1、江苏省苏北四市 2021 届高三 4 月新高考适应性模拟考试 数学试卷 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分在每小题给出的四个选项中， 只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1已知集合 M 12xx ，N 2 1x x ，则 MN A2x x B12xxC15xxD02xx 2若复数 z 满足(3+4i)5iz（i 是虚数单位） ，则z A1B 1 2 C5D 1 5 3已知sin2a ， 2 log sin2b ， sin2 2c ，则 a，b，c 的大小关系是 AabcBcabCbacDcba 4甲、乙、丙、丁、戊 5 名党员参加“党史知
2、识竞赛” ，决出第一名到第五名的名次（无并 列名次） ，已知甲排第三，乙不是第一，丙不是第五，据此推测 5 人的名次排列情况共有 A5 种B8 种C14 种D21 种 5 定 义在 R 上 的 奇函 数( )f x在(， 0 上 单 调递 减 ， 且( 1)1f ， 则 不等 式 1 (lg )(lg )fxf x 2的解集为 A(，10)B(0，10)C( 1 10 ，10)D(0， 1 10 ) 6今天是星期三，经过 7 天后还是星期三，那么经过 82021天后是 A星期二B星期三C星期四D星期五 7将正整数 12 分解成两个正整数的乘积有 112，26，34 三种，其中 34 是这三种
3、分解中两数差的绝对值最小的，我们称 34 为 12 的最佳分解，当 pq(p，qN)是正 整数 n 的最佳分解时， 我们定义函数( )f npq， 例如(12)431f， 则 2021 1 (2 ) i i f A210111B21011C210101D21010 8如图，直角三角形 PQR 的三个顶点分别在等边三角形 ABC 的边 AB、BC、CA 上，且 PQ2 3，QR2，PQR 2 ， 则 AB 长度的最大值为 A 10 3 3 B6 C 4 21 3 D 8 6 3 二、多项选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分在每小题给出的四个选项中， 至少有两个是符合题目要求
4、的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9某高中 2020 年的高考考生人数是 2010 年高考考生人数的 1.5 倍，为了更好地比较该校 考生的升学情况，统计了该校 2010 年和 2020 年的高考升学率，得到如下柱状图： 则下列说法中正确的有 A与 2010 年相比，2020 年一本达线人数有所减少 B2020 年二本达线率是 2010 年二本达线率的 1.25 倍 C2010 年与 2020 年艺体达线人数相同 D与 2010 年相比，2020 年不上线的人数有所增加 10 已知 1 x，2x是函数( )2sin() 6 f xx (0)的两个不同零点， 且 12 xx的最小值是 2 ，
5、 则下列说法中正确的有 A函数( )f x在0， 3 上是增函数 B函数( )f x的图像关于直线 6 x 对称 C函数( )f x的图像关于点(，0)中心对称 D当 x 2 ，时， 函数( )f x的值域是2，1 11如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB4，BCBB12，E、F 分别为棱 AB、A1D1 的中点，则下列说法中正确的有 ADB1CE B三棱锥 DCEF 的体积为 8 3 C若 P 是棱 C1D1上一点，且 D1P1，则 E、C、P、F 四点共面 D平面 CEF 截该长方体所得的截面为五边形 1217 世纪初，约翰纳皮尔为了简化计算而发明了对数，对数的发明是数学史上的
6、重大 事件，恩格斯曾经把笛卡尔的坐标系、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼兹的微积分共同称 为 17 世纪的三大数学发明 我们知道， 任何一个正实数 N 可以表示成 N10na(1a 10，nZ)的形式，两边取常用对数，则有 lgNnlga，现给出部分常用对数值（如 下表） ，则下列说法中正确的有 真数 x23456 78910 lgx(近似值)0.3010.4770.6020.6990.7780.8450.9030.9541.000 真数 x111213141516171819 lgx(近似值)1.0411.0791.1141.1461.1761.2041.2301.2551.279 A310在区间
