1、讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了 学而思小学奥数讲义组 学而思教育07 年秋季五年级精英班第十四讲教师版Page 1 of 11 第十四讲第十四讲统筹优化统筹优化 知识说明知识说明 其实其实统筹学是一门数学学科，但它在许多的领域都在使用，统筹学是一门数学学科，但它在许多的领域都在使用，在生活中有很多事情要去做时，科学的在生活中有很多事情要去做时，科学的 安排好先后顺序，能够提高我们的工作效率。我安排好先后顺序，能够提高我们的工作效率。我国著名数学家华罗庚教授生前十分重视数学的应用，并国著名数学家华罗庚教授生前十分重视数学的应用，并 亲自带领小分队推广优选法
2、、统筹法，使数学直接为国民经济发展服务亲自带领小分队推广优选法、统筹法，使数学直接为国民经济发展服务，他，他在中学语文课本中，曾有一在中学语文课本中，曾有一 篇名为统筹原理的文章详，细介绍了统筹方法和指导意义。篇名为统筹原理的文章详，细介绍了统筹方法和指导意义。 比如，想泡壶茶喝。当时的情况是：开水没有；水壶要洗，茶壶茶杯要洗；火生了，茶叶也有了。比如，想泡壶茶喝。当时的情况是：开水没有；水壶要洗，茶壶茶杯要洗；火生了，茶叶也有了。 怎么办？办法甲：洗好水壶，灌上凉水，放在火上；在等待水开的时间里，洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶；怎么办？办法甲：洗好水壶，灌上凉水，放在火上；在等待水开的时间里，洗茶壶
3、、洗茶杯、拿茶叶； 等水开了，泡茶喝。办法乙：先做好一些准备工作，洗水壶，洗茶壶茶杯，拿茶叶；一切就绪，灌水烧等水开了，泡茶喝。办法乙：先做好一些准备工作，洗水壶，洗茶壶茶杯，拿茶叶；一切就绪，灌水烧 水；坐待水开了泡茶喝。办法丙：洗净水壶，灌上凉水，放在火上，坐待水开；水开了之后，急急忙忙水；坐待水开了泡茶喝。办法丙：洗净水壶，灌上凉水，放在火上，坐待水开；水开了之后，急急忙忙 找茶叶，洗茶壶茶杯，泡茶喝。找茶叶，洗茶壶茶杯，泡茶喝。 哪一种办法省时间？我们能一眼看出第一种办法好，后两种办法都窝了工。哪一种办法省时间？我们能一眼看出第一种办法好，后两种办法都窝了工。在实际生活中，我们科在实际
4、生活中，我们科 学的利用统筹安排的方法可以大大节省时间、人力、物力以及资源，提高做事的效率。学的利用统筹安排的方法可以大大节省时间、人力、物力以及资源，提高做事的效率。 分析分析： “小往大处靠小往大处靠”的原则来解决的原则来解决，A A 点向点向 C C 点集中，因为根据点集中，因为根据“小往大处靠小往大处靠”的原则，虽然的原则，虽然 A A 点点 4 40 0 人比人比 C C 点点 2020 人多人多，但是人最多的点是但是人最多的点是 E E 点点，所以大方向是向所以大方向是向 E E 点的方向靠拢点的方向靠拢。那么那么 B B 点当然也要向点当然也要向 C C 点点 靠拢靠拢。C C
5、点就有点就有 8080 人了人了. .此时人数最多的点变成了此时人数最多的点变成了 C C 点了点了.D.D、E E 又变成小势力了又变成小势力了，因此还是因此还是“小往大处靠小往大处靠” 的原则的原则，看大方向看大方向，E E 点要向点要向 D D 点靠拢点靠拢. .此时此时 D D 点变成点变成 8585 人了人了。那么那么 D D 点比此时点比此时 C C 点的点的 8080 人多了人多了.C.C 点又点又 变成小势力了变成小势力了. .所以最终要集中在所以最终要集中在 D D 点点. .也就是学校要设在也就是学校要设在 D D 点点. . 【你会利用时间么？【你会利用时间么？】 （20
6、00 年年小学生数学报数学邀请赛小学生数学报数学邀请赛）烙饼需要烙它的正、反面，如果烙熟一烙饼需要烙它的正、反面，如果烙熟一 块饼的正、反面，各用去块饼的正、反面，各用去 3 分钟，分钟，那么用一次可容下那么用一次可容下 2 块饼的锅来烙块饼的锅来烙 21 块饼，至少需要块饼，至少需要多少多少分钟分钟？ 分析：分析：先将两块饼同时放人锅内一起烙，先将两块饼同时放人锅内一起烙，3 分钟后两块饼都熟了一面，这时取出分钟后两块饼都熟了一面，这时取出一块，第二块翻个身，一块，第二块翻个身， 再放人第三块，又烙了再放人第三块，又烙了 3 分钟，第二块已烙熟取出，第三块翻个分钟，第二块已烙熟取出，第三块翻
