1、高二（理科）数学试题第 1 页 （共 10 页） 黄山市 2020-2021 学年度第二学期期末质量检测 高二（理科）数学试题高二（理科）数学试题 第第卷卷（选择题满分 60 分） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的 ） 1. 复数 2 2i （i为虚数单位）的虚部是 A. 4 5 iB. 2 5 C. 2 5 D. 2 5 i 2. 已知大前提：所有奇函数在0 x 处的函数值为0；小前提： 1 ( )f x x 是奇函数；结论： (0)0f.则该三段论式的推理 A. 大前提错误B. 小前提错误C. 推理形式错误D
2、. 是正确的 3. 已知100件产品中有三件次品，现不放回地随机抽取2次，每次抽取1件，若第1次抽出的是次品，则第 二次抽出正品的概率是 A. 97 100 B. 97 99 C. 99 100 D. 97 297 4. 对于一组具有线性相关关系的数据( ,) ii x y(1,2,3, )in，根据最小二乘法求得回归直线方程为 ybxa，则以下说法正确的是 A. 至少有一个样本点落在回归直线 ybxa上 B. 预报变量y的值由解释变量x唯一确定 C. 相关指数 2 R越小，说明该模型的拟合效果越好 D. 在残差图中，残差点分布水平带状区域的宽度越窄，则回归方程的预报精确度越高 5. 随机变量
3、X的分布列如下表，其中, ,a b c成等差数列，且2abc，则(2)P X X246 高二（理科）数学试题第 2 页 （共 10 页） 第 10 题图 P a b c A. 2 21 B. 4 5 C. 1 4 D. 4 7 6. 函数 2 ( ) x xx f x e 的大致图象是 A.B.C.D. 7. 已知 * 111 ( )1() 23 f nnN n ,用数学归纳法证明(2 ) 2 n n f时，在证明过程中的 第二步从nk到1nk时，左边增加的项数是 A.21 k B.2kC.21 k D.1 8. 若函数( )cossinf xxx在 2 x 处的切线的倾斜角为，则cos(2)
4、 3 的值为 A. 3 2 B. 3 2 C. 1 2 D. 1 2 9. 为庆祝中国共产党成立100周年，某校以班级为单位组织开展“走进革命老区，学习党史文化”研学活 动.该校高一年级6个班级分别去3个革命老区开展研学游，每个班级只去一个革命老区，每个革命老区 至少安排一个班级，则不同的安排方法共有（）种. A.540B.480C.360D.288 10.如图是高尔顿板的改造装置，当小球从B自由下落时，第一次与第二层中间的小木块碰 撞，以 1 2 的概率向左或向右滚下，依次经过5次与小木块碰撞，小球最后进入槽口A处， 则小球进入A处的概率为 A 3 16 B 5 16 C 3 32 D 5
5、32 11.已知 1 22 01 ,0 a ax dxadx a ，则( )f a的最小值为 A. 4 B. 1 C. 4 D. 1 高二（理科）数学试题第 3 页 （共 10 页） 12.若 ln2ln3ln5 235 235 abc ，则 A.ln2ln5ln3acbB.ln5ln2ln3cab C.ln2ln3ln5abcD.ln3ln5ln2bca 第第 IIII 卷卷（非选择题满分 90 分） 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. ) 13.已知随机变量X服从正态分布 2 (2,)N且(4)0.9P X ,则(02)PX_. 14. 25 2 ()x x 的
6、展开式中 4 x的系数为_. 15.已知, A B两地的距离是(0)a akm。按交通法规规定，, A B两地之间的公路车速应限制在50到 100/km h.假设汽油的价格是6元/升，以x/km h速度行驶，汽车的油耗率为 2 (3) 360 x 升/h，其他运营成本每小时30元，则最经济的车速是_/km h. 16.在平面内，余弦定理给出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系。应用余弦定理，可以从已知的 两边和夹角出发，计算三角形的第三边.我们把四面体与三角形作类比，并使四面体的面对应三角形的 边，四面体各面的面积对应三角形各边的边长.而三角形两边的夹角，对应四面体两个面所成的二面角， 这
7、样可以得到“四面体的余弦定理”.现已知一个四面体VABC，2 2 VBCVAC SS ,2 VAB S,二 面角45C VA B,二面角60B VCA,二面角A VBC为直二面角， 则三角形ABC的面积为 _. 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 17.（本题满分 10 分） 已知复数 2 2 1 2 (56) 3 mm zmmi m , 22 2 1(32)zmmmi ,mR. （1）若 1 z是纯虚数，求实数m的值； （2）若不等式 12 zz成立，求实数m的值. 高二（理科）数学试题第 4 页 （共 10 页） 18.（本题满分 12
