1、【第【第 1 讲】讲】乘法公式乘法公式 【基础知识回顾】【基础知识回顾】 知识点知识点 1 1平方公式平方公式 （1 1）平方差公式）平方差公式 22 ()()ab abab ； （2 2）完全平方公式）完全平方公式 222 ()2abaabb （3 3）三数和平方公式）三数和平方公式 2222 ()2()abcabcabbcac ； 知识点知识点 2 2立方公式立方公式 （1 1）立方和公式）立方和公式 2233 ()()ab aabbab ； （2 2）立方差公式）立方差公式 2233 ()()ab aabbab ； （3 3）两数和立方公式）两数和立方公式 33223 ()33abaa
2、babb ； （4 4）两数差立方公式）两数差立方公式 33223 ()33abaa babb 【合作探究】【合作探究】 探究一探究一平方公式的应用平方公式的应用 【例例 1】计算： （1） )416)(4( 2 mmm （2） ) 4 1 10 1 25 1 )( 2 1 5 1 ( 22 nmnmnm （3） )164)(2)(2( 24 aaaa （4） 22222 )(2(yxyxyxyx （5） 22 ) 3 1 2(xx 【解析【解析】 （1）原式= 333 644mm （2）原式= 3333 8 1 125 1 ) 2 1 () 5 1 (nmnm （3）原式= 644)()44
3、)(4( 63322242 aaaaa （4）原式= 2222222 )()()(yxyxyxyxyxyx 6336233 2)(yyxxyx （5）原式= 22 3 1 )2(xx 9 1 3 22 3 8 22 )2( 3 1 2 3 1 2)2(2) 3 1 ()2()( 234 222222 xxxx xxxxxx 归纳总结归纳总结： 在进行代数式乘法、 除法运算时， 要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构 【练习练习 1】计算： 2 (21)xy 【解析】【解析】原式= 22 (21)(2)1xyxy 2 (2)2(2)1xyxy 22 44421xxyyxy 探究二探究二立方公式
4、的应用立方公式的应用 【例例 2】计算： （1） 3 (1)x （2） 3 (23)x 【解析】 （1） 332 (1)331xxxx （2） 332 (23)8365427xxxx 归纳总结：归纳总结：常用配方法： 2 22 2ababab ， 2 22 2ababab 【练习练习 2】用立方和或立方差公式分解下列各多项式： (1) 3 8x(2) 3 0.12527b 分析：分析： (1)中， 3 82，(2)中 333 0.1250.5 ,27(3 )bb 【解析】【解析】(1) 3332 82(2)(42)xxxxx (2) 33322 0.125270.5(3 )(0.53 )0.5
5、0.5 3(3 ) bbbbb 2 (0.53 )(0.251.59)bbb 探究三探究三整体代换整体代换 【例例 3】已知 1 3x x ，求： （1） 2 2 1 x x ； （2） 3 3 1 x x 【解析】【解析】 1 3x x ，所以（1） 222 2 11 ()2327xx xx （2） 3222 32 11111 ()(1)()()33(33)18xxxxx xxxxx 归纳总结：归纳总结： （1）本题若先从方程 1 3x x 中解出x的值后，再代入代数式求值，则计算较烦琐 （2）本题是根据条件式与求值式的联系，用“整体代换”的方法计算，简化了计算 【练习练习 3-1】已知 2
6、 310 xx ， 求： （1） 2 2 1 x x ； （2） 3 3 1 x x 【解析】【解析】 2 310 xx ， 0 x ， 2 13xx ， 1 3x x （1） 222 2 11 ()2( 3)211xx xx ； （2） 3 3 1 x x 2 2 11 ()(1)3 (11 1)36xx xx 【练习练习 3-2】已知 4abc ， 4abbcac ，求 222 abc 的值 【解析】 2222 ()2()8abcabcabbcac 【课后作业】【课后作业】 1不论a，b为何实数， 22 248abab 的值（） A总是正数B总是负数C可以是零D可以是正数也可以是负数 2已
