； 球是空间中封闭的 曲面所围成的对称图形. 通过与圆的有关性质类比， 可以推测球的有关性质： （2009 湖北） 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研 究数.比如： 他们研究过下图中的1，3，6，10， 由于这些数能 够表示成三角形， 将其称为三角形数； 类似地， 称1，4，9，16， 这样的数为正方形数.则下列选项中既是三角形数
13、， 又是正方形数 的是 （） A. 289B. 1024C. 1225D. 1378 答案：C 四、 高考回眸 13610 14916 圆球 圆心与弦 （非直径） 中点的连线 垂直于弦 球心与截面圆 （不经过球心的小截面圆） 圆 心的连线垂直于截面 与圆心距离相等的两条弦长相等与球心距离相等的两个截面圆的面积相等 圆的周长C=d球的表面积S=d2 圆的面积S=r2 球的体积V=4 3 r3 150 第十八章推理与证明 1.综合法与分析法. 分析法与综合法既有区别又有联系， 分析法是从 “未知” 看 “需知” 逐步靠拢 “已知”， 每步 推理都是寻找该步结论的充分条件， 是 “执果索因”； 综合
14、法是从 “已知” 看 “可知” 逐步推向 “未知”， 每步推理都是 “由因导果”， 实际是寻找它的必要条件.而实际解决问题时， 常将两种方法 二、 重要概念剖析 18.2直接证明和间接证明 一、 知识图表 （1） 综合法的思 维 方向： 综合法的思维方 向 是 “顺推”， 即由已知条 件出发逐步推出其必要 条件 （由因导果）， 最后 推导出所要证明的结论 成立， 故综合法又叫顺 推证明法或由因导果法. （2） 综合法的依据： 已知条件以及逻辑推 理的基本理论， 在推理时 要注意： 作为依据和出发 点的命题一定要正确. （3） 分析法的思 维 方向： 分析法的思维方向是 “逆求”， 即由待证的结
15、论 出发， 逐步逆求它要成立 的充分条件 （执果索因）， 最后得到的充分条件是已 知 （或已证） 的命题， 故 分析法又叫做逆推证明法 或执果索因法. （4） 反证法常见 的 矛盾形式： 与假设矛盾； 与题设矛盾； 与 已 知 的 定 义 、 公理和定理矛盾； 自相矛盾. 特别提示: 直 接 证 明 定 义 从命题的条件或结论出发， 根据已知的定义、 公理、 定理， 通过推理 直接推导出所要证明的结论， 这种证明方法为直接证明. 综 合 法 一般地， 利用已知条件和某些数学定义、 公理、 定理等， 经过一系列 的推理论证， 最后推导出所要证明的结论成立， 这种证明方法叫做综 合法. 用P表示已
16、知条件、 已有的定义、 公理、 定理等，Q表示所要证明的 结论， 则综合法可用框图表示为： P0（已知）圯P1圯P2圯P3圯Q（结论） 分 析 法 一般地， 从待证的结论出发， 逐步寻求使它成立的充分条件， 直到最 后， 把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件 （已知条件、 定 理、 定义、 公理等） 为止， 这种证明方法叫做分析法. 用分析法证明的逻辑关系是： B（结论）坩B1坩B2坩坩Bn坩A（已知） 间 接 证 明 反 证 法 一般地， 假设原命题不成立， 经过正确的推理， 最后得出矛盾， 因此 说明假设错误， 从而证明了原命题成立， 这样的证明方法叫做反证法. 反证法证明数学命题的
17、一般步骤： （1） 分清命题的条件与结论； （2） 做出与命题结论相反的假设； （3） 由假设出发应用演绎推理法， 推出矛盾的结果； （4） 断定产生错误结果的原因， 在于开始所做的假定不真， 于是原结 论成立， 从而间接证明命题为真. 概括地说， 反证法的一般步骤为： 否定结论、 推理论证、 导出矛盾、 肯定结论. 151 高中数学公式、 定理、 定律图表 GAOZHONG SHUXUE GONGSHI DINGLI DINGLU TUJIE 名师经验谈：（1） 分 析证明过程的每一步不 一定 “步步可逆”， 也 没有必要要求 “步步可 逆”， 因为这时仅需寻 找充分条件， 而不是充 要条件
18、. （2） 分析法倒过来 写就是综合法. 结合起来使用， 常常是 “分析找思路， 综合写过程”. 2.反证法的适用范围. （1） 已知条件很少或由已知条件能推出的结论很少； （2） 命题的结论以否定形式出现时； （3） 命题的结论以 “至多”、“至少” 的形式出现时； （4） 命题的结论以 “唯一” 的形式出现时； （5） 命题的结论以 “无限” 的形式出现时； （6） 关于存在性命题； （7） 某些定理的逆定理. 例1求证：3 姨+ 7姨25姨. 思路引导：证明： 因为3姨+7姨和25姨都是正数， 所以要证 明： 3姨+7姨25姨， 只需证明 （3 姨+ 7姨）2（25姨）2， 即证10+2
19、21 姨20， 即证 21姨5， 只需证明2125. 因为2125成立， 所以不等式3 姨+ 7姨0， 故矛盾. 所以假设不成立， 原命题正确， 即两个方程中至少有一个方程有 两个不相等的实数根. （2009辽宁） 如图， 已知两个正方形 ABCD和DCEF不在同一平面内，M、N分别 为AB、DF的中点. （） 若平面ABCD平面DCEF， 求直线 MN与平面DCEF所成角的正弦值； （） 用反证法证明： 直线ME与BN是两 条异面直线. 答案：（） 6姨 3 （） 略 名师经验谈：反证法可 用于数学证明的各个方 面， 只要是直接证明有 困难的， 且有可能从结 论的否定推出矛盾的都 可以. 四