7、(104，105)内 B250是 15 位数 C若 50 210ma (1a10，mZ)，则 m16 D若 m32(mN)是一个 35 位正整数，则 m12 三、填空题（本大题共 4 小题， 每小题 5 分，共计 20 分请把答案填写在答题卡相应位置 上） 13已知两个单位向量a 、b 满足 1 2 a b ，则a 与b 的夹角为 14已知 F 为双曲线 22 22 1 xy ab (a0，b0)的右焦点，过 F 作与 x 轴垂直的直线交双曲线 于 A，B 两点，若以 AB 为直径的圆过坐标原点，则该双曲线的离心率为 15写出一个值域为1，2的周期函数( )f x 16 已知正四棱锥 SABC
8、D 的底面边长为 2， 侧棱长为10， 其内切球与两侧面 SAB， SAD 分别切于点 P，Q，则 PQ 的长度为 四、解答题（本大题共 6 小题，共计 70 分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤） 17 （本小题满分 10 分） 已知数列 n a中， 1 1a ， 2 3a ， 其前 n 项和 n S满足 11 22 nnn SSS (n2， nN) （1）求数列 n a的通项公式； （2）若2 n a nn ba，求数列 n b的前 n 项和 n T 18 （本小题满分 12 分） 在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 abc，现有三个
9、条件：a， b，c 为连续自然数；c3a；C2A （1）从上述三个条件中选出两个，使得ABC 不存在，并说明理由（写出一组作答即 可） ； （2）从上述三个条件中选出两个，使得ABC 存在，并求 a 的值 19 （本小题满分 12 分） 某观影平台为了解观众对最近上映的某部影片的评价情况 （评价结果仅有“好评”、“差 评” ） ， 从平台所有参与评价的观众中随机抽取 216 人进行调查， 部分数据如下表所示 （单位： 人） ： （1）请将 22 列联表补充完整，并判断是否有 99%的把握认为“对该部影片的评价 与性别有关”？ （2）若将频率视为概率，从观影平台的所有给出“好评”的观众中随机抽取
10、 3 人，用 随机变量 X 表示被抽到的男性观众的人数，求 X 的分布列； （3）在抽出的 216 人中，从给出“好评”的观众中利用分层抽样的方法抽取 10 人，从 给出“差评”的观众中抽取 m(mN)人，现从这(10m)人中，随机抽出 2 人，用随机变量 Y 表示被抽到的给出“好评”的女性观众的人数若随机变量 Y 的数学期望不小于 1，求 m 的最大值 20 （本小题满分 12 分） 图 1 是由正方形 ABCD，RtABE，RtCDF 组成的一个等腰梯形，其中 AB2，将 ABE、CDF 分别沿 AB，CD 折起使得 E 与 F 重合，如图 2 （1）设平面 ABE平面 CDEl，证明：l
11、CD； （2）若二面角 ABED 的余弦值为 5 5 ，求 AE 长 21 （本小题满分 12 分） 已知函数 ln ( ) x f x x （1）若直线1ykx是曲线( )yf x的切线，求实数 k 的值； （2）若对任意 x(0，)，不等式 ln ( )1 a f xax x 成立，求实数 a 的取值集合 22 （本小题满分 12 分） 已知椭圆 22 22 1 xy ab (ab0)的左焦点为 F，过 F 的直线4 330 xy与椭圆在第 一象限交于 M 点，O 为坐标原点，三角形 MFO 的面积为 3 4 （1）求椭圆的方程； （2）若ABC 的三个顶点 A，B，C 都在椭圆上，且 O
12、 为ABC 的重心，判断ABC 的面积是否为定值，并说明理由 江苏省苏北四市 2021 届高三 4 月新高考适应性模拟考试 数学试卷 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分在每小题给出的四个选项中， 只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1已知集合 M 12xx ，N 2 1x x ，则 MN A2x x B12xxC15xxD02xx 答案：B 解析：M 12xx 1，5)，N 2 1x x (0，2)，所以 MN12xx，故 B 符合题意 2若复数 z 满足(3+4i)5iz（i 是虚数单位） ，则z A1B 1 2 C5D 1 5 答案：
