1、第三节不等式性质及应用【原卷版】1.（多选）下列命题为真命题的是（）A.若3a3b，则abB.若ab0，则a2b2C.若ab0，则a2abb2D.若ab0，则1a1b2.（多选）设a，b，c，d为实数，且ab0cd，则下列不等式正确的是（）A.c2cdB.acbdC.acbdD.cadb03.若aln22，bln33，则ab（填“”或“”）.4.设Mx2y21，N2（xy1），则M与N的大小关系为.5.已知1a2，3b5，则a2b的取值范围是.（多选）下列命题中正确的是（）A.若ab，则ac2bc2B.若ba0，则a+2b+2abC.若ab，cd，则acbdD.若ab0，ab，则1a1b比较两
2、个数（式）的大小1.设a，b0，），Aab，Bab，则A，B的大小关系是（）A.ABB.ABC.ABD.AB2.若a0，b0，则pb2aa2b与qab的大小关系为（）A.pqB.pqC.pqD.pq3.若aln33，bln44，cln55，则（）A.abcB.cbaC.cabD.bac不等式的基本性质【例1】（1）已知a，bR，满足ab0，ab0，ab，则（）A.1a1bB.baab0C.a2b2D.ab（2）（多选）若1a1b0，则下列不等式正确的是（）A.1ab1abB.ab0C.a1ab1bD.ln a2ln b21.已知x，yR，且xy0，则（）A.1x1y0B.x3y30C.lg（x
3、y）0D.sin（xy）02.（多选）已知abc，ac0，则下列关系式一定成立的是（）A.c2bcB.bc（ac）0C.abcD.cbbc2【例2】已知1x4，2y3，则xy的取值范围是，3x2y的取值范围是.（变设问）若本例条件不变，则x+1y的取值范围为.1.已知1ab3，则ab的取值范围是，ab的取值范围是.2.已知1xy4，2xy3，则3x2y的取值范围为.1.已知a0，b0，设ma2b2，n2ab，则（）A.mnB.mnC.mnD.mn2.已知ab0，且a0，则（）A.a2abb2B.b2aba2C.a2b2abD.abb2a23.若a0，b0，则p（ab）ab2与qabba的大小关
4、系是（）A.pqB.pqC.pqD.pq4.在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5厘米，人跑开的速度为每秒4米，距离爆破点150米以外（含150米）为安全区.为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度x（单位：厘米）应满足的不等式为（）A.4x0.5150B.4x0.5150C.4x0.5150D.4x0.51505.已知xyz，xyz0，则下列不等式成立的是（）A.xyyzB.xyxzC.xzyzD.xyyz6.（多选）已知ab2，则（）A.b23baB.a3b3a2bab2C.ababD.122ab1a1b7.已知p：ab，q：a2b2，则p是q的条件.8.（1）已知ab
5、0，试比较ab2ba2与1a1b的大小；（2）若bcad0，bd0，求证：abbcdd.9.已知点M（x0，y0）在直线3xy20上，且满足x0y01，则y0x0的取值范围为（）A.3,13B.（，3）13，C.（，313，D.3,1310.已知x，yR，且xy0，则（）A.1x1y0B.sin xsin y0C.（12）x（12）y0D.ln xln y011.（多选）设a，b为正实数，下列命题正确的有（）A.若a2b21，则ab1B.若1b1a1，则ab1C.若ab1，则ab1D.若a3b31，则ab112.已知a，bR，给出下面三个论断：ab；1a1b；a0且b0.以其中的两个论断作为条
6、件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：.13.若，满足11，1+23，则3的取值范围是.14.已知函数f（x）ax2bxc满足f（1）0，且abc，则ca的取值范围是.15.若ab0，cd0，bc.（1）求证：bc0；（2）求证：bc（ac）2ad（bd）2；（3）在（2）的不等式中，能否找到一个代数式，满足bc（ac）2所求式ad（bd）2？若能，请直接写出该代数式；若不能，请说明理由.16.求证：2（n+11）112131n2n（nN*）.第三节不等式性质及应用【解析版】1.（多选）下列命题为真命题的是（）A.若3a3b，则abB.若ab0，则a2b2C.若ab0，则a2abb2
