1、华师大一附中初高中数学衔接教材华师大一附中初高中数学衔接教材 目目录录 引引入入乘法公式乘法公式 第一讲第一讲因式分解因式分解 1. 1 提取公因式 1. 2. 公式法（平方差，完全平方，立方和，立方差） 1. 3 分组分解法 1. 4 十字相乘法（重、难点） 1. 5 关于 x 的二次三项式 a x2+bx+c(a0)的因式分解 第二讲第二讲函数与方程函数与方程 2.1一元二次方程 2.1.1 根的判别式 2.1.2根与系数的关系（韦达定理） 22二次函数 2.2.1二次函数 yax2bxc 的图象和性质 2.2.2二次函数的三种表示方式 2.2.3二次函数的简单应用 第第三三讲讲 三角形的
2、“四心” 乘法公式乘法公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： （1）平方差公式 22 ()()ab abab； （2）完全平方公式 222 ()2abaabb 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： （1）立方和公式 2233 ()()ab aabbab； （2）立方差公式 2233 ()()ab aabbab； （3）三数和平方公式 2222 ()2()abcabcabbcac； （4）两数和立方公式 33223 ()33abaa babb； （5）两数差立方公式 33223 ()33abaa babb 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明 例例 1计算： 22 (1)
3、(1)(1)(1)xxxxxx 解法一：解法一：原式= 2222 (1) (1)xxx = 242 (1)(1)xxx = 6 1x 解法二：原式= 22 (1)(1)(1)(1)xxxxxx = 33 (1)(1)xx = 6 1x 例 2已知4abc，4abbcac，求 222 abc的值 解： 2222 ()2()8abcabcabbcac 练习 1填空： （1） 22 1111 () 9423 abba（） ； （2）(4m 22 )164(mm)； (3 ) 2222 (2)4(abcabc) 2选择题： （1）若 2 1 2 xmxk是一个完全平方式，则k等于（） （A） 2 m（
4、B） 2 1 4 m（C） 2 1 3 m（D） 2 1 16 m （2）不论a，b为何实数， 22 248abab的值（） （A）总是正数（B）总是负数 （C）可以是零（D）可以是正数也可以是负数 第一讲第一讲因式分解因式分解 因式分解的主要方法有： 十字相乘法、 提取公因式法、 公式法、 分组分解法， 另外还应了解求根法及待定系数法 1十字相乘法 例 1分解因式： （1）x23x2；（2）x24x12； （3） 22 ()xab xyaby；（4）1xyxy 解： （1）如图 111，将二次项 x2分解成图中的两个 x 的积，再将常数项 2 分解成1 与2 的乘积，而图中的对角线上的两个数
5、乘积的和为3x，就是 x23x2 中的一次项，所以，有 x23x2(x1)(x2) 说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图 111 中的 两个 x 用 1 来表示（如图 112 所示） （2）由图 113，得 x24x12(x2)(x6) （3）由图 114，得 22 ()xab xyaby()()xay xby （4）1xyxy xy(xy)1 (x1) (y+1) （如图 115 所示） 课堂练习 一、填空题： 1、把下列各式分解因式： （1）65 2 xx_。 （2）65 2 xx_。 （3）65 2 xx_。 （4）65 2 xx_。 （5）axax1 2 _。 （6）
6、1811 2 xx_。 （7）276 2 xx_。 （8）9124 2 mm_。 （9） 2 675xx_。 （10） 22 612yxyx_。 2、 3 4 2 xxxx 1 2 x x 图 111 1 2 1 1 图 112 2 6 1 1 图 113 ay by x x 图 114 1 1 x y 图 115 3、若42 2 xxbaxx则 a， b。 二、选择题： （每小题四个答案中只有一个是正确的） 1、在多项式（1）67 2 xx（2）34 2 xx（3）86 2 xx（4）107 2 xx （5）4415 2 xx中，有相同因式的是（） A、只有（1） （2）B、只有（3） （4