7、知 22 169xy ， 7xy ，那么 xy 的值为（） A120B60C30D15 3如果多项式 2 9xmx 是一个完全平方式，则m的值是 4如果多项式 kxx8 2 是一个完全平方式，则k的值是 5 22 _abab 2 22 _abab 6已知 17xy ， 60 xy ，则 22 xy 7填空，使之符合立方和或立方差公式或完全立方公式： （1） 3 (3)()27xx （2） 3 (23)()827xx （3） 26 (2)()8xx （4） 3 (32)()278aa （5） 3 (2)()x ；（6） 3 (23 )()xy （7） 22 1111 ()() 9432 abab
8、 （8） 2222 (2)4(abcabc) 8若 2 210 xx ，则 2 2 1 x x _； 3 3 1 x x _ 9已知 2 310 xx ，求 3 3 1 3x x 的值 10观察下列各式： 2 (1)(1)1xxx ； 23 (1)(1)1xxxx ； 324 (1)(1)1xxxxx . 根据上述规律可得： 1 (1)(.1) nn xxxx _ 【参考答案】【参考答案】 1乘法公式答案乘法公式答案 1A2B3 6 41654ab； 2ab 6169 7 （1） 2 39xx （2） 2 469xx （3） 42 24xx （4） 2 964aa （5） 32 6128xxx
9、 （6） 3223 8365427xx yxyy （7） 11 32 ab （8） 424abacbc 7【解析】【解析】 (1) 222 9166824xyzxyxzyz (2) 22 353421aabbab (3) 22 33a bab (4) 33 1 16 4 ab 8 【解析】【解析】 2 210 xx ， 0 x ， 2 12xx ， 1 2x x （1） 222 2 11 ()2( 2)26xx xx ； （2） 3 3 1 x x 2 2 11 ()(1)2 (6 1)14xx xx 9 【解析】【解析】 2 310 xx 0 x 3 1 x x 原式= 222 2 1111
10、 ()(1)3()()333(33)321xxxx xxxx 10 1 1 n x 【第【第 2 讲】讲】 因式分解因式分解 【基础知识回顾】【基础知识回顾】 知识点知识点 1因式分解因式分解 因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形在分式运算、 解方程及各种恒等变形中起着重要的作用 知识点知识点 2因式分解方法因式分解方法 因式分解的方法较多， 除了初中课本涉及到的提取公因式法提取公因式法和公式法 （平方差公式平方差公式和完全平完全平 方公式方公式）外，还有公式法（立方和、立方差公式立方和、立方差公式） 、十字相乘法十字相乘法和分组分解法分组分解法等等 知识点知识点
11、 3常用的乘法公式：常用的乘法公式： （1）平方差公式：）平方差公式： 22 ()()ab abab ； （2）完全平方和公式：）完全平方和公式： 222 ()2abaabb ； （3）完全平方差公式：）完全平方差公式： 222 ()2abaabb （4） 2 ()abc 2222 ()2()abcabcabbcac . （5） 33 ab 22 ()()ab aabb (立方和公式立方和公式) （6） 33 ab 22 ()()ab aabb (立方差公式立方差公式) 【合作探究】【合作探究】 探究一探究一公式法公式法 【例例 1】分解因式：(1) 34 381a bb (2) 76 aab
12、 【分析】【分析】(1) 中应先提取公因式再进一步分解；(2) 中提取公因式后，括号内出现 66 ab ， 可看着是 3232 ()()ab 或 2323 ()()ab 【解析】【解析】(1) 343322 3813 (27)3 (3 )(39)a bbb abb ab aabb (2) 76663333 ()()()aaba aba abab 2222 2222 ()()()() ()()()() a ab aabbab aabb a ab ab aabbaabb 归纳总结：归纳总结： (1) 在运用立方和(差)公式分解因式时，经常要逆用幂的运算法则，如 333 8(2)a bab ，这 里
