1、目录 第一章第一章前言前言.1 第二章第二章衔接补充衔接补充.2 2.1 数与式数与式. 2 2.1.1 乘法公式.2 2.1.2 因式分解.7 2.1.3 分式与根式.10 2.2 方程与方程组以及不等式方程与方程组以及不等式.15 2.2.1 韦达定理.15 2.2.2 分式方程与无理方程以及二元方程组.19 2.2.3 不等式.23 第三章第三章学习新知学习新知.26 3.1 集合集合.26 3.1.1 集合的基本概念.26 3.1.2 集合的基本性质.26 3.1.3 集合的表示方法.27 3.1.4 集合间的基本关系.29 3.1.5 集合间的基本运算.31 3.2 常用逻辑用语常用
2、逻辑用语.38 3.2.1 充分条件、必要条件、充要条件.38 3.2.2 全称量词与存在量词.40 3.3 函数的概念与性质函数的概念与性质.43 3.3.1 函数的概念.43 3.3.2 函数的表示法.45 3.3.3 分段函数.45 3.3.4 函数的图象.47 3.3.5 函数的定义类问题.49 3.3.6 函数值域的求法.50 3.3.7 恒成立问题.52 第一章第一章前言前言 首先， 恭喜同学们进入高中数学殿堂的学习， 同时也祝贺大家在数学的学习上进入一个 更高的层次。当然，随之而来的是学习内容的增多，学习方法的巨变，学习技巧的提高，高 中数学对同学们的学习提出了更高的要求，主要体
3、现在高中数学学习时“知识体系更严谨知识体系更严谨”、 “考查方式更灵活考查方式更灵活”、“数学思想更重要数学思想更重要”。 高中数学的知识会让同学们觉得更复杂、 关联性更强， 这就要求我们需要有“举一反三举一反三”、 “化繁为简化繁为简”、“知识迁移知识迁移”的学习技巧。在后续的衔接课程中，我们将通过具体的例子去体会 上述所讲的各类名词的具体含义。 下面简要列出高中阶段最重要的几类数学思想，请同学们在学习时，多加思考，每次学 习时、每次做题时，都使用到了什么数学思想。 “数形结合思想数形结合思想”、“分类与整合思想分类与整合思想”、“特殊与一般思想特殊与一般思想”、“函数与方程思想函数与方程思
4、想” 接下来，我们通过几类可以利用初中知识解决的题目来具体体会一下高中数学学习的魅力。 引例 1：bkxy是什么？ x k y 是什么？cbxaxy 2 又是什么？ 引例 1 体现了_的数学思想， 体现了_的学习技巧 引例 2：设cba,为均为正数，且bc ，证明：bcbaca 2222 引例 2 体现了_的数学思想， 体现了_的学习技巧 *思考题：设cba,为均为正数，求证：bcbaca 2222 本题与引例 2 有什么不同？做一做并体会其中奥妙。 第二章第二章衔接补充衔接补充 2.1 数与式数与式 2.1.1 乘法公式乘法公式 一、一、 【归纳初中知识】【归纳初中知识】 在初中，我们学习了
5、多项式的运算，知道乘法公式可以让多项式的运算变得简单方便， 初中我们主要学习了两个基本乘法公式： 平方差公式：平方差公式： 22 )(bababa 完全平方公式：完全平方公式： 222 2)(bababa 在初中阶段我们常要求掌握上述 2 个公式，但从今往后我们更多要求的是对公式的推 广、对定理的多重认知，比如我们可以利用引例 2 的思想来研究上述公式的几何维度解析。 你能说出上述图形验证了哪一个式子吗？你能说出上述图形验证了哪一个式子吗？ 例 1：利用几何图形证明当0,ba时， 222 2)(bababa 由完全平方公式我们还可以得到两个重要式子： abbaba abbaba 4)()( 2
6、)( 22 222 ，我们常常把这种式子之间的变换方式称作恒等变换，恒等变换 在高中数学当中是一个非常重要的工具。 二、二、 【衔接高中知识】【衔接高中知识】 高中代数部分是以函数为主线展开学习的， 为研究函数的性质， 需要同学们具有很强的 代数恒等变换能力，在此，我们对乘法公式进行一些拓展，请大家进行部分自主提炼： 完全立方和公式完全立方和公式： 3 )(ba_ 完全立方差公式完全立方差公式： 3 )(ba_ 公式、 我们统称为完全立方公式， 我们能否由完全立方和与完全立方差完全立方和与完全立方差的公式得到 立方和与立方差立方和与立方差的公式呢？ 立方和公式：立方和公式： 33 ba_ 立方
