1、1 第七讲 几何定理. 2 1.知识要点.2 2.例题精讲.2 3.习题巩固.4 4.自招链接.5 5.参考答案.6 第八讲 几何计算. 18 1.知识要点.18 2.例题精讲.18 3.习题巩固.20 4.自招链接.22 5.参考答案.22 第九讲 几何不等式.38 1.知识要点.38 2.例题精讲.38 3.习题巩固.39 4.自招链接.41 5.参考答案.42 第十讲 数论. 52 1.知识要点.52 2.例题精讲.52 3.同余的基本性质.52 4.自招链接.54 5.参考答案.54 第十一讲 组合. 61 1.知识要点.61 3.例题精讲.62 4.习题巩固.63 第十二讲 高斯函数
2、 x. 72 1.知识要点.72 2.例题精讲.73 3.习题巩固.73 4.自招链接.74 5.参考答案.74 名校强基计划初升高衔接讲 义（下） 2 第七讲 几何定理第七讲 几何定理 1.知识要点知识要点 在几何证明中有很多定理十分的有趣， 在介绍这些定理之前， 先介绍一下正弦定理与余 弦定理. 正弦定理与余弦定理是揭示三角形中边角之间的数量关系的两个重要定理， 而三角形是 最基本、最重要的几何图形，所以它们是联系三角与几何的纽带.因此，正弦定理和余弦定 理有着极广泛的应用，它们在代数方面主要用于解斜三角形、判定三角形形状等等；在几何 方面主要用于计算、证明以及求解几何定值与几何最值等等.
3、 正弦定理：在三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等.这个表述等价于：在三角 形中，各边之比等于它所对的角的正弦之比. 有 sinsinsin abc ABC ，此式变形得: :sin:sin:sina b cABC. 余弦定理： 在三角形中， 任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角 余弦的积的两倍.这个表述等价于：任何一角的余弦等于它的两条夹边的平方和减去对边的 平方的差除以夹边乘积的两倍所得的商. 有 222 2cosabcbcA， 222 2cosbacacB， 222 2coscababC. 变形得 222 cos 2 bca A bc ， 222 cos 2 acb
4、 B ac ， 222 cos 2 abc C ab . 以上的证明过程可以使用勾股定理来证明. 2.例题精讲例题精讲 1.（梅氏定理）如图 7-1，E、M 分别为 AB、AC 上的任意一点，D 为 EM 与 BC 延长线 的交点，求证：1 AE BD CM EB DCMA . 2.（塞瓦定理）如图 7-3，在ABC中， AA 、 BB 与 CC 相交于点 O.试证明： 1 BACBAC A C B A C B . 3 3.若钝角三角形的三边分别为3、2、x，试求 x 的取值范围. 4.证明：三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边距离的两倍. 5.证明：（斯德瓦尔特定理）如图 7-5，A
5、BC中，D 是 BC 上任意一点，则有 222 ABCDACBDADBCBD CD BC. 6.证明斯坦纳（Steiner）定理：若 P 为ABC内任意一点，作PDBC，交 BC 于点 D，作PECA于点E，作PFAB于点F.则 222222 AFBDCEAECDBF. 7.证明笛沙格定理：如图 7-7，平面上有两个三角形ABC、A B C ，设它们的对 应顶点（A 和 A 、B 和 B 、C 和 C ）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线 相交，则这三个交点共线. 8.证明阿波罗尼斯圆：如图 7-8，到两定点 A、B 的距离之比为定比:m n（值不为 1） 的点 E，位于将线段 AB 分
6、成:m n的内分点 C 和外分点 D 为直径两端点的定圆周上. 4 9.证明西姆松定理： （1）如图 7-11，从ABC外接圆上任一点 P 向三边 AB、BC、CA 所在直线引垂线， 设垂足分别为点 D、E、F，则点 D、E、F 共线. （2）由ABC外一点 P 向其三边 AB、BC、CA 所在直线引垂线，垂足为点 D、E、F. 若点 D、E、F 共线，则点 P 必在ABC的外接圆上. 3.习题巩固习题巩固 10. 证明海伦公式：()()()Sp papbpc， 1 () 2 pabc，a、b、c 为三边 长. 11. 如图，AM 是ABC的 BC 边上的中线，求证： 2222 2()ABAC