13、1 解析： 5i43i 34i55 z ，故z1，选 A 3已知sin2a ， 2 log sin2b ， sin2 2c ，则 a，b，c 的大小关系是 AabcBcabCbacDcba 答案：B 解析：sin2a (0，1)，则 2 log sin20b ， sin2 21c ，故 cab，选 B 4甲、乙、丙、丁、戊 5 名党员参加“党史知识竞赛” ，决出第一名到第五名的名次（无并 列名次） ，已知甲排第三，乙不是第一，丙不是第五，据此推测 5 人的名次排列情况共有 A5 种B8 种C14 种D21 种 答案：C 解析：当丙是第一时，有 3 3 A6 种情况；当丙不是第一时，有 112
14、222 C C A8 种情况故共有 6 814 种，选 C 5 定 义在 R 上 的 奇函 数( )f x在(， 0 上 单 调递 减 ， 且( 1)1f ， 则 不等 式 1 (lg )(lg )fxf x 2的解集为 A(，10)B(0，10)C( 1 10 ，10)D(0， 1 10 ) 答案：D 解析： 1 (lg )(lg )2lg2lg1fxfxx x ， 据题意知，( )f x在 R 上单调递减， 且( 1)1f ， 故lg1x ，解得 1 0 10 x，故 D 符合题意 6今天是星期三，经过 7 天后还是星期三，那么经过 82021天后是 A星期二B星期三C星期四D星期五 答案
15、：C 解析： 202120210112220212021 2021202120212021 8(17)777CCCC，故 82021除以 7 的余数是 1， 故选 C 7将正整数 12 分解成两个正整数的乘积有 112，26，34 三种，其中 34 是这三种 分解中两数差的绝对值最小的，我们称 34 为 12 的最佳分解，当 pq(p，qN)是正 整数 n 的最佳分解时， 我们定义函数( )f npq， 例如(12)431f， 则 2021 1 (2 ) i i f A210111B21011C210101D21010 答案：A 解析：当 i 为偶数时，(2 ) i f0；当 i 为奇数时，(
16、2 ) i f 1 2 2 i ， 所以 2021 01210101011 1 (2 )222221 i i f 8如图，直角三角形 PQR 的三个顶点分别在等边三角形 ABC 的边 AB、BC、CA 上，且 PQ2 3，QR2，PQR 2 ，则 AB 长度的最大值为 A 10 3 3 B6C 4 21 3 D 8 6 3 答案：C 解析：设PQB，则RQC 2 ，所以BPQ 2 3 ，CRQ 6 ， 在PBQ 中，由正弦定理，即， 在CRQ 中，由正弦定理，即， 所以 二、多项选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分在每小题给出的四个选项中， 至少有两个是符合题目要求的，请
17、把答案添涂在答题卡相应位置上） 9某高中 2020 年的高考考生人数是 2010 年高考考生人数的 1.5 倍，为了更好地比较该校 考生的升学情况，统计了该校 2010 年和 2020 年的高考升学率，得到如下柱状图： 则下列说法中正确的有 A与 2010 年相比，2020 年一本达线人数有所减少 B2020 年二本达线率是 2010 年二本达线率的 1.25 倍 C2010 年与 2020 年艺体达线人数相同 D与 2010 年相比，2020 年不上线的人数有所增加 答案：BD 解析：设 2010 年考生数为 x，则 2020 年考生数为 3 2 x，因为 x28% 3 2 x24%x36%
18、， 即 A 错误； 因为 405 324 1.25，即 B 正确； 因为 x8% 3 2 x8%x12%，即 C 错误； 因为 x32% 3 2 x28%x42%，即 D 正确 10 已知 1 x，2x是函数( )2sin() 6 f xx (0)的两个不同零点， 且 12 xx的最小值是 2 ， 则下列说法中正确的有 A函数( )f x在0， 3 上是增函数 B函数( )f x的图像关于直线 6 x 对称 C函数( )f x的图像关于点(，0)中心对称 D当 x 2 ，时， 函数( )f x的值域是2，1 答案：ABD 解析：易知( )f x的周期 T2 2 ，所以2，即( )2sin(2)
