1、1 2001 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析 一、填空题一、填空题 (1)【答案】 【使用概念】设 yf x在x处可导，且 0f x ，则函数y关于x的弹性在x处的值为 Eyxx yfx Exyf x 【详解】由QAL K ，当1Q 时，即1AL K ，有 1 ,KAL 于是K关于L的弹 性为： EK EL L K K 1 1 dAL L dL AL 1 1 1 AL L AL (2)【答案】 1 1.22 t W 【详解】 t W表示第t年的工资总额，则 1t W 表示第1t 年的工资总额，再根据每年的工资总 额比上一年增加20的基础上再
2、追加2百万，所以由差分的定义可得 t W满足的差分方程是： 11 (120)21.22 ttt WWW (3)【答案】-3 【详解】 方法方法1：由初等变换(既可作初等行变换，也可作初等列变换).不改变矩阵的秩，故对A进行 初等变换 111 111 111 111 k k A k k 111 1100 1( 1)2,3,4 1010 1001 k kk kk kk 行分别加到行 2 3111 0100 2,3,4 0010 0001 k k k k 列分别加到1列 可见只有当k =3时，r(A)=3.故k =3. 方法方法2：由题设r(A)=3，故应有四阶矩阵行列式0A .由 111 111
3、111 111 k k A k k 111 1100 1( 1)2,3,4 1010 1001 k kk kk kk 行分别加到行 3111 0100 2,3,4 0010 0001 k k k k 列分别加到1列 3 (3)(1)0,kk 解得k =1或k = 3.当k =1时， 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A 1111 0000 1( 1)2 3 4 0000 0000 行分别加到 ， ，行 可知，此时r(A)=1，不符合题意，因此一定有k =3. (4)【答案】 1 12 【所用概念性质】切比雪夫不等式为： 2 () () D X P XE X 期望和
4、方差的性质：()E XYEXEY；()2cov(, )D XYDXX YDY 【详解】 把XY看成是一个新的随机变量，则需要求出其期望和方差. 故()220E XYEXEY 又相关系数的定义： cov(, ) (, ) X Y X Y DXDY 则cov(, )(, )( 0.5)141X YX YDXDY ()2cov(, )12 ( 1)43D XYDXX YDY 所以由切比雪夫不等式： 3 2 ()31 6()6 63612 D XY P XYP XYE XY (5)【答案】F；(10,5) 【所用概念】1.F分布的定义： 1 2 X n F Y n 其中 2 1 ()Xn 2 2 ()
5、Yn 2. 2 分布的定义： 若 1, , n ZZ相互独立， 且都服从标准正态分布(0,1)N， 则 22 1 ( ) n i i Zn 3. 正态分布标准化的定义：若 2 ( ,)ZN u，则(0,1) Zu N 【详解】因为 2 (0,2 )1,2,15 i XNi ，将其标准化有 0 (0,1) 22 ii XX N ，从而根 据卡方分布的定义 2222 22 1015111 (10),(5), 2222 XXXX 由样本的独立性可知， 22 101 22 XX 与 22 1511 22 XX 相互独立. 故，根据F分布的定义 22 101 22 110 2222 1115 1511
6、22 10 (10,5). 2 22 5 XX XX YF XX XX 故Y服从第一个自由度为10，第二个自由度为5的F分布. 二、选择题二、选择题 (1)【答案】 B 【详解】 方法方法1：由 ( ) lim1, xa fx xa 知 lim( ) xa fx ( ) lim xa fx xa xa ( ) limlim xaxa fx xa xa 1 0 0 又函数( )f x的导数在xa处连续，根据函数在某点连续的定义，左极限等于右 极限等于函数在这一点的值，所以( )0fa，于是有 4 ( )( )( ) ( )limlim1, xaxa fxfafx fa xaxa 即( )0fa，