7、AMBM. 12. 证明：若 G 为ABC的重心，P 为ABC所在平面上任意一点.则 22222222222 1 33 3 ()PAPBPCGAGBGCPGabcPG. 13. 证明：平行四边形的两条对角线的平方和等于四条边的平方和. 14. 求证：任意四边形四条边的平方和等于对角线的平方和加对角线中点连线平方的 4 倍. 15. 如图，四边形 ABCD 的对边 AB 与 CD、AD 与 BC 分别相交于点 L、K，对角线 AC 与 BD 交于点 M，直线 KL 与 BD、AC 分别交于点 F、G.求证： KFKG LFLG . 5 16. 在ABC中，已知:1:2:4ABC，求证： 111
8、ABACBC . 17. 若 a、b、x、y 是实数，且 22 1ab， 22 1xy.求证：1axby.（请用几何 方法） 18. 如图，已知 AD、BE、CF 是ABC的三条高，点 D 在直线 AB、BE、CF、CA 上的射 影分别是点 M、N、P、Q.求证：M、N、P、Q 四点共线. 19. 已知四边形 ABCD 是圆内接四边形，且D是直角，若从 B 作直线 AC、AD 的垂线， 垂足分别为点 E、F，则直线 EF 平分线段 BD. 4.自招链接自招链接 20. （托勒密定理） 已知， 四边形 ABCD 内接于圆， 求证：AC BDAD BCAB CD. 21. 某人在学习了三角形面积的
9、海伦公式（若一个三角形的三边长分别是 a、b、c，则它 的面积()()()Sp papbpc，其中 2 abc p ）以后，（1）他试图用例 子说明，存在着两个不全等，并且边长是正整数的等腰三角形，它们的周长相等，而 且面积相等.为了方便，他设定两个等腰三角形的底边边长之比为 2.请你按上述思路 给出一组满足要求的例子.（2）两个等边三角形面积相等，它们一定全等；两个等腰 直角三角形也是如此.除此之外，请你考虑，能否以两个三角形周长相等，面积相等 为前提， 再附加一个有关三角形形状特征的条件， 从而推导出此时这两个三角形必定 全等？ 6 5.参考答案参考答案 1.以下提供的是面积法证明梅氏定理
10、 （爱因斯坦称为优雅的证明， 利用平行线的是丑陋 的证明）. 如图 7-2，连结 AD、BM. ADEAMEAMD BDEBMEBMD SSSAEAE EBSSEBS ， BMD CMD SBD DCS ， CMD AMD SCM MAS . 故1 CMDAMDBMD BMDCMDAMD SSSAE BD CM EB DCMASSS . 2.由OAB和OCA有公共底边 OA，而这两个三角形 OA 上的高之比为:BAA C. 所以 OAB OCA SBA A CS .同理， OBC OAB SCB B AS ， OCA OBC SAC C BS . 三式相乘，化简得：1 BACBAC A C B
11、 A C B . 3.若 x 为最大边，设钝角为， 22 23 cos0 2 2 3 x ，又0 x ，解得7x . 又2323x，所以723x. 若 2 为最大边， 22 32 cos0 2 3 x x ，又0 x ，解得01x. 又因为2323x，得231x. 综上，723x或231x. 4.事实上，如图 7-4，AD、BE、CF 分别为ABC的三条高，D、E、F 分别为垂足，H 是垂心.O 是ABC的外心，M、N、L 分别是 BC、CA、AB 的中点，则 OM、ON、OL 即为外心 O 到三边的距离. 取 BH 的中点 P，连结 PL、PM，则 1 2 PLAH， 1 2 PLAH， 1
12、 2 PMHC， 7 1 2 PMHC. 而CMAD，OLCF，则PLMO，PMLO，即四边形 PMOL 为平行四 边形.（或连结 PO，有PLOOMP）有 1 2 OMLPAH， 1 2 OLMPCH. 同理， 1 2 ONBH. 5.如图 7-6 所示，过点 A 作 BC 的垂线，垂足为点 E，则有 222 ABAEBE， 222 ACAECE， 222 ADAEDE. 故 222 ABCDACBDADBC 222222 ()()()AEBECDAECEBDAEDEBC 2222 ()AECDBDBCBECDCEBDDEBC 222 BECDCEBDDEBC 222 ()()BDDECDC
13、DDEBDDEBC 22222 (2)(2)BDDEBD DECDCDDECD DEBDDEBC 2222 BDCDCDBDDEBCDEBC 22 BDCDCDBD BD CD BC. 即 222 ABCDACBDADBCBD CD BC. 8 点评：由斯德瓦尔特定理可以得出很多有用的结论，比如上例， 令本例中BDCD， 则很快得出上例的结论以及中线长的公式，一般地，只要ABC的三条边已知，BC 上一 点 D 的位置已知，则 AD 的长度便可直接求出来.另外，此结论用余弦定理证明也是很快 的： 在ABD中，由余弦定理可知， 222 2cosABADBDAD BDADB. 在ACD中，由余弦定理