7、差公式：立方差公式： 33 ba_ 最后，我们再填补三数平方和的公式： 三数平方和：三数平方和： 2 )(cba_ 三、三、 【例题精讲】【例题精讲】 例 1：观察下列算式： 813 22 1635 22 2457 22 3279 22 （1）按照上述规律续写 2 个式子； （2）用文字反应出上述式子的规律； （3）证明你所发现规律的正确性； 例 2：观察下列算式： 712 33 1923 33 3734 33 6145 33 （1）按照上述规律续写两个式子； （2）求 33 20192020 33 20172018 例 3：若1, 0bcacabcba （1）求 222 cba； （2）求
8、444 cba； 例 4：已知013 2 xx，求 3 3 1 x x 的值。 例 5：证明：函数 3 xy 中y与x具有相同的增减性 例 6：设6 1 ,) 1 ( 3 33 n ny n nx，则对于任意的0n，x与y的大小关系为（） A.yx B.yx C.yx D.yx 由本题，我们可以引出高中乃至高考的重点知识： 基本不等式：基本不等式： 初步认识“对勾函数” x xy 1 在平时的学习中，我们应该注重多深究，多追问，多归纳！在平时的学习中，我们应该注重多深究，多追问，多归纳！ 课后习题课后习题 1、已知169 22 qp，7qp，则_pq 2、三角形的三边满足abcbca22 22
9、 ，则该三角形的形状为_ 3、 0444)( 2 yxyx，则_)( 10 yx 4、 已知： )( )( )( 322344 2233 22 yxyyxxyxyx yxyxyxyx yxyxyx ， 则 nn yx_ 5、当 3 3x时，计算 32 2 1 ) 1 24)( 1 2( xx x x x_ 6、_1993199119922 7、已知xt 2 )58(，求)68)(48(tt=_ 8、已知20182019 ta，20192019 tb，20202019 tc， 则bcacabcba 222 _ 9、已知10 yx且100 33 yx，则代数式 22 yx =_ 10、函数 x x
10、x y 132 2 在0 x时的最小值为_ 11、已知nm,均为正数，且1nm，则 nm 23 的最小值为_ *12、函数)0( 1042 1 2 x xx x y的最大值为_ 2.1.2 因式分解因式分解 一、一、 【归纳初中知识】【归纳初中知识】 把一个多项式化为几个整式乘积的形式， 叫做因式分解。 初中阶段我们常用的两种因式 分解方法有： 方式方式：提取公因式法：提取公因式法)(bambmam 方式方式：公式法：公式法 )( )( )(2 2233 22 222 babababa bababa bababa 二、二、 【衔接高中知识】【衔接高中知识】 下面我们介绍几种常用的高中因式分解的
11、方法： 方式方式：分组分解法：分组分解法 )( )()( nmyx nyxmyx ynxnymxm 我们知道形如pqxqpx)( 2 这样的二次三项式可以分解为)(qxpx，它的 特点是二次项系数为 1，常数pq与一次项系数qp可以通过“十字相乘，乘积相加”的方 式建立联系，得到)()( 2 qxpxpqxqpx。这种方法能推广到更深层次吗？ 下面来看二次三项式abxnambmnx)( 2 ，将二次项系数mn与常数项ab建立十 字形式： 我们发现“十字相乘，乘积相加”刚好得到一次项系数namb，从而我们有 方式方式：十字相乘法：十字相乘法)()( 2 bnxamxabxnambmnx *方式方
12、式：大除法：大除法 我们引入这样一个问题：求方程0232 23 xxx的解 显然，由观察得出1x是方程的一个根，那么该方程左边的多项式必定可以写成下面 形式： 232 23 xxx_)(_1( x，那么我们如何确定空缺部分呢？下面我们 介绍大除法： 三、三、 【例题精讲】【例题精讲】 例 1：分解因式 （1）32 2 xx （2）344 2 xx 例 2：分解因式 （1）2)()( 222 xxxx （2） 22 82yxyx （3）yxxyx632 2 （4）43 3 xx 例 3：已知n是正整数，且10016 24 nn是质数，求n的值 课后习题课后习题 1、若42 2 xxbaxx则 a
13、， b。 2、_3 4 2 xxx 3、若)(10 2 bxaxmxx，且ba,均为整数，则_ba 4、下列各式中，不是4174 24 xx因式的是（） A、 2 1 xB、2xC、2xD、4x 5、分解因式44 24 xxx=_ 6、若多项式 22 9) 1(babka能用完全平方公式进行分解，则k_ 7、分解因式：_)()( 222 bacddcab 8、分解因式：43 23 xx=_ 9、设xynyxm,，试用nm,表示 233 )(yx *10、多项式65 22 yxbyaxyx的一个因式是2 yx，计算ba 2.1.3 分式与根式分式与根式 一、一、 【归纳初中知识】【归纳初中知识】