20、、 高考回眸 高考命题趋势：综合法 和分析法作为重要的证 明方法贯穿于所有数学 命题的证明， 但作为反 证法单独命题很少见. 三、 学习方法引导 D E F M N A B C 152 第十八章推理与证明 利用数学归纳法证明的有关命题的技巧. 1.数学归纳法可以证明与自然数有关的恒等式问题， 其关键在于第二步， 它有一个基本格式， 我们不妨设命题为f（n）=g（n）. 其第二步相当于做一道条件等式的证明题： 已知：f（k）=g（k）， 求证：f（k+1）=g（k+1）. 通常可采用的格式分成三步： 找出f（k+1 ）与 f（k） 的递推关系；把归纳假设f（k）=g（k）代入；作恒等变形化为g（
21、k+1）. 示意图为：归纳假设 （凑假设） 恒等变形 （凑结论） f（k+1）=f（k）+ak=g（k）+ak=g（k+1） 二、 重要概念剖析 18.3数学归纳法 一、 知识图表 （1） 归纳法又分完全 归纳法与不完全归纳法. （2） 运用数学归纳法证 明有关命题要注意以下几点： 两个步骤， 缺一不可； 第 二 步 中 ， 证 明 “当 n=k+1时结论正确” 的 过程里， 必须利用 “归纳 假设”， 即必须用上 “当n= k时结论正确” 这一条件； 在第二步证明中， “当 n=k时结论正确” 这 一归纳假设起着已知的作 用， “当 n=k+1时结论正 确” 则是要求证的目标， 在这一步中，
22、 一般首先要 凑出归纳假设给出的形式， 以便利用归纳假设， 然后 再去凑出当n=k+1时的结 论， 即凑假设， 凑结论. 特别提示: 数 学 归 纳 法 归纳法 由一系列有限的特殊事物得出一般结论的推理方法， 通常叫做归 纳法. 数学 归纳法 一般地， 证明一个与正整数n有关的命题， 可按下列步骤进行： 第一步：（归纳奠基） 证明当n取第一个值n0时， 命题恒成立； 第二步：（归纳递推） 假设n=k（kn0，kN *） 时命题成立， 证 明当n=k+1时命题也成立， 只要完成这两个步骤， 就可以断定命 题对从n0开始的所有正整数n都成立. 适用 范围 由于数学归纳法是以正整数的归纳公理作为它的
23、理论基础的， 因 此， 数学归纳法适用范围仅限于与正整数有关的命题， 常见的有 关命题有： 1.证明数列恒等式； 2.证明整除问题； 3.证明几何问题； 4.证明数列不等式； 5.证明数列的通项公式和求和公式. 递推结构相同 153 高中数学公式、 定理、 定律图表 GAOZHONG SHUXUE GONGSHI DINGLI DINGLU TUJIE 名师经验谈：用数学归 纳法证明与正整数n有 关的不等式， 是数学归 纳法的学习重点， 也是 考 试 中 的 重 点 题 型 之 一.在n=k+1的证明过 程中还需要熟练运用不 等 式 证 明 的 一 些 技 巧 （放缩法， 差比法）， 有 时有
24、一定的难度， 有时 必须注意， 不是所有的 与正整数n有关的不等 式证明都能用数学归纳 法证明成功. 高考命题趋势：探索题 型， 数列通项、 求和公 式和数列不等式中 “先 猜想， 后证明”， 对思 维能力有较高要求. 2.数学归纳法也可以用来证明有关整除、 几何方面的问题， 证明的关键是寻找f（k+1 ）与 f（k） 之间的递推关系， 基本策略就是 “往后退”， 求由 “n=k到n=k+1” 时增加的元素个数. 3.用数学归纳法证明不等式的命题， 远比证明恒等式困难得多， 证明时要灵活运用不等式的性 质， 结合不等式证明的其他方法， 明确 “n=k+1” 成立时的形式， 抓住关键理清思路，
25、变换出符合 形式的不等式， 第二步的思路是： 假设n=k时不等式成立， 就是AB. 如果n=k+1时不等式也成立， 形式是AB. 为了证明式， 可以从式再推出另一个不等式AB. 使得A=A （或 B=B）， 于是只要能证出BB （或 AA）， 则根据不等式的传递性可以得到A=ABB即AB （或 AAB=B， 即AB）. 以上推证的关键是由式推出式， 至于在证明中究竟是使式中的A=A为好， 还是B=B， 为好， 要根据实际条件来决定. 例用数学归纳法证明下述不等式： 1 n+1 + 1 n+2 + 1 n+3 + 1 3n 9 10 （nN*， 且n2）. 思路引导：证明：当n=2时， 左边=1
26、 3 +1 4 +1 5 +1 6 =57 60 54 60 = 9 10 ， 当n=2时， 不等式正确. 假设当n=k（k2） 不等式正确， 即 1 k+1 + 1 k+2 + 1 3k 9 10 ， 当n=k+1时， 左边= 1 k+2 + 1 k+3 + 1 3k + 1 3k+1 + 1 3k+2 + 1 3k+3 = 1 k+1 + 1 k+2 + 1 k+3 + 1 3k k?+ 1 3k+1 + 1 3k+2 + 1 3k+3 - 1 k+1 9 10 + 1 3k+1 + 1 3k+2 - 2 3k+3 = 9 10 + 1 3k+1 - 1 3k+3 3?+ 1 3k+2 - 1 3k+3 3? 9 10 ， 当n=k+1时不等式也正确. 根据，知对nN*， 且n2， 不等式都正确. （2011 陕西理） 观察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 照此规律， 第n个等式为. 答案：n+（n+1）+（3n-2）=（2n-1） 2 三、 学习方法引导 四、 高考回眸 154