14、可知， 222 2cosACADCDAD CDADC. 故 222 ABCDACBDADBC 22222 ADCDBDCDADBDCDBDADBC 22 ADBCBD CD BCADBC BD CD BC. 6. 222222222 AFBDCEPAPFPBPDPCPE 222222 PAPEPCPDPBPF 222 AECDBF. 7.运用梅涅劳斯定理是证明三个没有直接联系的点共线的常用方法； 假设： FA m FA ， FB n FB ， FC k FC . 因为直线 AC 割三角形FA C ，所以 1 CCFAA G CFAAGC ， 即 11 11 1 1 A G kGC m . 所以
15、 (1) (1) A Gm k GCk m . 9 同理1 CCFBB E CFBBEC ，可得到： (1) (1) B En k ECk n . 同理可得到： (1) (1) B Dn m DAm n . 所以 (1)(1)(1) 1 (1)(1)(1) A G C E B Dm kk nn m GCEBDAk mn km n . 所以 G、E、D 共线. 证明逆定理可以使用同一法. 8.首先证明阿波罗尼斯定理的逆定理：将线段 AB 分成:m n（值不为 1）的内分点 C 和 外分点 D 为直径两端点的定圆周上任意一点到两定点 A、B 的距离之比为定比:m n. 如图 7-9，连结 OE.
16、不 妨 设mn， 设ABl， 则 ml AC mn ， nl BC mn ， ml AD mn ， nl BD mn . 所以圆的直径为 22 2mlmlmnl ADAC mnmnmn . 圆的半径 22 mnl R mn ， 2 22 2 ACADm l AO mn ， 2 22 2 BDBCn l BO mn ， 可得到 22 2 2 2 22 m n l AO BOR mn . 所 以 ， 对 于上 任 意 一 点 E 有 BOAOm EOEOn ，EOABOE ， 所 以 EOACBOE，所以 EBm AEn . 阿波罗尼斯定理的逆定理证明成立后，反过来再证明原来的定理可以使用反证法.
17、 设 E 不在圆上并且:AE BEm nAC BC. 如图 7-10，连结 EC，则 EC 为三角形 AEB 的角平分线，如果 EC 或其延长线与圆有另 一个交点 E ，则根据已证明的逆定理:AEBEm nAC BC ，所以E C是三角形 AE B 的角平分线，于是很容易证明AEEBEE，该结论与:m n值不为 1 矛盾. 如果 EC 或其 延长线 与圆只有 一个交 点，则 EC 与圆 相切， 于是容 易证明 AECBEC， 同样能得出矛盾.所以假设不成立.即满足:AE BEm nAC BC 的点只能在 CD 为直径的圆上. 10 另解：运用余弦定理可以直接得到原命题. 已知：A、B、C、D
18、共线，:AE BEAC BCAD BDm n，O 为 CD 中点， 求证： 1 2 OECD. 2222 22 2cos2cosAOEOAO EOEOBOEO BO mn ， 其中EOA . 又因为 2 22 2 ACADm l AO mn ， 2 22 2 BDBCn l BO mn ，所以 22 AOBO mn . 所以 22 2cos2cosAO EOEO BO mn . 所以 2222 22 AOEOEOBO mn . 所以 22 2 22 1 2 mnl EOCD mn . 9.（1）如图 7-12，连结 DE、EF、PB、PC.由PDAB，PEBC可知，D、B、P、E 四点共圆，故
19、BEDBPD . 由PFAC，PEBC可知，P、E、C、F 四点共圆，故CEFCPF . 又PCFABP ，PDAB，PFAC可 知 ，CPFBPD ， 故 BEDCEF ，从而可知，点 D、E、F 三点共线. （2）由PDAB，PEBC可知，D、B、P、E 四点共圆，故BEDBPD . 由PFAC，PEBC可知，P、E、C、F 四点共圆，故CEFCPF .又 BEDCEF ，故BPDCPF . 11 又PDAB，PFAC，故PCFABP ，从而可知，A、B、P、C 四点共圆， 即点 P 在ABC的外接圆上. 习题巩固习题巩固 10. 2 11 sin1 cos 22 SabCabC. 在AB