8、分） 已知函数 32 ( )3f xaxbxx ，( )f x在1x 处取得极值3， （1）求实数, a b的值； （2）若( )f xk有三个不等实根，求实数k的取值范围. 19.（本小题满分 12 分） 某省从2021年开始将全面推行新高考制度，新高考“3 1 2 ”中的“1”要求考生从物理、历史两科 中选一科.某高中为了调查高一学生在分班选科时是否选择物理科目与性别的关系， 随机调查了100名高 一学生，得到2 2列联表如下： 选择“物理”选择“历史”总计 男生352055 女生153045 总计5050100 附： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac b
9、d 2 0 ()P Kk0.0500.0100.001 0 k3.6416.63510.828 （1）判断是否在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“选择物理与性别有关” ； （2）现已知这100名学生中有6名女生来自同一班级，其中有2人选择了物理，有4人选择了历史.现从 这6名女生中任选3人，记“3人中选择物理科目的人数”为X,求X的分布列和期望. 高二（理科）数学试题第 5 页 （共 10 页） 20.（本小题满分 12 分） （1）已知等差数列 n a中，首项 1 0a ，公差0d .求证:对任意正整数n， 1 n a ， 1 1 n a + ， 2 1 n a + 都 不成等差数列
10、； （2）已知0n ，1 nm mn ，证明：ln 1ln 10nm. 21.（本小题满分 12 分） 随着老旧小区的改造，小区内的设施越来越完善，也有越来越多的居民用上了天然气.某燃气公司为了 制定天燃气分档价格表，在全市随机抽取了 200 户居民，对其月均使用天然气的情况进行了调查，统计 如下： 月均用气量(0,10(10,20(20,30(30,40(40,50 户数2050603040 （1）求这 200 户居民的月均使用天然气的平均数x与标准差s的估计值（同一组中的数据用该组区间的 中点值为代表） （结果精确到0.1） ； （2） （i）已知全市居民的天然气月均使用量服从正态分布 2
11、 ( ,)N ，其中, 分别取（1）中的x，s. 现从全市居民任取一户，求该户天然气的月均使用量在区间(13.4,38.6)的概率； （ii） 现从该市某小区任意抽取100户， 记X表示这100户天然气的月均使用量在区间(13.4,38.6)的 户数，求X的数学期望. 附：13511.6，15912.6， ()0.6827PX,(22 )0.9545PX 高二（理科）数学试题第 6 页 （共 10 页） 22.（本小题满分 12 分） 已知函数 12 1 ( )(1)(2) 2 x f xa xex （0a ，e为自然对数的底数）. （1）讨论函数( )f x的单调性； （2）若 2 13 (
12、1)ln 22 f xxx在(0,)x恒成立，求实数a的取值范围. 高二（理科）数学试题第 7 页 （共 10 页） 黄山市 2020-2021 学年度第二学期期末质量检测 高二（理科）数学参考答案及评分标准高二（理科）数学参考答案及评分标准 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 ） 题号题号123456789101112 答案答案CABDDDBBAACB 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. ) 13.0.414.4015.24 516.2 三、解答题（本大题共6小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 17.（本小题满
13、分 10 分） 解解： （1）由题意得， 2 2 0 3 mm m 且 2 560m 3 分 解得1m 5 分 （2）若不等式 12 zz，则 1 zR , 2 zR6 分 2 2 2 2 560 320 2 1 3 mm mm mm m m 8 分 解得2m 10 分 18.（本小题满分 12 分） 解解： （1） 2 ( )321fxaxbx， 由题意得(1)0,(1)3ff即3210ab ，+10ab， 解得1,2ab 5 分 （2）由（1）可知 32 ( )23f xxxx， 2 ( )341fxxx，6 分 由( )0fx得 1 3 x 或1x ；由( )0fx得； 1 1 3 x