7、个身，再将第一块放入烙另一面，再烙身，再将第一块放入烙另一面，再烙 3 分钟，锅内两块饼均烙熟这样烙分钟，锅内两块饼均烙熟这样烙 3 块饼，块饼，用去用去 9 分钟，所以烙分钟，所以烙 21 块饼，至少用块饼，至少用 21 13 3 963（分钟分钟） 想挑战吗？ 右图是右图是 A，B，C，D，E 五个村之间的道路示意图五个村之间的道路示意图， 中数字是各村要上学的学生人数中数字是各村要上学的学生人数， 道路上的数表道路上的数表 示两村之间的距离（单位：千米示两村之间的距离（单位：千米） 。现在要在五村。现在要在五村 之中选一个村建立一所小学之中选一个村建立一所小学。 为使所有学生到学校为使所
8、有学生到学校 的总距离最短，试确定最合理的方案的总距离最短，试确定最合理的方案. 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了 学而思小学奥数讲义组 学而思教育07 年秋季五年级精英班第十四讲教师版Page 2 of 11 专题精讲专题精讲 I.I. 合理安排时间合理安排时间 【例【例 1】 小明骑在牛背上赶牛过河。共有甲、乙、丙、丁小明骑在牛背上赶牛过河。共有甲、乙、丙、丁 4 头牛。甲牛过河需要头牛。甲牛过河需要 1 分钟，乙牛过河需分钟，乙牛过河需要要 2 分钟，丙牛过河需要分钟，丙牛过河需要 5 分钟，丁牛过河需要分钟，丁牛过河需要 6 分钟。每次只能赶两头牛
9、过河，那么小明要把这分钟。每次只能赶两头牛过河，那么小明要把这 4 头牛头牛 都赶到对岸，最小要用多少分钟？都赶到对岸，最小要用多少分钟？ 分析：分析：要想用最少的时间，要想用最少的时间，4 头牛头牛都都能过河能过河，保证时间最短：保证时间最短： 第一步：第一步：甲甲与与乙乙一起过一起过河河，并由，并由小明骑甲牛小明骑甲牛返回，共用返回，共用：213(分钟分钟)； 第二步：返回原地的小第二步：返回原地的小明再骑丙明再骑丙与与丁丁过过河河后再后再骑乙牛骑乙牛返回，共用了返回，共用了 628(分钟分钟)； 第三步：最后小第三步：最后小明骑甲明骑甲与与乙乙一起过一起过河河用了用了 2 分钟；分钟；
10、所以，所以，小明要把这小明要把这 4 头牛都赶到对岸，最小要用头牛都赶到对岸，最小要用 38213(分钟分钟)。 【前铺】 （03 年迎春杯试题） （难度系数：）小强、小明、小红和小蓉 4 个小朋友效游回家时天色已 晚，他们来到一条河的东岸，要通过一座小木桥到西岸，但是他们 4 个人只有一个手电筒，由于桥的承 重量小，每次只能过 2 人，因此必须先由 2 个人拿着手电筒过桥，并由 1 个人再将手电筒送回，再由 2 个人拿着手电筒过桥直到 4 人都通过小木桥.已知，小强单独过桥要 1 分钟；小明单独过桥要 1.5 分 钟;小红单独过桥要 2 分钟;小蓉单独过桥要 2.5 分钟.那么,4 个人都通
11、过小木桥,最少要多少分钟？ 分析： （方法一）要想用最少的时间，4 人都通过小木桥，可采用让过桥最快的小强往返走，将手电筒送 回，这样就能保证时间最短了 第一步：小强与小明一起过桥，并由小强带手电筒返回，共用：1.512.5(分钟)； 第二步：返回原地的小强与小红过桥后再返回，共用了 213(分钟)； 第三步：最后小强与小蓉一起过桥用了 2.5 分钟； 所以，4 个人都通过小木桥，最少用 2.532.58(分钟) （方法二）要想用最少的时间，4 人都能过桥，保证时间最短还可以： 第一步：小强与小明一起过桥，并由小强带手电筒返回，共用：1.512.5(分钟)； 第二步：返回原地的小红与小蓉过桥后
12、再由小明带手电返回，共用了 2.51.54(分钟)； 第三步：最后小强与小小明一起过桥用了 1.5 分钟； 所以，4 个人都通过小木桥，最少用 2.541.58(分钟) 【例【例 2】 6 个人各拿一只水桶到水龙头接水，水龙头注满个人各拿一只水桶到水龙头接水，水龙头注满 6 个人的水桶所需时间分别是个人的水桶所需时间分别是 5 分钟、分钟、4 分钟分钟、 3 分钟分钟、10 分钟分钟、7 分钟分钟、6 分钟分钟。现在如果有甲现在如果有甲、乙两个水龙头可用乙两个水龙头可用，怎么安排这怎么安排这 6 个人打水个人打水，才能使才能使 他们等候的总时间最短，最短的时间是多少？他们等候的总时间最短，最短