20、C中，由余弦定理可得 222 cos 2 abc C ab ，代入上式可得 22 22222222 2222 4 11 1 2424 abca babc Sabab a ba b 2 22222222222 422 1616 a babcababcababc 2222 ()() ()()()() 1616 abccab abc abc cab cab . 又 1 () 2 pabc， 故 22 22 abcpc pc ， 22 22 cabpb pb ， 22 22 cabpa pa ，故()()()Sp papbpc. 11. 过点 A 作 BC 的垂线，垂足为点 D. 在RtABD中，由勾
21、股定理可知， 222 ABADBD. 同理， 222 ACADCD， 222 AMADDM. 又BDBMDM，CDCMDM，BMCM，故 22222 2ABACADBDCD 2222 2()()()AMDMBMDMCMDM 222222 2()AMDMBMDMCMDM 22222 22()AMBMCMAMBM. 备注：本题就是三角形的中线长公式，设 a、b、c 为三角形的三边长， a m、 b m、 c m 12 分别为对应边上的中线，则有 222 1 22 2 a mbca， 222 1 22 2 b mcab， 222 1 22 2 c mabc. 本题只给出了一种情况，当ABC中B或者C
22、为直角或钝角时，同理可证. 另外，可用余弦定理证明该结论： 在ABM中，由余弦定理可知， 222 2cosABAMBMAM BMAMB； 在ACM中，由余弦定理可知， 22 2cosACAMCMAM CMAMC. 两式相加即可得到结论. 12. 设 BC 的中点为 M， 连结 AM、 PM.设 AM 的三等分点分别为点 N、 G.则点 G 为ABC 的重心.由中线公式有 2222 2()PBPCPMBM， 2222 2()PAPGPNNG， 2222 2()PMPNPGNG. +并代入得： 2222222 3224PAPBPCPGBMNGNG. 又 222222 22GBGCGMBMNGBM，
23、 22 4NGGA，所以 2222222 3PAPBPCPGGAGBGC. 又 22222222 4411 2222 9949 GAAMbcabca， 同理 2222 1 22 9 GBcab， 2222 1 22 9 GCabc. 将以上三式代入即得 2222222 1 3 3 PAPBPCabcPG. 点评：该结论前一个等式称为卡诺定理，后一等式称为莱布尼兹公式. 13. 要证明的结论是： 222222 ACBDABBCCDDA. 如图，过点 A、D 分别作 BC 的垂线，垂足分别为点 E、F，易证ABEDCF，故 BECF，AEDF. 13 由勾股定理可知， 222 ACAECE， 22
24、2 BDBFDF. 故 222222 ACBDAECEBFDF 2222 ()()AEBCBEBCCFDF 22222 2AEBCBECFDF 222 2ABBCCD 2222 ABBCCDDA. 另解：在ABD中，由余弦定理可知， 222 2cosBDABADAB ADBAD. 在ACD中，由余弦定理可知， 222 2cosACADCDAD CDADC. 两式相加可得， 2222222222 ACBDABADADCDABBCCDDA. 点评：如果设两对角线的交点为点 O，我们发现： 在ABD中， 2222 2ABADOAOB； 在ACD中， 2222 2ADCDOCOD. 故 2222222
25、222 22ABADADCDOCODOAOBACBD， 即 2222222222 22ABBCCDDAOCODOAOBACBD. 也就是说，用中线长公式（或者斯德瓦尔特定理）也可很快证明. 14. 根据题意作图，ABCD 为任意四边形，点 E、F 分别为 BD、AC 的中点.该图与我们前面 讲过的中线长公式的图形是一致的，于是可得， 2222 2()ABBCBFAF，同 理 2222 2()ADCDDFCF. 两式相加可得， 2222 ABBCADCD 2222 2()2()DFBFCFAF 222 2()DFBFAC. 14 在BDF中，BEDE，于是有 2 22222 11 222 22
26、DFBFEFBDEFBD . 故 2222 24DFBFEFBD. 从而可知， 2222222 4ABBCADCDACBDEF，得证. 点评：本结论也称为欧拉定理. 15. 对DKL与点 B，由塞瓦定理，得1 DA KFLC AKFL CD . 对DKL与截线 AGC，由梅涅劳斯定理，得1 DA KG LC AKGL CD . 由两式可得 KFKG FLGL . 16. 将结论变形为AC BCAB BCAB AC，把三角形和圆联系起来，可联想到托 勒密定理，进而构造圆内接四边形. 如图，作ABC的外接圆，作弦BDBC，连结 AD、CD. 在圆内接四边形 ADBC 中，由托勒密定理，有AC BD