19、 6 f xx ，当 x0， 3 时，2 6 x 6 ， 2 ，( )f x单调递增，即 A 正确； 当 6 x 时，2 62 ，即 B 正确； ( )2sin(2)0 6 f ，即 C 错误； 当 x 2 ，时，2 6 x 5 6 ， 11 6 ，所以( )f x的值域是2，1，即 D 正确 11如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB4，BCBB12，E、F 分别为棱 AB、A1D1 的中点，则下列说法中正确的有 ADB1CE B三棱锥 DCEF 的体积为 8 3 C若 P 是棱 C1D1上一点，且 D1P1，则 E、C、P、F 四点共面 D平面 CEF 截该长方体所得的截面为五边
20、形 答案：BCD 解析：因为 DB 与 CE 不垂直，所以 DB1不可能垂直于 CE，故 A 错误； VDCEFVFCDE 118 422 323 ，即 B 正确； 当 P 是棱 C1D1上一点，且 D1P1 时，CEFP，故 E、C、P、F 四点共面，即 C 正 确； 由 C 可知，FP，PC，CE 为截面的边，而截面又与平面 ABB1A1以及平面 ADD1A1 相交，得两条截面的边，即共有五条边，即 D 正确 1217 世纪初，约翰纳皮尔为了简化计算而发明了对数，对数的发明是数学史上的重大 事件，恩格斯曾经把笛卡尔的坐标系、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼兹的微积分共同称 为 17 世纪的三大数
21、学发明 我们知道， 任何一个正实数 N 可以表示成 N10na(1a 10，nZ)的形式，两边取常用对数，则有 lgNnlga，现给出部分常用对数值（如 下表） ，则下列说法中正确的有 A310在区间(104，105)内 B250是 15 位数 C若 50 210ma (1a10，mZ)，则 m16 D若 m32(mN)是一个 35 位正整数，则 m12 答案：ACD 解析：，A 正确； ，B 错误； ，即 m16，故 C 正确； ，则，则，又，即 m 12，D 正确 三、填空题（本大题共 4 小题， 每小题 5 分，共计 20 分请把答案填写在答题卡相应位置 上） 13已知两个单位向量a 、
22、b 满足 1 2 a b ，则a 与b 的夹角为 答案： 2 3 解析：cos 1 2 a b ab ，所以a 与b 的夹角为 2 3 14已知 F 为双曲线 22 22 1 xy ab (a0，b0)的右焦点，过 F 作与 x 轴垂直的直线交双曲线 于 A，B 两点，若以 AB 为直径的圆过坐标原点，则该双曲线的离心率为 答案： 15 2 解析： 2 222 15 10 2 b caccaeee a 15写出一个值域为1，2的周期函数( )f x 答案：( )sin1f xx 解析：答案不唯一 16 已知正四棱锥 SABCD 的底面边长为 2， 侧棱长为10， 其内切球与两侧面 SAB， S
23、AD 分别切于点 P，Q，则 PQ 的长度为 答案： 2 2 3 解析：该正四棱锥的侧面的高，则该正四棱锥的高， 其体积，表面积， 所以内切球半径，设球心为 O，则上， 所以，即 P，Q 位于侧面高的 处， 所以 四、解答题（本大题共 6 小题，共计 70 分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤） 17 （本小题满分 10 分） 已知数列 n a中， 1 1a ， 2 3a ， 其前 n 项和 n S满足 11 22 nnn SSS (n2， nN) （1）求数列 n a的通项公式； （2）若2 n a nn ba，求数列 n b的前 n 项和 n T 解： （1
24、）由题意得 即， 又，所以 所以数列 n a是以 1 为首项，公差为 2 的等差数列， 所以； （2） 所以 18 （本小题满分 12 分） 在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 abc，现有三个条件：a， b，c 为连续自然数；c3a；C2A （1）从上述三个条件中选出两个，使得ABC 不存在，并说明理由（写出一组作答即 可） ； （2）从上述三个条件中选出两个，使得ABC 存在，并求 a 的值 解： （1）选时三角形不存在，理由如下： 因为 a，b，c 为连续自然数，abc，所以 ba1，ca2，又因为 c3a， 所以 a23a， 解得不满足所以ABC 不存在； 选时
