1、【第【第 5 讲】讲】 绝对值和绝对值不等式的解法绝对值和绝对值不等式的解法 【基础知识回顾】【基础知识回顾】 知识点知识点 1 1绝对值的代数意义绝对值的代数意义 正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零即 ,0, |0,0, ,0. aa aa a a 知识点知识点 2 2绝对值的几何意义绝对值的几何意义 一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离 知识点知识点 3 3两个数的差的绝对值的几何意义两个数的差的绝对值的几何意义 ba表示在数轴上，数a和数b之间的距离 【合作探究】【合作探究】 探究一探究一绝对值的性质绝对值的性质 【例例 1-1】到数轴原点的距离
2、是 2 的点表示的数是（） A2B2C-2D4 【答案】A 【例例 1-2】已知|x|=5，|y|=2，且 xy0，则 x-y 的值等于（） A7 或-7B7 或 3C3 或-3D-7 或-3 【答案】C 【例【例 1-3】已知：abc0，且 M= abc abc ，当 a，b，c 取不同值时，M 有 _种不同可 能 【答案】4 【解析】当 a、b、c 都是正数时，M= 3； 当 a、b、c 中有一个负数时，则 M=1； 当 a、b、c 中有 2 个负数时，则 M= -1； 当 a、b、c 都是负数时，M=-3 归纳总结：归纳总结： 【练习练习 1】已知 a b c， 是非零整数，且 0abc
3、 ，求 abcabc abcabc 的值 【解析】：由于 0abc ，且 a b c， 是非零整数，则a b c ， 一正二负或一负二正， （1）当 a b c， 一正二负时，不妨设 000abc， ，原式 1 1 1 10 ； （2）当 a b c， 一负二正时，不妨设 000abc， ，原式 1 1 1 10 原式 0 探究二探究二绝对值的应用绝对值的应用 【例【例 2】若 42ab ，则 _ab 【解析】 424204,2ababab ，所以 2ab 归纳总结：归纳总结：绝对值具有非负性，即若 0abc ，则必有 0a ， 0b ， 0c 【练习【练习 2-1】练习 1： 2 120ab
4、， a _；b _ 【解析】1,2ab 【练习【练习 2-2】若 7 32 210 2 mnp ，则 23_pnm 【解析】由题意， 71 3, 22 mnp ，所以 13 2379 22 pnmm 探究三探究三零点分段法去绝对值零点分段法去绝对值 【例例 3】化简代数式 24xx 【解析】当 2x 时，原式 2422xxx ； 当 24x 时，原式 246xx ； 当x4时，原式 2422xxx 综上讨论，原式 222 624 224 xx x xx 归纳总结：归纳总结： 【练习练习 3】化简代数式 122yxx 【解析】当 1x 时， 53yx ； 当1 2x 时， 3yx ； 当 2x
5、时， 35yx 综上讨论，原式 531 312 352 x x xx xx 探究四探究四绝对值函数绝对值函数 【例例 4-1】画出 1yx 的图像 【解析】（1）关键点是 1x ，此点又称为界点； （2）接着是要去绝对值 当 1x 时， 1yx ；当 1x 时， 1yx （3）图像如右图 说明：此题还可以考虑该图像可由 y=|x|的图象向右平移一个单位后得到 【例例 4-2】画出 122yxx 的图象 【解析】（1）关键点是 1x 和 2x （2）去绝对值 当 1x 时， 53yx ； 当1 2x 时， 3yx ； 当 2x 时， 35yx （3）图象如右图所示 【例例 4-3】画出函数 2
6、23yxx 的图像 【解析】（1）关键点是 0 x （2）去绝对值： 当 0 x 时， 2 23yxx ； 当 0 x 时， 2 23yxx （3）可作出图像如右图 【例例 4-4】画出函数 2 32yxx 的图像 【解析】（1）关键点是 1x 和 2x （2）去绝对值： 当 1x 或 2x 时， 2 32yxx ； 当1 2x 时， 2 32yxx （3）可作出图像如右图 归纳总结：归纳总结： 探究五探究五解解绝对值绝对值不等式不等式 【例例 5-1】解不等式 1x 【解析】x对应数轴上的一个点，由题意，x到原点的距离小于 1，很容易知道到原点距离 等于 1 的点有两个： 1 和1，自然只有
7、在 1 和1之间的点，到原点的距离才小于 1，所以 x的解集是 | 1 1xx 归纳总结归纳总结： （1） (0)xa a 的解集是 | xaxa ，如图 1 （2） (0)xa a 的解集是 | x xaxa 或 ，如图 2 【练习练习 5-1】解不等式： （1） 3x ；（2） 3x （3） 2x 【答案】（1） | 3 3xx （2） | 33x xx 或 （3） | 2 2xx 【例【例 5-2】解不等式 21x 【解析】：由题意， 121x ，解得1 3x ，所以原不等式的解集为 |1 3xx 归纳总结归纳总结： （1） (0)axbc ccaxbc （2） (0)axbc caxb