7、） C、只有（3） （5）D、 （1）和（2） ； （3）和（4） ； （3）和（5） 2、分解因式 22 338baba得（） A 、3 11aaB 、baba3 11C 、baba3 11D 、 baba3 11 3、208 2 baba分解因式得（） A、2 10babaB、4 5baba C、10 2babaD、5 4baba 4、若多项式axx3 2 可分解为bxx5，则a、b的值是（） A、10a，2bB、10a，2bC、10a，2bD、10a， 2b 5、若bxaxmxx 10 2 其中a、b为整数，则m的值为（） A、3或9B、3C、9D、3或9 三、把下列各式分解因式 1、3
8、21126 2 pqqp2、 223 65abbaa 3、642 2 yy4、82 24 bb 2提取公因式法 例 2分解因式： （1）baba55 2 （2） 32 933xxx 解：（1） baba55 2 =) 1)(5(aba （2） 32 933xxx= 32 (3)(39)xxx= 2( 3)3(3)xxx = 2 (3)(3)xx 或 32 933xxx 32 (331)8xxx 3 (1)8x 33 (1)2x 22 (1)2(1)(1) 22 xxx 2 (3)(3)xx 课堂练习： 一、填空题： 1、多项式xyzxyyx426 22 中各项的公因式是_。 2、 yxxyny
9、xm_。 3、 222 yxxynyxm_。 4、 zyxxzynzyxm_。 5、zyxzyxzyxm_。 6、 52362 3913xbaxab分解因式得_。 7计算99992= 二、判断题： （正确的打上“” ，错误的打上“” ） 1、baababba242 22 （） 2、bammbmam （） 3、5231563 223 xxxxxx （） 4、1 11 xxxx nnn （） 3：公式法 例 3分解因式： （1）16 4 a（2）2 2 23yxyx 解：(1)16 4 a=)2)(2)(4()4)(4()(4 222222 aaaaaa (2)2 2 23yxyx=)32)(4(
10、)23)(23(yxyxyxyxyxyx 课堂练习 一、 22 2baba， 22 ba ， 33 ba 的公因式是_。 二、判断题： （正确的打上“” ，错误的打上“” ） 1、 1 . 0 3 2 1 . 0 3 2 1 . 0 3 2 01. 0 9 4 2 2 2 xxxx （） 2、babababa43 434389 22 22 （） 3、bababa45 451625 2 （） 4、yxyxyxyx 2222 （） 5、cbacbacba 2 2 （） 五、把下列各式分解 1、2 2 9nmnm2、 3 1 3 2 x 3、 2 2 244xx4、12 24 xx 4分组分解法 例
11、 4（1）xyxyx33 2 （2） 22 2456xxyyxy （2） 22 2456xxyyxy= 22 2(4)56xyxyy = 2 2(4)(2)(3)xyxyy=(22)(3)xyxy 或 22 2456xxyyxy= 22 (2)(45 )6xxyyxy =(2)()(45 )6xy xyxy =(22)(3)xyxy 课堂练习：用分组分解法分解多项式（1）byaxbayx22 2222 （2）912644 22 bababa 5关于 x 的二次三项式 ax2+bx+c(a0)的因式分解 若关于若关于 x 的方程的方程 2 0(0)axbxca的两个实数根是的两个实数根是 1 x
12、、 2 x，则二次三项式，则二次三项式 2 (0)axbxc a就可分解为就可分解为 12 ()()a xxxx. 例 5把下列关于 x 的二次多项式分解因式： （1） 2 21xx；（2） 22 44xxyy 解： （1）令 2 21xx=0，则解得 1 12x ， 2 12x ， 2 21xx=( 12)( 12)xx =(12)(12)xx （2）令 22 44xxyy=0，则解得 1 ( 22 2)xy ， 1 ( 22 2)xy ， 22 44xxyy=2(12) 2(12) xy xy 练习 1选择题： 多项式 22 215xxyy的一个因式为（） （A）25xy（B）3xy（C）
13、3xy（D）5xy 2分解因式： （1）x26x8；（2）8a3b3； （3）x22x1；（4）4(1)(2 )xyy yx 习题习题 12 1分解因式： （1） 3 1a ；（2） 42 4139xx； （3） 22 222bcabacbc；（4） 22 35294xxyyxy 2在实数范围内因式分解： （1） 2 53xx；（2） 2 2 23xx； （3） 22 34xxyy；（4） 222 (2 )7(2 ) 12xxxx 3ABC三边a，b，c满足 222 abcabbcca，试判定ABC的形状 4分解因式：x2x(a2a) 第二讲第二讲函数与方程函数与方程 2.1一元二次方程一元二
