1、贤者常以愚人为前车之鉴。乔叟联系电话：62164116 学而思教育07 年秋季五年级精英班第三讲学生版Page 1 of 5 第三讲第三讲数论之数的整除性数论之数的整除性 想挑战吗？ 在下面的方框中各填一个数字，使六位数在下面的方框中各填一个数字，使六位数 11111111 能被能被 1717 和和 1919 整除，那么方框中的两位数是整除，那么方框中的两位数是. . 你还记得吗？你还记得吗？ 数论研究的数论研究的是是奇数、偶数、素数、合数，这些最简单的数奇数、偶数、素数、合数，这些最简单的数整数及其内部关系，但是从这些简单整数及其内部关系，但是从这些简单 的数中诞生了的数中诞生了“费马大定理
2、费马大定理”、“哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想”和和“朗兰兹纲领朗兰兹纲领”这样的难题，它们吸引数学家们花这样的难题，它们吸引数学家们花 费数十年、甚至整世纪努力研究费数十年、甚至整世纪努力研究，本讲我们将学习一些最基本的数论知识，本讲我们将学习一些最基本的数论知识. . 1 1一个数的末位能被一个数的末位能被 2 或或 5 整除，这个数就能被整除，这个数就能被 2 或或 5 整除；整除； 一个数的末两位能被一个数的末两位能被 4 或或 25 整除，这个数就能被整除，这个数就能被 4 或或 25 整除；整除； 一个数的末三位能被一个数的末三位能被 8 或或 125 整除，这个数就能被整除，这个数就能
3、被 8 或或 125 整除；整除； 2 2一个数各位数数字和能被一个数各位数数字和能被 3 3 整除，这个数就能比整除，这个数就能比 9 9 整除；整除； 一个数各位数数字和能被一个数各位数数字和能被 9 9 整除，这个数就能被整除，这个数就能被 9 9 整除；整除； 3 3如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被 1111 整除，那么这个数能整除，那么这个数能 被被 1111 整除整除. . 4 4如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被 7 7
4、、1111 或或 1313 整除，那么这个数整除，那么这个数 能被能被 7 7、1111 或或 1313 整除整除. . 以上规律仅在十进制数中成立以上规律仅在十进制数中成立. . 5 5部分特殊数的分解：部分特殊数的分解：111=3111=33737；1001=71001=711111313；11111=4111111=41271271；10001=7310001=73137137； 1995=31995=35 57 71919；1998=21998=23 33 33 33737；2007=32007=33 3223223；2008=22008=22 22 2251251； 2007+200
5、8=4015=52007+2008=4015=5111173.73. 10101=310101=37 7131337.37. 贤者常以愚人为前车之鉴。乔叟联系电话：62164116 学而思教育07 年秋季五年级精英班第三讲学生版Page 2 of 5 整除与数字谜题整除与数字谜题 【例【例 1 1】 （）要使）要使26ABCD6能被能被 3636 整除，而且所得的商最小，那么整除，而且所得的商最小，那么 A A、B B、C C、D D 分别是多少？分别是多少？ 【例【例 2 2】 （祖冲之杯小学数学邀请赛祖冲之杯小学数学邀请赛）一个数的）一个数的 2020 倍减倍减 1 1 能被能被 1531