13、逆用了法则( )n nn aba b ； (2) 在运用立方和(差)公式分解因式时，一定要看准因式中各项的符号 【练习【练习 1】把下列各式分解因式： (1) 34 xyx(2) 33nn xx y (3) 2232 (2 )yxxy 【解析】（【解析】（1） 34 xyx= 22 ()()x xyyxyx （2） 33nn xx y = 22 ()(), n xxy xxyy （3） 2232 (2 )yxxy= 22432 (1) (4321)yxxxxx 探究二探究二提取公因式法与分组分解法提取公因式法与分组分解法 【例例 2-1】把 22 xyaxay 分解因式 【分析【分析】 ：把第
14、一、二项为一组，这两项虽然没有公因式，但可以运用平方差公式分解因式， 其中一个因式是 xy ； 把第三、 四项作为另一组， 在提出公因式a后， 另一个因式也是 xy . 【解析】【解析】： 22 ()()()()()xyaxayxy xya xyxy xya 【例例 2-2】分解因式： （1） 2 55abab ； （2） 32 933xxx 【解析【解析】 （1） 2 55abab (5)(1)a ba ； （2） 32 933xxx 32 (3)(39)xxx 2( 3)3(3)xxx 2 (3)(3)xx 【例例 2-3】分解因式： （1） 32 933xxx ； （2） 22 2456
15、xxyyxy 【解析【解析】 （1） 32 933xxx = 32 (3)(39)xxx = 2( 3)3(3)xxx = 2 (3)(3)xx 或 32 933xxx 32 (331)8xxx 3 (1)8x 33 (1)2x 22 (1)2(1)(1) 22 xxx 2 (3)(3)xx （2） 22 2456xxyyxy = 22 2(4)56xyxyy = 2 2(4)(2)(3)xyxyy =(2 2)(3)xyxy 或 22 2456xxyyxy = 22 (2)(45 )6xxyyxy =(2 )()(45 )6xy xyxy =(2 2)(3)xyxy 【例例 2-4】把 22
16、2 2428xxyyz 分解因式 【分析【分析】 ：先将系数 2 提出后，得到 222 24xxyyz ，其中前三项作为一组，它是一个 完全平方式，再和第四项形成平方差形式，可继续分解因式 【解析】：【解析】： 222222 24282(24)xxyyzxxyyz 22 2()(2 ) 2(2 )(2 )xyzxyz xyz 【练习练习 2】分解因式（1） 2 7()5()2abab (2) 22 (67 )25xx 【解析【解析】 （1） 2 7()5()2abab =(7 72)(1)abab (2) 22 (67 )25xx = 22 (67 )5 (67 )5xxxx = 2 (21)
17、(35)(675)xxxx 探究三探究三十字相乘法十字相乘法 【例【例 3-1】把下列各式因式分解： (1) 2 76xx(2) 2 1336xx(3) 22 6xxyy 【解析】【解析】(1) 6( 1)( 6),( 1)( 6)7 2 76( 1)( 6)(1)(6)xxxxxx (2) 3649,4913 2 1336(4)(9)xxxx (3) 2222 66(3 )(2 )xxyyxyxxy xy 归纳总结：归纳总结： 这类式子在许多问题中经常出现，其特点是： (1) 二次项系数是 1；(2) 常数项是两个数之积；(3)一次项系数是常数项的两个因数之和 22 ()()()()()xp
18、q xpqxpxqxpqx xpq xpxp xq 因此， 2 ()()()xpq xpqxp xq 运用这个公式，可以把某些二次项系数为 1 的二次三项式分解因式 【例【例 3-2】把下列各式因式分解： (1) 2 1252xx(2) 22 568xxyy 32 4 1 1 2 54 y y 【解析】【解析】(1) 2 1252(32)(41)xxxx (2) 22 568(2 )(54 )xxyyxyxy 归纳总结：归纳总结： 用十字相乘法分解二次三项式很重要当二次项系数不是 1 时较困难，具体分解时，为提高 速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法”凑”，看是否符合一
19、次 项系数，否则用加法”凑”，先”凑”绝对值，然后调整，添加正、负号 【练习【练习 3-1】把下列各式因式分解： (1) 2 524xx(2) 2 215xx(3) 222 ()8()12xxxx 【解析】【解析】(1) 24( 3)8,( 3)85 2 524( 3)(8)(3)(8)xxxxxx (2) 15( 5)3,( 5)32 2 215( 5)(3)(5)(3)xxxxxx (3) 22222 ()8()12(6)(2)xxxxxxxx (3)(2)(2)(1)xxxx 探究四探究四拆、添项法拆、添项法 【例【例 4】分解因式 32 34xx 【分析【分析】 ：此多项式显然不能直接