14、 1. 在初中阶段我们把形如 B A 的式子叫做分式，并且常常用到以下性质： B A MB MA MB MA 1. 在初中阶段我们把形如)0( aa的式子叫做二次根式，表示的是非负数a的算数平方 根，并且常用到以下性质： aa aaa 2 2 )0()( 二、二、 【衔接高中知识】【衔接高中知识】 1. 进入高中之后，我们对分式部分知识点的要求就变得逐渐高起来，具体体现在要求同学 们需要有更强的运算能力以及恒等变形能力。 2. 进入高中之后，我们对根式部分的掌握要求就不再是二次根式，而是更高的三次根式， 四次根式，n次根式等等 三、三、 【例题精讲】【例题精讲】 例 1：若4 11 nm ，求
15、 nmnm nmnm 2 232 的值 例 2： 54 (2)2 xAB x xxx ，求BA,的值 例 3：设 ba c ca b cb a k ，求k的值 例 4：设0cba，求3) 11 () 11 () 11 ( ba c ca b cb a 例 5：已知1abc，证明1 111 cac c bbc b aab a 例 6：阅读材料，回答下列问题： 2 1 2 1 1 6 1 3 1 2 1 12 1 4 1 3 1 我们发现 ) 1( 1 1 11 nnnn （1）计算 20202019 1 20 1 12 1 6 1 2 1 ； （2）求证： 2 1 ) 12)(12( 1 63
16、1 35 1 15 1 3 1 nn 例 6：（1）若0 x，求 4433 2xxx；（2）求 nn a（n为正整数） 例 7：已知 3232 , 3232 xy ，求 22 353xxyy的值 *例 8：已知实数ba,非负，若abba 22 11，求证：111 22 abba *例 9：若 2 20061 x，则 20193 )200520094(xx的值为？ 课后习题课后习题 1、若2 5 32 y yx ，则 y x _ 2、计算：_)()()(1 1 2 2 0 y x y x x y 3、比较大小： （1）1011_1112；（2） 46 2 _622 4、已知0 111 cba ，
17、求证： 2222 )(cbacba 5、若4 1 x x，计算 1 24 2 xx x 6、下列说法正确的是（） A.正数有一个偶次方根B. 负数没有偶次方根 C.负数有两个奇次方根D. 正数有两个奇次方根 7、若0a，则 3 ax（） A.axxB.axx C.axx D.axx 8、已知5xy，则 y x y x y x=_ 9、化简： x x xx x x xx 26 1 9 6 27 93 23 2 10、设 2 244 22 m mm n，求mn 11、化简： （1）)21 (12aaa； （2）), 1, 0()()( * Nnnbababa n n n n 12、证明： 4 1
18、)2)(1( 1 543 1 432 1 321 1 nnn 2.2 方程与方程组以及不等式方程与方程组以及不等式 2.2.1 韦达定理韦达定理 一、一、 【归纳初中知识】【归纳初中知识】 1、一元二次方程的解法在初中时我们已学习过配方法、公式法、因式分解法等主要解法。 2、对于任意的一元二次方程)0(0 2 acbxax，通过判别式acb4 2 能够判断其 方程解的个数。 二、二、 【衔接高中知识】【衔接高中知识】 我们已经知道)0(0 2 acbxax如果有两个解，则其分别为； a acbb x 2 4 2 1 ， a acbb x 2 4 2 2 则我们可以得到 a c xx a b x
19、x 21 21 上面揭示了二次方程的根与系数cba,之间关系的等式我们叫做韦达定理韦达定理，韦达定理 在未来高中三年的学习中占据着非常重要的地位。 反之， 若 21,x x满足 a c xx a b xx 21 21 ， 则我们可以说 21,x x一定是)0(0 2 acbxax 的两个解，这叫做韦达定理的逆定理做韦达定理的逆定理。 三、三、 【例题精讲】【例题精讲】 例 1：若 21,x x是012 2 xx的两个根，求： （1） 2 2 2 1 xx；（2） 2 2 2 1 11 xx ；（3） 21 xx ；（4） 3 2 3 1 xx 例 2：任意写出一个二次方程，使得它的两个根分别为
