1、上饶市上饶市 20212021 届第二次高考模拟考试届第二次高考模拟考试 数学（理科）试题卷数学（理科）试题卷 命题人：命题人： 注意事项：注意事项： 1 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分答题前，考生务必将自己的 姓名、准考证号填写在答题卡上 2 回答第卷时，选出每个小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑， 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效 3 回答第卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效 4 本试卷共 22 题，总分 150 分，考试时间 120 分钟 第第卷（选择题）卷（选择题） 一一、选择题选择题：本大题共本大题共 12
2、 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 60 分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的 1. 已知集合4 , 3 , 2 , 1A，集合3|xxB，AB=（） A. 21，B.321 ，C.21，D.31， 2复数 z 满足(12 )zii(i 为虚数单位)，则复数 z 在复平面内对应的点位于（） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 3. 等比数列 n a中，644 623 aaa则 5 a（） A. 22 B.8C.16D.32 4大摆锤是一种大型游乐设备(如图)，游客坐在圆形的座舱中，面向外，通常大摆锤
3、以压肩作为 安全束缚，配以安全带作为二次保险，座舱旋转的同时，悬挂座舱的主轴在电机的驱动下做单摆 运动.假设小明坐在点A处，“大摆锤”启动后，主轴OB在平面内绕点O左右摆动，平面与 水平地面垂直，OB摆动的过程中， 点A在平面内绕点B作圆周运动， 并且始终保持OB， B.设ABOB3，在“大摆锤”启动后，下列结论错误的是（） A与水平地面所成锐角记为，直线OB与水平地面所成角记为，则 为定值； B点A在某个定球面上运动； C可能在某个时刻，AB； D直线OA与平面所成角的余弦值的最大值为 10 10 . 5. 变量x，y满足约束条件 4 2 4 xy yx x ，则 x y z 的最大值（）
4、A 2 3 B2C3D5 座位号 6. 函数 xxf xx ln22 的部分图象大致是（） ABCD 7. 若函数)3sin()(xxf是偶函数， 其中(0,) 2 ， 则函数)2sin()(xxg的图象 （） A关于点)0 , 3 ( 对称B可由函数xy2sin的图象向左平移 6 个单位得到 C关于直线 12 5 x对称D可由函数xy2sin的图象向左平移 12 个单位得到 8. 如图，在圆心角为直角的扇形OAH中，分别以OA，OH为直径作两个半圆， 在扇形OAH内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（） A 1 B 1 2 C 2 1D 2 2 1 9.函数)0( ,sin2)(xxxx
5、f的所有极大值点从小到大排成数列 n a，设 n S是数列 n a 的前n项和，则 2021 cos S（） A1 1B 2 1 C 2 1 D. 0 0 10.如图，AB是圆O的一条直径且2AB，EF是圆O的一条弦， 且1EF，点P在线段EF上，则PA PB 的最小值是（） A 2 1 B 4 1 C 2 1 D 4 3 11双曲线E： 22 22 10,0 xy ab ab 的右焦点为 2 F，A和B为双曲线上关于原点对称的两 点，且A在第一象限.连结 2 AF并延长交双曲线与点P，连结 2 BF、BP，若PBF2是等边三角 形，则双曲线E的离心率为（） A 2 10 B 10 C 19
6、D 2 19 12.对任意0 x， 不等式)71828. 2(2ln 3 eexa x e ax x ， 则正实数a的取值范围是 （） A. 3 0e，B. 2 0 3 e ，C. 3 , 2 e e D. 2 , 2 3 e e 第第卷（非选择题）卷（非选择题） 本卷包括必考题和选考题两个部分。第 13 题-第 21 题为必考题，每个考生都必须作 答。第 22 题-第 23题为选考题，考生根据要求作答。 二二填空题：本大题共四小题，每小题填空题：本大题共四小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分. . 请把答案填在答题卡上请把答案填在答题卡上 13曲线 x exxf1在点1 , 0
7、处的切线方程为. 14. 若 7 7 2 210 7 12xaxaxaax，则 7321 aaaa=（用数字作答） 15. 过抛物线xy2 2 的焦点作两条相互垂直的弦AB，CD，且ABCDAB CD， 则 实数的值为 16点M为正方体 1111 ABCDABC D的内切球O球面上的动点，点N为 11 BC上一点，且 11 2,NBNC DMBN，若球O的体积为36，则动点M的轨迹的长度为 二、二、解答题：本大题共解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17. （本小题满分（本小题满分 12 分分）请在 1