20、提取公因式或运用公式，分组也不易进行细查式中无一 次项，如果它能分解成几个因式的积，那么进行乘法运算时，必是把一次项系数合并为 0 了，可考虑通过添项或拆项解决 【解析】【解析】 3232 34(1)(33)xxxx 22 (1)(1)3(1)(1)(1)(1)3(1)xxxxxxxxx 22 (1)(44)(1)(2)xxxxx 归纳总结：归纳总结：将 2 3x拆成 22 4xx ，将多项式分成两组 32 ()xx和 2 44x 【课后作业】【课后作业】 1把下列各式分解因式： (1) 3 27a (2) 3 8m (3) 3 278x (4) 33 11 864 pq (5) 33 1 8
21、 125 x y (6) 333 11 21627 x yc 2把下列各式分解因式： (1) 34 xyx (2) 33nn xx y (3) 2323 ()amna b (4) 2232 (2 )yxxy 3把下列各式分解因式： (1) 2 32xx (2) 2 3736xx (3) 2 1126xx (4) 2 627xx (5) 22 45mmnn (6) 2 ()11()28abab 4把下列各式分解因式： (1) 543 1016axaxax (2) 212 6 nnn aaba b (3) 22 (2 )9xx (4) 42 718xx (5) 2 673xx (6) 22 826
22、15xxyy 5把下列各式分解因式： (1) 2 33axayxyy (2) 32 8421xxx (3) 2 51526xxxyy (4) 22 4202536aabb (5) 22 414xyxy (6) 432224 a ba ba bab (7) 663 21xyx (8) 2( 1)()xxy xyx 【参考答案】【参考答案】 1 222 (3)(39),(2)(42),(23 )(469),aaammmxxx 2222222 11211 (2)(42),(2)(4),(2 )(24) 645525216 pqppqqxyx yxyxyc x yxycc 2 2222 ()(),()
23、(), n x xyyxyxxxy xxyy 22222432 ()()(),(1) (4321)amnbmnb mnbyxxxxx 3( 2)(1),(36)(1),(13)(2),(9)(3)xxxxxxxx (9)(3),(5 )(),(4)(7)xxmn mnabab 4 322 (2)(8),(3 )(2 ),(3)(1)(23),(3)(3)(2) n axxxaab abxxxxxxx 2 (23)(31),(2)(415 ),(772)(1),(21)(35)(675)xxxyxyababxxxx 5 2 ()(3),(21) (21),(3)(52 ),(256)(256)x
24、yayxxxxyabab 23333 (12)(12),() (),(1)(1), ()(1)xyxy ab ababxyxyx xy xy 【第【第 3 讲】讲】 根式根式与根式的运算与根式的运算 【基础知识回顾】【基础知识回顾】 知识点知识点 1 1二次根式的概念二次根式的概念 一般地，形如 (0)a a 的代数式叫做二次根式. 知识点知识点 2 2二次根式性质二次根式性质 (1) 2 ()(0)aa a (2) 2 |aa (3) (0,0)abab ab (4) (0,0) bb ab a a 二次根式 2 a 的意义 2 aa ,0, ,0. aa a a 【合作探究】【合作探究】
25、探究一探究一根式的简化根式的简化 【例例 1-1】将下列式子化为最简二次根式： （1） 12b ；（2） 6 4(0)x y x (3) 22 ( 32)( 31) 【解析【解析】 （1） 122 3bb ； （2） 633 422(0)x yxyxy x (3) 原式=| 32|31| 2331 1 归纳总结归纳总结：注意性质 2 |aa 的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母 的取值分类讨论 【练习练习 1-1】 化简下列各式： （1） 2 (0)a b a ；(2) 22 (1)(2) (1)xxx 【解析】 （1） 2 (0)a baba b a ； (2) 原式= (1