13、的时间是多少？ 分析：分析：一人打水时，其他人需等待，为使总的等待时间尽量短，应让打水所需时间少的人先打。安排一人打水时，其他人需等待，为使总的等待时间尽量短，应让打水所需时间少的人先打。安排需需 3 分钟的分钟的，然后然后 5 分钟的分钟的，最后最后 7 分钟的分钟的在甲水龙头打在甲水龙头打；安排安排需需 4 分钟的分钟的，然后然后 6 分钟的分钟的，最后最后 10 分钟分钟 的的在乙水龙头打；在甲水龙头在乙水龙头打；在甲水龙头 3 分钟的人打时分钟的人打时，有，有 2 人等待，占用三人的时间和为（人等待，占用三人的时间和为（33）分；然后，）分；然后， 需需 5 分钟的人分钟的人打水打水，
14、有有 1 人等待人等待，占用两人的时间和为占用两人的时间和为（52）分分；最后最后，需需 7 分钟的人打水分钟的人打水，无人等无人等 待待。甲水龙头打水的三个人甲水龙头打水的三个人，共用共用（33527）分分，乙乙水龙头的三人水龙头的三人，共用共用（436210）分分。 总的占用时间为总的占用时间为（33527）（）（436210）60（分（分） 。 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了 学而思小学奥数讲义组 学而思教育07 年秋季五年级精英班第十四讲教师版Page 3 of 11 【前铺】6 个人各拿一只水桶到水龙头接水，水龙头注满 6 个人的水桶所需时间分
15、别是 5 分钟、4 分钟、 3 分钟、10 分钟、7 分钟、6 分钟。现在只有这一个水龙头可用，问怎样安排这 6 人的打水次序，可使他 们总的等候时间最短？这个最短时间是多少？ 分析：第一个人接水时，包括他本人在内，共有 6 个人等候，第二个人接水时，有 5 个人等候；第 6 个人接水时，只有他 1 个人等候。可见，等候的人越多（一开始时） ，接水时间应当越短，这样总的等候 时间才会最少，因此，应当把接水时间按从少到多顺序排列等候接水，这个最短时间是 36455 4637210100（分） 。 【例【例 3】 理发室里有甲理发室里有甲、乙两位理发师乙两位理发师，同时来了五位顾客同时来了五位顾客
16、，根据他们所要理的发型根据他们所要理的发型，分别需要分别需要 10、12、 15、20 和和 24 分钟，怎样安排他们理发的顺序分钟，怎样安排他们理发的顺序， （1）才能使这五人理发和等候所用时间的总和最少？最）才能使这五人理发和等候所用时间的总和最少？最 少时间为多少？（少时间为多少？（2）第一人开始理发到五人全部理完的时间最短第一人开始理发到五人全部理完的时间最短需要多少分钟？需要多少分钟？ 分析分析： （1）一人理发时一人理发时，其他人需等待其他人需等待，为使总的等待时间尽量短为使总的等待时间尽量短，应让理发所需时间少的人先理应让理发所需时间少的人先理.甲先甲先 给需给需 10 分钟的人
17、理发，然后分钟的人理发，然后 15 分钟的，最后分钟的，最后 24 分钟的；乙先给需分钟的；乙先给需 12 分钟的人理发，然后分钟的人理发，然后 20 分钟的分钟的， 甲给需甲给需 10 分钟的人理发时，有分钟的人理发时，有 2 人等待，占用三人的时间和为（人等待，占用三人的时间和为（10 03）分；然后，甲给需）分；然后，甲给需 15 分钟的分钟的 人理发，有人理发，有 1 人等待，占用两人的时间和为（人等待，占用两人的时间和为（152）分；最后，甲给需）分；最后，甲给需 24 分钟的人理发，无人等待分钟的人理发，无人等待. 甲理发的三个人甲理发的三个人，共用共用（10315224）分分，乙
18、理发的两个人乙理发的两个人，共用共用（12220）分分。总的占用时总的占用时 间为间为（10315224）（）（12220）128（分（分） 。 （2）因为（）因为（1012152024）240.5（分（分） ，经过组合，经过组合甲依次给需甲依次给需 10，12，20 分钟的人理发，分钟的人理发， 乙依次给需乙依次给需 15，24 分钟的人理发，五人全部理完所用时间为分钟的人理发，五人全部理完所用时间为 10122042（分（分） 。 【例【例 4 4】 （101101 培训试题培训试题） （难度系数难度系数：）车间里有五台车床同时出现故障车间里有五台车床同时出现故障，已知第一台到第五已知第一
19、台到第五 台修复时间依次为台修复时间依次为 18，30，17，25，20 分钟，每台车床停产一分钟造成经济损失分钟，每台车床停产一分钟造成经济损失 5 元元.现有两名工作效现有两名工作效 率相同的修理工率相同的修理工， （1 1）怎样安排才能使得经济损失最少？怎样安排才能使得经济损失最少？（2 2）怎样安排才能使从开始维修到维修结束历怎样安排才能使从开始维修到维修结束历 时最短？时最短？ 分析分析： （1）一人修一人修 17、20、30，另一人修另一人修 18、25 ；最少的经济损失为最少的经济损失为：5 5（17173+203+202+30+182+30+182+252+25） 910910
