1、2021 年广西桂林市年广西桂林市、崇左市高考数学联考试卷崇左市高考数学联考试卷（文科文科）（二模二模） 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题）小题）. 1已知集合 A1，0，1，2，Bx|x2x，则 AB（） A0B1C0，1D0，1，2 2复数 z的模为（） A1BCD2 3已知 f（x），则 f（f（3）（） A1B1C2D2 4若 sin+cos，则 sin2（） A1B1CD 5已知中心在坐标原点的椭圆 C 的右焦点为 F（2，0），且其离心率为，则 C 的方程 为（） AB CD 6已知数列an为等差数列，Sn是其前 n 项和，且 a3+a5+a790，则 S9（） A200B
2、270C250D150 7函数 f（x）exax 在 x0 处的切线与直线 axy10 平行，则实数 a（） A1B1CD 8聊斋志异中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术得诀自诩无所阻， 额上坟起终不悟”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”： 2，3，4，5 则按照以上规律，若 8具有“穿墙术”，则 n（） A7B35C48D63 9若圆 C：（x2）2+（y1）24 恰好被直线 l：ax+by1（a0，b0）平分，则+ 的最小值为（） A8B6C8D6 10函数的图象大致为（） AB CD 11已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 a12，an+1Sn，若 an（0，
3、2020），则称项 an为 “和谐项”，则数列an的所有“和谐项”的平方和为（） ABCD 12已知 F1，F2为双曲线 E：1（a0，b0）的左、右焦点，点 A 为双曲线 E 右 支 上 一 点 ， G 为 AF1F2的 内 心 ， 若 G 到 y 轴 的 距 离 为 2b ， 且 ，则（） ABCD 二、填空题（共二、填空题（共 4 小题）小题）. 13已知向量 （2，3）， （m4，m+1），若 0，则 m 14设变量 x，y 满足约束条件，则 z2x+y 的最大值为 15已知函数 f（x）22sin（x+）（0，0）为奇函数，且曲线 yf （x）相邻两对称轴之间的距离为，则 f（） 1
4、6已知函数 f（x）x（2lnxa）+1 有两个不同的零点，则实数 a 的取值范围是 三三、解答题解答题：解答应写出文字说明解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤。第第 17-21 题为必考题题为必考题，每个试题每个试题 考生都必须作答。第考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分分 17已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 （1）求角 A 的大小； （2）若 a2，且 SABC2，求ABC 的周长 18已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 2，E，F，
5、G 分别为 AB，BC，CC1的中点 （1）证明：A1C1平面 EFG； （2）求三棱锥 A1EFG 的体积 19为了更好地刺激经济复苏，增加就业岗位，多地政府出台支持“地摊经济”的举措某 市城管委对所在城市约 6000 个流动商贩进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、 玩具、饰品、果蔬等，各类商贩所占比例如图 （1）该市城管委为了更好地服务百姓，打算从流动商贩中随机抽取 100 家进行政策问 询如果按照分层抽样的方式抽取，请问果蔬类、小吃类商贩各抽取多少家？ （2）为了更好的了解商贩的收入情况，工作人员对某果蔬商贩最近 50 天的日收入进行 了统计（单位：元），所得频率分布直方图如图所示
6、： （）请根据频率分布直方图估计该果蔬商贩的日平均收入（同一组中的数据用该组区 间的中间值代替）； （）若从该果蔬商贩这 50 天中日收入不低于 250 元的天数中随机抽取 2 天，求这 2 天 的日收入至少有一天不低于 300 元的概率 20已知函数 f（x）+a（x1） （1）若 a0，求 f（x）的单调区间； （2）若 g（x）xf（x），且对任意的 x1，+）有 g（x）0，求 a 的取值范围 21已知抛物线 E：y24x 的焦点为 F，准线为 l，O 为坐标原点，过 F 的直线 m 与抛物线 E 交于 A、B 两点，过 F 且与直线 m 垂直的直线 n 与准线 l 交于点 M （1）