8、c 或ax bc 【练习练习 5-2】解不等式： （1） 103x ； （2） 252x ； （3） 325x ； 【解析】： （1）由题意， 3103x ，解得7 13x ，所以原不等式的解集为 |713xx （2）由题意，2 52x 或2 52x ，解得 7 2 x 或 3 2 x ， ，所以原不等式的解集为 73 | 22 x xx或 （3）由题意， 5325x ，解得 【例【例 5-3】解不等式组 240 51 32 x x 【解析】：由 240 x ，得 424x ，解得 26x ， 由5 1 32x ，得 1 33x ，即 31 33x ，解得 42 33 x ， 由得， 42 3
9、3 x ，所以原不等式的解集为 42 | 33 xx 【练习练习 5-3】解不等式1 215x 【解析】：方法一：由 215x ，解得 23x ；由1 21x 得， 0 x 或 1x ， 联立得 2013xx 或 ，所以原不等式的解集为 | 2 013xxx 或 方法二：1 2151215xx 或 5211x ，解得 2013xx 或 ，所以原不等式的解集为 | 2 013xxx 或 【例【例 5-4】解不等式： 4321xx 【解析】：方法一： （零点分段法） （1）当 3 4 x 时，原不等式变为： (43)21xx ，解得 1 3 x ，所以 1 3 x ； （2）当 3 4 x 时，原
10、不等式变为：4 321xx ，解得 2x ，所以 2x ； 综上所述，原不等式的解集为 1 |2 3 x xx或 方法二： 43214321xxxx 或4 3(21)xx ，解得 1 3 x 或 2x ，所 以原不等式的解集为 1 |2 3 x xx或 归纳总结归纳总结： （1） ( )( )( )axbf xf xaxbf x （2） ( )( )axbf xaxbf x 或 ( )axbf x 【练习练习 5-4】解不等式： 431xx 【解析】：由 431xx 得 (1)431xxx ，解得 24 53 x ，原不等式的解集 为 24 | 53 xx 【例【例 5-5】解不等式： 215
11、xx 方法 1：利用零点分区间法（推荐） 【分析】:由 01 x ， 02 x ，得 1x 和 2x 2 和1把实数集合分成三个 区间，即 2x ， 12x ， 1x ，按这三个区间可去绝对值，故可按这三个区间 讨论 【解析】：当 2x 时，得 2 (1)(2)5 x xx ，解得： 23x ； 当 12x 时，得 21 (1)(2)5 x xx ， 解得： 12x ； 当 1x 时，得 1 (1)(2)5 x xx ，解得： 21 x 综上，原不等式的解集为 23xx 方法 2：利用绝对值的几何意义 【解析】： 215xx 的几何意义是数轴上的点x到 1 和 2 的距离之和小于 5 的点 所
12、 对 应 的 取值 范 围 ， 由 数 轴 可知 ， 1 ( 2)35 ， 易 知 当 3x 或 2x 时 ， 215xx ，所以x位于 3 和2之间（不含端点） ，所以 32x ，所以原不等式 的解集为 23xx 【练习【练习 5-5】解不等式：13xx 4 【解析】解法一：由01x，得1x；由30 x ，得3x ； 若1x，不等式可变为(1)(3)4xx， 即24x4，解得 x0， 又 x1， x0； 若12x，不等式可变为(1)(3)4xx， 即 14， 不存在满足条件的 x； 若3x ，不等式可变为(1)(3)4xx， 即24x4， 解得 x4 又 x3，x4 综上所述，原不等式的解为
13、 x0，或 x4 解法二： 如图 1 11，1x表示 x 轴上坐标为 x 的点 P 到坐标为 1 的点 A 之间的距离|PA|， 即|PA|x1|；|x3|表示 x 轴上点 P 到坐标为 2 的点 B 之间的距离|PB|，即|PB|x3| 所以，不等式13xx 4 的几何意义即为 |PA|PB|4 由|AB|2，可知 点 P 在点 C(坐标为 0)的左侧、或点 P 在点 D(坐 标为 4)的右侧 x0，或 x4 13 A B x04 C D x P |x1| |x3| 图 155 【课后作业【课后作业 1 1】 1 3 5 _； 3 _； 3.1415 _； 2 2215xy ， 4x ，则
14、y _ 3若 0aa ，那么a一定是（） A正数B负数C非正数D非负数 4若 xx ，那么x是_数 5如图，化简 22abbcac _ 6已知 2 (2)210 xy ，则 2xy _ 7化简 12xx ，并画出 12yxx 的图象 8化简 523xx 9.画出 23yx 的图像 10.画出 2 23yxx 的图像 【课后作业【课后作业 2 2】 1.已知 6a ，化简 2 6a 得() A. 6a B. 6a C. 6a D. 6a 2.不等式 23x 的解是，不等式 1 2 1 1x 的解是_. 3.不等式 830 x 的解是_. 4.根据数轴表示 , ,a b c 三数的点的位置，化简
15、abacbc _ . 5.解不等式3 29x 6.解不等式 124xx 7.解下列关于x的不等式：1 235x 8.解不等式 341 2xx 9解不等式： 122xxx 【参考答案【参考答案 1 1】 1 3 5；3 ； 3.1415 22或 1 3C4负5-463 7 23,2 1, 21 23,1 xx yx xx ，图象如下 8 32,5 3 8, 5 2 3 32, 2 xx yxx xx 9如图所示 10如图所示 【参考答案【参考答案 2 2】 1.B2. | 51xx ； |0 4xx 3. 3 8 4.0 5. | 71511xxx 或 6. 35 | 22 xx 7. | 1124xxx 或 8. 3 |5 5 x xx或 9 1 |5 3 xx