20、（元元）. .（2）因为因为（1830172520）255（分分） ，经过组合经过组合，一人修需一人修需 18，17 和和 20 分钟分钟 的三台，另一人修需的三台，另一人修需 30 和和 25 分钟的两台，修复时间最短，为分钟的两台，修复时间最短，为 55 分钟分钟。 【例【例 5】 （小学数学报试题（小学数学报试题） 右图是一张道路示意图右图是一张道路示意图， 每段路上的数字表示小每段路上的数字表示小 明走这段路所需要的时间（单位：分明走这段路所需要的时间（单位：分） 。小明从。小明从 A 到到 B 最快要几分钟？最快要几分钟？ ? （4） ? （3） ? （1） ? （2） 分析：分析：
21、我们采用分析排除法，将道路图逐步简化。我们采用分析排除法，将道路图逐步简化。 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了 学而思小学奥数讲义组 学而思教育07 年秋季五年级精英班第十四讲教师版Page 4 of 11 从从 A 到到 O 有两条路，有两条路，ACO 用用 6 分钟，分钟，AFO 用用 7 分钟，排除后者，可将分钟，排除后者，可将 FO 抹去，但抹去，但 AF 不能不能 抹去，因为从抹去，因为从 A 到到 B 还有其它路线经过还有其它路线经过 AF，简化为图，简化为图（1） 。从从 A 到到 E 还剩两条路，还剩两条路，ACGE 用用 12 分钟，分钟
22、，ACOE 用用 10 分钟，排除前者，可将分钟，排除前者，可将 CG，GE 抹去，简化为图抹去，简化为图（2） 。从从 A 到到 D 还剩两还剩两 条路条路，ACOD 用用 12 分钟分钟，AHD 用用 13 分钟分钟，排除后者排除后者，可将可将 AH，HD 抹去抹去，简化为图简化为图（3） 。 从从 A 到到 B 还剩两条路还剩两条路， ACOEB 用用 17 分钟分钟， ACODB 用用 16 分钟分钟， 排除前者排除前者， 可将可将 OE， EB 抹去，简化为图抹去，简化为图（4） 。 小明按小明按 ACODB 走最快，用走最快，用 16 分钟。分钟。 II.II.合理安排地点合理安排
23、地点 【例【例 6】 如下图如下图，在街道上有在街道上有 A、B、C、D、E、F 六六栋居民楼栋居民楼，每栋楼里每天都有每栋楼里每天都有 20 个人要坐车个人要坐车，现现 在想设立一个公交站，使居民到达车站的距离之和最短，应该设在何处？在想设立一个公交站，使居民到达车站的距离之和最短，应该设在何处？ ? F ? E ? D ? C ? B ? A 分析：因为每栋楼的人数相同所以数量不影响选择，分析：因为每栋楼的人数相同所以数量不影响选择，找最中间的那栋楼，可这时最中间的楼有两个，这找最中间的那栋楼，可这时最中间的楼有两个，这 该怎么办呢？其实经过研究发现，建在这两个楼都一样，路程和最短，所以可
24、以建在该怎么办呢？其实经过研究发现，建在这两个楼都一样，路程和最短，所以可以建在 C C 或或 D D . .如果我们如果我们 只要求建在这条道路上的一点即可，那么只要求建在这条道路上的一点即可，那么 DEDE 之间及点之间及点 D D、E E 均可均可. . 【前铺 1】如下图，在街道上有 A、B、C、D、E 五栋居民楼，现在设立一个公交站，为使五栋楼的居民 到车站的距离之和最短，车站应立于何处？ ? E ? D ? C ? B ? A 分析：条件中只有五个楼的名字和排列顺序，楼与楼的距离也不确定.那么我们先来分析一下 A、E 两个 点，不论这个邮筒放在 AE 之间的那一点，A 到邮筒的距离
25、加上 E 到邮筒的距离就是 AE 的长度，也就是 说邮筒放在哪儿不会影响这两个点到邮筒的距离之和；那么我们就使其他的 3 个点到邮筒的距离之和最 短，再看为了使 B、D 两个到邮筒的距离之和小，应把邮筒放在 BD 之间.同理，只要是在 BD 之间，B、 D 到邮筒的距离之和也是不变的，等于 BD.最后，只需要考虑 C 点到邮筒的距离最近就行了.那么当然也 就是把邮筒放在 C 点了.这里就体现了一个“向中心靠拢的思想” 。 【前铺 2】可将【前铺 1】拓展为偶数个点然后得出：如果有偶数个点时可以建在最中间的两个点中的任 何一个点都可以。 【总结【总结：老师可以在此给学生总结如果不考虑每个点上的数