6、53 整除，这样的自然数中最小的整除，这样的自然数中最小的 是是. . 【例【例 3 3】 （）求最小的自然数，它的各位数字之和等于求最小的自然数，它的各位数字之和等于 5656，它的末两位数是，它的末两位数是 5656，它本，它本身还能身还能被被 5656 所整除所整除 【例【例 4 4】 （）在在 1 1，2 2，3 3，19951995，这这 19951995 个数中找出所有满足下面条件的数个数中找出所有满足下面条件的数 a a 来来： （1995+a1995+a） 能整除能整除 19951995a.a. 整除与数字组合整除与数字组合 【例【例 5 5】目前日期的流行记法是采用】目前日期
7、的流行记法是采用 6 6 位数字，即将表示年份的后两位数字记在最左边，中间两个数字位数字，即将表示年份的后两位数字记在最左边，中间两个数字 表示记载最左边，中间两个数字表示月份，最末两位数字表示日份（遇有月或日是个位数，前面加一表示记载最左边，中间两个数字表示月份，最末两位数字表示日份（遇有月或日是个位数，前面加一个个 0.0.例如例如 20082008 年年 8 8 月月 8 8 日记作日记作 080808080808） ，那么在今年那么在今年（0707 年年）365365 个日期中能被个日期中能被 4545 整除的日期有多少个？整除的日期有多少个？ 贤者常以愚人为前车之鉴。乔叟联系电话：6
8、2164116 学而思教育07 年秋季五年级精英班第三讲学生版Page 3 of 5 【例【例 6 6】 （20022002 年年南京市少年数学智力冬令营南京市少年数学智力冬令营）一个十位数一个十位数，如果各位上的数字都不相同如果各位上的数字都不相同，那么就那么就 称为称为“十全数十全数”，例如，例如，3 3 785785 942942 160160 就是一个十全数现已知一个十全数能被就是一个十全数现已知一个十全数能被 1 1，2 2，3 3，1818 整整 除，并且除，并且它的前四位数是它的前四位数是 48764876，那么这个十全数是，那么这个十全数是 【例【例 7 7】 （俄罗斯数学奥林
9、匹克俄罗斯数学奥林匹克）为了打开银箱为了打开银箱，需要先输入密码需要先输入密码，密码由密码由 7 7 个数字组成个数字组成，它们不它们不是是 2 2 就就是是 3 3在密码中在密码中 2 2 的数目比的数目比 3 3 多，而且密码能被多，而且密码能被 3 3 或或 4 4 所整除试求出这个密码所整除试求出这个密码 【例【例 8 8】 （）用用 1 1，9 9，8 8，8 8 这四个数字能排成几个被这四个数字能排成几个被 1111 除余除余 8 8 的四位数的四位数? ? 【例【例 9 9】 （）已知一个已知一个 6 6 位数位数abcdef，将它的前三位整体移到末尾变成将它的前三位整体移到末尾
10、变成defabc，然后将两个六然后将两个六 位数相加位数相加，已知这两个已知这两个 4 4 位数的和是以下位数的和是以下 5 5 个数的一个个数的一个：14604701460470；460459460459；14604591460459；14604721460472； 14604661460466，这个和到底是多少？，这个和到底是多少？ 多位数整除多位数整除 【例【例 1010】 （香港圣公会小学数学奥林匹克香港圣公会小学数学奥林匹克）下面这个）下面这个 199199 位整数：位整数： 199 10010010011001 位 被被 1313 除，余数是多少？除，余数是多少？ 【例【例 111
11、1】 2008 20082008200808 n 个 能被能被 9999 整除，那么，整除，那么，n n 的最小值为多少？的最小值为多少？ 贤者常以愚人为前车之鉴。乔叟联系电话：62164116 学而思教育07 年秋季五年级精英班第三讲学生版Page 4 of 5 【例【例 1212】 （）应当在如下的问号应当在如下的问号“? ?”的位置上填上哪一个数码的位置上填上哪一个数码，才能使得所得的整数才能使得所得的整数可被可被 7 7 整整 除除?(?(其中数码其中数码 6 6 和和 5 5 各重复了各重复了 5050 次次) ) 6666666666? ?5555555555 专题展望专题展望 数