20、5和 3 2 . 例 3：已知关于x的方程01 4 1 ) 1( 22 kxkx，根据下列条件，分别求出满足条件的 k值. （1）方程两实根之积为 5；（2）方程两实根满足 21 xx . 例 4： 若 21,x x是方程023242 22 mmmxx的两个根， 当m为何值时， 2 2 2 1 xx有 最小值？请你求出这个最小值 例 5：已知关于x的方程04)2(2 22 mxmx有两个实数根，并且两根平方和比两 根之积大 21，求m的值. 例 6：若关于x的方程0 2 axx有两个根： （1）当其中一个大于 1，另一个小于 1 时，求a的取值范围； （2）当两个根都小于 1 时，求a的取值范
21、围. 例 7：若 21,x x是方程01) 12( 22 kxkx的两实数根，且均大于 1. （1）求实数k的取值范围； （2）若 2 1 2 1 x x ，求k的值 *例 8：已知ba,是一元二次方程01 2 xx的两个实数根，求)2( 22 baa的值. 课后习题课后习题 1、关于x的一元二次方程05 22 aaxax其中一个根是 0，则a=_ 2、关于x的方程07)3(10 2 mxmx： （1）若有一个根为 0，则_m，此时方程另一个根为_ （2）若两根之和为 5 3 ，则_m，此时方程两个根分别为_、_ 3、方程0122 2 xx的两根为 21,x x，则_ 21 xx 4、设 21
22、,x x为方程0 2 qpxx的两根，且1, 1 21 xx为方程0 2 pqxx的两根， 则_,qp *5、已知实数cba,满足ba 6，9 2 abc，则_,_,cba *6、若实数ba,满足1ab且0920195 2 aa，0520199 2 bb，求 a b =_ 7、已知关于x的方程)0(0 2 acbxax两根之比为5:3，求证： 2 1564bac 8、已知方程05)2(2 22 axax有实数根，且两根之积等于两根之和的 2 倍，求a 9、若一元二次方程04) 1( 2 xmx的两个根均满足30 x，求m的取值范围 2.2.2 分式方程与无理方程以及二元方程组分式方程与无理方程
23、以及二元方程组 一、一、 【归纳初中知识】【归纳初中知识】 1、牢记初中阶段所学过解分式方程的关键步骤： 通过找最简公分母去分母； 检验增根 2、初中阶段所学习过最直接去根号的方法：平方法 3、初中阶段学习过二元一次方程的基本解法：消元法 二、二、 【衔接高中知识】【衔接高中知识】 1、学会求解复杂的分式方程； 2、学会求解带根式的无理方程； 3、学会求解二元方程组； 三、三、 【例题精讲】【例题精讲】 例 1、解方程：0 )2( 1 )2( 1 4 2 2 xxxxx 例 2：解方程：11 2 ) 1(3 1 )2(8 2 2 2 2 xx x x xx 例 3：解方程：1263xx 例 4
24、：解方程：1253xx 例 5：解方程：9325332 22 xxxx 例 6：解方程：8219533xxx 例 7：解方程组： 01 1 22 yx yx 和 034 10 22 22 yxyx yx 例 8：解方程组： 0122 021 2 yx yx 例 9：解方程组：)0( )8()2( )3()7( )1 ()5( 222 222 222 r ryx ryx ryx 课后习题课后习题 1、关于x的方程 2 2 1 4 4 2 1 2 xx x x 的解为_ 2、若 )2)(1( 32 21 xx x x B x A ，则 BA_ 3、关于x的方程18 )4( 7272 1 )4( x
25、x x x xx 的解为_ 4、关于x的方程33 xx的解为_ 5、关于x的方程1345xx的解为_ 6、关于x的方程042 22 xxxx的解为_ 7、关于x的方程组： 065 20 22 22 yxyx yx 的解为_ 8、解方程组： 83 3 yxy xxy 2.2.3 不等式不等式 一、一、 【归纳初中知识】【归纳初中知识】 初中阶段我们已经学习过一元一次不等式的解法， 但在高中学习中往往不够用， 我们来 总结一下已经学习过不等式的解法： 解bax 应该分三种情况讨论： 1. 若0a，且0b，不等式无解；若0, 0ba，不等式有无数解 2. 若0a，则解为 a b x 3. 若0a，则