14、次方程 2.1.1 根的判别式根的判别式 情境设置：可先让学生通过具体实例探索二次方程的根的求法，情境设置：可先让学生通过具体实例探索二次方程的根的求法， 如求方程的根（如求方程的根（1）032 2 xx(2)012 2 xx(3)032 2 xx 我们知道，对于一元二次方程 ax2bxc0（a0） ，用配方法可以将其变 形为 2 2 2 4 () 24 bbac x aa 因为 a0，所以，4a20于是 （1）当 b24ac0 时，方程的右端是一个正数，因此，原方程有两个不 相等的实数根 x1，2 2 4 2 bbac a ； （2）当 b24ac0 时，方程的右端为零，因此，原方程有两个等
15、的实数 根 x1x2 2 b a ； （3） 当 b24ac0 时， 方程的右端是一个负数， 而方程的左边 2 () 2 b x a 一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根 由此可知，一元二次方程 ax2bxc0（a0）的根的情况可以由 b24ac 来判定， 我们把 b24ac 叫做一元二次方程 ax2bxc0（a0） 的根的判别式根的判别式， 通常用符号“”来表示 综上所述，对于一元二次方程对于一元二次方程 ax2bxc0（a0） ，有，有 （1） 当当0 时，方程有两个不相等的实数根时，方程有两个不相等的实数根 x1，2 2 4 2 bbac a ； （2）当）当0 时，方程有两个相等的
16、实数根时，方程有两个相等的实数根 x1x2 2 b a ； （3）当）当0 时，方程没有实数根时，方程没有实数根 例 1判定下列关于 x 的方程的根的情况（其中 a 为常数） ，如果方程有实 数根，写出方程的实数根 （1）x23x30；（2）x2ax10； （3） x2ax(a1)0；（4）x22xa0 解： （1）3241330，方程没有实数根 （2） 该方程的根的判别式a241(1)a240， 所以方程一定有两 个不等的实数根 2 1 4 2 aa x ， 2 2 4 2 aa x （3）由于该方程的根的判别式为 a241(a1)a24a4(a2)2， 所以， 当 a2 时，0，所以方程有
17、两个相等的实数根 x1x21； 当 a2 时，0， 所以方程有两个不相等的实数根 x11，x2a1 （3）由于该方程的根的判别式为 2241a44a4(1a)， 所以 当0，即 4(1a) 0，即 a1 时，方程有两个不相等的实数根 1 11xa ， 2 11xa ； 当0，即 a1 时，方程有两个相等的实数根 x1x21； 当0，即 a1 时，方程没有实数根 说明：说明：在第 3，4 小题中，方程的根的判别式的符号随着 a 的取值的变化而 变化，于是，在解题过程中，需要对 a 的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类分类 讨论讨论分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题
18、中会经常地运用这一方法来解决问题 2.1.2根与系数的关系（韦达定理）根与系数的关系（韦达定理） 若一元二次方程 ax2bxc0（a0）有两个实数根 2 1 4 2 bbac x a ， 2 2 4 2 bbac x a ， 则有 22 12 442 222 bbacbbacbb xx aaaa ； 2222 12 22 44(4)4 2244 bbacbbacbbacacc x x aaaaa 所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系： 如果如果 ax2bxc0 （a0） 的两根分别是的两根分别是 x1， x2， 那么那么 x1x2 b a ， x1x2 c a 这 一关系也被称为韦达定
19、理韦达定理 特别地，对于二次项系数为 1 的一元二次方程 x2pxq0，若 x1，x2是其两 根，由韦达定理可知 x1x2p，x1x2q， 即p(x1x2)，qx1x2， 所以，方程 x2pxq0 可化为 x2(x1x2)xx1x20，由于 x1，x2是一元二 次方程 x2pxq0 的两根， 所以， x1， x2也是一元二次方程 x2(x1x2)xx1x2 0因此有 以两个数以两个数 x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为为根的一元二次方程（二次项系数为 1）是）是 x2(x1x2)xx1x20 例 2已知方程 2 560 xkx的一个根是 2，求它的另一个根及 k 的值 分析：由于已知了