26、)(2)23 (2) |1|2| (1)(2)1 (1x2) xxxx xx xx 【例例 1-2】 （1）若 2 (5)(3)(3) 5x xxx ，则x的取值范围是； （2）等式 22 xx xx 成立的条件是（） A. 2x B. 0 x C. 2x D.0 2x 【解析【解析】 （1） 2 (5)(3)|3|5(3) 5x xxxxx |3| (3)xx (3)0 x 35x （2）由于 0 20 x x 2x 。故选 C 归纳总结：归纳总结： 【练习练习 1-2】 （1）4 24 6 543 962 150 ； （2）若 22 11 1 aa b a ，求a b 的值 【解析【解析】
27、 （1）4 24 6 543 962 150 8 618 612 610 68 6 （2）因为 2 2 10 10 10 a a a 所以 1a ，此时 00 0 2 b 1ab 探究三探究三有理化因式和分母有理化有理化因式和分母有理化 【例例 3-1】计算： 3 33 【解析】【解析】解法一： 3 33 3 (33) (33)(33) 3 33 93 3( 31) 6 31 2 解法二： 3 33 3 3( 31) 1 31 31 ( 31)( 31) 31 2 【例例 3-2】化简： 20162017 ( 32)( 32) 【解析】【解析】原式 20162016 ( 32)( 32)( 3
28、2) = 2016 ( 32) ( 32)( 32) 2016 1( 32) 32 【例例 3-3】化简： （1） 94 5 ；（2） 2 2 1 2(01)xx x 【解析【解析】 （1）原式 54 54 22 ( 5)2 252 2 (25) 25 52 （2）原式= 2 1 ()x x 1 x x ，0 1x ， 1 1x x ，所以，原式 1 x x 【例例 3-4】已知 3232 , 3232 xy ，求 22 353xxyy 的值 【解析】【解析】 22 3232 ( 32)( 32)10 3232 xy ， 3232 1 3232 xy ， 2222 3533()113 1011
29、289xxyyxyxy 归纳总结：归纳总结： 【练习练习 3】 （1） 13 13 ； （2）若 5 2 x ，则 1111 1111 xxxx xxxx 【答案】 （1） 32 （2） 5 【解析】 （1） 13 13 2 13 1313 42 3 32 13 （2） 1111 1111 xxxx xxxx 22 22 (11)(11) (1)(1) xxxx xx = 2(1)2(1)4 25 (1)(1)2 xxx x xx 【课后作业】【课后作业】 1二次根式 2 aa 成立的条件是() A 0a B 0a C 0a Da是任意实数 2若 3x ，则 2 96|6|xxx 的值是()
30、A3B3C9D9 3化简(下列a的取值范围均使根式有意义)： (1) 3 8a (2) 1 a a (3) 4ab a bb a (4) 112 23231 4化简： (1) 2 1 9102 325 mm mmm m (2) 2 22 (0) 2 xyxy xy xx y 5设 11 , 3232 xy ，求代数式 22 xxyy xy 的值 6设 51 2 x ，求 42 21xxx 的值 7化简或计算： (1) 113 ( 184) 23 23 (2) 2 21 22(25) 3 52 (3) 2 x xxyxxyy xyyx xyy 【参考答案】【参考答案】 1 C 2 A 3 2()
31、2 22 1 2 ab aaa ab 4 2m mxy 5 13 3 6 63 5 7 4 3 3, 3 xy y 【第【第 4 讲】讲】 分式运算分式运算 【基础知识回顾】【基础知识回顾】 知识点知识点 1分式的意义与性质分式的意义与性质 形如 A B 的式子，若 B 中含有字母，且 0B ，则称 A B 为分式分式 当 M0 时，分式 A B 具有下列性质： AA M BBM ； AAM BBM 知识点知识点 2繁分式繁分式 像 a b cd ， 2 mnp m np 这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式繁分式 【合作探究】【合作探究】 探究一探究一解分的化简与求值解分的化简与求值
