1、2020 年上海市春季高考数学试卷 一、填空题（本大题共（本大题共 1212 题，满分题，满分 5454 分，第分，第 1616 题每题题每题 4 4 分，第分，第 7-127-12 题每题题每题 5 5 分分) ) 1集合1A ,3，1B ,2,a，若AB，则a 2不等式 1 3 x 的解集为 3函数tan2yx的最小正周期为 4已知复数z满足26zzi，则z的实部为 5已知3sin22sinxx，(0, )x，则x 6若函数 1 3 3 x x ya为偶函数，则a 7已知直线 1: 1lxay， 2: 1laxy，若 1 l 2 l，则 1 l与 2 l的距离为 8已知二项式 5 (2)x
2、x，则展开式中 3 x的系数为 9三角形ABC中，D是BC中点，2AB ，3BC ，4AC ，则AD AB 10已知 3A ，2，1，0，1，2，3，a、bA，则| |ab的情况有种 11 已 知 1 A、 2 A、 3 A、 4 A、 5 A五 个 点 ， 满 足 112 0(1 nnnn A AAAn ,2,3)， 112 | |1(1 nnnn A AAAnn ,2,3)，则 15 |A A 的最小值为 12已知( )1f xx，其反函数为 1( ) fx ，若 1( ) ()fxaf xa 有实数根，则a的取值 范围为 二、选择题（本大题共（本大题共 4 4 题，每题题，每题 5 5
3、分，共分，共 2020 分分) ) 13计算： 11 35 lim( 35 nn nn n ) A3B 5 3 C 3 5 D5 14 “”是“ 22 sincos1”的() A充分非必要条件B必要非充分条件 C充要条件D既非充分又非必要条件 15已知椭圆 2 2 1 2 x y，作垂直于x轴的垂线交椭圆于A、B两点，作垂直于y轴的垂线 交椭圆于C、D两点，且ABCD，两垂线相交于点P，则点P的轨迹是() A椭圆B双曲线C圆D抛物线 16数列 n a各项均为实数，对任意*nN满足 3nn aa ，且行列式 1 23 nn nn aa c aa 为定值， 则下列选项中不可能的是() A 1 1a
4、 ，1c B 1 2a ，2c C 1 1a ，4c D 1 2a ，0c 三、解答题（本大题共（本大题共 5 5 题，共题，共 14+14+14+16+1814+14+14+16+187676 分分) ) 17 （14 分）已知四棱锥PABCD，底面ABCD为正方形，边长为 3，PD 平面ABCD （1）若5PC ，求四棱锥PABCD的体积； （2）若直线AD与BP的夹角为60，求PD的长 18 （14 分）已知各项均为正数的数列 n a，其前n项和为 n S， 1 1a （1）若数列 n a为等差数列， 10 70S，求数列 n a的通项公式； （2）若数列 n a为等比数列， 4 1 8
5、 a ，求满足100 nn Sa时n的最小值 19 （14 分）有一条长为 120 米的步行道OA，A是垃圾投放点 1 ，若以O为原点，OA为 x轴正半轴建立直角坐标系， 设点( ,0)B x， 现要建设另一座垃圾投放点 2( ,0) t， 函数( ) t f x表 示与B点距离最近的垃圾投放点的距离 （1）若60t ，求 60(10) f、 60(80) f、 60(95) f的值，并写出 60( ) fx的函数解析式； （2） 若可以通过( ) t f x与坐标轴围成的面积来测算扔垃圾的便利程度， 面积越小越便利 问： 垃圾投放点 2 建在何处才能比建在中点时更加便利？ 20 （16 分）
6、已知抛物线 2 yx上的动点 0 (M x， 0) y，过M分别作两条直线交抛物线于P、 Q两点，交直线xt于A、B两点 （1）若点M纵坐标为2，求M与焦点的距离； （2）若1t ，(1,1)P，(1, 1)Q，求证： AB yy为常数； （3）是否存在t，使得1 AB yy且 PQ yy为常数？若存在，求出t的所有可能值，若不存 在，请说明理由 21 （18 分）已知非空集合AR，函数( )yf x的定义域为D，若对任意tA且xD， 不等式( )()f xf xt恒成立，则称函数( )f x具有A性质 （1）当 1A ，判断( )f xx 、( )2g xx是否具有A性质； （2）当(0,1