20、方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出 k 的值，再 由方程解出另一个根 但由于我们学习了韦达定理， 又可以利用韦达定理来解题， 即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项， 于是可以利用两根之 积求出方程的另一个根，再由两根之和求出 k 的值 解法一：2 是方程的一个根， 522k260， k7 所以，方程就为 5x27x60，解得 x12，x2 3 5 所以，方程的另一个根为 3 5 ，k 的值为7 解法二：设方程的另一个根为 x1，则2x1 6 5 ，x1 3 5 由（ 3 5 ）2 5 k ，得 k7 所以，方程的另一个根为 3 5 ，k 的值为7 例 3已知关于 x 的方程
21、 x22(m2)xm240 有两个实数根，并且这 两个实数根的平方和比两个根的积大 21，求 m 的值 分析： 本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大 21 得到 关于 m 的方程，从而解得 m 的值但在解题中需要特别注意的是，由于所给的 方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零 解：设 x1，x2是方程的两根，由韦达定理，得 x1x22(m2)，x1x2m24 x12x22x1x221， (x1x2)23 x1x221， 即2(m2)23(m24)21， 化简，得m216m170， 解得m1，或 m17 当 m1 时，方程为 x26x50，0，满足题意； 当 m17 时，方
22、程为 x230 x2930，302412930，不合题意， 舍去 综上，m17 说明： （1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对 应的 m 的范围， 然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大 21”求出 m 的值， 取满足条件的 m 的值即可 （1）在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的 判别式是否大于或大于零因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数 根 例 4已知两个数的和为 4，积为12，求这两个数 分析： 我们可以设出这两个数分别为 x， y， 利用二元方程求解出这两个数 也 可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解 解法一：设这两个数分
23、别是 x，y， 则xy4， xy12 由，得y4x， 代入，得 x(4x)12， 即x24x120， x12，x26 1 1 2, 6, x y 或 2 2 6, 2. x y 因此，这两个数是2 和 6 解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程 x24x120 的两个根 解这个方程，得 x12，x26 所以，这两个数是2 和 6 说明：从上面的两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题） 要比解法一简捷 例 5若 x1和 x2分别是一元二次方程 2x25x30 的两根 （1）求| x1x2|的值； （2）求 22 12 11 xx 的值； （3）x13x23 解：x1和 x2分别是一
24、元二次方程 2x25x30 的两根， 12 5 2 xx ， 12 3 2 x x （1）| x1x2|2x12+ x222 x1x2(x1x2)24 x1x2 2 53 ()4 () 22 25 4 6 49 4 ， | x1x2| 7 2 （2） 2 222 121212 22222 2 121212 5325 ()2 ()3 ()21137 224 39 ()9 () 24 xxxxx x xxxxx x （3）x13x23(x1x2)( x12x1x2x22)(x1x2) ( x1x2)23x1x2 ( 5 2 )( 5 2 )23( 3 2 ) 215 8 说明：一元二次方程的两根之
25、差的绝对值两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇 到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律： 设 x1和 x2分别是一元二次方程 ax2bxc0（a0） ，则 2 1 4 2 bbac x a ， 2 2 4 2 bbac x a ， | x1x2| 222 4424 222 bbacbbacbac aaa 2 4 | bac aa 于是有下面的结论： 若若 x1和和 x2分别是一元二次方程分别是一元二次方程 ax2bxc0（a0） ，则则| x1x2| |a （其其 中中b24ac） 今后， 在求一元二次方程的两根之差的绝对值时， 可以直接利用上面的结论 例 6若