32、 【例例 1-1】代数式 1 1 1 1 x 有意义，则x需要满足的条件是_ 【解析】01 1 1 x 且01x，解得21xx且 【例例 1-2】若 54 (2)2 xAB x xxx ，求常数 ,A B 的值 【解析】 ： (2)()254 2(2)(2)(2) ABA xBxAB xAx xxx xx xx x ， 5, 24, AB A 解得 2,3AB 归纳总结：归纳总结： 【练习【练习 1】化简： 2 11 2 11 1 xx x x x 本资料分享自千人教师 QQ 群 323031380 期待你的加入与 分享 【解析】 2 222 11 112 2 22 11 111 111 xx
33、 xx xxx xxx xxx xxx 2 2 32 212 22 1 x x xxx xx 探究二探究二列项相消列项相消 【例例 2】 （1）试证： 111 (1)1n nnn （其中 n 是正整数） ； （2）计算： 111 1 22 39 10 ； （3）证明：对任意大于1 的正整数n， 有 1111 2 33 4(1)2n n 【解析】 （1）证明： 11(1)1 1(1)(1) nn nnn nn n ， 111 (1)1n nnn （其中 n 是正整数）成立 （2）解：由（1）可知 111 1 22 39 10 11111 (1)()() 223910 1 1 10 9 10 （3
34、）证明： 111 2 33 4(1)n n 111111 ()()() 23341nn 11 21n ， 又 n2，且 n 是正整数， 1 n1 一定为正数， 111 2 33 4(1)n n 1 2 归纳总结：归纳总结： 【练习练习 2】 （1）证明： 1111 () (21)(21)2 2121nnnn （其中 n 是正整数） ； （2） 证明： 对任意大于1 的正整数n，有 1111 1 33 5(21)(21)2nn 【解析】 （1）证明： 11(21)(21) (21)(21)2(21)(21) nn nnnn 1(21)(21) 2(21)(21)(21)(21) nn nnnn
35、111 () 2 2121nn 1111 () (21)(21)2 2121nnnn （其中 n 是正整数）成立 （2）证明： 111 1 33 5(21)(21)nn 1111111 ()()() 213352121nn 1 11 () 2 121n 11 242n ， 又 n1，且 n 是正整数， 1 2n1 一定为正数， 1111 1 33 5(21)(21)2nn 探究三探究三分式的应用分式的应用 【例例 3】设 c e a ，且 e1，2c25ac2a20，求 e 的值 【解析】在 2c25ac2a20 两边同除以 a2，得 2e25e20，(2e1)(e2)0， e1 2 1，舍去
36、；或 e2 e2 归纳总结：归纳总结： 【练习练习 3】设 c e a ，且 e1，3c210ac3a20，求 e 的值 【解析】在 2c25ac2a20 两边同除以 a2，得 3e210e30，(3e1)(e3)0， e1 3 1，舍去；或 e3 e3 探究四探究四多项式除以多项式多项式除以多项式 【例例 4】计算 )3()3( 24 xxx 【解析】 3 93 93 33 30 03003 2 2 2 24 42 x x x xx xx xxx xxxxx39)3()3()3( 224 归纳总结归纳总结：做竖式除法时，被除式、除式都要按同一字母的降幂排列，缺项补零（除式的缺 项也可以不补零
37、，但做其中的减法时，要同类项对齐） ，要特别注意，得到每个余式的运算 都是减法。结果表示为：被除式=除式商式+余式 【练习练习 4】计算（1） )32()2713103( 223 xxxxx （2） ) 1()22( 232 xxx 【解析】 （1） 32 1514 43)32()2713103( 2 223 xx x xxxxxx （2） 1 2) 1()22( 2 232 x x xxxx 【课后作业】【课后作业】 1对任意的正整数 n， 1 (2)n n ( 11 2nn )； 2若 22 3 xy xy ，则 x y （） （A）（B） 5 4 （C） 4 5 （D） 6 5 3正数