7、)A ， 1 ( )f xx x ，xa，)，若( )f x具有A性质，求a的取值范围； （3）当 2A ，m，mZ，若D为整数集且具有A性质的函数均为常值函数，求所有 符合条件的m的值 2020 年上海市春季高考数学试卷 参考答案与试题解析 一、填空题（本大题共（本大题共 1212 题，满分题，满分 5454 分，第分，第 1616 题每题题每题 4 4 分，第分，第 7-127-12 题每题题每题 5 5 分分) ) 1集合1A ，3，1B ，2，a，若AB，则a 3 【思路分析】利用集合的包含关系即可求出a的值 【解析】 ：3A，且AB，3B ，3a，故答案为：3 【总结与归纳】本题主要
8、考查了集合的包含关系，是基础题 2不等式 1 3 x 的解集为 1 (0, ) 3 【思路分析】 将不等式化简后转化为一元二次不等式， 由一元二次不等式的解法求出不等式 的解集 【解析】 ：由 1 3 x 得 13 0 x x ，则(13 )0 xx，即(31)0 xx ，解得 1 0 3 x， 所以不等式的解集是 1 (0, ) 3 ，故答案为： 1 (0, ) 3 【总结与归纳】 本题考查分式不等式、 一元二次不等式的解法， 以及转化思想， 属于基础题 3函数tan2yx的最小正周期为 2 【思路分析】根据函数tanyx的周期为 ，求出函数tan2yx的最小正周期 【解析】 ：函数tan2
9、yx的最小正周期为 2 ，故答案为： 2 【总结与归纳】本题主要考查正切函数的周期性和求法，属于基础题 4已知复数z满足26zzi，则z的实部为2 【思路分析】设zabi，( ,)a bR根据复数z满足26zzi，利用复数的运算法则、 复数相等即可得出 【解析】 ：设zabi，( ,)a bR复数z满足26zzi，36abii， 可得：36a ，1b ，解得2a ，1b 则z的实部为 2故答案为：2 【总结与归纳】本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于 基础题 5已知3sin22sinxx，(0, )x，则x 1 arccos 3 【思路分析】根据三角函数的倍角公式
10、，结合反三角公式即可得到结论 【解析】 ：3sin22sinxx，6sin cos2sinxxx， (0, )x，sin0 x， 1 cos 3 x，故 1 arccos 3 x 故答案为： 1 arccos 3 【总结与归纳】本题主要考查函数值的计算，利用三角函数的倍角公式是解决本题的关键 6若函数 1 3 3 x x ya为偶函数，则a 1 【思路分析】根据题意，由函数奇偶性的定义可得 () () 11 33 33 xx xx aa ，变形分析可得 答案 【解析】 ：根据题意，函数3( 1 ) 3 x x af x 为偶函数，则()( )fxf x， 即 () () 11 33 33 xx
11、 xx aa ，变形可得：(33 )(33 ) xxxx a ，必有1a ；故答案为：1 【总结与归纳】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，关键是掌握函数奇偶性的定义，属 于基础题 7已知直线 1: 1lxay， 2: 1laxy，若 1 l 2 l，则 1 l与 2 l的距离为2 【思路分析】由 1 l 2 l求得a的值，再根据两平行线间的距离计算即可 【解析】 ：直线 1: 1lxay， 2: 1laxy， 当 1 l 2 l时， 2 10a ，解得1a ； 当1a 时 1 l与 2 l重合，不满足题意； 当1a 时 1 l 2 l，此时 1: 10lxy ， 2: 10lxy ； 则 1
12、 l与 2 l的距离为 22 | 1 1| 2 1( 1) d 故答案为：2 【总结与归纳】本题考查了平行线的定义和平行线间的距离计算问题，是基础题 8已知二项式 5 (2)xx，则展开式中 3 x的系数为10 【思路分析】由二项展开式的通项，可得到答案 【解析】 ： 5 55 2 155 (2 )()2 r rrrrr r TCxxCx ，令53 2 r ，4r ，代入通项得 433 52 10Cxx，所以展开式中 3 x的系数为 10故答案为：10 【总结与归纳】本题考查利用二项式定理求特定项的系数，属于基础题 9三角形ABC中，D是BC中点，2AB ，3BC ，4AC ，则AD AB 1