7、( )10fa ，根据判定极值的第二充分条件：设函数( )f x在 0 x处 具有二阶导数且 0 ()0fx， 0 ()0fx，当 0 ()0fx时，函数( )f x在 0 x处取得极 大值. 知xa是( )f x的极大值点，因此，正确选项为(B). 方法方法2：由 ( ) lim1, xa fx xa 及极限保号性定理：如果 0 lim xx f xA ，且0A (或0A)， 那么存在常数0，使得当 0 0 xx时，有 0f x (或 0f x )，知存在 xa的去心邻域，在此去心邻域内 ( ) 0 fx xa .于是推知，在此去心邻域内当xa时 ( )0fx； 当xa时( )0.fx又由条
8、件知( )f x在xa处连续， 由判定极值的第一 充分条件：设函数( )f x在 0 x处连续，且在 0 x的某去心领域内可导，若 00 ,xxx时，( )0fx，而 00 ,xxx时，( )0fx，则( )f x在 0 x处取 得极大值，知( )f a为( )f x的极大值. 因此，选 (B). (2)【答案】(D) 【详解】应先写出g(x)的表达式. 当01x时， 2 1 ( )(1) 2 f xx，有 ( )g x 0 x f u du 2 0 1 (1) 2 x udu 3 0 0 11 62 x x uu 3 11 , 62 xx 当12x时， 1 ( )(1) 3 f xx，有 0
9、 ( )( ) x g xf u du 1 01 ( )( ) x f u duf u du 1 2 01 11 (1)(1) 23 x uduudu 1 1 32 01 01 1111 6263 x x uuuu 221 1 36 x 即 3 2 11 ,01 62 ( ) 21 1,12 36 xxx g x xx 因为 3 11 112 lim( )lim 623 xx g xxx ， 2 11 212 lim( )lim1 363 xx g xx ， 5 且 2212 (1)1 1 363 g， 所以由函数连续的定义，知( )g x在点1x 处连续，所以( )g x在区间0,2内连续，
10、选(D). 同样，可以验证(A)、(B)不正确，01x时， 32 1111 ( )0 6222 g xxxx ，单 调增， 所以(B)递减错； 同理可以验证当12x时， 2211 ( )110 363 g xxx ， 单调增，所以 02gg xg，即 5 0 6 g x与选项(A)无界矛盾. (3)【答案】(C) 【详解】由所给矩阵,A B观察，将A的2,3列互换，再将A的1,4列互换，可得B. 根据初 等矩阵变换的性质，知将A的2,3列互换相当于在矩阵A的右侧乘以 23 E，将A的1,4列互 换相当于在矩阵A的右侧乘以 14 E，即 2314 AE EB，其中 23 1000 0010 01
11、00 0001 E ， 14 0001 0100 0010 1000 E 由题设条件知 114223 ,PEPE，因此 21 BAP P. 由于对初等矩阵 ij E有， 1 ijij EE ，故 11 1122 ,PP PP . 因此，由 21 BAP P，及逆矩阵的运算规律，有 1 11111 211212 BAP PP P APP A . (4)【答案】()D 【详解】由题设，A是n阶矩阵，是n维列向量，即 T 是一维行向量，可知 0 T A 是 1n阶矩阵. 显然有秩 0 T A 秩( )A1,nn即系数矩阵 0 T A 非列满秩， 由 齐次线性方程组有非零解的充要条件：系数矩阵非列或行
12、满秩，可知齐次线性方程组 6 0 0 T AX y 必有非零解. (5) 【答案】A 【详解】 掷硬币结果不是正面向上就是反面向上，所以XYn，从而YnX， 故()DYD nXDX 由方差的定义： 22 ()DXEXEX， 所以 2 2 ()()()DYD nXE nXE nX 222 (2)()E nnXXnEX 2222 22()nnEXEXnnEXEX 22 ()EXEXDX) 由协方差的性质：cov(, )0X c (c为常数)；cov(,)cov(, )aX bYabX Y 1212 cov(, )cov(, )cov(, )XXYX YXY) 所以cov(, )cov(,)cov(