7、若直线 m 的斜率为，求的值； （2）设 AB 的中点为 N，若 O、M、N、F 四点共圆，求直线 m 的方程 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分。请考生在第分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的题中任选一题作答，如果多做，则按所做的 第一题计分。第一题计分。选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线 M 的极坐标方程为2cos， 若极坐标系内异于 O 的三点 A （1， ） ， B （2， +） ， C（3，）（1，2，30）都在曲线 M 上 （1
8、）求证：2+3； （2）若过 B，C 两点直线的参数方程为（t 为参数），求四边形 OBAC 的面 积 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知实数 a，b，c，满足 a+b+c1 （1）若 a，bR+，c0，求证：（a+）2+（b+）2； （2）设 abc，a2+b2+c21，求证：a+b1 参考答案参考答案 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题）小题）. 1已知集合 A1，0，1，2，Bx|x2x，则 AB（） A0B1C0，1D0，1，2 解：集合 A1，0，1，2， Bx|x2x0，1， AB0，1 故选：C 2复数 z的模为（） A1BCD2 解：z1+i， 故|z|，
9、 故选：B 3已知 f（x），则 f（f（3）（） A1B1C2D2 解：根据题意，f（x）， 则 f（3）log242， f（f（3）f（2）231， 故选：B 4若 sin+cos，则 sin2（） A1B1CD 解：sin+cos，平方可得 1+2sincos1+sin22， 则 sin21， 故选：A 5已知中心在坐标原点的椭圆 C 的右焦点为 F（2，0），且其离心率为，则 C 的方程 为（） AB CD 解：中心在坐标原点的椭圆 C 的右焦点为 F（2，0），且其离心率为， 所以 c2，a4，所以 b， 所以椭圆方程为： 故选：A 6已知数列an为等差数列，Sn是其前 n 项和，且
10、 a3+a5+a790，则 S9（） A200B270C250D150 解：因为等差数列an中，a3+a5+a73a590， 所以 a530，则 S99a5270 故选：B 7函数 f（x）exax 在 x0 处的切线与直线 axy10 平行，则实数 a（） A1B1CD 解：函数 f（x）exax 的导数为 f（x）exa， 可得在 x0 处的切线的斜率为 1a， 由切线与直线 axy10 平行，可得 1aa， 解得 a， 故选：C 8聊斋志异中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术得诀自诩无所阻， 额上坟起终不悟”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”： 2，3，4，5 则
11、按照以上规律，若 8具有“穿墙术”，则 n（） A7B35C48D63 【解答】解 22，33，4 4，55 则按照以上规律 8，可得 n82163， 故选：D 9若圆 C：（x2）2+（y1）24 恰好被直线 l：ax+by1（a0，b0）平分，则+ 的最小值为（） A8B6C8D6 解：因为直线 l：ax+by1 平分圆 C：（x2）2+（y1）24， 所以圆心 C（2，1）在直线 l 上，则有 2a+b1， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以则的最小值为 8 故选：C 10函数的图象大致为（） AB CD 解：根据题意，则 f（x）sin（x）ln（+x） sinxln（x）f（x），
12、 即函数 f（x）为偶函数，排除 A、B， sinxln（），在区间（0，）上，sinx0，ln （）0，则 f（x）0，排除 D； 故选：C 11已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 a12，an+1Sn，若 an（0，2020），则称项 an为 “和谐项”，则数列an的所有“和谐项”的平方和为（） ABCD 解：因为 an+1Sn，所以 anSn1（n2），则 an+1anSnSn1，即 an+1anan， an+12an， 所以，因为 a12，所以 a2S1a12， 故， 因为 an（0，2020），所以 1n11， 于是数列an 的所有“和谐项“的平方和为： ， 故选：A 12已知
13、F1，F2为双曲线 E：1（a0，b0）的左、右焦点，点 A 为双曲线 E 右 支 上 一 点 ， G 为 AF1F2的 内 心 ， 若 G 到 y 轴 的 距 离 为 2b ， 且 ，则（） ABCD 解：设AF1F2的内切圆的半径 r， 由， 可得r|AF1|r|AF2|+r|F2F1|， 即为|AF1|AF2|+|F2F1|， 即为|AF1|AF2|F2F1|， 由点 P 为双曲线右支上一点， 由定义可得 2a2c， 即 ac， 由 e， 若 G 到 y 轴的距离为 2b， 可得 a2b， 即 e，则， 故选：B 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5