27、BC ADAB CD. 易证ABAD，CDAC，所以AC BCBC ABAB AC. 两端同除以AB BC AC，得 111 ABACBC . 17. 如图，作直径1AB 的圆，在 AB 两边任作RtACB和RtADB，使ACa， BCb，BDx，ADy. 由勾股定理知 a、b、x、y 是满足题设条件的.据托勒密定理，有 AC BDBC ADAB CD. 因为1CDAB ，所以1axby. 15 18. 运用西姆松定理解题最重要的是找对哪个点对于哪个三角形的西姆松线.点 D 对于 ABE的西姆松线是 MNQ，点 D 对于BFH的西姆松线是 MNP，而 M、N 即可 确定一条直线，故 M、N、P
28、、Q 四点共线. 19. 作BGDC交 DC 的延长线于点 G，由西姆松定理有：F、E、G 共线，又因为 90BFDFDGDGB ，所以四边形 BFDG 为矩形，所以对角线 FG 平分 另一条对角线 BD. 自招链接自招链接 20. 由于待证结论实质上是一种比例线段的组合形式， 一般是通过 （或构造） 相似三角形. 为此，不妨把原式左端也化成线段两两乘积之和. 证法 1：几何方法. 如图 1，在 BD 上取一点 P，使其满足12 . 因为34 ，所以ACDBCP，从而有 ACAD BCBP ，即 AC BPAD BC. 又ACBDCP ，56 ， 所以ACBDCP，从面有 ABAC DPCD
29、，即 AC DPAB CD. +，有AC BPAC PDAD BCAB CD. 即()ACBPPDAD BCAB CD，故 AC BDAD BCAB CD. 16 证法 2：代数证法. 如图 2，设ABa，BCb，CDc，DAd，ACe，BDf. 即证acbdef. 在ABD中，由余弦定理，有 222 cos 2 adf DAB ad ； 在BCD中，同理，有 222 cos 2 bcf BCD bc . 因为180DABBCD，所以coscos0DABBCD，即 222222 0 22 adfbcf adbc . 整理，得 2 () abcd facbd adbc ；同理可得 2 () ad
30、bc eacbd abcd . 于是， 22 ()()feacbd，故efacbd.即AC BDAD BCAB CD. 21. （1）一组三角形边长为 8、8、12；11、11、6. 令两个三角形边长分别为, ,a b b、2a c c, ,，则有222abac. 由海伦公式及两个三角形面积相等，有 ()()()(2 )()()p papbpbp papcpc， 整理得()()2pbpapcpa. 不妨令 42, 2, papa pcpb 联立222abac，解得 11 , 6 4 . 3 ba ca 令6a ，则 11, 8. b c （2）附加条件：两三角形为直角三角形. 不妨设两三角形边
31、长分别为 111 ,a b c、 222 a b c, ,，其中 1 c、 2 c为直角边，设内切圆 17 半径为 1 r、 2 r. 由周长相等、面积相等可得 1122 11 22 rCr C，可以推出 12 rr，两三角形内切圆半径相 等. 由 内 切 圆 半 径 相 等 可 得 111222 11 22 abcabc， 又 由 111222 abcabc，可得 1122 12 , . abab cc 又 由 面 积 相 等 ， 可 得 1 122 11 22 aba b， 联 立 1122 1 122 , , abab aba b 可 得 22 1122 abab.可以解得 12 12
32、, , aa bb 或 12 12 , . ab ba 综上，两三角形全等. 18 第八讲 几何计算第八讲 几何计算 1.知识要点知识要点 在自招试卷中，有不少的几何计算问题，一般需要用到全等，相似，勾股定理等课本知 识，同时也会考查到面积法，弧长等平时较少操练的章节. 本讲我们讲围绕几何计算展开学习. 2.例题精讲例题精讲 22. 如图 8-1，45AOB， 点 P、 Q 分别是边 OA、 OB 上的两点， 且2cmOP .将O 沿 PQ 折叠，点 O 落在平面内点 C 处. （1）当PCQB时，OQ ； 当PCQB时，求 OQ 的长. （2）当折叠后重叠部分为等腰三角形时，求 OQ 的长.