13、, )cov(,)0X YX nXX nX XDXDX 由相关系数的定义，得 cov(, ) (, )1 X YDX X Y DXDYDXDX 三【变限积分求导公式】 ( ) ( ) ( )( ) f x x a g t dtg f xfx 【详解】 根据复合函数求导公式，有 . duff dyf dz dxxy dxz dx (*) 在2 xy exy两边分别对x求导，得 ()()0, xy dydy eyxyx dxdx 即. dyy dxx 在 0 sin x z x t edt t 两边分别对x求导，得 sin() (1), x xzdz e xzdx 即 () 1. sin() x
14、dzexz dxxz 将其代入(*)式，得 du dx ff dyf dz xy dxz dx () 1. sin() x fy fexzf xxyxzz 7 四 【详解】因为 1 lim(1)x x e x lim()x x xc xc 2 lim() x x xcc xc (把xc写成2xcc ) 2 2 2 lim() x ccx c x c x xcc xc (把x写成 2 2 x ccx cx c ) 2 2 2 lim (1) cx x c x c c x c xc (利用幂函数的性质() mnmn aa) 2 2 2 ln (1) lim cx x c x c c c x c x
15、 e (利用对数性质 ln( ) ( ) f x ef x) 2 22 ln (1) lim x c c cxc x cx c x e (利用对数性质 ( ) ln( )( )ln( ) g x f xg xf x) 2 22 limln (1) x c c x cxc x cx c e (利用 x ye函数的连续性， lim( ) ( ) lim x f x f x x ee ) 2 22 limlim ln (1) x c c xx cxc x cx c e (当各部分极限均存在时， lim( )( )lim( ) lim ( ) xxx f xg xf xg x ) 2 22 limln
16、 lim (1) x c c xx cxc x cx c e (利用lnyx函数的连续性，limln ( )lnlim ( ) xx f xf x ) 2 lnce e (利用 1 lim(1)x x e x ) 2c e(ln1e ) 又因为( )f x在, 内可导，故在闭区间1, xx上连续，在开区间(1, )xx内 可导，那么又由拉格朗日中值定理，有 ( )(1)( )(1)( ),1f xf xfxxfxx 左右两边同时求极限，于是 lim ( )(1)lim( ) xx f xf xfe ， 因为1xx ，x趋于无穷大时，也趋向于无穷大 由题意，lim()lim ( )(1), x
17、xx xc f xf x xc 从而 2c ee，故 1 2 c 8 五 【详解】 积分区域如图所示，可以写成 11,1yyx 2222 11 ()() 22 1, xyxy DDD yxedxdyydxdyxyedxdy 其中， 111 11 2 (1); 3 y D ydxdydyydxyy dy 22 1( ) 2 xy D xyedxdy 22 1 11() 2 1 xy y ydyxedx 22 1 11() 2 2 1 1 () 2 xy y ydyedx 22 1 11() 22 2 1 1 () 2 xy y ydyedxy 2 2 1 1(1) 2 1( ) y y eedy
18、 2 2 1 1(1) 2 2 1 1 () 2 y y eedy 2 2 1 11(1) 22 2 11 11 22 y y edye dy 2 2 1 11(1) 22 2 11 11 (1) 22 y y edye dy 2 2 1 1 1 (1) 2 1 1 1 2 y y ee 0 于是 22 1( ) 2 2 1 3 xy D yxedxdy 六【详解】方法方法1：依题意知，抛物线如图所示， 令 2 ()0ypxqxx pxq，求得它与x轴交点的横坐标为： 12 0,. q xx p 根据定积分的定义，面积S为 3 232 2 0 326 0 q p q pqq pSpxqx dx