26、量关系老师可以在此给学生总结如果不考虑每个点上的数量关系（数量相同的时候不影响选择数量相同的时候不影响选择）来选来选 择点的时候有择点的时候有“奇数奇数”个点就选最中间的个点就选最中间的，有有“偶数偶数”个点的时候就选择最中间的两个点中的任意一个个点的时候就选择最中间的两个点中的任意一个。 】 【例【例 7】 在一条公路上每隔在一条公路上每隔 100 千米千米，有一个仓库有一个仓库（如图如图）共有共有 5 个仓库个仓库，一号仓库存有一号仓库存有 10 吨货物吨货物，二二 号仓库有号仓库有 20 吨货物，五号仓库存有吨货物，五号仓库存有 40 吨货物，其余两个仓库是空的。现在想把所以的货物集中存
27、放在吨货物，其余两个仓库是空的。现在想把所以的货物集中存放在 一个仓库里，如果每吨货物运输一个仓库里，如果每吨货物运输 1 公里需要公里需要 0.5 元运输费，那么最少要多少运费才行？元运输费，那么最少要多少运费才行？ 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了 学而思小学奥数讲义组 学而思教育07 年秋季五年级精英班第十四讲教师版Page 5 of 11 分析：做此类问题时我们都可以根据分析：做此类问题时我们都可以根据“小往大处靠小往大处靠”的原则进行判断，观察可知五号仓的最大，所以先的原则进行判断，观察可知五号仓的最大，所以先 把一号仓库的把一号仓库的 1010
28、 吨货物往五号方向靠拢，先集中到二号仓库，那么现在二号仓库中就有吨货物往五号方向靠拢，先集中到二号仓库，那么现在二号仓库中就有 3030 吨货物了吨货物了. . 再根据再根据“小往大处靠小往大处靠”的原则，那么这的原则，那么这 3030 吨货物应该集中到五号仓库中吨货物应该集中到五号仓库中. . 所以所需的费用是：所以所需的费用是：100.5100500（元（元） ，300.53004500（元（元） ，共需要：，共需要：50045005000 （元）（元） 【前铺 1】 （04 年我爱数学夏令营试题）一条直街上有 5 栋楼，从左到右编号为 1，2，3，4，5， 相邻两楼的距离都是 50 米第
29、 1 号楼有 1 名职工在 A 厂上班，第 2 号楼有 2 名职工在 A 厂上班， 第 5 号楼有 5 名职工在 A 厂上班A 厂计划在直街上建一通勤车站接送这 5 栋楼的职工上下班，为使这 些职工到通勤车站所走的路程之和最小，车站应建在距 1 号楼多少米处？ 分析：如图所示， “小往大处靠”的原则来解决，故应建在 4 号楼 的位置，距 1 号楼 150 米处 【前铺 2】 （人大附中分班考试题）在一条公路上，每隔 10 千米有一座仓库（如右图） ，共有五座， 图中数字表示各仓库库存货物的重量.现在要把所有的货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物运输 1 千米需要运费 0.9 元，那么集中到哪
30、个仓库运费最少？ ? E ? 60吨 ? 10吨 ? 20吨 ? 30吨 ? 10吨 ? D ? C ? B ? A 分析：这道题可以用“小往大处靠”的原则来解决.E 点 60 吨，存的货物最多，那么先处理小势力，A 往 E 那个方向集中，集中到 B,B 变成 40 吨，判断仍是 E 的势力最大，所以继续向 E 方向集中，B 点集中到 C 点，C 点变成 60 吨.此时 C 点和 E 点都是 60 吨，那么 C、E 谁看成大势力都可以.例如把 E 点集中到 D 点， D 点是 70 吨.所以 C 点也要集中到 D 点.确定了集中地点，运输费用也就容易求了.运费最少为： （1030 302020
31、106010）0.9=1530（元） 。 【例【例 8】 （奥数网习题库（奥数网习题库） （难度系数难度系数：）某乡共有六块麦地某乡共有六块麦地，每每 块麦地的产量如右图试问麦场设在何处最好？（运输总量的千克千米数块麦地的产量如右图试问麦场设在何处最好？（运输总量的千克千米数 越小越好越小越好. .） 分析：依据分析：依据“小往大靠小往大靠” ， “支往干靠支往干靠”.我们不妨以我们不妨以 F-E-C-D 为干，显然麦为干，显然麦 场设场设在在C点点.当然你以其他路经为干当然你以其他路经为干， 都会的到同样结果都会的到同样结果.譬如譬如： 若若以以F-E-C-A 为干，那么依据为干，那么依据“