12、的整除性是数论中最基本的内容，在数论问题中经常被用到，而奇偶性质是数的整除性中的特殊数的整除性是数论中最基本的内容，在数论问题中经常被用到，而奇偶性质是数的整除性中的特殊 情形，有关奇偶数性质的运用将在下一讲中详细教授情形，有关奇偶数性质的运用将在下一讲中详细教授. 练习三练习三 1 1、 （例例 1 1）六位数）六位数 20200808 能被能被 4949 整除，整除，中的数是中的数是. . 2 2、 （例例 1 1）某个某个 7 7 位数位数 19931993能够同时被能够同时被 2 2、3 3、4 4、5 5、6 6、7 7、8 8、9 9 整除整除，那么它的最后那么它的最后 三位数依次
13、是什么？三位数依次是什么？ 3 3、 （例例 2 2）一个数的）一个数的 4040 倍减倍减 1 1 能被能被 9797 整除，这样的自然数中最小的是整除，这样的自然数中最小的是. . 4 4、（例例 1212） 已知已知39393939中中39一共重复了一共重复了 2020 次次. .那么这个数被那么这个数被 3737 除得的余数是多少？除得的余数是多少？ 贤者常以愚人为前车之鉴。乔叟联系电话：62164116 学而思教育07 年秋季五年级精英班第三讲学生版Page 5 of 5 5 5、 （例例 4 4） 在在 1 1、 2 2、 3 3、 4 420072007 这这 20072007
14、个数中有多少个自然数个数中有多少个自然数 a a 能使能使 2008+a2008+a 能被能被 2007-2007-a a 整除？整除？ 数学知识数学知识 时间的单位是小时，角度的单位是度，从表面上看，它们完全没有关系时间的单位是小时，角度的单位是度，从表面上看，它们完全没有关系.可是，为什么它们都分成可是，为什么它们都分成 分、秒等名称相同的小单位呢？为什么又都用六十进位制呢？分、秒等名称相同的小单位呢？为什么又都用六十进位制呢？ 我们仔细研究一下我们仔细研究一下，就知道这两种量是紧密联系着的就知道这两种量是紧密联系着的.原来原来，古代人由于生产劳动的需要古代人由于生产劳动的需要，要研究天要
15、研究天 文和历法文和历法，就牵涉到时间和角度了就牵涉到时间和角度了.譬如研究昼夜的变化譬如研究昼夜的变化，就要观察地球的自转就要观察地球的自转，这里自转的角度和时间这里自转的角度和时间 是紧密地联系在一起的是紧密地联系在一起的.因为历法需要的精确度较高因为历法需要的精确度较高，时间的单位时间的单位小时小时、角度的单位角度的单位度度都嫌太大都嫌太大，必必 须进一步研究它们的小数须进一步研究它们的小数.时间和角度都要求它们的小数单位具有这样的性质时间和角度都要求它们的小数单位具有这样的性质：使使 1/2、1/3、1/4、1/5、1/6 等都能成为它的整数倍等都能成为它的整数倍.以以 1/60 作为
16、单位，就正好具有这个性质作为单位，就正好具有这个性质.譬如：譬如：1/2 等于等于 30 个个 1/60，1/3 等于等于 20 个个 1/60，1/4 等于等于 15 个个 1/60 数学上习惯把这个数学上习惯把这个 1/60 的单位叫做的单位叫做分分，用符号，用符号来表示；把来表示；把 1 分的分的 1/60 的单位叫做的单位叫做秒秒，用，用 符号符号来表示来表示.时间和角度都用分、秒作小数单位时间和角度都用分、秒作小数单位. 这个小数的进位制在表示有些数字时很方便这个小数的进位制在表示有些数字时很方便.例如常遇到的例如常遇到的 1/3，在十进位制里要变成无限小数，但，在十进位制里要变成无限小数，但 在这种进位制中就是一个整数在这种进位制中就是一个整数. 这种六十进位制（严格地说是六十退位制）的小数记数法，在天文历法方面已长久地为全世界的科这种六十进位制（严格地说是六十退位制）的小数记数法，在天文历法方面已长久地为全世界的科 学家们所习惯，所以也就一直沿用到今天学家们所习惯，所以也就一直沿用到今天.