7、D.若ab0，则1a1b解析：ABDC中，若a2，b1，则a2abb2，故C错误.2.（多选）设a，b，c，d为实数，且ab0cd，则下列不等式正确的是（）A.c2cdB.acbdC.acbdD.cadb0解析：AD对于A，c2cdc（cd）0，所以A正确；对于B，ac（bd）（ab）（cd），无法判断与0的大小关系，所以B错误；对于C，不妨设a2，b1，c1，d2，则acbd，所以C错误；对于D，cadbbcadabacadaba（cd）ab0，所以D正确.故选A、D.3.若aln22，bln33，则ab（填“”或“”）.答案：解析：易知a，b都是正数，ba2ln33ln2log891，所以
8、ba.4.设Mx2y21，N2（xy1），则M与N的大小关系为.答案：MN解析：MNx2y212x2y2（x1）2（y1）210.故MN.5.已知1a2，3b5，则a2b的取值范围是.答案：（7，12）解析：3b5，62b10，又1a2，7a2b12.（多选）下列命题中正确的是（）A.若ab，则ac2bc2B.若ba0，则a+2b+2abC.若ab，cd，则acbdD.若ab0，ab，则1a1b比较两个数（式）的大小1.设a，b0，），Aab，Bab，则A，B的大小关系是（）A.ABB.ABC.ABD.AB解析：B由题意得，B2A22ab0，且A0，B0，可得AB.2.若a0，b0，则pb2a
9、a2b与qab的大小关系为（）A.pqB.pqC.pqD.pq解析：Bpqb2aa2babb2a2aa2b2b（b2a2）1a1b（b2a2)(ba）ab（ba）2（ba）ab，a0，b0，ab0，ab0.若ab，则pq0，故pq；若ab，则pq0，故pq.综上，pq.故选B.3.若aln33，bln44，cln55，则（）A.abcB.cbaC.cabD.bac解析：B法一易知a，b，c都是正数，ba3ln44ln3log81641，ab；bc5ln44ln5log6251 0241，bc.即cba.法二构造函数f（x）lnxx，则f（x）1lnxx2，由f（x）0，得0xe；由f（x）0，
10、得xe.f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，）上单调递减.f（3）f（4）f（5），即abc.不等式的基本性质【例1】（1）已知a，bR，满足ab0，ab0，ab，则（）A.1a1bB.baab0C.a2b2D.ab（2）（多选）若1a1b0，则下列不等式正确的是（）A.1ab1abB.ab0C.a1ab1bD.ln a2ln b2答案：（1）C（2）AC解析：（1）因为ab0，ab，则a0，b0，1a0，1b0，A不正确；ba0，ab0，则baab0，B不正确；又ab0，即ab0，则a2（b）2，a2b2，C正确；由ab0得ab，D不正确.（2）由1a1b0，可知ba0.A中，因为ab0
11、，ab0，所以1ab0，1ab0.故有1ab1ab，即A正确；B中，因为ba0，所以ba0.故ba，即ab0，故B错误；C中，因为1a1b0，则1a1b0，0ab，所以a1ab1b，故C正确；D中，因为ba0，根据yx2在（，0）上单调递减，可得b2a20，而yln x在定义域（0，）上是增函数，所以ln b2ln a2，故D错误.1.已知x，yR，且xy0，则（）A.1x1y0B.x3y30C.lg（xy）0D.sin（xy）0解析：B对于A，令x1，y12，显然1x1y120，错误；对于B，x3y3（xy）（x2xyy2）（xy）（x12y）234y20，又x12y，y0不能同时成立，故（
12、xy）（x12y）234y20，正确；对于C，取x1，y0，则lg（xy）0，错误；对于D，取x1，y3，则sin（xy）sin 40，错误.故选B.2.（多选）已知abc，ac0，则下列关系式一定成立的是（）A.c2bcB.bc（ac）0C.abcD.cbbc2解析：BD因为ac0，所以abc0或0abc，当abc0时，bcc2，A不成立，bc（ac）0，abc，由cb0，bc0，故cbbc2cbbc2，当且仅当cbbc，即bc时，等号成立，因为bc，故等号不成立，故cbbc2；当0abc时，bc（ac）0，不妨设0123，则abc，故C不成立；由cb0，bc0，故cbbc2cbbc2，当且