26、解为 a b x 二、二、 【衔接高中知识】【衔接高中知识】 我们在高中阶段主要会接触到三类不等式： 1. 一元二次不等式：其通常求解方法有“因式分解乘积法”、“二次函数图像法”； 2. 分式不等式：其主要求解方法为将分式不等式转化为整式不等式； 3. 简单的高次不等式：常用求解方法为“因式分解乘积法” 规律总结：规律总结：一般地，解不等式先使不等式右边为一般地，解不等式先使不等式右边为_ 一般地，对于一元二次不等式一般地，对于一元二次不等式)0(0 2 cbxax，先化二次项系数为，先化二次项系数为_，然后，然后 找出方程找出方程0 2 cbxax的两根的两根 21,x x，最后根据不等号：
27、小于取，最后根据不等号：小于取_，大于取，大于取_。 三、三、 【例题精讲】【例题精讲】 例 1：因式分解法解不等式：06 2 xx 例 2：因式分解法解不等式：352 2 xx 例 3：图像法解不等式012 2 xx 例 4：已知不等式02 2 bxax的解集为3 2 1 x，求02 2 abxx的解集 例 5：解不等式：（1）0 1 13 x x （2）1 3 12 x x 例 6：解不等式：0)12)(2( 2 xxx 课后习题课后习题 1、不等式026 2 xx的解集为_ 2、不等式032 2 xx的解集为_ 3、 已知不等式0 2 baxx的解集为32 x， 则不等式01 2 bxa
28、x的解为_ 4、不等式1 2 x 的解集为_ 5、不等式0)3)(2)(1(xxx的解集为_ 6、不等式0 4 3 2 2 x x 的解集为_ 7、不等式2 2 1 x x 的解集为_ 8、解不等式0)6)(2( 2 xxx 9、解不等式：0 6 32 2 2 xx xx 第第三三章章学习新知学习新知 3.1 集合集合 3.1.1 集合的基本概念集合的基本概念 在小学和初中，我们已经接触过一些集合。例如，自然数的集合，有理数的集合，不 等式37x的解的集合（常称为解集），到一个定点距离等于定长的点的集合即_， 到一条线段两个端点距离相等的点的集合即_。 我们再来看下面的一些例子： （1）120
29、 以内的所有素数； （2）我国从 20002019 年的 20 年内所发射的所有人造卫星； （3）某汽车厂 2019 年生产的所有汽车； （4）2019 年 1 月 1 日之前与中国建立外交关系的所有国家； （5）所有的正方形； （6）到直线l的距离等于定长d的所有点； （7）方程023 2 xx的所有实数根； （8）某中华 2019 年 9 月入学的所有高一学生； 在例子（1）中，我们把 120 以内的每一个素数作为元素，这些元素的全体就是一个集 合；同样的，例子（2）中，把我国从 20002019 年的 20 年内发射的每一个人造卫星作为元 素，这些元素的全体也构成一个集合。 一般地，我们
30、把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。 3.1.2 集合的基本性质集合的基本性质 给定的集合，它的元素就必须是确定的。比如“中国的直辖市”构成一个集合，这个集合 中的元素有北京、上海、重庆、天津，而成都、杭州、南京等城市则不在这个集合中。 而“成绩较好的同学”不能构成一个集合，因为组成它的元素是不确定的，我们把集合的这个 性质叫做确定性。确定性。 一个集合当中的元素一定不能相同， 也就是说同一个集合中不能出现重复的元素， 我们 把集合的这个性质叫做互异性。互异性。 一个集合当中的元素是没有顺序之分的，比如“全球四大海
31、洋”里的元素是大西洋、北冰 洋、印度洋、太平洋，这四个元素没有顺序之分。我们把集合的这个性质叫做无序性。无序性。 例 1：下列各选项的全体能否构成一个集合（） A.皮肤很好的人；B.百米飞人 C.身体素质棒的学生；D.立等于本身的数 3.1.3 集合的表示方法集合的表示方法 我 们 常 用 小 写 字 母,dcbayx,等 表 示 集 合 中 的 元 素 ， 常 用 大 写 字 母 ,CBAUTS,等表示集合。 如果元素a是集合S中的元素，我们就说a属于S，写作Sa； 如果元素a不是集合S中的元素，我们就说a不属于S，写作Sa； 常用集合的记法： 自然数集：N 整数集：Z 正整数集： * N或