38、, x y 满足 22 2xyxy ，求 xy xy 的值 4计算 1111 . 1 22 33 499 100 5已知 1453, 2112219 23234 xxxBxxxxA ，求： 22 BA 6填空： （1） 1 2 a ， 1 3 b ，则 2 22 3 352 aab aabb ； （2）若 22 20 xxyy ，则 22 22 3xxyy xy ； 7计算： 1111 1 32 43 59 11 8试证：对任意的正整数 n，有 111 1 2 32 3 4(1)(2)n nn 1 4 【参考答案】【参考答案】 11 2 2B 3 21 4 99 100 5 222 )23(x
39、BA 6 （1） 3 7 （2） 5 2，或1 5 7 5 11 8 111 (1)(2)(1)(2)n nnnn n 11 11 (1)2(2)nnn 11111111 ()() 2(1)(1)(2)2(1)12n nnnnnnn 1 11111 ()() 2(1)212nnnn 111 1 2323 4(1)(2)n nn 111 111111 (1)() 2(1)2 22422244nnnn 【第【第 5 讲】讲】 绝对值和绝对值不等式的解法绝对值和绝对值不等式的解法 【基础知识回顾】【基础知识回顾】 知识点知识点 1 1绝对值的代数意义绝对值的代数意义 正数的绝对值是它的本身，负数的绝
40、对值是它的相反数，零的绝对值仍是零即 ,0, |0,0, ,0. aa aa a a 知识点知识点 2 2绝对值的几何意义绝对值的几何意义 一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离 知识点知识点 3 3两个数的差的绝对值的几何意义两个数的差的绝对值的几何意义 ba表示在数轴上，数a和数b之间的距离 【合作探究】【合作探究】 探究一探究一绝对值的性质绝对值的性质 【例例 1-1】到数轴原点的距离是 2 的点表示的数是（） A2B2C-2D4 【答案】A 【例例 1-2】已知|x|=5，|y|=2，且 xy0，则 x-y 的值等于（） A7 或-7B7 或 3C3 或-3D-7 或-3 【答
41、案】C 【例【例 1-3】已知：abc0，且 M= abc abc ，当 a，b，c 取不同值时，M 有 _种不同可 能 【答案】4 【解析】当 a、b、c 都是正数时，M= 3； 当 a、b、c 中有一个负数时，则 M=1； 当 a、b、c 中有 2 个负数时，则 M= -1； 当 a、b、c 都是负数时，M=-3 归纳总结：归纳总结： 【练习练习 1】已知 a b c， 是非零整数，且 0abc ，求 abcabc abcabc 的值 【解析】：由于 0abc ，且 a b c， 是非零整数，则a b c ， 一正二负或一负二正， （1）当 a b c， 一正二负时，不妨设 000abc，
42、 ，原式 1 1 1 10 ； （2）当 a b c， 一负二正时，不妨设 000abc， ，原式 1 1 1 10 原式 0 探究二探究二绝对值的应用绝对值的应用 【例【例 2】若 42ab ，则 _ab 【解析】 424204,2ababab ，所以 2ab 归纳总结：归纳总结：绝对值具有非负性，即若 0abc ，则必有 0a ， 0b ， 0c 【练习【练习 2-1】练习 1： 2 120ab， a _；b _ 【解析】1,2ab 【练习【练习 2-2】若 7 32 210 2 mnp ，则 23_pnm 【解析】由题意， 71 3, 22 mnp ，所以 13 2379 22 pnmm
43、 探究三探究三零点分段法去绝对值零点分段法去绝对值 【例例 3】化简代数式 24xx 【解析】当 2x 时，原式 2422xxx ； 当 24x 时，原式 246xx ； 当x4时，原式 2422xxx 综上讨论，原式 222 624 224 xx x xx 归纳总结：归纳总结： 【练习练习 3】化简代数式 122yxx 【解析】当 1x 时， 53yx ； 当1 2x 时， 3yx ； 当 2x 时， 35yx 综上讨论，原式 531 312 352 x x xx xx 探究四探究四绝对值函数绝对值函数 【例例 4-1】画出 1yx 的图像 【解析】（1）关键点是 1x ，此点又称为界点；
44、（2）接着是要去绝对值 当 1x 时， 1yx ；当 1x 时， 1yx （3）图像如右图 说明：此题还可以考虑该图像可由 y=|x|的图象向右平移一个单位后得到 【例例 4-2】画出 122yxx 的图象 【解析】（1）关键点是 1x 和 2x （2）去绝对值 当 1x 时， 53yx ； 当1 2x 时， 3yx ； 当 2x 时， 35yx （3）图象如右图所示 【例例 4-3】画出函数 2 23yxx 的图像 【解析】（1）关键点是 0 x （2）去绝对值： 当 0 x 时， 2 23yxx ； 当 0 x 时， 2 23yxx （3）可作出图像如右图 【例例 4-4】画出函数 2 3