32、支往干靠支往干靠” ，D 就靠到就靠到 C，B 移到移到 G，当作，当作“干干”上一成上一成 员。员。 【前铺】 （三帆中学分班考试题）有七个村庄 A1，A2，A7 分 布在公路两侧（见右图） ，由一些小路与公路相连，要在公路上设一个汽 车站，要使汽车站到各村庄的距离和最小，车站应设在哪里？ 分析：本题可简化为“B，C，D，E，F 处分别站着 1，1，2，2，1 个人 （见下图） ， 求一点， 使所有人走到这一点的距离和最小”.显然 D、 E 最大， 靠拢完的结果变成了 D=4，E=3，所以车站设在 D 点。 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了 学而思小学奥
33、数讲义组 学而思教育07 年秋季五年级精英班第十四讲教师版Page 6 of 11 III.III.合理布线与调运合理布线与调运 【例【例 9 9】 新建的自来水厂要给沿公路的十个村庄供应自来水新建的自来水厂要给沿公路的十个村庄供应自来水（如下图如下图，距离单位为千米距离单位为千米） ，要安装水管有要安装水管有 粗细两种选择粗细两种选择，粗管足够供应所有村庄使用粗管足够供应所有村庄使用，细管只能供一个村用水细管只能供一个村用水，粗管每千米要用粗管每千米要用 80008000 元元，细管每细管每 千米要千米要 20002000 元元，如果粗细管适当搭配如果粗细管适当搭配，互相连接互相连接，可以降
34、低费用可以降低费用，怎样安排才能使这项工程费用最低？怎样安排才能使这项工程费用最低？ 费用是多少元？费用是多少元？ ? J ? I ? H ? G ? F ? E ? D ? C ? B ? A ? 2 ? 5 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? 4 ? 2 ? 5 ? 30 ? 自来水厂 分析：由于细管相对于粗管来讲，价钱要少一些，因此先假设都用细管那么从自来水厂到分析：由于细管相对于粗管来讲，价钱要少一些，因此先假设都用细管那么从自来水厂到 J 村要铺村要铺设设 10 根细管，自来水厂到根细管，自来水厂到 I 村要铺设村要铺设 9 根细管，依次下去，我们用图表示铺细管的情况因为粗管是细管根
35、细管，依次下去，我们用图表示铺细管的情况因为粗管是细管 价格的价格的 4 倍，如果用细管代替粗管重叠数超过倍，如果用细管代替粗管重叠数超过 4 条费用更大，仅在条费用更大，仅在 3 条或条或 3 条以下才会节约，而细管只条以下才会节约，而细管只 能供应一村用水能供应一村用水，所以粗管从水厂一直接到所以粗管从水厂一直接到 G 村为止村为止，再用三条细管连接再用三条细管连接 H、I、J 三个村三个村，这样费用最这样费用最 低，总费用：低，总费用：8000 (30524232)2000 (2 32 25)414000 （元） 【例【例 1010】北京、上海分别有北京、上海分别有 10 台和台和 6
36、台完全相同的机器，准备给武汉台完全相同的机器，准备给武汉 11 台，西安台，西安 5 台，每台机器台，每台机器 的运费如右表，如何调运能使总运费最省？的运费如右表，如何调运能使总运费最省？ 分析分析：与前铺不同的是与前铺不同的是，北京北京、上海到西安的运费都比到武汉上海到西安的运费都比到武汉 的高的高，没有出现一高一低的情况没有出现一高一低的情况。此时此时，可以通过比较运输中可以通过比较运输中 的差价大小来决定最佳方案。的差价大小来决定最佳方案。 （1）上表中第一行的差价为）上表中第一行的差价为 600 0500100（元（元） ，第二行的，第二行的 差价为差价为 1000700300（元（元
37、） 。说明从北京给西安多发。说明从北京给西安多发 1 台机台机 器要多付运费器要多付运费 100 元元，而从上海给西安多发而从上海给西安多发 1 台机器要多付运台机器要多付运 费费 300 元。所以应尽量把北京的产品运往西安，而西安只要元。所以应尽量把北京的产品运往西安，而西安只要 5 台，于是可知北京调往西安台，于是可知北京调往西安 5 台，其余台，其余 5 台调往武汉，上海台调往武汉，上海 6 台全部调往武汉，总运费为：台全部调往武汉，总运费为：6005500570069700（元（元） 。 （2）如果改为看表中的列，那么由于第一列的差价为）如果改为看表中的列，那么由于第一列的差价为 70