33、 23. 我们知道， 三角形的内心是三条角平分线的交点， 过三角形内心的一条直线与两边相 交，两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形.若有一个图形与原三角形相似， 则把这条线段叫做这个三角形的“内似线”. （1）等边三角形“内似线”的条数为； （2）如图 8-6，ABC中，ABAC，点 D 在 AC 上，且BDBCAD，求证： BD 是ABC的“内似线”； （3）如图 8-7，在RtABC中，90C，4AC ，3BC ，点 E、F 分别在 边 AC、BC 上，且 EF 是ABC的“内似线”，求 EF 的长. 24. 将一个等腰三角形 ABC 划分成两个较小的等腰三角形，问这样的ABC有几种形
34、 状？并将所有形状都列出来. 19 25. 如图 8-11，ABC中，2ABAC，BC 边上有 100 个不同的点 1 P， 2 P， 3 P， 100 P，记 2 (1,2,3,100) iiii mAPPB PC i，求 123100 mmmm. 26. 已知ABC的两条角平分线 BD、CE 交于点 I，IDIE，70ABC.则A的 度数为. 27. 如图 8-15， 在四边形 ABCD 中， 已知ABC是等边三角形，30ADC，3AD ， 5BD .求边 CD 的长. 28. 如图 8-17，在四边形 ABCD 中，ABBCCD，78ABC，162BCD， 设直线 AD 与 BC 的交点
35、为点 E，则AEB的大小为. 29. 如图 8-19，三条直线 l、m、n 互相平行，且 l、m 间的距离为 2，m、n 间的距离为 1， 若正ABC的三个顶点分别在 l、m、n 上，则正ABC的边长是. 20 30. 如图 8-21，2018 OAOBOC ODOEOF ，则 OA OB OC OD OE OF . 31. 如图 8-22，在RtABC中，CACB，90C，四边形 CDEF、四边形 KLMN 是ABC的两个内接正方形.已知441 CDEF S，440 KLMN S.求ABC的三边长. 3.习题巩固习题巩固 32. 沿一个卡纸立方体的边缘按照图 1 中所示的虚线切开， 然后展开
36、， 平放在桌面上的图 形是图 2 中的（）. 33. 如图， EFGH 是正方形 ABCD 的内接四边形，BEG、CFH都是锐角， 已知3FG ， 4FH ，四边形 EFGH 的面积为 5，求正方形 ABCD 的面积. 34. 如图，设 P 是 ABCD 内一点，过 P 分别作 AB、BC、CD、DA 的垂线，垂足分别为点 E、 F、G、H.已知3AH ，4HD ，1DG ，5GC ，6CF ，4FB ，且 1BEAE，则四边形的周长为多少？ 21 35. 在ABC中，60A，20B，延长 BC 到 D 使CDAB .求CAD. 36. 已知ABC是等边三角形，它的高是 4.若点 P 到边 A
37、B、AC 的距离分别是 1、2.则点 P 到边 BC 的距离是多少？ 37. 在RtABC中，30A，90C，分别以 AB、AC 为边向 ABC外部作正 ABD、ACE，连结 DE 分别交 AC、AB 于点 F、G.则 AF AG 的值为多少？ 38. 在ABC中，1AB ，2BC ，90BC.则ABC外接圆的半径是多少？ 39. 设RtABC的三边分别为 a、b、c，且abc.若 13 15 ba cacb ，求: :a b c 的值. 40. 如图，4 4的网格中有 25 个格点，作出以这 25 个格点中的三个点为顶点的所有三 角形，其中直角三角形多少个？ 41. 已知 A、 B 是半径为
38、 2 的O上的两定点，4AB ， P 是O上一动点.当点 P 在O 上移动一周时，ABP的垂心移动的路程为多少？ （增加两个特殊点， 使ABP的 垂心 H 移动的轨迹是封闭图形）. 42. 如图，已知ABC，且1 ABC S .点 D、E 分别是 AC、AB 上的动点，BD 与 CE 相交 于点 P，使 16 9 BPCBCDE SS 四边形 .求 DEP S的最大值. 22 4.自招链接自招链接 43. 如图，在任意五边形 ABCDE 中，点 P、Q、R、S 分别是 AB、CD、BC、DE 的中点，点 M、N 分别是 PQ、RS 的中点，且AEa.求 MN. 44. 已知ABC中，445B