26、关于 x 的一元二次方程 x2xa40 的一根大于零、另一根小于零，求实数 a 的取值范围 解：设 x1，x2是方程的两根，则 x1x2a40， 且(1)24(a4)0 由得a4， 由得a17 4 a 的取值范围是 a4 练习 1选择题： （1）方程 22 2 330 xkxk的根的情况是（） （A）有一个实数根（B）有两个不相等的实数根 （C）有两个相等的实数根（D）没有实数根 （2）若关于 x 的方程 mx2 (2m1)xm0 有两个不相等的实数根，则实数 m 的取值 范围是（） （A）m 1 4 （B）m 1 4 （C）m 1 4 ，且 m0（D）m 1 4 ，且 m0 2填空: （1）
27、若方程 x23x10 的两根分别是 x1和 x2，则 12 11 xx （2）方程 mx2x2m0（m0）的根的情况是 （3）以3 和 1 为根的一元二次方程是 3已知 2 816|1| 0aab，当 k 取何值时，方程 kx2axb0 有两个不相等的实 数根？ 4已知方程 x23x10 的两根为 x1和 x2，求(x13)( x23)的值 习题习题 2.1 A组组 1选择题: （1）已知关于 x 的方程 x2kx20 的一个根是 1，则它的另一个根是（） （A）3（B）3（C）2（D）2 （2）下列四个说法： 方程 x22x70 的两根之和为2，两根之积为7； 方程 x22x70 的两根之和
28、为2，两根之积为 7； 方程 3 x270 的两根之和为 0，两根之积为 7 3 ； 方程 3 x22x0 的两根之和为2，两根之积为 0 其中正确说法的个数是（） （A）1 个（B）2 个（C）3 个（D）4 个 （3）关于 x 的一元二次方程 ax25xa2a0 的一个根是 0，则 a 的值是（） （A）0（B）1（C）1（D）0，或1 2填空: （1）方程 kx24x10 的两根之和为2，则 k （2）方程 2x2x40 的两根为，则22 （3）已知关于 x 的方程 x2ax3a0 的一个根是2，则它的另一个根是 （4）方程 2x22x10 的两根为 x1和 x2，则| x1x2| 3
29、试判定当 m 取何值时， 关于 x 的一元二次方程 m2x2(2m1) x10 有两个不相等的实 数根？有两个相等的实数根？没有实数根？ 4求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程 x27x10 各根的相反数 B组组 1选择题: 若 关 于 x 的 方 程 x2 (k2 1) x k 1 0 的 两 根 互 为 相 反 数 ， 则 k 的 值 为 （） （A）1，或1（B）1（C）1（D）0 2填空: （1）若 m，n 是方程 x22005x10 的两个实数根，则 m2nmn2mn 的值等 于 （2）如果 a，b 是方程 x2x10 的两个实数根，那么代数式 a3a2bab2b3的值 是 3已
30、知关于 x 的方程 x2kx20 （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）设方程的两根为 x1和 x2，如果 2(x1x2)x1x2，求实数 k 的取值范围 4一元二次方程 ax2bxc0（a0）的两根为 x1和 x2求： （1）| x1x2|和 12 2 xx ； （2）x13x23 5关于 x 的方程 x24xm0 的两根为 x1，x2满足| x1x2|2，求实数 m 的值 C组组 1选择题： （1）已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程 2x28x70 的两根，则这个直 角三角形的斜边长等于（） （A）3（B）3（C）6（D）9 （2）若 x1，x2是方程 2x24x10 的两
31、个根，则 12 21 xx xx 的值为（） （A）6（B）4（C）3（D） 3 2 （3）如果关于 x 的方程 x22(1m)xm20 有两实数根，则的取值范围为 （） （A） 1 2 （B） 1 2 （C）1（D）1 （4）已知 a，b，c 是ABC 的三边长，那么方程 cx2(ab)x 4 c 0 的根的情况是 （） （A）没有实数根（B）有两个不相等的实数根 （C）有两个相等的实数根（D）有两个异号实数根 2填空： 若方程 x28xm0 的两根为 x1，x2，且 3x12x218，则 m 3 已知 x1，x2是关于 x 的一元二次方程 4kx24kxk10 的两个实数根 （1）是否存在