13、9 4 【思路分析】根据余弦定理即可求出 11 cos 16 BAC，并得出 1 () 2 AD ABABACAB ， 然后进行数量积的运算即可 【解析】 ：在ABC中，2AB ，3BC ，4AC ， 由余弦定理得， 222 416911 cos 222416 ABACBC BAC AB AC ， 1111 24 162 AB AC ，且D是BC的中点， 1 () 2 AD ABABACAB 21 () 2 ABAB AC 111 (4) 22 19 4 故答案为： 19 4 【总结与归纳】本题考查了余弦定理，向量加法的平行四边形法则，向量数乘的几何意义， 向量数量积的运算及计算公式，考查了计
14、算能力，属于基础题 10已知 3A ，2，1，0，1，2，3，a、bA，则| |ab的情况有18种 【思路分析】先分类讨论a的取值，得到对应b的值，再整体求和即可 【解析】 ：当3a ，有 0 种，当2a ，有 2 种，当1a ，有 4 种； 当0a ，有 6 种，当1a ，有 4 种；当2a ，有 2 种，当3a ，有 0 种， 故共有：2464218故答案为：18 【总结与归纳】本题主要考查分类讨论思想在概率中的应用，属于基础题目 11 已 知 1 A、 2 A、 3 A、 4 A、 5 A五 个 点 ， 满 足 112 0(1 nnnn A AAAn ,2,3)， 112 | |1(1
15、nnnn A AAAnn ,2,3)，则 15 |A A 的最小值为 6 3 【思路分析】可设 12 |A Ax ，从而据题意可得出 23 2 |A A x ， 34 3 | 2 x A A ， 45 8 | 3 A A x ，并 设 1(0,0) A， 因 为 是 求 15 |A A 的 最 小 值 ， 从 而 可 得 出 5 2 (,) 23 x A x ， 从 而 可 求 出 2 2 15 2 4 | 49 x A A x ，从而根据基本不等式即可求出 15 |A A 的最小值 【解析】 ：设 12 |A Ax ，则 23 2 |A A x ， 34 3 | 2 x A A ， 45 8
16、 | 3 A A x ， 设 1(0,0) A，如图， 求 15 |A A 的最小值，则： 2( ,0) A x， 3 2 ( , )A x x ， 4 2 (, ) 2 x A x ， 5 2 (,) 23 x A x ， 2 222 15 2 242 |()() 23493 xx A A xx ，当且仅当 2 2 4 49 x x ， 即 2 3 3 x 时取等号， 15 |A A 的最小值为 6 3 故答案为： 6 3 【总结与归纳】本题考查了向量垂直的充要条件，利用向量坐标解决向量问题的方法，基本 不等式求最值的方法，考查了计算能力，属于中档题 12已知( )1f xx，其反函数为 1
17、( ) fx ，若 1( ) ()fxaf xa 有实数根，则a的取值 范围为 3 4 ，) 【思路分析】因为 1( ) yfxa 与()yf xa互为反函数，又 1( ) ()fxaf xa 有实数 根()yf xa与yx有交点方程1xax有根进而得出答案 【解析】 ：因为 1( ) yfxa 与()yf xa互为反函数， 又方程 1( ) ()fxaf xa 有实数根， 则函数()yf xa的图象与直线yx有交点， 所以1xax有根，即 22 133 1() 244 axxx ，故答案为： 3 4 ，) 【总结与归纳】本题主要考查函数的性质，函数与方程的关系，属于中档题 二、选择题（本大题
18、共（本大题共 4 4 题，每题题，每题 5 5 分，共分，共 2020 分分) ) 13计算： 11 35 lim( 35 nn nn n ) A3B 5 3 C 3 5 D5 【思路分析】把 11 35 35 nn nn 分子分母同时除以 1 5n，则答案可求 【解析】 ： 1 11 1 3 3( )5 35 5 limlim5 3 35 ( )1 5 n nn nn nn n 故选：D 【总结与归纳】本题考查数列极限的求法，是基础的计算题 14 “”是“ 22 sincos1”的() A充分非必要条件B必要非充分条件 C充要条件D既非充分又非必要条件 【思路分析】容易看出，由可得出 22