8、9b ，2c，CAsin5sin2这三个条件中任选两个， 将下面问题补充完整，并作答. 问题： 在ABC 中， a， b， c 分别是角 A， B， C 的对边， 且bCBaCAb 2 1 sinsincoscos ，计算ABC 的面积. （注：只需选择其中的一种情况作答即可，如果选择多种情况作答，以第一种情况的解答计分.） 18. （本小题满分（本小题满分 12 分）分）某市小型机动车驾照“科二” 考试中共有5项考查项目，分别记作、 . （1）某教练将所带 6 名学员的“科二”模拟考试成绩 进行统计（如右表所示），从恰有2项成绩不合格的学 员中任意抽出2人进行补测（只测不合格的项目），求 补
9、测项目种类不超过3项的概率. （2） “科二”考试中，学员需缴纳150元的报名费， 并进行第一轮测试（按、 、 、 的顺序进行） ， 如果某项目不合格，可免费再进行1轮补测；若第一轮 补测中仍有不合格的项目，可选择“是否补考”；若选 择补考，则需另外缴纳300元补考费，并获得最多2轮 补测机会，否则考试结束。（注：每1轮补测都按，的顺序全部重考，学员在任 何1轮测试或补测中5个项目均合格，方可通过“科二”考试）。每人最多只能补考1次。学员甲 每轮测试或补测通过、各项测试的概率依次为1、1、1、 6 5 、 5 4 ，且他遇到“是 否补考”的决断时会选择补考。 求：（1）学员甲能通过“科二”考试
10、的概率； （2）学员甲缴纳的考试费用X的数学期望. 科目 学员 （1） （2） （3） （4） （5） （6） 注“”表示合格，空白表示不合格 19. （本小题满分（本小题满分 12 分）分）已知正ABC 的边长为 3，点 D、E 分别是 AB、AC 上的三等分点（点 D 靠近点 B，点 E 靠近点 A）（如图 1），将ADE 沿 DE 折起到A1DE 的位置，使二面角 A1 DEB 的平面角为 90，连接 A1B，A1C（如图 2） （1）求证：A1E平面 BCED； （2） 在线段 BC 上是否存在点 P， 使得直线 PA1与平面 A1EC 所成的角为 60?若存在，求出 CP 的长；若不
11、存在，请 说明理由 20. （本小题满分（本小题满分 12 分）分）如图，在平面直角坐标系xoy中，AB 为半圆 ADB 的直径，O 为圆心， 且0 , 4A，0 , 4B，G为线段 OD 的中点；曲线 C 过点G，动点 P 在曲线 C 上运动且保持 PBPA 的值不变. （1）求曲线 C 的方程； （2）过点 B 的直线l与曲线 C 交于 M、N 两点，与 OD 所在直线交 于 E 点， 1212 ,:EMMB ENNB 求证为定值. 21. （本小题满分（本小题满分 12 分）分）已知函数 xxxxfsin42ln，证明： （1） f x在区间0,存在唯一极大值点； （2） f x有且仅有
12、 2 个零点. 选考部分选考部分 请考生在第请考生在第 2222、2323 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分做答时，用题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分做答时，用 2 2B B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑 22. （本小题满分（本小题满分 10 分）分）选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy中， 曲线 1 C的参数方程为为参数t t t y t x 2 2 1 2 1 2 ， 以原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线 2 C的极坐标方程为sin32，直线l的极坐标方程为0，R. （1）求
13、曲线 1 C的极坐标方程； （2）直线l与曲线 1 C交于点A，与曲线 2 C交于BO，两点，求AB的最大值. 23.（本小题满分（本小题满分 10 分）分）选修 4-5：不等式选讲 设函数 axxxxf2112，aR. （1）若 2 1 a，求不等式( )0f x 的解集； （2）若函数 ( )f x恰有三个零点，求实数a的取值范围. 上饶市上饶市 20212021 届第二次高考模拟考试届第二次高考模拟考试 数学（理科）答案 一、一、选择题选择题 4. 提示：因为点A在平面内绕点B作圆周运动，并且始终保持OB，所以 22 OAOBAB ， 又因为OB，AB为定值，所以OA也是定值，所以点A在