39、C，ADBC于点 D， 若2BD ，1CD .求ABC 的面积. 5.参考答案参考答案 22. （1）当PCQB时，OCPA ，由折叠的性质得：CO ，OPCP， 所以CPAC ，所以OPQC，所以四边形 OPCQ 是平行四边形，所以四边形 OPCQ 是菱形，所以2cmOQOP. 故答案为：2cm. 当PCQB时，分两种情况： （）如图 8-2 所示，设cmOQx，因为45O，所以OPM是等腰直角三 角形，所以 2 2 2 OMOP，所以2QMx. 由折叠的性质得：45CO ，CQOQx，所以CQM是等腰直角三 角形， 所以2QCQM， 所以2( 2)xx， 解得：2 22x ， 即2 22O
40、Q ； 23 （）如图 8-3 所示.同（）得：2 22OQ ； 综上所述：当PCQB时，QQ 的长为2 22，或2 22. （2）当折叠后重叠部分为等腰三角形时，符合条件的点 Q 共有 5 个； 点 C 在AOB的内部时，四边形 OPCQ 是菱形，2cmOQOP； 当点 C 在AOB的一边上时，OPQ是等腰直角三角形，2OQ 或2 2； 当点 C 在AOB的外部时，分两种情况： （）如图 8-4 所示，PMPQ，则PMQPQMOOPQ ，由折叠 的性质得：OPQMPQ . 设OPQMPQx ，则45PMQPQMx ，在OPM中，由三角 形内角和定理得：4545180 xxx，解得：30 x
41、，所以30OPQ， 作QNOP于点 N，设ONa，因为45O，则QNONa，2OQa， 33PNQNa. 因 为ONPNOP， 所 以32aa， 解 得 ：31a ， 所 以 2( 31)62OQ . （）如图 8-5 所示，PQMQ，作QNOA于点 N，同得：62OQ . 综上所述： 当折叠后重叠部分为等腰三角形时， OQ 的长为2cm或2cm或2 2cm， 或( 62)cm或( 62)cm. 23. （1）等边三角形“内似线”的条数为 3 条；理由如下： 过等边三角形的内心分别作三边的平行线，如 8-8 所示：则AMNABC， CEFCBA，BGHBAC，所以 MN、EF、GH 是等边三角
42、形 ABC 的“内 似线”.故答案为：3. 24 （ 2 ） 因 为ABAC，BDBCAD， 所 以ABCCBDC ， AABD ，所以BCDABC. 又因为BDCAABD ，所以ABDCBD ，所以 BD 平分ABC，即 BD 过ABC的内心，所以 BD 是ABC的“内似线”. （3） 设 D 是ABC的内心， 连结 CD， 则 CD 平分ACB， 因为 EF 是ABC的 “内 似线”，所以CEF与ABC相似. 分两种情况：当 4 3 CEAC CFBC 时，EFAB，因为90ACB，4AC ， 3BC ，所以 22 5ABACBC. 作DNBC于点 N，如图 8-9 所示.则DNAC，DN
43、 是RtABC的内切圆半径， 所以 1 ()1 2 DNACBCAB. 因为 CD 平分ACB，所以 4 3 DECE DFCF . 因为DNAC，所以 3 7 DNDF CEEF ，所以 7 3 CE . 因为EFAB，所以CEFCAB，所以 EFCE ABAC ，解得： 35 12 EF . 当 4 3 CFAC CEBC 时，同理得： 35 12 EF . 综上所述，EF 的长为 35 12 . 24. 如图 8-10 所示.设等腰三角形 ABC 分成ABD与ACD.不妨假设90ADB； 于是，等腰三角形 ABD 中，只能有ADBD.这时BACB ，而ACD有三 种情况. 25 （1）若
44、ADCD时，则90BAC，ABC为等腰直角三角形. （2）若CDAC时，设B，则1802ADB，3BAC， 1804C，由于90ADB，则45. 若BC ，则1804，36； 若BACC ，则31804， 180 7 . （3）若ADAC时，设B，2C，1803BAC，显然BC . 由BACC ，得21803，36. 综上所述， 总共有 4 组解； 所求三角形的三个内角分别为 （45， 45， 90） 、 （36， 36，108）、 180540540 (,) 777 ，（36，72，72）. 25. 仔细观察，我们发现 2 iiii mAPPB PC的结构与斯德瓦尔特定理非常相似，只是 缺