19、sincos1，而反之显然不成立，从而可得 出“”是“ 22 sincos1”的充分不必要条件 【解析】 ： （1）若，则 2222 sincossincos1， “是“ 22 sincos1“的充分条件； （2）若 22 sincos1，则 22 sinsin，得不出， “”不是“ 22 sincos1”的必要条件， “”是“ 22 sincos1”的充分非必要条件故选：A 【 总 结 与 归 纳 】 本 题 考 查 了 充 分 条 件 、 必 要 条 件 和 充 分 不 必 要 条 件 的 定 义 ， 22 sincos1，正弦函数的图象，考查了推理能力，属于基础题 15已知椭圆 2 2
20、1 2 x y，作垂直于x轴的垂线交椭圆于A、B两点，作垂直于y轴的垂线 交椭圆于C、D两点，且ABCD，两垂线相交于点P，则点P的轨迹是() A椭圆B双曲线C圆D抛物线 【思路分析】利用已知条件判断轨迹是双曲线，或利用求解轨迹方程，推出结果即可 【解析】 ：2AB，2CD，判断轨迹为上下两部分，即选双曲线； 设( , )A m t，( , )D t n，所以( , )P m n，因为 2 2 1 2 m t， 2 2 1 2 t n，消去t可得： 2 2 21 2 m n ， 故选：B 【总结与归纳】本题考查轨迹方程的求法与判断，是基本知识的考查，基础题 16数列 n a各项均为实数，对任意
21、*nN满足 3nn aa ，且行列式 1 23 nn nn aa c aa 为定值， 则下列选项中不可能的是() A 1 1a ，1c B 1 2a ，2c C 1 1a ，4c D 1 2a ，0c 【思路分析】化简行列式，由已知条件，作差化简得 【解析】 ：行列式 1 312 23 nn nnnn nn aa a aaac aa ， 对任意*nN满足 3nn aa ， 2 12 2 123 nnn nnn aaac aaac ，作差整理得： 1nn aa （常数列，0)c ，或 12 0 nnn aaa ， 当 12 0 nnn aaa ，则 12nnn aaa 及 2 12nnn aaa
22、c ， 方程 22 0 nn xa xac有两根 1n a ， 2n a ， 222 4()430 nnn aacca，因为B错，故选：B 【总结与归纳】本题考查行列式，以及方程求解，属于中档题 三、解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+1876 分) 17 （14 分）已知四棱锥PABCD，底面ABCD为正方形，边长为 3，PD 平面ABCD （1）若5PC ，求四棱锥PABCD的体积； （2）若直线AD与BP的夹角为60，求PD的长 【思路分析】 （1）利用已知条件求出，棱锥的高，然后求解棱锥的体积即可 （2）由已知中四棱锥PABCD的底面是边长为 3 的正方形，PD 平面
23、ABCD异面直线 AD与PB所成角为60，可得60PBC， 且PBC为直角三角形，3BC ，代入求出PC 后，解直角PDC可得答案 【解析】 ： （1）PD 平面ABCD，PDDC 3CD ，5PC，4PD， 2 1 3412 3 P ABCD V ， 所以四棱锥PABCD的体积为 12 （2）ABCD是正方形，PD 平面ABCD，BCPD，BCCD 又PDCDDBC平面PCDBCPC 异面直线AD与PB所成角为60，/ /BCAD PBC为异面直线AD与PB所成的角 在Rt PBC中，60PBC，3BC 故3 3PC 在Rt PDC中，又3CD 3 2PD 【总结与归纳】本题考查几何体的体积
24、，空间点线面的距离的求法，考查转化思想以及空间 想象能力，计算能力，是中档题 18 （14 分）已知各项均为正数的数列 n a，其前n项和为 n S， 1 1a （1）若数列 n a为等差数列， 10 70S，求数列 n a的通项公式； （2）若数列 n a为等比数列， 4 1 8 a ，求满足100 nn Sa时n的最小值 【思路分析】 （1）设等差数列的公差为d，运用等差数列的求和公式，解方程可得d，进而 得到所求通项公式； （2）设等比数列的公比为q，由等比数列的通项公式可得q，再由等比数列的求和公式， 解不等式可得n的最小值 【解析】 ： （1）数列 n a为公差为d的等差数列， 10