14、 分分. 13已知向量 （2，3）， （m4，m+1），若 0，则 m1 解：向量 （2，3）， （m4，m+1）， 0， 可得 2（m4）+3（m+1）0，解得 m1 故答案为：1 14设变量 x，y 满足约束条件，则 z2x+y 的最大值为11 解：由约束条件作出可行域如图， 联立，解得 A（3，5）， 由 z2x+y，得 y2x+z，由图可知，当直线 y2x+z 过 A 时， 直线在 y 轴上的截距最大，z 有最大值为 23+511 故答案为：11 15已知函数 f（x）22sin（x+）（0，0）为奇函数，且曲线 yf （x）相邻两对称轴之间的距离为，则 f（）11 【解答】由函数 f
15、（x）22sin（x+）为奇函数，所以 f（0）22sin（） 0， 即 sin（）0，所以k，kZ， 解得k+，kZ， 又 0，所以， 又曲线 yf（x）相邻两对称轴之间的距离为，所以， 解得 T，所以2， 所以 f（x）22sin2x， 所以 f（）22sin（2）22sin11 故答案为：11 16已知函数 f（x）x（2lnxa）+1 有两个不同的零点，则实数 a 的取值范围是（2 2ln2，+） 解：函数 f（x）x（2lnxa）+1， 即为 ya 与 g（x）2lnx+有两个不同的交点， g（x）， 0时，g（x）0，函数 g（x）递减， x时，g（x）0，函数 g（x）递增， g
16、（x）ming（）2ln+222ln2， ya 与 g（x）2lnx+有两个不同的交点时，需 a22ln2， 故答案为：（22ln2，+） 三三、解答题解答题：解答应写出文字说明解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤。第第 17-21 题为必考题题为必考题，每个试题每个试题 考生都必须作答。第考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分分 17已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 （1）求角 A 的大小； （2）若 a2，且 SABC2，求ABC 的周长 解：（1
17、）由， 利用正弦定理可得：（a+c）（ca）b（cb）， 化为：c2+b2a2bc， cosA， A（0，）， A （2）a2，且 SABC2， c2+b2bc，bcsin2， 化为：（b+c）23bc+1238+1236， 解得 b+c6， ABC 的周长b+c+a6+2 18已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 2，E，F，G 分别为 AB，BC，CC1的中点 （1）证明：A1C1平面 EFG； （2）求三棱锥 A1EFG 的体积 【解答】（1）证明：由正方体的性质可知 A1C1AC， 因为 E，F 分别为 AB，BC 的中点，所以 ACEF， 所以 A1C1EF，A1C1平面 E
18、FG，EF平面 EFG， 所以 A1C1平面 EFG； （2）解：以点 D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 E（2，1，0），F（1，2，0），G（0，2，1），A1（2，0，2）， 设平面 EFG 的一个法向量为， 而， 所以，不妨令 x1，则 y1，z1， 所以 （1，1，1）， 所以 A1到平面 EFG 的距离为 d1， 点 G 到 EF 的距离为 d2， 所 以 三 棱 锥 A1 EFG 的 体 积 19为了更好地刺激经济复苏，增加就业岗位，多地政府出台支持“地摊经济”的举措某 市城管委对所在城市约 6000 个流动商贩进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、 玩具、
19、饰品、果蔬等，各类商贩所占比例如图 （1）该市城管委为了更好地服务百姓，打算从流动商贩中随机抽取 100 家进行政策问 询如果按照分层抽样的方式抽取，请问果蔬类、小吃类商贩各抽取多少家？ （2）为了更好的了解商贩的收入情况，工作人员对某果蔬商贩最近 50 天的日收入进行 了统计（单位：元），所得频率分布直方图如图所示： （）请根据频率分布直方图估计该果蔬商贩的日平均收入（同一组中的数据用该组区 间的中间值代替）； （）若从该果蔬商贩这 50 天中日收入不低于 250 元的天数中随机抽取 2 天，求这 2 天 的日收入至少有一天不低于 300 元的概率 解： （1）由扇形统计图可知，果蔬类商贩所