32、实数 k，使(2x1x2)( x12 x2) 3 2 成立？若存在，求出 k 的值；若不存 在，说明理由； （2）求使 12 21 xx xx 2 的值为整数的实数 k 的整数值； （3）若 k2， 1 2 x x ，试求的值 4已知关于 x 的方程 2 2 (2)0 4 m xmx （1）求证：无论 m 取什么实数时，这个方程总有两个相异实数根； （2）若这个方程的两个实数根 x1，x2满足|x2|x1|2，求 m 的值及相应的 x1，x2 5若关于 x 的方程 x2xa0 的一个大于 1、零一根小于 1，求实数 a 的取值范围 22二次函数二次函数 2.2.1二次函数二次函数 yax2bx
33、c 的图的图象象和性质和性质 情境设置：可先让学生通过具体实例探索二次函数的图象，情境设置：可先让学生通过具体实例探索二次函数的图象， 如作图如作图（1） 2 xy (2) 2 xy(3)32 2 xxy教师可采用计算机绘图软件辅助教教师可采用计算机绘图软件辅助教 学学 问题 1函数 yax2与 yx2的图象之间存在怎样的关系？ 为了研究这一问题，我们可以先画出 y2x2，y 1 2 x2，y2x2的图象，通 过这些函数图象与函数 yx2的图象之间的关系，推导出函数 yax2与 yx2的 图象之间所存在的关系 先画出函数 yx2，y2x2的图象 先列表： x3210123 x29410149
34、2x2188202818 从表中不难看出， 要得到 2x2的值， 只要把相应 的 x2的值扩大两倍就可以了 再描点、连线，就分别得到了函数 yx2，y 2x2的图象（如图 21 所示） ，从图 21 我们可以 得到这两个函数图象之间的关系：函数 y2x2的图 象可以由函数 yx2的图象各点的纵坐标变为原来 的两倍得到 同学们也可以用类似于上面的方法画出函数 y 1 2 x2，y2x2的图象，并研究这两个函数图象 与函数 yx2的图象之间的关系 通过上面的研究，我们可以得到以下结论： 二次函二次函数数yax2(a0)的图象可以的图象可以由由yx2的的 图象各点的纵坐标变为原来的图象各点的纵坐标变
35、为原来的 a 倍得到在二倍得到在二 次函数次函数 yax2(a0)中，二次项系数中，二次项系数 a 决定了图决定了图 象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大 小小 问题 2函数 ya(xh)2k 与 yax2的图 象之间存在怎样的关系？ 同样地， 我们可以利用几个特殊的函数图象 之间的关系来研究它们之间的关系同学们可 以作出函数 y2(x1)21 与 y2x2的图象 （如 图 22 所示） ，从函数的同学我们不难发现， 图 2.2-2 x y O 1 y2x2 y2(x1)2 y2(x1)21 yx2 y2x2 图 2.2-1 x O y 只要把函数
36、y2x2的图象向左平移一个单位， 再向上平移一个单位， 就可以得到 函数 y2(x1)21 的图象这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的 特点 类似地，还可以通过画函数 y3x2，y3(x1)21 的图象，研究它们 图象之间的相互关系 通过上面的研究，我们可以得到以下结论： 二次函数二次函数 ya(xh)2k(a0)中中， a 决定了二次函数图象的开口大小及方向决定了二次函数图象的开口大小及方向； h 决定了二次函数图象的左右平移，而且决定了二次函数图象的左右平移，而且“h 正左移，正左移，h 负右移负右移”；k 决定了二次决定了二次 函数图象的上下平移，而且函数图象的上下平移，而且“
37、k 正上移，正上移，k 负下移负下移” 由上面的结论，我们可以得到研究二次函数 yax2bxc(a0)的图象的方 法： 由于 yax2bxca(x2 b x a )ca(x2 b x a 2 2 4 b a )c 2 4 b a 2 2 4 () 24 bbac a x aa ， 所以，yax2bxc(a0)的图象可以看作是将函数 yax2的图象作左右平 移、上下平移得到的，于是，二次函数 yax2bxc(a0)具有下列性质： （1）当）当 a0 时，函数时，函数 yax2bxc 图象开口向上；顶点坐标为图象开口向上；顶点坐标为 2 4 (,) 24 bacb aa ， 对称轴为直线对称轴为直