25、 70S， 1 1a ， 可得 1 1010970 2 d，解得 4 3 d ，则 441 1(1) 333 n ann ； （2）数列 n a为公比为q的等比数列， 4 1 8 a ， 1 1a ， 可得 3 1 8 q ，即 1 2 q ，则 1 1 ( ) 2 n n a ， 1 1 1( ) 1 2 2( ) 1 2 1 2 n n n S ， 100 nn Sa，即为 11 11 2( )100 ( ) 22 nn ，即2101 n ，可得7n，即n的最小值为 7 【总结与归纳】 本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用， 考查方程思想 和运算能力，属于基础题 19 （1
26、4 分）有一条长为 120 米的步行道OA，A是垃圾投放点 1 ，若以O为原点，OA为 x轴正半轴建立直角坐标系， 设点( ,0)B x， 现要建设另一座垃圾投放点 2( ,0) t， 函数( ) t f x表 示与B点距离最近的垃圾投放点的距离 （1）若60t ，求 60(10) f、 60(80) f、 60(95) f的值，并写出 60( ) fx的函数解析式； （2） 若可以通过( ) t f x与坐标轴围成的面积来测算扔垃圾的便利程度， 面积越小越便利 问： 垃圾投放点 2 建在何处才能比建在中点时更加便利？ 【思路分析】 （1）利用题目所给定义表示出 60( ) |60|fxx，|
27、120|minx，分类讨论可得 60( ) fx； （2）利用题意可得 |,0.5(120) ( ) |120|,0.5(120) t tx xt f x x xt ，表示出( ) t f x与坐标轴围成的面积，进 而表示出面积不等式，解出不等式即可 【解析】 ： （1） 投放点 1(120,0) ， 2(60,0) ， 60(10) f表示与(10,0)B距离最近的投放点 （即 2) 的 距 离 ， 所 以 60(10) |60 10| 50f， 同 理 分 析 ， 60(80) |60 80| 20f， 60(95) |120 95| 25f， 由题意得， 60( ) |60|fxx，|1
28、20|minx， 则当|60|120|xx，即90 x时， 60( ) |60 |fxx； 当|60| |120|xx，即90 x 时， 60( ) |120 |fxx； 综上 60 |60|,90 ( ) |120|,90 x x fx x x ； （2）由题意得( )| t f xtx，|120|minx， 所以 |,0.5(120) ( ) |120|,0.5(120) t tx xt f x x xt ，则( ) t f x与坐标轴围成的面积如阴影部分所示， 所以 222 113 (120)603600 244 Stttt， 由题意，(60)SS，即 2 3 6036002700 4
29、tt， 解得2060t ，即垃圾投放点 2 建在(20,0)与(60,0)之间时，比建在中点时更加便利 【总结与归纳】 本题是新定义问题， 考查对题目意思的理解， 分类讨论是关键， 属于中档题 20 （16 分）已知抛物线 2 yx上的动点 0 (M x， 0) y，过M分别作两条直线交抛物线于P、 Q两点，交直线xt于A、B两点 （1）若点M纵坐标为2，求M与焦点的距离； （2）若1t ，(1,1)P，(1, 1)Q，求证： AB yy为常数； （3）是否存在t，使得1 AB yy且 PQ yy为常数？若存在，求出t的所有可能值，若不存 在，请说明理由 【思路分析】 （1）点M的横坐标 2
30、( 2)2 M x，由 2 yx，得 1 2 p ，由此能求出M与焦 点的距离 （2）设 2 00 (,)M yy，直线 0 2 0 1 :1(1) 1 y PMyx y ，当1x 时， 0 0 1 1 A y y y ，同理求出 0 0 1 1 B y y y ，由此能证明 AB yy为常数 （3）解设 2 00 (,)M yy，( ,) A A t y，直线 20 00 2 0 :() A yy MA yyxy yt ，联立 2 yx，得 22 2200 00 00 0 AA ytyt yyyy yyyy ，求出 0 0 A P A y yt y yy ，同理得 0 0 B Q B y y