32、 N 有理数集：Q 全体实数：R 例 2：设集合A表示世界联合国常任理事国的集合，则： 中国_A；印度_A；英国_A；法国_A；意大利_A 列举法：列举法： 我们可以把“全球四大洋”组成的集合表示为太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋，把 方程02 2 xx的所有实数根表示2 , 1。像这种把集合的元素一一列举出来并且用花 括号“”括起来的表示方法叫做列举法。 例 3：用列举法表示下列集合 （1）由xx 3 所有实数根组成的集合；（2）由 120 的素数组成的集合 描述法：描述法： 当我们遇到一些无法一一列举出元素的集合时，例如“37x”的解集，它的元素是列 举不完的，此时我们就采用特征描述法记为：
33、,10RxxxA，又比如全体奇数组成 的集合：, 12ZkkxxS，像这样用元素特征表示集合的方法称为描述法：描述法： 值得注意的是值得注意的是，在这里在这里“丨丨”前面的字母前面的字母x是随便取的是随便取的，取取mtzy,等都可以等都可以，只是用字只是用字 母表示数字的一个方式，表示我们集合中的元素都是数字。母表示数字的一个方式，表示我们集合中的元素都是数字。 元素的特征，约束条件元素A 特别地，如果集合中对元素没有约束条件，我们默认为集合中的元素都属于实数R. 例 4：用描述法表示下列集合 （1）方程082 24 xx的根组成的集合； （2）由大于 10 小于 20 的整数构成的集合； 例
34、 5：如果集合1 , 0 , 1A和, 0 2 aB 有两个相同的元素，则实数a的值为_ 例 6：下列选项中，集合TS,表示同一个集合的是（） A.S全体等边三角形，T全体正三角形 B.2 , 1S，)2 , 1(T C.S, 0Nxxx，, 0 NxxxT D.S中国古代四大发明，T造纸术，指南针，印刷术，地动仪 例 7：已知集合,),( ,5 , 4 , 3 , 2 , 1AyxAyAxyxBA，则集合B中元素的个 数为_ 再思考这样一个集合02 2 xxxA，是否存在满足条件的元素x呢？ 我们把不含有任何元素的集合叫做空集，记为空集，记为 例 8：在集合012 2 xkxxA中，分别求出
35、以下情形k的取值或取值范围是？ （1）当 A 中为空集时； （2）A 中仅有一个元素时； （3）A 中有两个元素时。 数轴表示法：数轴表示法： 对于某些集合而言，其元素都是处于一个范围之中，例如3xxA，我们也可以 将其表示在数轴上，这样的方法叫做数轴表示法，常用于后面集合的运算当中。 3 3.1.4 集合间的基本关系集合间的基本关系 观察下面几个例子，寻找它们之间的关系： （1）5 , 4 , 3 , 2 , 1,3 , 2 , 1BA （2）A为新华中学高一（1）班全体女同学组成的集合，B为新华中学高一（1）班全体同 学组成的集合； （3）40,31xxBxxA 可以发现，上述三个例子中，
36、集合A都可以看作被包含在集合B中，因为集合A有的 元素，集合B都有。一般地，如果集合一般地，如果集合A中任意一个元素都是集合中任意一个元素都是集合B中的元素，中的元素，我们常称我们常称 为集合为集合A是集合是集合B的子集，记作的子集，记作BA（或（或AB ） 在数学上，我们经常用封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图，例如上述例子 中的集合A与B的关系可以表示为下图。 一般情况， 我们可认为作为子集的集合范围更_。 BA 我们再看下面两个集合： xAx是两条边相等的三角形，xBx是等腰三角形 很明显，上述两个集合的元素是一样，都代表全体等腰三角形。我们把元素完全一样的 两个集合称为相等集
37、合相等集合，记作BA 例 9：若两个集合满足ABBA且，则BA,的关系为BA_（类比abba ,） 也就是说，当BA时，有可能BA 。特殊地特殊地，当当BA且且BA 时时，我们把我们把A叫叫 做做B的真子集，写作的真子集，写作A B 再思考这样一个集合02 2 xxxA，是否存在满足条件的元素x呢？ 一般地，我们把不含有任何元素的集合称作_，记作，并且它是任意集合的 _。 例 10：分别求出下列集合的子集： （1）aA （2）,baB （3）,cbaC 思考：, 个元素共n tcbaD ，请问D有多少个子集、真子集、非空子集、非空真子集？ 例 11： 若41xxA，121mxmxB， 若AB
38、， 则m的取值范围为？ 例 12：设集合1 xxyyA，1),( 2 xxyyxB，分析两个集合各自的含 义与不同。 3.1.5 集合间的基本运算集合间的基本运算 并集：并集： 考察下列集合： 4 , 3 , 2 , 1,4 , 3,2 , 1CBA RCxxBxxA,1,1 明显地，上述例子中，集合C相当于BA,中所有的元素“加”在一起。 一般地，由集合一般地，由集合BA,中所有元素构成的集合中所有元素构成的集合C叫做叫做A与与B的并集的并集 记作BxAxxBAC或，用Venn图表示如下： 例 13：判断下列式子正确与否： （1）1,1,2,2,301,2,30,1,2， （2）NN * 0