19、xx p (注： 1 1 1 nn x dxxC n ) 9 因直线5xy与抛物线 2 ypxqx相切，故它们有唯一公共点. 由方程组 2 5xy ypxqx 求其公共解，消去y，得 2 (1)50pxqx，因为其公共解唯一，则该一元二次方 程只有唯一解，故其判别式必为零，即 22 (1)4( 5)(1)200,qpqp 解得 2 1 (1) . 20 pq 将p代入S中，得 ( )S q 3 2 6 q p 3 2 2 1 6(1) 20 q q 3 4 200 . 3(1) q q 根据函数除法的求导公式， ( )S q 3443 4 2 (200)3(1) 3(1) (200) 3(1)
20、 qqqq q 2 5 200(3) 3(1) qq q 根据驻点的定义，令( )0S q，已知有0q ，得唯一驻点3q . 当13q时，( )0S q；3q 时，( )0S q. 故根据极值判定的第一充分条 件知，3q 时，( )S q取唯一极大值，即最大值. 从而最大值为 225 (3). 32 SS 方法方法2：设抛物线 2 ypxqx与直线5xy相切的切点坐标为 00 (,)xy，切点既在抛物 线上，也在直线上，于是满足方程有 2 000 ypxqx和 00 5xy. 抛物线与直线在切点处的切线斜率是相等的，即一阶导数值相等. 在 2 ypxqx 左右两边关于x求导，得2ypxq ，在
21、5xy左右两边关于x求导，得1y ， 把切点坐标 00 (,)xy代入，得 0 0 21 x x ypxq 0 1 2 q x p 由 00 5xy 00 5yx，将两结果代入 2 000 ypxqx得 10 22 0000 111 55()()() 222 qqq yxpxqxpq ppp 整理得 2 1 (1) . 20 pq 将p代入S中，得 3 4 200 ( ). 3(1) q S q q 根据函数除法的求导公式， ( )S q 3443 4 2 (200)3(1) 3(1) (200) 3(1) qqqq q 2 5 200(3) 3(1) qq q 根据驻点(即使得一阶导数为零的
22、点)的定义，令( )0S q，已知有0q ，得唯一 驻点3q .当13q时，( )0;S q3q 时，( )0;S q故根据极值判定的第一充分 条件知，3q 时，( )S q取唯一极大值，即最大值. 从而最大值为 225 (3). 32 SS 七【详解】将要证的等式中的换成x，移项，并命 1 ( )( )( ) x xfxf x x 问题转化为证在区间(0,1)内( )x存在零点. 将 1 ( )( )0 x fxf x x 看成一个微分方程，用分离变量法求解. 由 ( )1 ( ) df xx dx f xx 两边积分得 ( )11 (1) ( ) df xx dxdx f xxx 利用 1
23、 lndxxC x 及 1 1 1 nn x dxxC n ，得 1 ln( )lnf xxxC ln( )ln x Ce f x x ( ) x Ce f x x ， 11 即( ) x xef xC ，命( )( ) x F xxef x . 由 1 1 0 (1)( ),(1) x k fkxef x dx k 及积分中值定理(如果函数( )f x在闭区间 , a b上连续， 则在积分区间 , a b上至少存在一个 点，使得( )( )()() b a f x dxfba ab )，知至少存在一点 1 (0,)0,1 k ，使 1 11 0 (1)( )( ) x k fkxef x d
24、xef 且( )( )Fef ， 1 (1)(1)Fef . 把 1 (1)( )fef 代入，则 111 (1)(1)( )( )( )FefeefefF 那么( )F x在 ,1上连续， 在( ,1)内可导， 由罗尔中值定理知， 至少存在一点( ,1) 0,1， 使得 ( )( )( )0Fefef 即 1 ( ) (1) ( ).ff 八【详解】由已知条件可见 1 ( )( ) nx nn fxfxxe ，这是以( ) n fx为未知函数的一阶线性 非齐次微分方程，其中 1 ( )1, ( ) nx p xq xxe ，代入通解公式 ( )( ) ( )( ) p x dxp x dx