20、占比例为 15%，故果蔬类商贩抽取 15%100 15 家， 小吃类商贩所占比例为 125%15%10%5%5%40%，故小吃类商贩抽取 40% 10040 家； （2） （i） 估计该果蔬商贩的日平均收入为： （0.00275+0.0056125+0.0064175+0.004 225+0.0012275+0.0008325）50173 元； （ii）日收入不低于 250 元的天数为（0.0012+0.0008）50505 天， 日收入不低于 300 元的天数为 0.000850502 天， 所以这 2 天的日收入至少有一天不低于 300 元的概率为 20已知函数 f（x）+a（x1） （1
21、）若 a0，求 f（x）的单调区间； （2）若 g（x）xf（x），且对任意的 x1，+）有 g（x）0，求 a 的取值范围 解：（1）a0 时，f（x），则 f（x）（x0）， 令 f（x）0，解得 0 xe，令 f（x）0，解得 xe， 故 f（x）在（0，e）递增，在（e，+）递减； （2）g（x）xf（x）lnx+a（x2x）（x1）， 若 g（x）0 在1，+）上恒成立，即 lnx+a（x2x）0 在1，+）上恒成立， 令 h（x）x2x，则 h（x）2x10 在1，+）上恒成立， 故 h（x）在1，+）递增，故 h（x）h（1）0， x1 时，g（1）00 恒成立， x1 时，问题
22、转化为 a在1，+）恒成立， 令 s（x），x1，+），则 s（x）， 令 t（x）x+1+2xlnxlnx（x1）， 则 t（x）1+2lnx，t（x）+0， 故 t（x）在1，+）递增，故 t（x）t（1）0， 故 t（x）在1，+）递增，t（x）t（1）0， 故 s（x）0，s（x）在1，+）递增， 故 s（x）的最小值是 s（1）1， 故 a1，即 a 的取值范围是（，1 21已知抛物线 E：y24x 的焦点为 F，准线为 l，O 为坐标原点，过 F 的直线 m 与抛物线 E 交于 A、B 两点，过 F 且与直线 m 垂直的直线 n 与准线 l 交于点 M （1）若直线 m 的斜率为，
23、求的值； （2）设 AB 的中点为 N，若 O、M、N、F 四点共圆，求直线 m 的方程 解：（1）如图， 由抛物线 y24x，得 F（1，0），则直线 m 的方程为 y， 联立，得 3x210 x+30， 解得：，x23， 不妨设 A 在第一象限，则 xA3， 则|AF|3+14，|BF|， ； （2）设直线 m 的方程为 xty+1，由题意可得 t0， 否则，N 与 F 重合，不存在 O、M、N、F 四点共圆， 把 xty+1 代入 y24x，得 y24ty40 设 A（x1，y1），B（x2，y2），则 y1+y24t，y1y24 ， N（2t2+1，2t） 直线 m 的斜率为，直线 n
24、 的斜率为t，则直线 n 的方程为 yt（x1） 由，解得 M（1，2t） 若 O、M、N、F 四点共圆，再结合 FNFM，得 OMON， 则1（2t2+1）+2t2t2t210，解得 t， 直线 m 的方程为 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分。请考生在第分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的题中任选一题作答，如果多做，则按所做的 第一题计分。第一题计分。选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线 M 的极坐标方程为2cos， 若极坐标系内异于 O
25、 的三点 A （1， ） ， B （2， +） ， C（3，）（1，2，30）都在曲线 M 上 （1）求证：2+3； （2）若过 B，C 两点直线的参数方程为（t 为参数），求四边形 OBAC 的面 积 【解答】解（1）由12cos，22cos（+），32cos（），则2+32cos （+）+2cos（）2cos1； （2）由曲线 M 的普通方程为：x2+y22x0，联立直线 BC 的参数方程得：t20 解得 t10，t2；平面直角坐标为：B（，），C（2，0） 则21，32，；又得1 即四边形面积为 SOBAC12sin+13sin为所求 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知实数 a，b，c，满足 a+b+c1 （1）若 a，bR+，c0，求证：（a+）2+（b+）2； （2）设 abc，a2+b2+c21，求证：a+b1 【解答】证明：（1）c0 时，a+b1， （a+）2+（b+）2 ， a，bR+，a+b1， ， 从而：（a+）2+（b+）2 当且仅当，即 ab时取等号； （2）假设 a+b1，则由 a+b+c1，知 c0，故 abc0， 又由（a+b+c）2a2+b2+c2+2ab+abc+2ac1， 得 ab+bc+ac0， 但由 abc0，知 ab+bc+ac0，矛盾， 故假设 a+b1 不成立，则 a+b1