13、仅当cbbc，即bc时，等号成立，因为bc，故等号不成立，故cbbc2.综上：B、D一定成立，故选B、D.不等式性质的应用【例2】（教材题改编）已知1x4，2y3，则xy的取值范围是，3x2y的取值范围是.答案：（4，2）（1，18）解析：因为1x4，2y3，所以3y2，所以4xy2.由33x12，42y6，得13x2y18.（变设问）若本例条件不变，则x+1y的取值范围为.答案：（0，52）解析：1x4，0x15，又2y3，131y12，0x+1y52.1.已知1ab3，则ab的取值范围是，ab的取值范围是.答案：（2，0）（13，1）解析：因为1ab3，所以1a3，3b1，所以2ab2，因
14、为ab，所以2ab0；因为131b1，1ab，所以13ab1.2.已知1xy4，2xy3，则3x2y的取值范围为.答案：（92，192）解析：设3x2y（xy）（xy），即3x2y（）x（）y，于是=3，=2，解得12，52，3x2y12（xy）52（xy）.1xy4，2xy3，1212（xy）2，552（xy）152，9212（xy）52（xy）192.故3x2y的取值范围是（92，192）.1.已知a0，b0，设ma2b2，n2ab，则（）A.mnB.mnC.mnD.mn解析：A由题意可知，mna2b22ab（a1）2（b1）20，当且仅当ab1时，等号成立，即mn，故选A.2.已知ab0
15、，且a0，则（）A.a2abb2B.b2aba2C.a2b2abD.abb2a2解析：A法一由ab0，且a0可得b0，且ab.因为a2（ab）a（ab）0，所以0a2ab.又因为0ab，所以0ab（b）2，所以0a2abb2，故选A.法二令a1，b2，则a21，ab2，b24，从而a2abb2，故选A.3.若a0，b0，则p（ab）ab2与qabba的大小关系是（）A.pqB.pqC.pqD.pq解析：Apq（ab）ab2abbaaab2bba2（ab）ab2，若ab0，则ab1，ab0，pq1；若0ab，则0ab1，ab0，pq1，若ab，则pq1，pq.故选A.4.在开山工程爆破时，已知导
16、火索燃烧的速度是每秒0.5厘米，人跑开的速度为每秒4米，距离爆破点150米以外（含150米）为安全区.为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度x（单位：厘米）应满足的不等式为（）A.4x0.5150B.4x0.5150C.4x0.5150D.4x0.5150解析：B由题意知导火索燃烧的时间为x0.5秒，人在此时间内跑的路程为（4x0.5）米，由题意可得4x0.5150，故选B.5.已知xyz，xyz0，则下列不等式成立的是（）A.xyyzB.xyxzC.xzyzD.xyyz解析：B因为xyz，xyz0，所以x0，z0，y的符号无法确定，对于A，因为x0z，若y0，则xy0yz，故A错误
17、；对于B，因为yz，x0，所以xyxz，故B正确；对于C，因为xy，z0，所以xzyz，故C错误；对于D，因为xz，当y0时，xyyz，故D错误.6.（多选）已知ab2，则（）A.b23baB.a3b3a2bab2C.ababD.122ab1a1b解析：BCab2，取a3，b2，则b23ba不成立，故A不成立；a3b3（a2bab2）a2（ab）b2（ab）（ab）2（ab）0，故B成立；ababa（b1）b（b1）（abb1）（b1）a（1+1b1）0，故C成立；122ab1a1b（a2)(b2）2ab0，故D不成立.故选B、C.7.已知p：ab，q：a2b2，则p是q的条件.答案：充分不必
18、要解析：当ab时，易得ab0，故a2b2，充分性成立；当a2b2时，则ab，当a0时，ab，当a0时，ab，必要性不成立.故p是q的充分不必要条件.8.（1）已知ab0，试比较ab2ba2与1a1b的大小；（2）若bcad0，bd0，求证：abbcdd.解：（1）ab2ba2（1a1b）abb2baa2（ab）（1b21a2）（ab)(ab）2a2b2.ab0，（ab）20，（ab)(ab）2a2b20.ab2ba21a1b.（2）证明：bcad，1bd0，cdab，cd1ab1，abbcdd.9.已知点M（x0，y0）在直线3xy20上，且满足x0y01，则y0x0的取值范围为（）A.3,1