45、BC.从而可知， 2 iiii BC mAPBCPB PC BC 22 ii ABPCACPB4BC， 故4 i m ，从而有 123100 400mmmm.也可以仿效前面几个例题作垂线，也 可求出. 如图 8-12，作ADBC于点 D，则 222 iiiiiii mAPPB PCADDPPB PC 2 2 iii ADBDBPPB PC 2 2 2 ii iii BPCP ADBPPB PC 2 2 4 ii ii CPBP ADPB PC 2 2 4 ii CPBP AD 222 4ADBDAB. 从而可知， 123100 400mmmm. 26 26. 答案：40或 60. 如图 8-1
46、3，在 BC 上截取BEBE ，CDCD ，连结 ID 、 IE . 当点 D 与 E 不重合时，易证BIEBIE，CIDCID. 则IEIEIDID. 故CD IBEI . 又BIEBIECIDCID ，则70ABCACB ，40A. 当点 D 与 E 重合时，如图 8-14. 同理，由BIEBIECIDCID ，且180BID，知120BIC. 所以，60A. 27. 如图 8-16，以 CD 为边向四边形 ABCD 外作等边CDE，连结 AE. 27 由ACBC，CDCE，知 BCDBCAACDDCEACDACE ，所以BCDACE， 所以BDAE. 又30ADC，可知90ADEADCC
47、DE . 所以 222 ADDEAE， 从而有 222 ADCDBD， 所以 22 4CDBDAD. 28. 如图 8-18，过点 B 作BFCD，过点 D 作DFBE，BF、DF 交于点 F，连结 AF. 因为BFCD，DFBE，BCCD， 所以四边形 BCDF 是菱形， 所以BFBC. 因为ABBC，所以ABBF. 因为BFCD，所以180EBFBCD. 因为162BCD，所以18EBF. 因为78ABC，所以60ABFABCEBF . 所以三角形 ABF 是等边三角形. 所以60AFB，AFDF，所以DAFADF . 因为四边形 BCDF 是菱形，162BCD，所以162BFDBCD ，
48、所以 360138AFDBFDAFB. 因为180AFDDAFADF，DAFADF ，所以21ADF. 因为DFBE，所以AEBADF ，所以21AEB. 28 29. 如图 8-20，过点 A 作ADm于点 D，在 AD 右侧作60DAE，并使AEAD， 连结 CE，交 l 于点 F；过点 C 作CGl于点 G. 因为60BAC，60DAE，所以BACDAE . 所以BACDACDAEDAC ，即.BADCAE 因为 , , , ABAC BADCAE ADAE 所以ABDACE SAS，所以ADBAEC . 因为ADBD，所以90ADB，所以90AEC，所以90AEF. 因为ADBD，lm
49、，所以ADAF，所以90DAF. 因为60DAE，所以30EAFDAFDAE . 因为90AEF，CGl， 所以90EAFAFC，90FCGAFC. 所以EAFFCG ，所以30 .FCG 在RtAEF中，30EAF，2AE ，所以 2 3 3 EF . 在RtCFG中，30FCG，3CG ，所以2 3CF . 所以 4 3 3 CECFEF. 所以 22 2 21 3 ACAECF，即正三角形 ABC 的边长是 2 21 3 . 30. 设 ABC Ss ， OBC Sa ， OCA Sb ， OAB Sc .则 11 OAADODADs ODODODa ， 29 11 OBBEOEBEs
50、OEOEOEb ， 11 CCCFOFCFs OFOFOFc ； 所以 111 OA OBCsss OD OE OFabc 32( ) 1 ssabcsss abcabc 1112 sss abc 2 OAOBOC ODOEOF 201822020. 31. 设正方形 CDEF 的边长为 x，正方形 KLMN 的边长为 y，则21x ，2 110y . 设BCa，CAb，ABc，则 222 abc. 因为22 CEBCEAABC axbxSSSab ，所以 ab x ab . 因为AKLABC，得 b ALy a . 因为NBMABC，得 a BMy b . 因为 222 baababcab