38、线 x 2 b a ；当；当 x 2 b a 时，时，y 随着随着 x 的增大而减小；当的增大而减小；当 x 2 b a 时，时，y 随随着着 x 的增大而增大；当的增大而增大；当 x 2 b a 时，函数取最小值时，函数取最小值 y 2 4 4 acb a （2）当当 a0 时，函数时，函数 yax2bxc 图象开口向下；顶点坐标为图象开口向下；顶点坐标为 2 4 (,) 24 bacb aa ， 对称轴为直线对称轴为直线 x 2 b a ；当；当 x 2 b a 时，时，y 随着随着 x 的增大而增大；当的增大而增大；当 x 2 b a 时，时，y 随随着着 x 的增大而减小；当的增大而减
39、小；当 x 2 b a 时，函数取最大值时，函数取最大值 y 2 4 4 acb a 上述二次函数的性质可以分别通过图 223 和图 224 直观地表示出来因此，在今 后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题 x y O x 2 b a A 2 4 (,) 24 bacb aa 图 2.2-3 x y O x 2 b a A 2 4 (,) 24 bacb aa 图 2.2-4 例 1求二次函数 y3x26x1 图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、 最大值（或最小值） ，并指出当 x 取何值时，y 随 x 的增大而增大（或减小）？并 画出该函数的图象 解：y3x
40、26x13(x1)24， 函数图象的开口向下； 对称轴是直线 x1； 顶点坐标为(1，4)； 当 x1 时，函数 y 取最大值 y4； 当 x1 时，y 随着 x 的增大而增大；当 x 1 时，y 随着 x 的增大而减小； 采用描点法画图，选顶点 A(1，4)，与 x 轴 交于点 B 2 33 (,0) 3 和 C 2 33 (,0) 3 ，与 y 轴的交 点为 D(0，1)，过这五点画出图象（如图 25 所示） 说明：从这个例题可以看出，根据配方后得到的 性质画函数的图象， 可以直接选出关键点， 减少了选 点的盲目性，使画图更简便、图象更精确 函数函数y yaxax 2 2 bxbxc c图
41、象图象作图要领： （1） 确定开口方向：由二次项系数 a 决定 （2） 确定对称轴：对称轴方程为 a b x 2 （3） 确定图象与 x 轴的交点情况，若0 则与 x 轴有两个交点，可 由方程x x 2 2 bxbxc c=0=0求出求出若=0 则与 x 轴有一个交点，可由 方程x x 2 2 bxbxc c=0=0求出求出若0 则与 x 轴有无交点。 （4） 确定图象与 y 轴的交点情况,令 x=0 得出 y=c， 所以交点坐标为 （0， c） （5） 由以上各要素出草图。 练习：作出以下二次函数的草图 （1）6 2 xxy(2)12 2 xxy(3)1 2 xy 例 2某种产品的成本是 1
42、20 元/件，试销阶段每件产品的售价 x（元）与产 品的日销售量 y（件）之间关系如下表所示： x /元130150165 y/件70 5035 若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润， 每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？ 分析：由于每天的利润日销售量 y(销售价 x120)，日销售量 y 又是销售 价 x 的一次函数，所以，欲求每天所获得的利润最大值，首先需要求出每天的利 润与销售价 x 之间的函数关系，然后，再由它们之间的函数关系求出每天利润的 最大值 xO y x1 A(1,4) D(0,1) BC 图 2.25 解：由于 y 是
43、x 的一次函数，于是，设 ykx（B） 将 x130，y70；x150，y50 代入方程，有 70130, 50150, kb kb 解得k1，b200 yx200 设每天的利润为 z（元） ，则 z(x+200)(x120)x2320 x24000 (x160)21600， 当 x160 时，z 取最大值 1600 答：当售价为 160 元/件时，每天的利润最大，为 1600 元 例 3把二次函数 yx2bxc 的图像向上平移 2 个单位，再向左平移 4 个单位，得到 函数 yx2的图像，求 b，c 的值 解法一：yx2bxc(x+ 2 b )2 2 4 b c ，把它的图像向上平移 2 个
44、单位，再向左平移 4 个单位，得到 2 2 (4)2 24 bb yxc的图像，也就是函数 yx2的图像，所以， 2 40, 2 20, 4 b b c 解得 b8，c14 解法二：把二次函数 yx2bxc 的图像向上平移 2 个单位，再向左平移 4 个单位，得到 函数 yx2的图像，等价于把二次函数 yx2的图像向下平移 2 个单位，再向右平移 4 个单 位，得到函数 yx2bxc 的图像 由于把二次函数 yx2的图像向下平移 2 个单位，再向右平移 4 个单位，得到函数 y(x 4)22 的图像，即为 yx28x14 的图像，函数 yx28x14 与函数 yx2bxc 表 示同一个函数，b