25、三角形不存在，理由如下： 在ABC 中，由正弦定理得，因为，所以， 所以， 又因为 c3a，所以 cosA，此时 A 不存在，所以ABC 不存在， （2）选时三角形存在： 因为 a，b，c 为连续自然数，abc，所以 ba1，ca2， 在ABC 中，由余弦定理得， 在ABC 中， 由正弦定理得， 因为， 所以， 所以， 所以，解得 19 （本小题满分 12 分） 某观影平台为了解观众对最近上映的某部影片的评价情况 （评价结果仅有“好评”、“差 评” ） ， 从平台所有参与评价的观众中随机抽取 216 人进行调查， 部分数据如下表所示 （单位： 人） ： （1）请将 22 列联表补充完整，并判断
26、是否有 99%的把握认为“对该部影片的评价 与性别有关”？ （2）若将频率视为概率，从观影平台的所有给出“好评”的观众中随机抽取 3 人，用 随机变量 X 表示被抽到的男性观众的人数，求 X 的分布列； （3）在抽出的 216 人中，从给出“好评”的观众中利用分层抽样的方法抽取 10 人，从 给出“差评”的观众中抽取 m(mN)人，现从这(10m)人中，随机抽出 2 人，用随机变量 Y 表示被抽到的给出“好评”的女性观众的人数若随机变量 Y 的数学期望不小于 1，求 m 的最大值 解： （1）填写 22 列联表如下： 所以 所以有 99%的把握认为“对该部影片的评价与性别有关” ； （2）从观
27、影平台的所有给出“好评”的观众中随机抽取 1 人为男性的概率为， 且各次抽取之间相互独立， 所以，所以 故 X 的分布列为 （3）Y 的可能取值为 0，1，2， 所以 所以， 即，即， 解得，又所以 m 的最大值为 2 20 （本小题满分 12 分） 图 1 是由正方形 ABCD，RtABE，RtCDF 组成的一个等腰梯形，其中 AB2，将 ABE、CDF 分别沿 AB，CD 折起使得 E 与 F 重合，如图 2 （1）设平面 ABE平面 CDEl，证明：lCD； （2）若二面角 ABED 的余弦值为 5 5 ，求 AE 长 解： （1）因为 CDAB，AB平面 ABE，CD平面 ABE， 所
28、以 CD平面 ABE， 又 CD平面 ECD，平面 ABE平面 ECD所以； （2）因为，所以， 又平面 ADE，平面 ADE， 所以 AB平面 ADE， 因为平面 ABCD，所以平面 ABCD平面 AED， 过 E 作 EOAD 于点 O，则 O 是 AD 的中点， 因为平面平面 AEDAD，平面 ADE， 所以 EO平面 ABCD， 以 O 为原点，与 AB 平行的直线为 x 轴，OD 所在直线为 y 轴，OE 所在直线为 z 轴，建立空间直角坐标系 Oxyz， 设，则 设平面 ABE 的法向量为， 则，即，取，则， 所以平面 ABE 的一个法向量为， 同理可求得平面 BDE 的一个法向量
29、为， 所以，解得或， 检验发现时二面角 ABED 的平面角为钝角， 所以，此时， 21 （本小题满分 12 分） 已知函数 ln ( ) x f x x （1）若直线1ykx是曲线( )yf x的切线，求实数 k 的值； （2）若对任意 x(0，)，不等式 ln ( )1 a f xax x 成立，求实数 a 的取值集合 解： （1）因为，所以， 设切点为，此时切线方程为， 又直线过(0，1)，所以，即， 令，则，且在上单调递增， 所以方程有唯一解，所以， （2）不等式恒成立，即不等式恒成立， 令，则 所以是函数的极值点，所以，即 此时， 所以在上递减，在上递增， 所以，符合题意， 所以，实数
30、 a 的取值集合为 22 （本小题满分 12 分） 已知椭圆 22 22 1 xy ab (ab0)的左焦点为 F，过 F 的直线4 330 xy与椭圆在第 一象限交于 M 点，O 为坐标原点，三角形 MFO 的面积为 3 4 （1）求椭圆的方程； （2）若ABC 的三个顶点 A，B，C 都在椭圆上，且 O 为ABC 的重心，判断ABC 的面积是否为定值，并说明理由 解： （1）直线过左焦点 F，所以，所以， 又由得，即，所以， 由椭圆定义知，即， 所以椭圆的方程为， （2）当直线 BC 的斜率不存在时，设直线 BC 的方程为， 设，则，因为 O 为ABC 的重心，所以， 所以， 所以， 当直线 BC 的斜率存在时，设直线 BC 的方程为，设， 由得，显然， 所以，所以， 所以 BC 的中点， 因为 O 为ABC 的重心，所以， 由 A 在椭圆上得，化简得， 所以， 因为点 A 到直线 BC 的距离 d 等于 O 到直线 BC 距离的 3 倍，所以， 所以， 综上得，ABC 的面积为定值