14、某个定球面上运动，故 A 正确； 作出简图如下，所以 2 ，故 B 正确； 易知 C 正确； 当 AB 在平面内时，直线OA与平面所成角最小，等于 0，所以直线OA与平面 所成 角的余弦值的最大值为 1，故 D 不正确. 10. 提示： . 4 1 2 3 1 min 222 的最小值为，所以中点时，为当PBPAPOEFP POOAPOOAPOOAPOOBPOOAPOPBPA 11. 解：如图所示，根据题意可设 221 BFPFnAF，则 2 2AFna， 1 2PFna 123456789101112 ADCDDCDDBBDA 60cos2 60 1 22 1 2 11 221 21 APA
15、FAPAFPFAPF PBFAFF BFAF 中，由在 且 为平行四边形易知四边形 anannannan560cos222222 2 2 2 解得 2 19 19460cos3529254 60cos2 22222 21 2 2 2 1 2 2121 e acaaaac AFAFAFAFFFAFF 即得 中，由在 33 33 12.ln2ln20 lnln20ln20 xx xxx x ee axaxeaxaxe xx eee axaeeae xxx 提示： .00 .0 02ln, 0,ln0,2ln , 02ln ,2 .00,2, 02 001 1 0,2ln 33 33 33333 3
16、 3 min 33 min min 3 eaeaeea eaeegagag eeeeegeagy agaagageaeaaaag eaaaaftf aaetfyea eaeaeeaeaeeftf ettfytfea et t at t a tf tfetetattf x e t x ，即或综上可知 ，所以，所以而 上递减，又在 显然即可，而故设 故 上递增，上递减，在在时，当 ，所以又故 是增函数恒成立，时，当 又 即可则，设令 , 二二填空题填空题 13. 012 yx 14.215. 2 1 16. 5 156 15.提示： 2 1 2 1 2 cos 2 sin11 cos 2 2 si
17、n 2 , sin 2 22 22 2 2 2 pppCDAB pp CD p AB CDAB 则 或的倾斜角为，则直线的倾斜角为设直线 16.解：如图，在 1 BB取点P,使 1 2BPPB,连接 ,CP DP BN 因为 11 2NCNB,所以DCBN,则BN 平面DCP, 则点M的轨迹为平面DCP与球O的截面圆周， 设正方体的棱长为a，则36 23 4 3 a ，解得6a，连 接,OD OP OC, 由 O DPCC DPO VV ,求得O到平面DCP的距离为 5 103 ， 所以截面圆的半径 5 153 5 103 3 2 2 r ， 则点M的轨迹长度为 5 156 5 153 2 ，
18、故答案为 5 156 . 三三解答题：解答题： 17.解：bCBaCAb 2 1 sinsincoscos, BCBACABsin 2 1 sinsinsincoscossin, 1 分 因为sin0B .所以 2 1 sinsincoscosCACA，即 2 1 )cos(CA，3 分 因为BCA，所以 2 1 cos)cos(BCA，即 2 1 cosB， 因为0B.所以 3 B. 6 分 （1）若选19b，2c， , 0152,cos2 2222 aaBaccab8 分 即舍）或(35aa，10 分 所以ABC的面积 2 35 2 3 25 2 1 sin 2 1 BacS .12 分
19、（2）若选2c，CAsin5sin2 由CAsin5sin2,得ca52 又5, 2ac9 分 所以ABC的面积 2 35 2 3 25 2 1 sin 2 1 BacS .12 分 （3）若选19b，CAsin5sin2 由CAsin5sin2,得ca52 ， 8 分 , 4,cos2 2222 cBaccab 即2c，5 2 5 ca10 分 所以ABC的面积 2 35 2 3 25 2 1 sin 2 1 BacS . 12 分 18. 解：（1）根据题意，学员 1，2，4，6 恰有两项不合格， 从中任意抽出2人，所有可能的情况如下： 项目 学员 补测编号项数 （1） （2）3 （1）
20、（4）4 （1） （6）3 （2） （4）3 （2） （6）4 （4） （6）3 由表可知，全部 6 种可能的情况中，有 4 种情况补测项目种类不超过3， 故所求概率为 3 2 6 4 ；4 分 （2）由题意可知，学员甲在每1轮测试(或补测)中通过的概率为： 3 2 5 4 6 5 111p 由题意，若学员甲没通过“科二”考试， 当且仅当其第 1 轮考试与3次补测均未能完成5项测试，相应概率为 81 1 3 1 4 ， 故学员甲能通过“科二”考试的概率为 81 80 81 1 1，8 分 根据题意，当且仅当该学员通过第一轮考试，或未通过第一次考试但通过第1轮补测时 150X ， 9 8 3 2
21、 3 2 1 3 2 150 XP， 其他情况时均有450X ， 9 1 1501450XPXP10 分 故X的分布列为： X150450 P 9 8 9 1 故 元 3 550 9 1 450 9 8 150XE12分 19. 解：（1）正ABC 的边长为 3，且1 3 1 , 2 3 2 ACAEABAD， ADE 中，DAE60，由余弦定理，得 DE， AE2+DE24AD2，DEAE3 分 折叠后，仍有 A1EDE 二面角 A1DEB 成直二面角，平面 A1DE平面 BCDE， 又平面 A1DE平面 BCDEDE，A1E平面 A1DE，A1EDE， A1E平面 BCED；6 分 （2）