38、0 0 500200（元（元） ，第二列差价为，第二列差价为 1000600 400（元（元） ，所以武汉需要的机器应尽量从上海调运，而上海只有，所以武汉需要的机器应尽量从上海调运，而上海只有 6 台，不足的部分由北京调运。这个台，不足的部分由北京调运。这个 结论同前面得到的相同。结论同前面得到的相同。 【前铺】北京、洛阳分别有 11 台和 5 台完全相同的机器，准备给杭州 7 台、西安 9 台，每台机器的运费 如右表，如何调运能使总运费最省？ 分析： （方法一）由表中看出，北京到杭州运费比到西安便宜，而洛阳正相反，到西安运费比到杭州便宜。 所以，北京的机器应尽量运往杭州，洛阳的机器应尽量运往
39、西安。最佳的调运方案为：北京发往杭州 7 台，发往西安 4 台，洛阳发往西安 5 台。总运费为 800710004600512600（元） 。 （方法二）本题也可以采用下面的代数方法解决，设北京调运杭州 x 台，调运西安 (11-x)台，则洛阳应调运杭州(7-x)台，调运西安 9 （11x）x2（台）总运费 W800 x1000（11x）700 （7x）600（x2）800 x110001000 x4900700 x600 x 120014700300 x,因为要使总运费14700300 x最小， 需要300 x 最大由于 x 是北京调运杭州的台数，且 x7，所以当 x7 时， 总运费 W14
40、700-300712600（元）最小由 x7 可知，北京 调运杭州 7 台，调运西安 4 台，洛阳调运杭州 0 台，调运西安 5 台 ? 500 ? 武汉 ? 上海 ? 发站 ? 运费/元 ? 到站 ? 600 ? 700 ? 1000 ? 西安 ? 北京 ? 发站 ? 运费/元 ? 到站 ? 600 ? 700 ? 1000 ? 800 ? 西安 ? 杭州 ? 洛阳 ? 北京 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了 学而思小学奥数讲义组 学而思教育07 年秋季五年级精英班第十四讲教师版Page 7 of 11 【说明说明：此题数量关系比较简单此题数量关系比较简
41、单，凭借直观亦能得出正确的答案凭借直观亦能得出正确的答案。然而本题旨在介绍一下统筹规划的一然而本题旨在介绍一下统筹规划的一 般研究方法：即对具体问题进行抽象，列出满足题目条件的关系式，利用数学方法研究使关系式达到最般研究方法：即对具体问题进行抽象，列出满足题目条件的关系式，利用数学方法研究使关系式达到最 大或最小的条件大或最小的条件， 然后回到具体问题中给出答案然后回到具体问题中给出答案， 这一过程概括为这一过程概括为： 具体问题具体问题实际问题的数学模型方法实际问题的数学模型方法。 】 【例【例 11】A、B 两个粮店分别有两个粮店分别有 70 吨和吨和 60 吨大米吨大米，甲甲、乙乙、丙三
42、个居民点分别需要丙三个居民点分别需要 30 吨吨、40 吨吨和和 50 吨大米。从吨大米。从 A，B 两粮店每运两粮店每运 1 吨大米到三个居吨大米到三个居 民点的运费如右图所示民点的运费如右图所示： 如何调运才能使运费最少？如何调运才能使运费最少？ 分析分析：A，B 粮店共有大米粮店共有大米 7060130（吨吨） ，甲甲、 乙乙、 丙三个居民点需要大米丙三个居民点需要大米 304050120 （吨吨） ， 供应量与需求量不相等供应量与需求量不相等， 但是我们仍可以通过差价的但是我们仍可以通过差价的 大小来决定最佳方案大小来决定最佳方案。 观察上表各列两数之差观察上表各列两数之差， 最大最大
43、 的是第二列的是第二列 1073，因此，因此 A 粮店的大米应尽可能粮店的大米应尽可能 多地供应乙，即多地供应乙，即 A 供应乙供应乙 40 吨。在剩下的两列中吨。在剩下的两列中， 第三列的差大于第一列的差，所以第三列的差大于第一列的差，所以 A 粮店剩下的粮店剩下的 30 吨应全部供应丙。因为吨应全部供应丙。因为 A 粮店的的大米已分配完，粮店的的大米已分配完， 其余的由其余的由 B 粮店供应，即粮店供应，即 B 供应甲供应甲 30 吨，供应吨，供应丙丙 20 吨，调运方案如右表，相应的运费为：吨，调运方案如右表，相应的运费为： 303407303205=560（元（元） 。 【例【例 12
44、12】(FY 2003)北仓库有货物北仓库有货物 35 吨，南仓库有货物吨，南仓库有货物 25 吨，需要运到甲、乙吨，需要运到甲、乙、 丙三个工厂中去其中甲工厂需要丙三个工厂中去其中甲工厂需要 28 吨，乙工厂需要吨，乙工厂需要 12 吨，丙工厂需要吨，丙工厂需要 20 吨两吨两 个个仓库与各工厂之间的距离如图所示仓库与各工厂之间的距离如图所示(单位：公里单位：公里)已已知运输每吨货物知运输每吨货物 1 公里的费用公里的费用 是是 1 元，那么将货物按元，那么将货物按要求运入各工厂的最小费用是多少元？要求运入各工厂的最小费用是多少元？ 分析：通过分析将题目给的图形先转化为上图（分析：通过分析将