14、( )f x在 1 (, ) 3 和(1,)上单调递增，在 1 ( ,1) 3 上单调递减9 分 高二（理科）数学试题第 8 页 （共 10 页） 因此函数( )f x的极小值为(1)3f，极大值为 185 ( ) 327 f， 所以要使( )f xk有三个不等实数根，则k的取值范围为 85 (3,) 27 12 分 19.（本小题满分 12 分） 解解： （1） 2 2 100(35 30 15 20) 9.091 50 50 45 55 K ，3 分 因为9.0916.635，所以能在犯错误不超过0.01的前提下，认为“选择物理与性别有关” ； 6 分 （2）由题意：X的可能取值为0,1,
15、27 分 则 03 24 3 6 1 (0) 5 C C P x C , 12 24 3 6 3 (1) 5 C C P x C , 21 24 3 6 1 (2) 5 C C P x C 9 分 的分布列为 X012 P 1 5 3 5 1 5 131 ()0121 555 E X 12 分 20.（本小题满分 12 分） 解解： （1）假设存在 * nN，使 1 n a ， 1 1 n a + ， 2 1 n a + 成等差数列，即 12 121 nnn aaa + =+ 2 分 2 12 2 nn nnn aa aa a + + + = ，又因为数列 n a为等差数列，所以 21 2 n
16、nn aaa + += 1 12 22 n nnn a aa a + + = ， 2 12nnn aa a + =即 2 ()(2 ) nnn adaad+=+4 分 展开化简得： 2 0d = 即0d =与已知0d 矛盾， 因此假设不成立，故原命题得证.6 分 （2）由0n 及1 nm mn , 可知 11 11 mn 0 1m8 分 要证ln 1ln 10nm，只需证ln( 11)ln1nm， 高二（理科）数学试题第 9 页 （共 10 页） 只需证111nm，即证11nmmn 只需证0nmmn 只需证1 nm mn 11 分 而这是已知条件，所以原不等式得证.12 分 21.（本小题满分
17、 12 分） 解：解：21.(1)各组的频率分别为：0.1；0.25；0.30；0.15；0.20. 样本平均数5 0.1 15 0.2525 0.335 0.1545 0.226x .2 分 其标准差 22222 5260.115260.2525260.335260.1545260.2s 15912.6.4 分 （2） （i）记Y表示全市居民天然气月均使用量，则Y(26,159)N， 则(13.438.6)(26 12.626 12.6)0.6827PYPY.8 分 （ii）由（i）知，某户天然气月均使用量在(13.4,38.6)的概率为0.6827，9 分 则X(100,0.6827)B，
18、10 分 ()100 0.682768.27E Xnp12 分 22.（本小题满分 12 分） 解：解：22.(1) 11 ( )(2)(2)(2)1 xx fxa xexxae , 由( )0fx得： 1 2x 或 2 1 lnxa .2 分 当 3 ae，即 12 2xx ，( )0fx恒成立，( )f x在R上单调增； 当 3 ae，即 21 xx，则(, 2)x 和(1 ln ,)xa时( )0fx，( 2,1 ln )xa 时( )0fx. 故( )f x在区间(, 2) 和(1 ln ,)a上单调增，在区间( 2,1 ln )a上单调减； 当 3 ae，即 21 xx，则(,1 l
19、n )xa 和( 2,)x 时( )0fx，(1 ln , 2)xa时( )0fx. 高二（理科）数学试题第 10 页 （共 10 页） 故( )f x在 区 间(,1 ln )a和( 2,)上 单 调 增 ， 在 区 间(1 ln , 2)a上 单 调 减 ； 5 分 （2） 2 13 (1)ln 22 f xxx恒成立，即 2 ln10 x axexx 在(0,)恒成立， 2 ln1 x xx a xe 在(0,)恒成立， 设 2 ln1 ( ) x xx g x xe ，则 22 (1)(2ln) ( ) x xxx g x x e 7 分 令( )2lnxxx，则 1 ( ) x x x ，0 x ，( )0 x 因此( ) x在(0,)单调递减，又(1)10 ，(2)ln20 0 (1,2)x使 0 ()0 x即 00 2ln0 xx( ) 9 分 当 0 (0,)xx时，( )0g x，( )g x单调递减， 当 0 (,)xx时，( )0g x，( )g x单调递增， 0 00 0 2 0 ln1 ( )() x xx g xg x x e ，又由( ) 式得 00 ln2xx， 0 2 0 x xe 0 ( )()1g xg x，因此1a 即a的取值范围为1,. 12 分