19、3B.（，3）13，C.（，313，D.3,13解析：B由题意3x0y020，y03x02，x0y01，x03x021，解得x034，y0x03x02x032x0，x034且x00，1x043或1x00，32x03或32x013.故选B.10.已知x，yR，且xy0，则（）A.1x1y0B.sin xsin y0C.（12）x（12）y0D.ln xln y0解析：C对于A，函数f（x）1x在（0，）上单调递减，所以由xy0得1x1y，即1x1y0，A错误；对于B，当x，y2时满足xy0，而sin xsin 01sin2sin y，即sin xsin y0，B错误；对于C，函数f（x）（12）
20、x在（0，）上单调递减，所以由xy0得（12）x（12）y，即（12）x（12）y0，C正确；对于D，当x1，y1e时满足xy0，而ln xln yln 1ln1e0（1）10，D错误.11.（多选）设a，b为正实数，下列命题正确的有（）A.若a2b21，则ab1B.若1b1a1，则ab1C.若ab1，则ab1D.若a3b31，则ab1解析：AD对于选项A，若a2b21，则a21b2，即（a1）（a1）b2，a1a1，a1b，即ab1，该选项正确；对于选项B，若1b1a1，可取a7，b78，则ab1，该选项错误；对于选项C，若ab1，则可取a9，b4，而ab51，该选项错误；对于选项D，由a3
21、b31，若ab，则a3b31，即a31b3，即（a1）（a21a）b3，a21ab2，a1b，即ab1，若ab，则b3a31，即b31a3，即（b1）（b21b）a3，b21ba2，b1a，即ba1，ab1，该选项正确.故选A、D.12.已知a，bR，给出下面三个论断：ab；1a1b；a0且b0.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：.答案：若ab，a0且b0，则1a1b（答案不唯一）解析：若ab，a0且b0，则1a1b，证明：1a1bbaab，ab，ba0.a0，b0，ab0，则1a1bbaab0，故1a1b.13.若，满足11，1+23，则3的取值范围是.答
22、案：1，7解析：设3x（）y（2）（xy）（x2y）.则xy=1，x+2y=3，解得x1，y=2.因为1（）1，22（2）6，两式相加，得13 7.所以3的取值范围为1，7.14.已知函数f（x）ax2bxc满足f（1）0，且abc，则ca的取值范围是.答案：（2，12解析：因为f（1）0，所以abc0，所以b（ac）.又abc，所以a（ac）c，且a0，c0，所以1acaca，即11caca.所以2ca1，ca2，解得2ca12.即ca的取值范围为（2，12）.15.若ab0，cd0，bc.（1）求证：bc0；（2）求证：bc（ac）2ad（bd）2；（3）在（2）的不等式中，能否找到一个代
23、数式，满足bc（ac）2所求式ad（bd）2？若能，请直接写出该代数式；若不能，请说明理由.解：（1）证明：因为bc，且b0，c0，所以bc，所以bc0.（2）证明：因为cd0，所以cd0.又ab0，所以由同向不等式的可加性可得acbd0，所以（ac）2（bd）20，所以01（ac）21（bd）2.因为ab，dc，所以由同向不等式的可加性可得adbc，所以adbc0.相乘得bc（ac）2ad（bd）2.（3）因为adbc0，01（ac）21（bd）2，所以bc（ac）2bc（bd）2ad（bd）2或bc（ac）2ad（ac）2ad（bd）2.所以bc（bd）2，ad（ac）2均为所求代数式.（只要写出一个即可）16.求证：2（n+11）112131n2n（nN*）.证明：12n1n+1nn+1n，12（112131n）（21）（32）（n+1n）n+11，112131n2（n+11）.又12n1n1nnn1，12（112131n）1（21）（32）（nn1）n，112131n2n，原不等式成立.