22、 假设在线段 BC 上存在点 P， 使直线 PA1与平面 A1EC 所成的角为 60 如图，建立空间直角坐标系xyzE . 作HyxPH轴与点轴，交/，设aCP2 则aaxP360sin2 ，aayP 260cos22， 故0,2,3aaP，又1 ,0,0 1 A8 分 1,2,3 1 aaPA ，又平面 A1EC 的法向量0,0, 1n 123 3 2 3 60sin 2 2 1 1 aa a PAn PAn 得由 10 分 2 5 2 a整理得 所以存在这样的点 P，且 2 5 CP.12 分 20. （1） 因为动点 P 在曲线 C 上运动且保持PBPA 的值不变，且点 G 在曲线 C
23、上， 8545252ABGBGAPBPA P的轨迹是以 A、B 为焦点的椭圆，3 分 且4,52ca，4 222 cab 所以曲线 C 的方程为 1 420 22 yx 5 分 （2）设 0 0yE ， 11 yxM， 22 yxN，04，B MBEM 1 由 得 111011 ,4,yxyyx， 1 0 1 1 1 1 1 , 1 4 y yx 7 分 由于点 M 在椭圆上，故20 1 5 1 4 2 1 0 2 1 1 y 整理得0520404 2 01 2 1 y NBEN 2 由 同理可得0520404 2 02 2 2 y10 分 21 ，是方程0520404 2 0 2 yxx的两
24、个根 10 21 12 分 .解：（1）xexf x sin2)(，定义域为R. ) 4 sin(22)cos(sin2)( xexxexf xx .1 分 由0)( x f，解得0) 4 sin( x，可得)(2 4 2kZkkx 解得 4 3 2 4 2 kxkkZ.2 分 由 0fx ，解得sin0 4 x ，可得222 () 4 kxkkZ 解得 37 22 44 kxk kZ.3 分 f x的单调递增区间为 kk2 4 3 ,2 4 kZ，单调递减区间为 37 2,2 44 kk kZ.4 分 （2）由已知axxexg x sin2)(，axxexg x )cos(sin2)(，令
25、h xgx ，则 xexh x cos4)(.0,x，当0, 2 x 时， 0h x ；当, 2 x 时， 0h x ， h x在0, 2 上单调递增， 在, 2 上单调递减， 即 gx 在0, 2 上单调递增， 在, 2 上单调递减.02)(, 02) 2 (,2)0( 2 aegaegag 6 分 当02a时，即20 a时， 00 g ， 0 , 2 x ，使得 0 0gx，当 0 0,xx时， 0gx； 当 0, xx时， 0gx， g x在 0 0,x上单调递增， 0, x 上单调递减. 00g， 0 0g x.又 0ga ，由零点存在性定理可得， 此时 g x在0,上仅有一个零点.8
26、 分 若62 a时，02)0( ag ，又 gx 在0, 2 上单调递增，在, 2 上单调递 减，而02) 2 ( 2 aeg ， 1 0, 2 x ， 2 , 2 x ，使得 1 0gx， 2 0gx， 且当 1 0,xx、 2, xx时， 0gx；当 12 ,xx x时， 0gx. g x在 1 0,x和 2, x上单调递减，在 12 ,x x上单调递增. 00g， 1 0g x 032 2 2) 2 ( 22 eaeg.， 2 0g x. 又 0ga ，由零点存在性定理可得， g x在 12 ,x x和 2, x内各有一个零点， 即此时 g x在0,上有两个零点.11 分 综上所述，当2
27、0 a时， g x在0,上仅有一个零点；当62 a时， g x在0,上 有两个零点.12 分 22.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 解：（1）曲线002 22 1 xxyxC的直角坐标方程为，3 分 曲线0cos2 1 的极坐标方程为C5 分 （没注明0扣 1 分） （2） 由 0 ,: 0cos2: 1 Rl C 得cos2 A .6 分 由 0 ,: sin32: 2 Rl C 得sin32 B 7 分 6 sin4cossin32 AB AB 又0，当 3 2 时，4 max AB10 分 23.（1）若 2 1 a，不等式 ( )0f x 即0112xxx， 则
28、 0112 1 xxx x 或 0112 2 1 1 xxx x 或 0112 2 1 xxx x ， 解得1x 或10 x 或 1x， 故原不等式的解集为 , 10 ,；5 分 （2）由 02112axxxxf，得axxx2112， 设 21 1 ( )21131 2 1 2 2 xx g xxxxx xx ， ， ， ， axxh2， 在平面直角坐标系中做出( )g x的大致图像，如图所示， 结合图像分析， 可知当123a， 即 2 3 2 1 a时，( )g x、( )h x的图像有三个不同的交点， 故函数 ( )f x恰有三个零点时，实数a的取值范围是 2 3 , 2 1 .10 分