45、2yxx 的图像 【解析】（1）关键点是 1x 和 2x （2）去绝对值： 当 1x 或 2x 时， 2 32yxx ； 当1 2x 时， 2 32yxx （3）可作出图像如右图 归纳总结：归纳总结： 探究五探究五解解绝对值绝对值不等式不等式 【例例 5-1】解不等式 1x 【解析】x对应数轴上的一个点，由题意，x到原点的距离小于 1，很容易知道到原点距离 等于 1 的点有两个： 1 和1，自然只有在 1 和1之间的点，到原点的距离才小于 1，所以 x的解集是 | 1 1xx 归纳总结归纳总结： （1） (0)xa a 的解集是 | xaxa ，如图 1 （2） (0)xa a 的解集是 |
46、x xaxa 或 ，如图 2 【练习练习 5-1】解不等式： （1） 3x ；（2） 3x （3） 2x 【答案】（1） | 3 3xx （2） | 33x xx 或 （3） | 2 2xx 【例【例 5-2】解不等式 21x 【解析】：由题意， 121x ，解得1 3x ，所以原不等式的解集为 |1 3xx 归纳总结归纳总结： （1） (0)axbc ccaxbc （2） (0)axbc caxbc 或ax bc 【练习练习 5-2】解不等式： （1） 103x ； （2） 252x ； （3） 325x ； 【解析】： （1）由题意， 3103x ，解得7 13x ，所以原不等式的解集为
47、|713xx （2）由题意，2 52x 或2 52x ，解得 7 2 x 或 3 2 x ， ，所以原不等式的解集为 73 | 22 x xx或 （3）由题意， 5325x ，解得 【例【例 5-3】解不等式组 240 51 32 x x 【解析】：由 240 x ，得 424x ，解得 26x ， 由5 1 32x ，得 1 33x ，即 31 33x ，解得 42 33 x ， 由得， 42 33 x ，所以原不等式的解集为 42 | 33 xx 【练习练习 5-3】解不等式1 215x 【解析】：方法一：由 215x ，解得 23x ；由1 21x 得， 0 x 或 1x ， 联立得 2
48、013xx 或 ，所以原不等式的解集为 | 2 013xxx 或 方法二：1 2151215xx 或 5211x ，解得 2013xx 或 ，所以原不等式的解集为 | 2 013xxx 或 【例【例 5-4】解不等式： 4321xx 【解析】：方法一： （零点分段法） （1）当 3 4 x 时，原不等式变为： (43)21xx ，解得 1 3 x ，所以 1 3 x ； （2）当 3 4 x 时，原不等式变为：4 321xx ，解得 2x ，所以 2x ； 综上所述，原不等式的解集为 1 |2 3 x xx或 方法二： 43214321xxxx 或4 3(21)xx ，解得 1 3 x 或 2
49、x ，所 以原不等式的解集为 1 |2 3 x xx或 归纳总结归纳总结： （1） ( )( )( )axbf xf xaxbf x （2） ( )( )axbf xaxbf x 或 ( )axbf x 【练习练习 5-4】解不等式： 431xx 【解析】：由 431xx 得 (1)431xxx ，解得 24 53 x ，原不等式的解集 为 24 | 53 xx 【例【例 5-5】解不等式： 215xx 方法 1：利用零点分区间法（推荐） 【分析】:由 01 x ， 02 x ，得 1x 和 2x 2 和1把实数集合分成三个 区间，即 2x ， 12x ， 1x ，按这三个区间可去绝对值，故可
50、按这三个区间 讨论 【解析】：当 2x 时，得 2 (1)(2)5 x xx ，解得： 23x ； 当 12x 时，得 21 (1)(2)5 x xx ， 解得： 12x ； 当 1x 时，得 1 (1)(2)5 x xx ，解得： 21 x 综上，原不等式的解集为 23xx 方法 2：利用绝对值的几何意义 【解析】： 215xx 的几何意义是数轴上的点x到 1 和 2 的距离之和小于 5 的点 所 对 应 的 取值 范 围 ， 由 数 轴 可知 ， 1 ( 2)35 ， 易 知 当 3x 或 2x 时 ， 215xx ，所以x位于 3 和2之间（不含端点） ，所以 32x ，所以原不等式 的