39、； （3）RQR； （4）若1,1xyxBxyyA，则有1 2 xzzBA 例 14：若31,21xxBxxA，求BA 交集：交集： 考察下列集合： 4 , 3,5 , 4 , 3 , 0,4 , 3 , 2 , 1CBA 11,1,1xxCxxBxxA 明显地， 上述例子中， 集合C是BA,的公共部分，C当中的元素既属于A又属于B。 一般地，由属于集合一般地，由属于集合A且属于集合且属于集合B的所有元素组成的集合的所有元素组成的集合C叫做叫做A与与B的交集的交集 记作BxAxxBAC且，你能用Venn图表示这种关系吗？ 例 15：若6 , 4 , 2 , 0,5 , 4 , 3 , 2 ,
40、1,3 , 2 , 1 , 0CBA，求)(CBA 例 16：若06 2 xxxA，02 2 xxxB，求BA 例 17：设01) 1(2,04 222 axaxxBxxxA. （1）若BBA，求a的值 （2）若BBA，求a的取值范围； 补集：补集： 一般地一般地，如果有两个集合如果有两个集合UA,满足满足UA ，则我们把属于则我们把属于U但不属于但不属于A的部分称作的部分称作 A在在U内的补集内的补集，记作记作AxUxxACU但，并且我们常常把范围更大的集合并且我们常常把范围更大的集合U称为称为 全集。全集。你能用Venn图表示这种关系吗？ 例 18：已知全集RU ，1xxA，求ACU 例
41、19：求NCZ 例 20：已知0 1 1 x x xA，0 23 2 2 xx x xB，求ACB 例 21：已知某班有 54 名学生，其中会打篮球的有 36 人，会打排球的有 40 人，两种球都不会打 的人数比两种球都会打的人数的 4 1 还少 1，问两种球都会打的有多少人？ 例 22：如图，其中U代表全集，BA,为U的两个子集。 （1）在图上用阴影部分表示下列式子 )()(BCAC UU ；)()(BCAC UU （2）判断集合间关系： )(_)()(BACBCAC UUU ；)(_)()(BACBCAC UUU 课后习题课后习题 1、下列所给关系正确的有：（） R；Z 2 1 ；N1；Q
42、3 A.0B.1C.2D.3 2、下列表示 M、N 为同一集合的是：（） A. M=顶角为 60的等腰三角形，N=等边三角形 B. M, 31Zxxx，N3 , 2 , 1 C. M= 3 xxx，N=1 , 1 D. M=012 2 xxx，N=012 2 xxx 3、设集合32xxM，3a，则下列说法正确的是：() A.MaB.MaC.Ma D.Ma 4、设全集ZU ，集合, 12,2ZkkyyBZkkxxA，则下列关系式正 确的个数为（） BABCAC UU BACUABCU A. 1B. 2C. 3D. 4 5、集合, 21ZyyyA的非空真子集个数为：（） A.6B.7C.8D.无法
43、确定 6、定义集合运算：A*Bz|zxy，xA，yB，设 A1,2，B0,2，则集合 A*B 的 所有元素之和为() A0B2C3D6 7、若23axxA，3xxB，且AB ，则a的取值范围为：（） A.5aB.5aC.11aD.11a 8、若,8,4,2ZkkzzCZkkyyBZkkxxA，则 A,B,C 的关系 为（） A.CBAB.ACBC.ABCD.无法确定 9、已知集合 2 |10 ,Ax xmxAR 若，则实数m的取值范围是（） A4mB4mC40 mD40 m 10、已知集合086 2 xxxA，032 2 xxxB，则BACR)(=（） A.21xxB.31xxC.32 xxD
44、.42 xx 12、已知集合 AxR|ax22x10，其中 aR.若 1 是集合 A 中的一个元素，则a为 _，集合 A 中的另一个元素为_. 13、已知 22 |2004 (2)400 x xaxa，则a 14 、 若 集合05,015 22 qxxxBpxxxA， 且5 , 3 , 2BA， 则 _qp 15、设,3 2 txyyBxxA，且BA，则t的取值范围是_ 16、已知集合01 2 kxxxA，0432 2 kkxxxB. （1）若 A、B 中均有两个元素，求k的取值范围。 （2）若BA共有三个元素，求k的值。 17、设集合02,0 1 5 2 mxxxB x x xA （1）当3