45、题目给的图形先转化为上图（1） ，我们仍可以通过差价的大小来决定最佳方案。观察，我们仍可以通过差价的大小来决定最佳方案。观察 上表各列两数之差，最大的是第三列上表各列两数之差，最大的是第三列 16124，因此北仓库的货物尽可能的供应丙工厂，即北仓库供，因此北仓库的货物尽可能的供应丙工厂，即北仓库供 应丙应丙 20 吨吨。在剩下的两列中在剩下的两列中，第一列的差大于第二列的差第一列的差大于第二列的差，所以南仓库的货物尽可能的供应甲工厂所以南仓库的货物尽可能的供应甲工厂，即即 南仓库供应甲南仓库供应甲 25 吨吨。因为南仓库货物分配完因为南仓库货物分配完，其余的甲需要的其余的甲需要的 28 825
46、253（吨吨）由北仓库供应由北仓库供应，即北仓即北仓 库供给丙后剩下的库供给丙后剩下的 15 吨货物吨货物 3 吨给甲吨给甲 15 53 312（吨）给乙，相应的运费为：（吨）给乙，相应的运费为： 3101262012258542（元（元） 。 ? 5 ? 10 ? 3 ? 3 ? 7 ? 2 ? 丙 ? 乙 ? 甲 ? B ? A ? 发站 ? 运费/元 ? 到站 ? 30 ? 20 ? 40 ? 30 ? 0 ? 0 ? 丙 ? 乙 ? 甲 ? B ? A ? 发站 ? 运费/元 ? 到站 ? （1） ? （2） 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了 学而
47、思小学奥数讲义组 学而思教育07 年秋季五年级精英班第十四讲教师版Page 8 of 11 【附加选讲 1】下图中有四个仓库（用表示）和五个工厂（用表示） ，四个仓库中存放着五个工厂需 要的同一种物资，内数字表示该仓库可调出物资的数量（单位：吨） ，内数字表示该工厂需调入物资 的数量（单位：吨） ，两地之间连线上的数字表示两地间的距离（单位：千米） 。已知每吨千米运费 5 元， 请设计一个调运方案，使总运费最少？ 分析：为解决这类问题，我们先介绍流向图的概念。在物资调运问题中，如果要将 a 吨物资从 A 地调往 B 地，那么从 A 沿路线右边向 B 画一箭头，并标上 a，称为流向（见下图） 。
48、由（若干个）流向构成的图 称为流向图。每一个调运方案对应一个流向图。 用数学的方法可以证明，一个调运方案是最佳的，当且仅当： （1）流向图上没有对流； （2）如果流 向图中有环形路线，在每一个环形路线（叫做圈）内，顺时针和逆时针方向调动的路程都不超过半圈长 度。判断是否最佳调运方案的两条标准从直观上很容易接受。如在下图中，右边的方案就比左边的好。 在实际图上作业时，可以先采取就近分配的方法，然后再逐步调整，使流向图满足最佳方案的两个条件。 用流向图的方法可得本题的最佳调运方案如下图： 总运费为：5（2081013201430930124010807205）11300（元） 。 【附加选讲 2】
49、 （101 中学入学考试试题）如图在AOB 内有一定点 P。试在角的两边 OA、OB 上各找个一 点 M、N 使三角形 PMN 的周长最短，(保留找点时所做的辅助线)并作简单说明。 B A O P 分析：如图所示，做出 P 点关于 OA 的对称点 P，做出 P 点关于 OB 的对称点 P，连接 PP，分别交 OA、OB。则这两个交点即为所求 M、N。 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了 学而思小学奥数讲义组 学而思教育07 年秋季五年级精英班第十四讲教师版Page 9 of 11 专题展望专题展望 运筹学是利用数学来研究人力、物力的运用和筹划，使它们能发挥最
50、大效率的科学。它包含的内容运筹学是利用数学来研究人力、物力的运用和筹划，使它们能发挥最大效率的科学。它包含的内容 非常广泛，除了我们今天学的物资调运、场地设置、工作分配、排队等以后我们还会接触对策、实验最非常广泛，除了我们今天学的物资调运、场地设置、工作分配、排队等以后我们还会接触对策、实验最 优、沙漠探险等等，每类问题都有特定的解法，所以大家要课后做好总结。优、沙漠探险等等，每类问题都有特定的解法，所以大家要课后做好总结。 练习十四练习十四 1.一只平底锅上一只平底锅上最多最多只能煎两只能煎两张张饼，用它煎饼，用它煎 1 张张饼需要饼需要 2 分钟（正面、反面各分钟（正面、反面各 1 分钟分