45、8，c14 说明：本例的两种解法都是利用二次函数图像的平移规律来解决问题，所以，同学们要 牢固掌握二次函数图像的变换规律 这两种解法反映了两种不同的思维方法： 解法一， 是直接利用条件进行正向的思维来解 决的，其运算量相对较大；而解法二，则是利用逆向思维，将原来的问题等价转化成与之等 价的问题来解，具有计算量小的优点今后，我们在解题时，可以根据题目的具体情况，选 择恰当的方法来解决问题 例 4已知函数 yx2，2xa，其中 a2，求该函数的最大值与最小值，并求出函 数取最大值和最小值时所对应的自变量 x 的值 分析：本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对 a 的取值进行讨论 解： （1
46、）当 a2 时，函数 yx2的图象仅仅对应着一个点(2，4)，所以，函数的最大 值和最小值都是 4，此时 x2； （2）当2a0 时，由图 226可知，当 x2 时，函数取最大值 y4；当 x a 时，函数取最小值 ya2； （3）当 0a2 时，由图 226可知，当 x2 时，函数取最大值 y4；当 x0 时，函数取最小值 y0； （4）当 a2 时，由图 226可知，当 xa 时，函数取最大值 ya2；当 x0 时， 函数取最小值 y0 说明： 在本例中， 利用了分类讨论的方法， 对 a 的所有可能情形进行讨论 此 外，本例中所研究的二次函数的自变量的取值不是取任意的实数，而是取部分实 数
47、来研究，在解决这一类问题时，通常需要借助于函数图象来直观地解决问题 练习 1选择题： （1）下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是（） （A）y2x2（B）y2x24x2 （C）y2x21（D）y2x24x （2）函数 y2(x1)22 是将函数 y2x2（） （A）向左平移 1 个单位、再向上平移 2 个单位得到的 （B）向右平移 2 个单位、再向上平移 1 个单位得到的 （C）向下平移 2 个单位、再向右平移 1 个单位得到的 （D）向上平移 2 个单位、再向右平移 1 个单位得到的 2填空题 （1） 二次函数 y2x2mxn 图象的顶点坐标为(1， 2)， 则 m， n （2）已知二次函数
48、 yx2+(m2)x2m，当 m时，函数图象的顶点在 y 轴上；当 m时，函数图象的顶点在 x 轴上；当 m时，函数图象经过原点 （3）函数 y3(x2)25 的图象的开口向，对称轴为，顶点坐标 为；当 x时，函数取最值 y；当 x 时，y 随着 x 的增大而减小 3求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小）值及 y 随 x 的变化情况， 并画出其图象 （1）yx22x3；（2）y16 xx2 4已知函数 yx22x3，当自变量 x 在下列取值范围内时，分别求函数的最大值 或最小值，并求当函数取最大（小）值时所对应的自变量 x 的值： （1）x2； （2）x2； （3）2x1； （4
49、）0 x3 x y O 2 a x y O 2 a a2 4 图 2.26 x y Oa 22 4 a2 2 x y Oa a2 4 2.2.2二次函数的三种表示方式二次函数的三种表示方式 通过上一小节的学习，我们知道，二次函数可以表示成以下两种形式： 1一般式：一般式：yax2bxc(a0)； 2顶点式：顶点式：ya(xh)2k (a0)，其中顶点坐标是，其中顶点坐标是(h，k) 除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示为了研究另一种 表示方式，我们先来研究二次函数 yax2bxc(a0)的图象与 x 轴交点个数 当抛物线 yax2bxc(a0)与 x 轴相交时，其函数值为零，于是
50、有 ax2bxc0 并且方程的解就是抛物线 yax2bxc(a0)与 x 轴交点的横坐标 （纵坐标为 零） ，于是，不难发现，抛物线 yax2bxc(a0)与 x 轴交点个数与方程的解 的个数有关，而方程的解的个数又与方程的根的判别式b24ac 有关， 由此可知，抛物线 yax2bxc(a0)与 x 轴交点个数与根的判别式b24ac 存在下列关系： （1）当）当0 时，抛物线时，抛物线 yax2bxc(a0)与与 x 轴有两个交点；反过来，轴有两个交点；反过来， 若抛物线若抛物线 yax2bxc(a0)与与 x 轴有两个交点，则轴有两个交点，则0 也成立也成立 （2）当）当0 时，抛物线时，抛