25、f xeq x edxC 得其通解为 1 ( ), n dxdx nxx n x fxexe edxCeC n 由条件(1), n e f n 又 1 (1) n feC n ，得0C ， 故( ), nx n x e fx n 111 ( ) nxn x n nnn x ex fxe nn 记 1 ( ), n n x S x n 则 1 n a n ， 1 1 1 limlim1 1 n nn n a n a n ， 则其收敛半径为 1 1R ， 收敛区间为( 1,1). 当( 1,1)x 时，根据幂级数的性质，可以逐项求导， 12 1 111 1 ( ) 1 nn n nnn xx S
26、xx nnx ， 其中 2 1 1 1 n xxx x 故根据函数积分和求导的关系( )( )f x dxf xC ，得 0 0 ( )( )( )(0) x x S x dxS xS xS 又由于 2 1 000 (0)0 12 n n S n ，所以 00 1 ( )(0)( )0ln(1) 1 xx S xSS x dxdxx x ， 即有 1 ln(1),( 1,1) n n x x x n 当1x 时， 1 ( 1) ln2 n n n . 级数在此点处收敛，而右边函数连续，因此成立的 范围可扩大到1x 处，即 1 ln(1), 1,1) n n x x x n 于是 1 ( )ln
27、(1), 1,1) x n n fxex x 九九【详解】(1) 线性方程组AX有解但不唯一，即有无穷多解( )( )3r Ar An， 将增广矩阵作初等行变换，得 111 111 112 a Aa a 2 111 2131()0110 0112 a aaa aaa 行行， 行行倍 111 230110 00(1)(2)2 a aa aaa 行加到 行 （） 因为方程组AX有解但不唯一，所以( )( )3r Ar A，故a=2. (2) 由(1)，有 112 121 211 A 由 13 112 121 211 EA 12 2,3121 11 列加到 列 112 1121 111 提出 列公因
28、子 112 1( 1)2,3033 003 行分别加到行 (3)(3)0 故A的特征值为 123 0,3,3 . 当 1 0时， 112 (0)121 211 EA 112 1( 1),2 033 2,3 033 行的倍 分别加到行 112 2033 000 行加到3行 于是得方程组(0)0EA x的同解方程组为 123 23 20 330 xxx xx 可见，(0)2rEA，可知基础解系的个数为(0)321nrEA，故有1个自由未 知量，选 2 x为自由未知量，取 2 1x ，解得对应的特征向量为 1 (1,1,1)T. 当 1 3时， 212 3151 212 EA 151 1,2212
29、212 行互换 151 212 000 3行-2行 151 22090 000 1行加到 行 于是得方程组(3)0EA x的同解方程组为 123 2 50 90 xxx x 可见，(3)2rEA，可知基础解系的个数为(3)321nrEA，故有1个自由未知 14 量，选 1 x为自由未知量，取 1 1x ，解得对应的特征向量为 2 (1,0, 1)T. 当 1 3 时， 412 3111 214 EA 111 12412 214 ，行互换 111 1( 4),2 036 036 行倍倍 分别加到2,3行 111 2036 000 行加到3行 于是得方程组( 3)0EA x的同解方程组为 123
30、23 0 360 xxx xx 可见，( 3)2rEA，可知基础解系的个数为( 3)321nrEA，故有1个自由 未知量，选 2 x为自由未知量，取 2 2x ，解得对应的特征向量为 3 ( 1,2, 1)T . 由于A是实对称矩阵，其不同特征值的特征向量相互正交，故这三个不同特征值的特 征向量相互正交，之需将 123 , 单位化， 312 123 123 111 111 1 ,0 ,2 . 326 111 其中， 22222222 123 1113,1( 1)2,( 1)2( 1)6 令 123 111 326 12 ,0 36 111 326 Q 则有 1 300 030 . 000 T