45、m时，求)(BCA R ； （2）若41xxBA，求m的值 18、25xxA，212mxmxB （1）是否存在实数m，使得AB ，若存在，求出m的范围，若不存在，请说明理由； （2）是否存在实数m，使得BA，若存在，求出m的范围，若不存在，请说明理由； （3）是否存在实数m，使得BA，若存在，求出m的范围，若不存在，请说明理由； 19、某年级进行数理化三科竞赛，参加数学的有 203 人，参加物理的 179 人，参加化学的 165 人，参加数学和物理的 143 人，参加数学和化学的 116 人，参加物理和化学的 97 人，三科窦参 加的有 89 人。求本次共有多少名学生参加了竞赛。 *20、已知
46、集合| 2Axxa ,|23,By yxxA, 2 |,Cz zxxA, 且CB,求a的取值范围。 3.2 常用逻辑用语常用逻辑用语 3.2.1 充分条件、必要条件、充要条件充分条件、必要条件、充要条件 在初中时，我们对命题已经有了初步的认识，一般地，我们把用语言、符号或式子表达 的，可以判断真假的陈述句叫做命题。判断结果为真的叫做真命题，判断结果为假的叫做假 命题。并且我们知道，很多命题都可以写作“若p，则q”的形式，其中p表示命题的条件， q表示命题的结论。 接下来我们要学习数学中常用的三个逻辑用语充分条件、 必要条件、 充要条件。 判断下列命题的真假： （1）如果平行四边形的对角线互相垂
47、直，则这个平行四边形是菱形； （2）若两个三角形周长相等，则这两个三角形全等； （3）若034 2 xx，则1x； （4）若平面内两条直线ba,均垂直于另一条直线l，则ba/. 显然，在命题（1）和（4）中，通过数学知识可以由条件p推出结论q，所以他们是 真命题，（3）（4）反之。 一般地，如果条件一般地，如果条件p可以推出结论可以推出结论q，我们记作，我们记作qp ，并且说，并且说p是是q的充分条件的充分条件， q是是p的必要条件。的必要条件。 例 1：下列“若p，则q”形式的命题中，哪些p是q的充分条件？ （1）若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形； （2）若两个三角形的三
48、边对应成比例，则这两个三角形相似； （3）若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形； （4）若ba ，则bcac ； （5）若x是有理数，a为无理数，则ax为无理数。 我们已经知道，如果qp ，则p是q的充分条件，q是p的必要条件。 反之，如果我们有pq ，则q是p的充分条件，p是q的必要条件。 所以所以，如果如果p能推到能推到q，q也能推到也能推到p，记为记为qp ，则我们知道则我们知道p既是既是q的充分条的充分条 件，也是件，也是q的必要条件，此时我们就说的必要条件，此时我们就说p是是q的充要条件的充要条件，显然，也可以说，显然，也可以说q是是p的充要的充要 条件条件。上述（1）（5）
49、，哪些表示前者与后者是充要条件的关系？ 例 2：下列“若p，则q”形式的命题中，哪些p是q的充要条件？ （1）:p四边形是正方形，:q四边形的对角线互相垂直且平分； （2）:p两个三角形相似，:q两个三角形两边成比例； （3）:p0 xy，:q0, 0yx； （4）:p1x是一元二次方程0 2 cbxax的一个根，:q)0(0acba 例 3：设,aR则“1a ”是“ 2 1a ”的() A,充分不必要条件B,必要不充分条件C,充要条件D,既不充分也不必要条件 例 4：设 p：实数, x y满足1x 且1y ，q：实数, x y满足2xy，则 p 是 q 的() A,充分不必要条件B,必要不充
50、分条件C,充要条件D,既不充分也不必要条件 例 5：设0,xyR则“xy”是“xy”的() A,充分不必要条件B,必要不充分条件C,充要条件D,既不充分也不必要条件 例 6：你能给出“四边形是平行四边形”的充要条件吗？ 例 7：判断下列各题中，p是q的什么条件 （1）BPap:，Paq: （2）21:xp， 2 1 0: xq （3）Ap:B，BAq:（BA,均为非空集合） 3.2.2 全称量词与存在量词全称量词与存在量词 我们知道，命题是可以判断真假的陈述句。在数学中，有时候会遇到含有变量的陈述 句，由于变量的不确定而无法判断真假，因此它们不是命题。但如果在原有语句上加上一些 短语词汇，使得