31、 y t yy ，由此能求出 存在1t ，使得1 AB yy且 PQ yy为常数 1 【解析】 ： （1）解：抛物线 2 yx上的动点 0 (M x， 0) y， 过M分别作两条直线交抛物线于P、Q两点，交直线xt于A、B两点 点M纵坐标为2， 点M的横坐标 2 ( 2)2 M x， 2 yx， 1 2 p， M与焦点的距离为 19 2 244 M p MFx （2）证明：设 2 00 (,)M yy，直线 0 2 0 1 :1(1) 1 y PMyx y ， 当1x 时， 0 0 1 1 A y y y ， 直线 0 2 0 1 :1(1) 1 y QMyx y ，1x 时， 0 0 1 1
32、 B y y y ，1 AB y y ， AB yy为常数1 （3）解：设 2 00 (,)M yy，( ,) A A t y，直线 20 00 2 0 :() A yy MA yyxy yt ， 联立 2 yx，得 22 2200 00 00 0 AA ytyt yyyy yyyy ， 2 0 0 0 p A yt yy yy ，即 0 0 A P A y yt y yy ， 同理得 0 0 B Q B y y y t yy ， 1 AB yy， 22 00 2 00 () ()1 AB PQ AB ytyyyt y y yyyy ， 要使 PQ y y为常数，即1t ，此时 PQ y y为
33、常数 1， 存在1t ，使得1 AB yy且 PQ yy为常数 1 【总结与归纳】本题考查点到焦点的距离的求法，考查两点纵坐标乘积为常数的证明，考查 满足两点纵坐标乘积为常数的实数值是否存在的判断与求法， 考查抛物线、 直线方程等基础 知识，考查运算求解能力，是中档题 21 （18 分）已知非空集合AR，函数( )yf x的定义域为D，若对任意tA且xD， 不等式( )()f xf xt恒成立，则称函数( )f x具有A性质 （1）当 1A ，判断( )f xx 、( )2g xx是否具有A性质； （2）当(0,1)A ， 1 ( )f xx x ，xa，)，若( )f x具有A性质，求a的取
34、值范围； （3）当 2A ，m，mZ，若D为整数集且具有A性质的函数均为常值函数，求所有 符合条件的m的值 【思路分析】 （1）利用函数的单调性结合新定义，逐个判断即可； （2）依题意， 1 ( )()f xxx a x 为增函数，由双勾函数的图象及性质即得解； （3）由题意，(2 )()fkp kZ，(21)()fnq nZ，又为常值函数，故(2 )(21)fkfn， 由此即可得解 【解析】 ： （1）( )f xx 为减函数，( )(1)f xf x，( )f xx 具有A性质； ( )2g xx为增函数，( )(1)g xg x，( )2g xx不具有A性质； （2）依题意，对任意(0,
35、1)t，( )()f xf xt恒成立， 1 ( )()f xxx a x 为增函数（不可能为常值函数） ， 由双勾函数的图象及性质可得1a（因为( )f x在(1,)上是增函数） 当1a时，函数单调递增，满足对任意(0,1)t，( )()f xf xt恒成立， 综上，实数a的取值范围为1，) （3）D为整数集，具有A性质的函数均为常值函数， 当2t ，( )(2)f xf x恒成立，周期为 2， 设(2 )()fkp kZ，(21)()fnq nZ， 由题意，pq，则(2 )(21)fkfn， 当2xk，( )(221)f xf xnk，221( ,)mnkn kZ， 当21xn，( )(2
36、21)f xf xkn，221( ,)mknn kZ， 综上，m为奇数 【总结与归纳】本题以新定义为载体，考查抽象函数的性质及其运用，考查逻辑推理能力及 灵活运用知识的能力，属于中档题 初高中数学教研微信系列群简介： 目前有 11 个群（9 个高中群，2 个初中群） ，共 4000 多优秀、特、高级教师，省、市、 区县教研员、教辅公司数学编辑、报刊杂志高中数学编辑等汇聚而成，是一个围绕高中数学 教学研究展开教研活动的微信群. 宗旨：脚踏实地、不口号、不花哨、接地气的高中数学教研！ 特别说明： 1.本系列群只探讨高中数学教学研究、高中数学试题研究等相关 话题； 2.由于本群是集“研究写作发表（出版） ”于一体的“桥梁” ， 涉及业务合作，特强调真诚交流，入群后立即群名片： 教师格式：省+市+真实姓名，如：四川成都张三 编辑格式：公司或者刊物（简写）+真实姓名 欢迎各位老师邀请你身边热爱高中数学教研（不喜欢研究的谢绝）的教师好友（学生谢 绝）加入，大家共同研究，共同提高！ 群主二维码：见右图