31、Q AQQ AQ 十【详解】(1)由题设条件， 15 12 11 ( ,) | nn ij nij ij A f x xxx x A 1111 11 nnnn ijijiijj ijij A x xxA x AA 1 122 1 1 () n iiiinn i x A xA xA x A 1 2 12 1 1 (,) n iiiin i n x x x AAA A x 1 2 12 1 1 (,) n iiiin i n x x x AAA A x 1 2 11112122122212 1 (,)(,)(,) nnnnnnn n x x x AAAxAAAxAAA A x 111211 212
32、222 12 12 1 ( ,) n n n nnnnn A AAx A AAx x xx A A AAx 1 2 12 ( ,) T n n x x A x xx A x T T A XX A 1 ( ) T X A X 其中( )的理由：A是可逆的实对称矩阵，故 111 ()() TT AAA ，因此由实对称的定义 知， 1 A也是实对称矩阵，又由伴随矩阵的性质A AA E ，知 1 AA A ，因此A也 是实对称矩阵， T AA ，故( )成立. (2) 因为 1 111 T T AAAAEA ，所以由合同的定义知A与 1 A合同. 由实对称矩阵AB与合同的充要条件：二次型 T x Ax
33、与 T x Bx有相同的正、负惯性指数. 可知，() T g XX AX与()f X有相同的正、负惯性指数， 故它们有相同的规范形. 十一【应用定理】(i) 期望的性质：()E XYEXEY；独立随机变量方差的性质：若 随机变量XY和独立，则()D XYDXDY (ii)列维-林德伯格中心极限定理：设随机变量 12 , n XXX相互独立同分布，方差 存在，记 22 (0)u 与分别是它们共同的期望与方差，则对任意实数x，恒有 16 1 1 lim()( ) n i n i PXnuxx n (通俗的说：独立同分布的随机变量，其期望方差存在，则只要随机变量足够的多，这 些随机变量的和以正态分布
34、为极限分布) (iii) 正态分布标准化：若 2 ( ,)ZN u，则(0,1) Zu N 【详解】设(1,2,) i X in是装运的第i箱的重量(单位:千克)，n是所求箱数. 由题设可以 将 1, , in XXX视为独立同分布的随机变量， 而n箱的总重量 12nn SXXX是独立 同分布随机变量之和. 由题设，有()50,()5 ii E XD X(单位:千克) 所以 1212 ()()50 nnn E SE XXXEXEXEXn 1212 ()()25 nnn D SD XXXDXDXDXn 则根据列维林德柏格中心极限定理，知 n S近似服从正态分布(50 ,25 )Nnn， 箱数n根
35、据下述条件确定 50500050 5000 55 n n Snn P SP nn (将 n S标准化) 1000 10 ()0.977(2) n n 由此得 1000 10 2, n n 从而98.0199n ，即最多可以装98箱. 十二【详解】由题设条件X和Y是正方形( , ):13,13Gx yxy上的均匀分布， 则X和Y的联合密度为： 1 ,13,13, ( , )4 0, xy f x y 其他 (二维均匀分布的概率密度为 1 面积 ) 由分布函数的定义：( )F uP UuP XYu (1)当0u 时，( )0F u (因为XY是非负的，所以小于 0 是不可能事件) 17 (2)当2u 时，( )1F u (因为X和Y最大为 3，X和Y最小为 1，所以XY最大也 就只能为 2，所以2XY是必然事件，概率为 1) (3)当02u时，( )F uP Uu相当于 阴影部分所占的概率大小. 如图所示： ( )F uP UuP XYu 2 1 4(2) 4 S u S 阴影面积 总面积 2 1 1(2) 4 u (二维均匀分布中各部分所占的概率，相当于用这部分的面积除以总面积，这里阴影部分面 积是用总面积减去两个三角形的面积) 于是随机变量U的概率密度为： 1 (2),02, ( )( )2 0, uu p uF u 其他 y 1 x O3 yxu xyu 21 yxu 2 3
